![GUIDG.COM – PG. 3
Z f x dx = F x + c F. x = f x
` a ` a ` a ` a
^
A integral da função f (x) é F(x) se e somente a derivada da função F(x) for
igual a f (x).
Z . . . . . é o sinal de integração.
f (x) . . é a função integrando.
dx . . . . isto indica a variável a que estamos nos referindo.
c . . . . . é a constante arbitrária, pode variar, entre C, c, K, k, e etc.
* Não esqueça de carregar a constante no final do processo de integração, caso
contrário estará se referindo apenas a uma função “ F(x) + 0 ” , fazendo c = 0 ,
mas a integral não se refere propriamente a esta função, e sim a família de funções
Teórico fundamental:
tais que a derivada são iguais a função integrando.
Integral indefinida /
Integração ou Anti-derivação é o processo para se achar a função a qual
Anti-derivada e
queremos integrar.
Primitiva.
A primitiva de f (x) é a função tal que a derivada de uma outra função F’(x) = f
(x) . E a integral então é a família de todas a primitivas, isto por que pode-se
adicionar uma constante arbitrária a primitiva, e mesmo assim a derivada será
igual a função integrando.
1 – Seja t = f (x) uma função e sua derivada dt = f’(x)dx.
2 – Se queremos encontrar a integral de f’(x)dx , então procuramos pela
primitiva f (x) . Por isso diz-se que a integração é o processo inverso ao da
derivação, logo a integral é também conhecida como a Anti-derivada.
Porém não existe regras para se integrar uma função assim como na derivação, o
processo é bastante intuitivo, contudo existem as integrais imediatas, e métodos
para transformar uma integral aparentemente impossível numa imediata, e é assim
que acontece o processo de integração. As integrais imediatas são obtidas ao se
derivar as funções elementares, compare a tabela de Integrais elementares com a
tabela geral de derivadas, você vai perceber que para se dar bem no estudo de
integrais terá de saber muito sobre derivada.
Algumas integrais podem ser resolvidas aplicando-se o método da substituição de
variável, este processo existe devido à regra da cadeia, que pode visto em
derivada e diferencial. Veja a demonstração:
Da regra da cadeia sabemos que:
(1) [ F( g(x)) ]’ = F’[g(x)].g’(x)
Da definição de integral:
Z f t dt = F t + c F. t = f t
` a ` a ` a ` a
Método da substituição, ou
^
Mudança de variável. B ` aC B ` aC
Substituindo t = g(x) F. g x = f g x
Substituindo em (1): [ F( g(x)) ]’ = f [g(x)].g’(x)
Integrando a equação:
D b E
Z F g x . dx =Z f g x A g. x dx
` ac B ` aC ` a
F g x =Z f g x A g. x dx
B ` aC B ` aC ` a](https://image.slidesharecdn.com/matintegrais-111208121100-phpapp01/75/mat-integrais-3-2048.jpg?cb=1668828483)
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- 1. GUIDG.COM – PG. 1 27/9/2010 – CDI-1: TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS (u, v, w) são variáveis ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,7182 , ln u = loge u ; sin = seno ; cos = cosseno ; tan = tangente ; cot = cotangente ; sec = secante ; csc = cossecante ; arc = arco ; h = hiperbólico ; arg = argumento ; s = substituições IN Integral Imediata IN Integral Imediata duf ff ff ff f (1) Z du F dv =Z du F Z dv (2) Z b dw = b Z dw (3) Z du = u + c (4) Z =Z u@ 1 du = lnLuM+ c ` a L M u a+1 uffff ffff fff fff aff fff fff ff u (5) Z u a du = +c , a ≠@1 (6) Z a u du = +c (7) Z e u du = e u + c (8) Z udv = vu @Z vdu a +1 ln a 9 Z sin u du = @ cos u + c 15 Z sinh u du = cosh u + c 10 Z cos u du = sin u + c 16 Z cosh u du = sinh u + c Z sec 2 u du = tan u + c Z sech u du = tanh u + c 2 11 17 Z csc 2 u du = @ cot u + c Z csch u du = @ coth u + c 2 12 18 13 Z sec u A tan u du = sec u + c 19 Z sech u A tanh u du = @ sech u + c 14 Z csc u A cot u du = @ csc u + c 20 Z csch u A coth u du = @ csch u + c fffffff ffffff ffffff fdu fff ff X X L M ♦Z 1 L1 + u M wwww = arc sin u wwww www www www www www ww +c fffff arg tanh u + c , se | u | < 1 ou ffff ffff du ff ff ff ffff f ffff fffM fff f 26 Z =Z = lnL M+ c q1 @ u 2 21 L 1 @ u2 arg coth u + c , se | u | > 1 Z 2 L1 @ u M wwwwM www www www www www w ww ww ♦ Z fwwfwwf arc sin f+ c ffdufff fff ffff fff fff fff fff ff uf f f Z fwfwff arg sinh u + c = lnLu + q u 2 + 1 M + c ff ff ff ff ff f fdufff ffff f L www w = wwww wwww wwww w www wwww ww w wwww = ww w ww w ww w ww w ww w ww w L M qa 2 @ u 2 q1 + u 2 22 27 L M a wwww M wwww M www www www www www ww fffffff ffffff ffffff fdu fff ff L ffff ffff ffff du ff ff q 2 Z 28 Z wwww = arg cosh u + c = lnLu + u @ 1 www www www www www www www L M+ c = arc tan u + c L qu 23 M 1 + u2 2 @1 Z fffff= f arc tan f + c fdufff 1f fffff ff ff ff f f uf f f Z ffwfwfff @ arg sech | u | + c fff ff ff ffduffff fffff ff ffff f f g d e ww ww = ww ww ww w www www www w w w u q1 @ u 2 24 29 2 u +a2 a a Z ffwwwff @ arg csch | u | + c ffffffff fffffff fffffff ffff fffff ff ff f+ ff ffffff ff L uffff fdu ff a 1f L ffff fffff ff fffM fa M f du wwww = wwww w ww www www ww ww L M 25 Z 2 = lnL M+ c u q1 + u 2 30 2 a @u 2a u @a Z ffwwwwff farc sinL f + c fffffff ff 1f fffffff f f fffffff f fdu fff ff f L uf f f L M Z tan u du = lnLsec uM+ c ♦ wwwww = wwwww wwwww wwww wwww wwww L M M M u qu 2 @ a 2 31 35 a L M a Z cot u du = lnLsen uM+ c L M Z ffwwwwf arc sec u + c fffffff f ffdu fff fffffff ffffff ff wwww = wwww w ww www ww w ww ww u qu 2 @ 1 32 36 L wwwww M wwwww M wwwww wwww wwww wwww w ww w w La + q a 2 F u 2 M L Z sec u du fffffffff fffffffff fffffffff fffffffff du 1f L fffffffffff f L ffffffffffM ff ffffffffff ffffffffff f Z wwwww = @ lnL L M 33 = lnLsec u + tan uM+ c 37 wwwww wwwww wwww wwww wwww w ww w w M+ c qa 2 F u 2 a u M u wwwww wwww M wwww wwww wwww wwww wwww www ffffffff L ffffffff L fffffff fffffff L du q 2 Z csc u du 38 Z wwwww = lnLu + u F a M+ c wwww wwww wwww wwww wwww wwww www L M M = lnLcsc u @ cot u M + c 2M qu 34 2 2 Fa 1fffff2xf ffffffff ffcosff @fff ff f fffff + ff ff 1ffcosfff fffff2xf ffffff f ffffff (1) sin x = (2) cos 2 x = 2 S Substituições e Identidades trigonométricas 2 2 X wwww ^ wwww wwww wwww wwww wwww wwww www X wwww ^ wwww wwww wwww wwww www www www X wwww ^q 2 a @ u2 ^q 2 a + u2 ^ wwww wwww wwww wwww wwww wwww www ^q 2 u @ a2 I II III (3) sin² x + cos²x = 1 (4) sec² x =1 + tan² x S ^u = a A sin z ^u = a A tan z ^u = a A sec z ` a ` a ` a ^ Z ^ Z ^ Z (5) csc² x = 1 + cot² x
- 2. GUIDG.COM – PG. 2 Leg. Notação Descrição e demonstração se possível. No processo de integração podemos chegar a alguma da formas abaixo, então aplicamos as fórmulas para simplificar o cálculo da integral. As demonstrações foram omitidas (podem ser vistas em qualquer livro de cálculo). Trigonométricas: 1f n @ 1 ` a f ff ` a nffff f@ff ffff n @ 2 ` a fff f1 1 - Z sin u du = @ sin u A cos u + Z sin n` a u du n n 1f f ff ` a nffff f@ff ffff fff f1 2 - Z cos n u du = cos n @ 1 u A sin u + Z cos n @ 2 u du ` a ` a ` a n n ffff n @ 1 ` a ffff ffff fff 1 3 - Z tan n u du = u @Z tan n @ 2 u du ` a ` a tan n @1 Fórmulas de Recorrência. ffff n @ 1 ` a ffff ffff fff 1 4 - Z cot n u du = @ u @Z cot n @ 2 u du ` a ` a cot n @1 ffff n @ 2 ` a ffff ffff fff 1 ` a nffff f@ff ff 2 f fff fff 5 - Z sec n u du = u A tan u + Z sec n @ 2 u du ` a ` a sec n @1 n @1 ffff n @ 2 ` a ffff ffff fff 1 ` a nffff f@ff ff 2 f fff fff 6 - Z csc n u du = @ u A cot u + Z csc n @ 2 u du ` a ` a csc n @1 n @1 Integração por frações parciais, quando no denominador há funções quadráticas que se repetem e são irredutíveis. b c1 @ n ffdu fff u ff2 + ffffff fffffff ffff ffff u ffa 2 ffffffff fffffffffff ffffffff fffffffff ffffffff ffffffffff ffffffff fffdufffff fffffff ffffffffff ffffffff fffffffff ff 2n @ 3 ff 7- Zb cn = ` a + 2` aZ u +a 2 2 2a 2 n @ 1 2a n @ 1 b u 2 + a 2 cn @ 1 A seguir, mais substituições, isso quando houver um dos casos abaixo na função integrando. wwwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwww q ax 2 + bx + c = F pw x ww w w ww a +t 1- * Se a > 0 no trinômio ax² + bx + c . wwwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwww q ax 2 + bx + c = xt F pw ww w w w c 2- Substituições para funções * Se c > 0 no trinômio ax² + bx + c . integrando envolvendo raízes quadradas e trinômios quadrados. wwwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwwww wwwww q ax 2 + bx + c = ` x @ r a t 3- * Se o trinômio ax² + bx + c tem raízes reais, r é qualquer uma das raízes do trinômio. OBS: Esse tipo de substituição é tão complicado quanto as trigonométricas, use um livro para auxiliá-lo.
- 3. GUIDG.COM – PG. 3 Z f x dx = F x + c F. x = f x ` a ` a ` a ` a ^ A integral da função f (x) é F(x) se e somente a derivada da função F(x) for igual a f (x). Z . . . . . é o sinal de integração. f (x) . . é a função integrando. dx . . . . isto indica a variável a que estamos nos referindo. c . . . . . é a constante arbitrária, pode variar, entre C, c, K, k, e etc. * Não esqueça de carregar a constante no final do processo de integração, caso contrário estará se referindo apenas a uma função “ F(x) + 0 ” , fazendo c = 0 , mas a integral não se refere propriamente a esta função, e sim a família de funções Teórico fundamental: tais que a derivada são iguais a função integrando. Integral indefinida / Integração ou Anti-derivação é o processo para se achar a função a qual Anti-derivada e queremos integrar. Primitiva. A primitiva de f (x) é a função tal que a derivada de uma outra função F’(x) = f (x) . E a integral então é a família de todas a primitivas, isto por que pode-se adicionar uma constante arbitrária a primitiva, e mesmo assim a derivada será igual a função integrando. 1 – Seja t = f (x) uma função e sua derivada dt = f’(x)dx. 2 – Se queremos encontrar a integral de f’(x)dx , então procuramos pela primitiva f (x) . Por isso diz-se que a integração é o processo inverso ao da derivação, logo a integral é também conhecida como a Anti-derivada. Porém não existe regras para se integrar uma função assim como na derivação, o processo é bastante intuitivo, contudo existem as integrais imediatas, e métodos para transformar uma integral aparentemente impossível numa imediata, e é assim que acontece o processo de integração. As integrais imediatas são obtidas ao se derivar as funções elementares, compare a tabela de Integrais elementares com a tabela geral de derivadas, você vai perceber que para se dar bem no estudo de integrais terá de saber muito sobre derivada. Algumas integrais podem ser resolvidas aplicando-se o método da substituição de variável, este processo existe devido à regra da cadeia, que pode visto em derivada e diferencial. Veja a demonstração: Da regra da cadeia sabemos que: (1) [ F( g(x)) ]’ = F’[g(x)].g’(x) Da definição de integral: Z f t dt = F t + c F. t = f t ` a ` a ` a ` a Método da substituição, ou ^ Mudança de variável. B ` aC B ` aC Substituindo t = g(x) F. g x = f g x Substituindo em (1): [ F( g(x)) ]’ = f [g(x)].g’(x) Integrando a equação: D b E Z F g x . dx =Z f g x A g. x dx ` ac B ` aC ` a F g x =Z f g x A g. x dx B ` aC B ` aC ` a
- 4. GUIDG.COM – PG. 4 Agora fazemos g(x) = u , então du = g’(x)dx , substituindo: Z f u du = F u + c ` a ` a Na aplicação desse método deve analisar qual função devemos fazer a substituição, para que a integral obtida seja mais simples. Visto que temos a tabela de integrais e os conceitos fundamentais, podemos seguir com a integração de funções elementares. Quando precisarmos de algumas das regras da tabela faremos assim, IM#, # indicara o número da integral usada. * * Por exemplo: IN7 – significa que estamos usando a integral imediata número 7 da tabela. Z tan x dx =Z ffffdx = I sinff ffx f ffff ff cos x Substituindo adequadamente: cos x = u , du = – sin x dx – du = sin x dx Z tan x dx duf ff ff ff f duf ff ff ff f f g I =Z @ = @Z , por IN4: u u I = @ lnLuM= @ lnLcos xM+ c L M L M , mas por propriedades de logaritmos: L M = lnL cos x M+ c L` a@ 1M I L M = lnLsec xM+ c L M I Estudo incompleto, poderá ser atualizado futuramente.