(1) O documento apresenta tabelas com 20 fórmulas de integrais imediatas e suas respectivas demonstrações. (2) São apresentadas também fórmulas de recorrência para integrais trigonométricas, substituições para funções envolvendo raízes quadradas e trinômios quadrados, e integração por frações parciais. (3) O documento explica conceitos básicos sobre integrais como a notação, a variável de integração, a constante arbitrária e a relação entre a função integrando e a função primit

1. GUIDG.COM – PG. 1
27/9/2010 – CDI-1: TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS
(u, v, w) são variáveis ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,7182 , ln u = loge u ; sin = seno ; cos = cosseno ; tan = tangente ;
cot = cotangente ; sec = secante ; csc = cossecante ; arc = arco ; h = hiperbólico ; arg = argumento ; s = substituições
IN Integral Imediata IN Integral Imediata
duf
ff
ff
ff
f
(1) Z du F dv =Z du F Z dv (2) Z b dw = b Z dw (3) Z du = u + c (4) Z =Z u@ 1 du = lnLuM+ c
` a L M
u
a+1
uffff
ffff
fff
fff aff
fff
fff
ff
u
(5) Z u a du = +c , a ≠@1 (6) Z a u du = +c (7) Z e u du = e u + c (8) Z udv = vu @Z vdu
a +1 ln a
9 Z sin u du = @ cos u + c 15 Z sinh u du = cosh u + c
10 Z cos u du = sin u + c 16 Z cosh u du = sinh u + c
Z sec 2 u du = tan u + c Z sech u du = tanh u + c
2
11 17
Z csc 2 u du = @ cot u + c Z csch u du = @ coth u + c
2
12 18
13 Z sec u A tan u du = sec u + c 19 Z sech u A tanh u du = @ sech u + c
14 Z csc u A cot u du = @ csc u + c 20 Z csch u A coth u du = @ csch u + c
fffffff
ffffff
ffffff
fdu fff
ff
X X L M
♦Z
1 L1 + u M
wwww = arc sin u
wwww
www
www
www
www
www
ww +c fffff arg tanh u + c , se | u | < 1 ou
ffff
ffff
du ff
ff ff ffff
f ffff
fffM
fff f
26 Z =Z = lnL M+ c
q1 @ u 2
21 L
1 @ u2 arg coth u + c , se | u | > 1 Z 2 L1 @ u M
wwwwM
www
www
www
www
www
w ww
ww
♦ Z fwwfwwf arc sin f+ c
ffdufff
fff ffff
fff fff
fff fff
ff uf
f
f
Z fwfwff arg sinh u + c = lnLu + q u 2 + 1 M + c
ff ff ff
ff ff f
fdufff
ffff
f
L
www w =
wwww
wwww
wwww
w www
wwww
ww w wwww =
ww w
ww w
ww w
ww w
ww w
ww
w
L M
qa 2 @ u 2 q1 + u 2
22 27 L M
a
wwww M
wwww M
www
www
www
www
www
ww
fffffff
ffffff
ffffff
fdu fff
ff
L
ffff
ffff
ffff
du ff
ff q 2
Z 28 Z wwww = arg cosh u + c = lnLu + u @ 1
www
www
www
www
www
www
www
L
M+ c
= arc tan u + c
L
qu
23 M
1 + u2 2
@1
Z fffff= f arc tan f + c
fdufff 1f
fffff
ff ff
ff f
f uf
f
f Z ffwfwfff @ arg sech | u | + c
fff ff ff
ffduffff
fffff ff
ffff
f
f g d e
ww ww =
ww ww
ww w
www
www
www
w w
w
u q1 @ u 2
24 29
2
u +a2 a a
Z ffwwwff @ arg csch | u | + c
ffffffff
fffffff
fffffff
ffff
fffff
ff ff f+ ff
ffffff ff L uffff
fdu ff a 1f L ffff
fffff ff fffM
fa M
f du
wwww =
wwww
w ww
www
www
ww
ww
L M
25 Z 2 = lnL M+ c
u q1 + u 2
30
2
a @u 2a u @a
Z ffwwwwff farc sinL f + c
fffffff ff 1f
fffffff f f
fffffff f
fdu fff
ff f L uf
f
f
L M
Z tan u du = lnLsec uM+ c ♦ wwwww =
wwwww
wwwww
wwww
wwww
wwww
L M M
M
u qu 2 @ a 2
31 35 a
L M a
Z cot u du = lnLsen uM+ c
L M Z ffwwwwf arc sec u + c
fffffff f
ffdu fff
fffffff
ffffff
ff
wwww =
wwww
w ww
www
ww w
ww
ww
u qu 2 @ 1
32 36
L wwwww M
wwwww M
wwwww
wwww
wwww
wwww
w ww
w w
La + q a 2 F u 2 M
L
Z sec u du fffffffff
fffffffff
fffffffff
fffffffff
du 1f L fffffffffff
f L ffffffffffM
ff ffffffffff
ffffffffff f
Z wwwww = @ lnL
L M
33 = lnLsec u + tan uM+ c 37 wwwww
wwwww
wwww
wwww
wwww
w ww
w w M+ c
qa 2 F u 2 a u M
u
wwwww
wwww M
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
www
ffffffff L
ffffffff L
fffffff
fffffff
L
du q 2
Z csc u du 38 Z wwwww = lnLu + u F a M+ c
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
www
L M M
= lnLcsc u @ cot u M + c
2M
qu
34
2 2
Fa
1fffff2xf
ffffffff
ffcosff
@fff ff
f fffff + ff ff
1ffcosfff
fffff2xf
ffffff f
ffffff
(1) sin x = (2) cos 2 x =
2
S Substituições e Identidades trigonométricas
2 2
X wwww
^ wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
www X wwww
^ wwww
wwww
wwww
wwww
www
www
www X wwww
^q 2
a @ u2 ^q 2
a + u2 ^ wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
www
^q 2
u @ a2
I II III
(3) sin² x + cos²x = 1 (4) sec² x =1 + tan² x
S
^u = a A sin z ^u = a A tan z ^u = a A sec z
` a ` a ` a
^
Z ^
Z ^
Z (5) csc² x = 1 + cot² x

2. GUIDG.COM – PG. 2
Leg. Notação Descrição e demonstração se possível.
No processo de integração podemos chegar a alguma da formas abaixo,
então aplicamos as fórmulas para simplificar o cálculo da integral. As
demonstrações foram omitidas (podem ser vistas em qualquer livro de
cálculo).
Trigonométricas:
1f n @ 1 ` a
f
ff ` a nffff
f@ff
ffff n @ 2 ` a
fff
f1
1 - Z sin u du = @ sin u A cos u + Z sin
n` a
u du
n n
1f
f
ff ` a nffff
f@ff
ffff
fff
f1
2 - Z cos n u du = cos n @ 1 u A sin u + Z cos n @ 2 u du
` a ` a ` a
n n
ffff n @ 1 ` a
ffff
ffff
fff
1
3 - Z tan n u du = u @Z tan n @ 2 u du
` a ` a
tan
n @1
Fórmulas de Recorrência.
ffff n @ 1 ` a
ffff
ffff
fff
1
4 - Z cot n u du = @ u @Z cot n @ 2 u du
` a ` a
cot
n @1
ffff n @ 2 ` a
ffff
ffff
fff
1 ` a nffff
f@ff
ff 2 f
fff
fff
5 - Z sec n u du = u A tan u + Z sec n @ 2 u du
` a ` a
sec
n @1 n @1
ffff n @ 2 ` a
ffff
ffff
fff
1 ` a nffff
f@ff
ff 2 f
fff
fff
6 - Z csc n u du = @ u A cot u + Z csc n @ 2 u du
` a ` a
csc
n @1 n @1
Integração por frações parciais, quando no denominador há funções
quadráticas que se repetem e são irredutíveis.
b c1 @ n
ffdu fff
u ff2 + ffffff fffffff ffff ffff
u ffa 2
ffffffff fffffffffff ffffffff fffffffff
ffffffff ffffffffff ffffffff fffdufffff
fffffff ffffffffff ffffffff fffffffff
ff 2n @ 3 ff
7- Zb cn = ` a + 2` aZ
u +a
2 2 2a 2 n @ 1 2a n @ 1 b u 2 + a 2 cn @ 1
A seguir, mais substituições, isso quando houver um dos casos abaixo na
função integrando.
wwwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwww
q ax 2 + bx + c = F pw x
ww
w
w
ww
a +t
1-
* Se a > 0 no trinômio ax² + bx + c .
wwwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwww
q ax 2 + bx + c = xt F pw
ww
w
w
w
c
2-
Substituições para funções
* Se c > 0 no trinômio ax² + bx + c .
integrando envolvendo raízes
quadradas e trinômios quadrados.
wwwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwww
q ax 2 + bx + c = ` x @ r a t
3-
* Se o trinômio ax² + bx + c tem raízes reais, r é qualquer uma das
raízes do trinômio.
OBS: Esse tipo de substituição é tão complicado quanto as
trigonométricas, use um livro para auxiliá-lo.

3. GUIDG.COM – PG. 3
Z f x dx = F x + c F. x = f x
` a ` a ` a ` a
^
A integral da função f (x) é F(x) se e somente a derivada da função F(x) for
igual a f (x).
Z . . . . . é o sinal de integração.
f (x) . . é a função integrando.
dx . . . . isto indica a variável a que estamos nos referindo.
c . . . . . é a constante arbitrária, pode variar, entre C, c, K, k, e etc.
* Não esqueça de carregar a constante no final do processo de integração, caso
contrário estará se referindo apenas a uma função “ F(x) + 0 ” , fazendo c = 0 ,
mas a integral não se refere propriamente a esta função, e sim a família de funções
Teórico fundamental:
tais que a derivada são iguais a função integrando.
Integral indefinida /
Integração ou Anti-derivação é o processo para se achar a função a qual
Anti-derivada e
queremos integrar.
Primitiva.
A primitiva de f (x) é a função tal que a derivada de uma outra função F’(x) = f
(x) . E a integral então é a família de todas a primitivas, isto por que pode-se
adicionar uma constante arbitrária a primitiva, e mesmo assim a derivada será
igual a função integrando.
1 – Seja t = f (x) uma função e sua derivada dt = f’(x)dx.
2 – Se queremos encontrar a integral de f’(x)dx , então procuramos pela
primitiva f (x) . Por isso diz-se que a integração é o processo inverso ao da
derivação, logo a integral é também conhecida como a Anti-derivada.
Porém não existe regras para se integrar uma função assim como na derivação, o
processo é bastante intuitivo, contudo existem as integrais imediatas, e métodos
para transformar uma integral aparentemente impossível numa imediata, e é assim
que acontece o processo de integração. As integrais imediatas são obtidas ao se
derivar as funções elementares, compare a tabela de Integrais elementares com a
tabela geral de derivadas, você vai perceber que para se dar bem no estudo de
integrais terá de saber muito sobre derivada.
Algumas integrais podem ser resolvidas aplicando-se o método da substituição de
variável, este processo existe devido à regra da cadeia, que pode visto em
derivada e diferencial. Veja a demonstração:
Da regra da cadeia sabemos que:
(1) [ F( g(x)) ]’ = F’[g(x)].g’(x)
Da definição de integral:
Z f t dt = F t + c F. t = f t
` a ` a ` a ` a
Método da substituição, ou
^
Mudança de variável. B ` aC B ` aC
Substituindo t = g(x) F. g x = f g x
Substituindo em (1): [ F( g(x)) ]’ = f [g(x)].g’(x)
Integrando a equação:
D b E
Z F g x . dx =Z f g x A g. x dx
` ac B ` aC ` a
F g x =Z f g x A g. x dx
B ` aC B ` aC ` a

4. GUIDG.COM – PG. 4
Agora fazemos g(x) = u , então du = g’(x)dx , substituindo:
Z f u du = F u + c
` a ` a
Na aplicação desse método deve analisar qual função devemos fazer a
substituição, para que a integral obtida seja mais simples.
Visto que temos a tabela de integrais e os conceitos fundamentais, podemos
seguir com a integração de funções elementares. Quando precisarmos de algumas
das regras da tabela faremos assim, IM#, # indicara o número da integral usada.
* *
Por exemplo: IN7 – significa que estamos usando a integral imediata número
7 da tabela.
Z tan x dx =Z ffffdx = I
sinff
ffx f
ffff
ff
cos x
Substituindo adequadamente: cos x = u , du = – sin x dx
– du = sin x dx
Z tan x dx duf
ff
ff
ff
f duf
ff
ff
ff
f
f g
I =Z @ = @Z , por IN4:
u u
I = @ lnLuM= @ lnLcos xM+ c
L M L M
, mas por propriedades de logaritmos:
L M
= lnL cos x M+ c
L` a@ 1M
I L M
= lnLsec xM+ c
L M
I
Estudo incompleto, poderá ser atualizado futuramente.