O documento explica o que são matrizes, apresentando exemplos de matrizes e operações com matrizes. É definido o que são matrizes, linhas, colunas, matrizes nulas, quadradas e identidade. São explicadas operações como adição, subtração e multiplicação de matrizes.

1. MATRIZES
Escola SESC de Ensino Médio
Turma 2015 - 2017

2. O que são matrizes?
Matrizes são quadros numéricos/tabelas
utilizados, normalmente, para organizar dados.
Os números que constituem uma matriz são
distribuídos em linhas e colunas, que possuem
significados bem determinados, em relação aos
dados listados.

3. Exemplo
Considere duas matrizes, denominadas A e B.
A =
20 7 11
18 12 8
16 17 5
20 6 12
e B =
3 2
1 1
0 0
A matriz A contém o número de vitórias, empates e derrotas dos clubes
X, Y, Z e W nas 38 partidas que cada um disputou.
A matriz B contém o número de pontos ganhos por um time em cada
vitória, empate ou derrota, no novo sistema de pontuação e no sistema
antigo (anterior a 1990).
Como seria a classificação final dos quatro clubes, em cada sistema de
pontuação?
V E D
X
Y
Z
W
V
E
D
N A

4. Definição
Matriz do tipo m x n (m e n naturais não nulos) é um quadro
constituído de m.n números reais, dispostos de forma ordenada em
m linhas e n colunas.
aij indica o elemento situado na linha i e na coluna j da matriz A.
Veja como seria a representação de uma matriz genérica Amxn:
𝐴 =
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑚1 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛
A matriz genérica Amxn pode ser representada também,
sinteticamente, por 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
.

5. Tipos especiais
• Matriz linha
𝐿 = 2 4 −7
• Matriz coluna
𝐶 =
−3
5
• Matriz nula
𝑁 =
0 0
0 0
0 0
• Matriz quadrada
𝑄 =
6 −2
1 0

6. Em uma matriz quadrada de ordem n
chamamos...
diagonal principal ao conjunto de elementos aij tais que i=j;
diagonal secundária ao conjunto dos elementos aij tais que
i+j=n+1.
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
DIAGONAL
PRINCIPAL
DIAGONAL
SECUNDÁRIA

7. Matriz Identidade
É uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal
principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são iguais a 0.
Existe uma única matriz identidade de ordem n, indicada por In.
𝐼2 =
1 0
0 1
𝐼3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

8. Matriz Transposta
Dada uma matriz A, do tipo m x n, chama-se transposta de A a
matriz indicada por At, do tipo n x m, obtida quando se troca de
posição, entre si, cada linha de A pela coluna de mesma ordem.
𝐴 =
2 −1 5
4 0 6
𝐴 𝑡 =
2 4
−1 0
5 6

9. Igualdade de Matrizes
Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
são matrizes de mesmo tipo, e
todos os elementos de mesma posição de A e B são iguais, dizemos
que as matrizes A e B são iguais.
𝐴 = 𝐵 ↔ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗, para quaisquer i, j

10. Operações elementares com matrizes
• Adição: define-se a operação de adição para duas matrizes A e B
do mesmo tipo. No caso, a matriz A + B é obtida adicionando-se os
elementos da mesma posição de A e B.
𝐴 =
5 −1
2 4
−3 2
𝑒 𝐵 =
1 0
−1 3
7 −4
𝐴 + 𝐵 =
5 + 1 −1 + 0
2 + −1 4 + 3
−3 + 7 2 + −4
=
6 −1
1 7
4 −2

11. • Subtração: define-se a operação de subtração para duas matrizes A e
B do mesmo tipo. No caso, a matriz A - B é obtida adicionando-se os
elementos da mesma posição de A com os da matriz oposta de B (-B).
𝐴 =
5 −1
2 4
−3 2
, 𝐵 =
1 0
−1 3
7 −4
𝑒 − 𝐵 =
−1 0
1 −3
−7 4
𝐴 − 𝐵 =
5 + −1 −1 + 0
2 + 1 4 + −3
−3 + −7 2 + 4
=
4 −1
3 1
−7 6

12. • Multiplicação de um matriz por um número real
Se A é uma matriz e k é um número real, define-se o produto 𝑘 ⋅ 𝐴.
Trata-se da matriz obtida de A, multiplicando-se cada um dos seus
elementos pelo número k.
Se 𝐴 =
6 −5 2
4 0 −1
, a matriz 3A é:
3𝐴 =
18 −15 6
12 0 −3

13. • Multiplicação de matrizes
Em um concurso para emprego, os candidatos fazem provas de
Português (P), Matemática (M) e Conhecimentos Gerais (C). A nota
máxima em cada prova é 10. As provas têm pesos diferentes. Para se
obter a pontuação final do candidato, multiplica-se sua nota pelo
respectivo peso, e somam-se os produtos obtidos. A organização do
concurso está indecisa entre duas tabelas diferentes de pesos (P1 e
P2).
A matriz N a seguir (matriz notas) mostra as notas obtidas, em cada
prova, por dois candidatos A e B. A matriz P (matriz pesos) representa
duas possíveis tabelas de pesos, por prova.
𝑁 =
8 9 6
9 6 7
𝑃 =
2 3
2 1
1 2
P M C
A
B
P
M
C
P1 P2

14. Vamos calcular a pontuação final de cada candidato, na primeira
opção de pesos:
Candidato A: 8 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 = 16 + 18 + 6 = 40
Candidato B: 9 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 = 18 + 12 + 7 = 37
Agora, vamos obter a pontuação final de cada candidato, na
segunda opção de pesos:
Candidato A: 8 ⋅ 3 + 9 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2 = 24 + 9 + 12 = 45
Candidato B: 9 ⋅ 3 + 6 ⋅ 1 + 7 ⋅ 2 = 27 + 6 + 14 = 47
Com base nesses cálculos, podemos escrever, finalmente, a matriz
das pontuações de cada candidato, em cada opção de pesos:
𝑁𝑃 =
40 45
37 47
Essa última matriz é o produto da matriz N pela matriz P.
P1 P2
A
B

15. Dadas as matrizes 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛𝑥𝑝
, existe a
matriz 𝐴𝐵 = 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑝
, tal que 𝑐𝑖𝑗 é obtido
multiplicando-se, ordenadamente, os elementos da linha i
de A pelos elementos da coluna j de B, e adicionando-se os
produtos obtidos.

16. Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz A é dita
inversível (ou invertível) se existe uma matriz B (quadrada de
ordem n), tal que:
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 = 𝐼 𝑛
Nesse caso, a matriz B é chamada matriz inversa de A e é
indicada por A-1.

17. Bibliografia
• Matemática: 2ª série: ensino médio, livro 1/ Angel Panadés Rubió,
Luciana Maria Tenuta de Freitas. – Belo Horizonte: Editora
Educacional, 2012.
• Matemática: ensino médio: volume único/Gelson Iezzi...[et al.].–
6. ed. – São Paulo: Atual, 2015.