Geometria Analitica - Matrizes e Determinantes

Geometria Analitica e Vetores
Matrizes
Determinantes
Prof. Fernando Silveira Alves
Instituto Federal de Mato Grosso do Sul
2023/2
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 1 / 41

Índice
1 Matrizes
Definição
Tipos de matrizes
Operações com Matrizes
Propriedades das Operações com Matrizes
2 Determinantes

Introdução às Matrizes
Definição
Uma matriz é uma tabela retangular de números, sı́mbolos ou expressões, disposta em linhas e
colunas. Cada valor em uma matriz é referido como um elemento. Os elementos são
identificados pelo número da linha e da coluna em que estão posicionados. O tamanho de uma
matriz é determinado pelo número de suas linhas e colunas, denotado como n × m, onde n é o
número de linhas e m o número de colunas.

Elementos de uma Matriz
Elementos de uma Matriz
Os elementos de uma matriz são geralmente representados por uma letra minúscula com dois
subscritos, onde o primeiro subscrito representa a linha e o segundo subscrito representa a
coluna. Por exemplo, em uma matriz A, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna é
representado por aij .

Dimensões de uma Matriz
Dimensões de uma Matriz
As dimensões de uma matriz são dadas pelo número de linhas e colunas que ela possui. Uma
matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m por n, ou matriz m x n.

Tipos de Matrizes
Matriz quadrada
Uma matriz quadrada é uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. Ou seja,
para uma matriz quadrada, o número de linhas n é igual ao número de colunas m (n = m).
Um exemplo de matriz quadrada é a matriz identidade, que tem uns na diagonal principal (de
cima à esquerda para baixo à direita) e zeros em todas as outras posições.

Tipos de Matrizes
Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal são
zero. Por exemplo:
D =





d11 0 · · · 0
0 d22 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · dnn





é uma matriz diagonal.

Tipos de Matrizes
Matriz Identidade
Uma matriz quadrada é dita identidade se todos os elementos da diagonal principal são um e
todos os outros elementos são zero. Por exemplo:
I =





1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 1





é uma matriz identidade.

Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são zero. Por exemplo:
N =





0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 0





é uma matriz nula.
Matriz Transposta
A transposta de uma matriz A é a matriz obtida trocando suas linhas por colunas (ou
vice-versa). É denotada por AT . Por exemplo, se A é uma matriz 2x3, então AT é uma matriz
3x2.

Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas iguais se, e somente se, elas têm a mesma ordem (ou seja, o mesmo
número de linhas e colunas) e se todos os elementos correspondentes forem iguais. Isso
significa que se tivermos duas matrizes A e B, elas serão iguais se para todo i e j, aij = bij .

Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas iguais se, e somente se, elas têm a mesma ordem (ou seja, o mesmo
número de linhas e colunas) e se todos os elementos correspondentes forem iguais. Isso
significa que se tivermos duas matrizes A e B, elas serão iguais se para todo i e j, aij = bij .
Exemplo
Por exemplo, consideremos as duas matrizes 2 × 2 a seguir:
A =

1 2
3 4

, B =

1 2
3 4

A e B são iguais porque todas as suas entradas correspondentes são iguais.

Adição de Matrizes
A adição de matrizes é realizada elemento a elemento. Se A e B são duas matrizes de mesma
dimensão, então a soma A + B é dada por:
(A + B)ij = Aij + Bij
para todo i, j.

Exemplo
Por exemplo, considere as duas matrizes 3x4:
A =


1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

 e B =


2 3 4 5
6 7 8 9
10 11 12 13

.
A soma A + B é dada por:
A + B =


(1 + 2) (2 + 3) (3 + 4) (4 + 5)
(5 + 6) (6 + 7) (7 + 8) (8 + 9)
(9 + 10) (10 + 11) (11 + 12) (12 + 13)

 =


3 5 7 9
11 13 15 17
19 21 23 25



Subtração de Matrizes
A subtração de matrizes também é realizada elemento a elemento. Se A e B são duas
matrizes de mesma dimensão, então a diferença A − B é dada por:
(A − B)ij = Aij − Bij
para todo i, j.

Exemplo
A =


3 4
5 6
7 8

 e B =


1 2
2 3
3 4

.
A diferença A − B é dada por:
A − B =


(3 − 1) (4 − 2)
(5 − 2) (6 − 3)
(7 − 3) (8 − 4)

 =


2 2
3 3
4 4



Produto de uma Matriz por Escalar
O produto de uma matriz por um escalar é uma operação que multiplica cada elemento da
matriz pelo escalar. Se A é uma matriz e k é um escalar, o produto de A por k, denotado por
kA ou Ak, é obtido multiplicando cada elemento aij de A por k.

Produto de uma Matriz por Escalar
O produto de uma matriz por um escalar é uma operação que multiplica cada elemento da
matriz pelo escalar. Se A é uma matriz e k é um escalar, o produto de A por k, denotado por
kA ou Ak, é obtido multiplicando cada elemento aij de A por k.
Exemplo
Considere a matriz A =

1 2
3 4

e o escalar k = 2.
O produto de A por k é dado por:
kA =

2 · 1 2 · 2
2 · 3 2 · 4

=

2 4
6 8


Multiplicação de Matrizes
A multiplicação de matrizes é um pouco mais complexa. Se A é uma matriz mxn e B é uma
matriz nxp, então o produto AB é uma matriz mxp onde cada elemento é calculado como a
soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Ou seja,
(AB)ij =
n
X
k=1
AikBkj
para todo i, j.

Exemplo: Multiplicação de Matrizes
Considere as matrizes:
A =


1 2
3 4
5 6

 (matriz 3 × 2)
B =

7 8 9
10 11 12

(matriz 2 × 3)
O produto AB é uma matriz 3 × 3, onde cada elemento é calculado pela soma dos produtos
dos elementos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Ou seja,
AB =


(17 + 210) (18 + 211) (19 + 212)
(37 + 410) (38 + 411) (39 + 412)
(57 + 610) (58 + 611) (59 + 612)

 =


27 30 33
61 68 75
95 106 117



Divisão de Matrizes
A divisão de matrizes não é uma operação padrão. No entanto, podemos falar sobre a
multiplicação de uma matriz pela inversa de outra matriz, que é o mais próximo que temos da
divisão. Se A é uma matriz invertı́vel, então a ”divisão”de B por A é dada por BA−1.

Propriedades da Adição
A adição de matrizes tem as seguintes propriedades:
Comutatividade: A + B = B + A para quaisquer matrizes A e B de mesma dimensão.
Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) para quaisquer matrizes A, B e C de
mesma dimensão.
Existência de elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 tal que A + 0 = A para
qualquer matriz A.
Existência de inverso aditivo: Para qualquer matriz A, existe uma matriz −A tal que
A + (−A) = 0.

Propriedades da Subtração
A subtração de matrizes pode ser vista como a adição com o inverso aditivo. Portanto, as
propriedades da subtração são as mesmas que as da adição, mas com o inverso aditivo no
lugar da segunda matriz.

Propriedades da Multiplicação
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
Não comutatividade: Em geral, AB ̸= BA para matrizes A e B.
Associatividade: (AB)C = A(BC) para quaisquer matrizes A, B e C tais que as
multiplicações sejam definidas.
Distributividade sobre a adição: A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA para
quaisquer matrizes A, B e C tais que as operações sejam definidas.
Existência de elemento neutro: Existe uma matriz identidade I tal que AI = A e
IA = A para qualquer matriz A.

Matriz Inversa
Definição
Uma matriz quadrada A é dita invertı́vel se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, onde I
é a matriz identidade. A matriz B é chamada de matriz inversa de A e é denotada por A−1.

Matriz Inversa
Definição
Uma matriz quadrada A é dita invertı́vel se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, onde I
é a matriz identidade. A matriz B é chamada de matriz inversa de A e é denotada por A−1.
Como Calcular
Para calcular a matriz inversa de uma matriz A, podemos usar o método da matriz adjunta.
Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de A, depois a transpomos para obter a matriz
adjunta, e finalmente dividimos cada elemento pelo determinante de A.
Por exemplo, se A =

a b
c d

, então A−1 = 1
ad−bc

d −b
−c a

, desde que ad − bc ̸= 0.

Cálculo da Matriz Inversa: Passo 1 e 2
Passo 1: Calcular o determinante de A
Para uma matriz 2x2 A =

a b
c d

, o determinante é calculado como ad − bc.
Por exemplo, se A =

4 7
2 6

, então det(A) = (4 ∗ 6) − (7 ∗ 2) = 10.

Cálculo da Matriz Inversa: Passo 1 e 2
Passo 1: Calcular o determinante de A
Para uma matriz 2x2 A =

a b
c d

, o determinante é calculado como ad − bc.
Por exemplo, se A =

4 7
2 6

, então det(A) = (4 ∗ 6) − (7 ∗ 2) = 10.
Passo 2: Criar a matriz adjunta de A
Para uma matriz 2x2, a matriz adjunta é obtida trocando os elementos da diagonal principal e
trocando os sinais dos elementos fora da diagonal principal.
Portanto, se A =

4 7
2 6

, então adj(A) =

6 −7
−2 4

.

Cálculo da Matriz Inversa: Passo 3
Passo 3: Calcular a matriz inversa de A
A matriz inversa de A é obtida dividindo cada elemento da matriz adjunta pelo determinante
de A.
Portanto, se det(A) = 10 e adj(A) =

6 −7
−2 4

, então
A−1 = 1
10

6 −7
−2 4

=

0.6 −0.7
−0.2 0.4

.

Matriz Inversa
Propriedades
A matriz inversa tem as seguintes propriedades:
(A−1)−1 = A
(AB)−1 = B−1A−1 para quaisquer matrizes invertı́veis A e B
(AT )−1 = (A−1)T

Classe de uma Permutação em Determinantes
Definição
Uma permutação de um conjunto de n elementos é uma disposição ordenada destes
elementos. A classe de uma permutação é um conceito utilizado ao calcular o determinante de
uma matriz.

Definição
uma matriz.
Classe de uma permutação
Definimos a classe de uma permutação como sendo par ou ı́mpar, de acordo com o número de
transposições (trocas de dois elementos de posição) necessárias para transformar a
permutação no arranjo natural dos elementos.

Definição
uma matriz.
Classe de uma permutação
Definimos a classe de uma permutação como sendo par ou ı́mpar, de acordo com o número de
transposições (trocas de dois elementos de posição) necessárias para transformar a
permutação no arranjo natural dos elementos.
Exemplo
Se temos a permutação (3, 1, 2) dos elementos 1, 2, 3, ela é de classe ı́mpar, pois precisa de
uma única transposição ((3, 1, 2) → (1, 3, 2)) para se tornar o arranjo natural (1, 2, 3).

Termo Principal em Determinantes
Definição
Em matemática, ao calcular o determinante de uma matriz quadrada, o termo principal se
refere ao produto dos elementos da diagonal principal da matriz. A diagonal principal de uma
matriz é a que se estende da primeira linha e primeira coluna até a última linha e última
coluna.
Por exemplo, considere a matriz quadrada A =

a b
c d

. O termo principal neste caso é o
produto a · d.

Termo Secundário em Determinantes
Definição
O termo secundário ao se calcular o determinante de uma matriz quadrada se refere ao
produto dos elementos da diagonal secundária da matriz. A diagonal secundária de uma
matriz se estende da primeira linha e última coluna até a última linha e primeira coluna.
Por exemplo, considere a matriz quadrada A =

a b
c d

. O termo secundário neste caso é o
produto b · c.

Determinante de uma Matriz
Definição
O determinante é uma função especial que só pode ser aplicada a matrizes quadradas. É um
valor numérico que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada. O
determinante tem importantes propriedades e diversas aplicações no estudo de sistemas de
equações lineares, na geometria e na teoria dos grafos.
Para uma matriz 2 × 2 A =

a b
c d

, o determinante (denotado por det(A) ou |A|) é calculado
pela diferença do produto dos elementos da diagonal principal e do produto dos elementos da
diagonal secundária:
det(A) = ad − bc.

Ordem de um Determinante
Definição
A ordem de um determinante é o número de linhas (ou, equivalente, o número de colunas) na
matriz quadrada da qual o determinante é calculado.
É uma informação crucial que influencia a forma como o determinante é calculado.
Por exemplo, para uma matriz 2 × 2, o determinante é calculado pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
No entanto, para matrizes de ordem maior, como 3 × 3 ou 4 × 4, é necessário utilizar métodos
mais complexos, como o desenvolvimento de Laplace ou a regra de Sarrus.

Representação de um Determinante
Definição
Um determinante é representado por uma matriz quadrada colocada entre duas linhas
verticais. Cada elemento do determinante corresponde a um elemento da matriz quadrada.
Por exemplo, se temos a matriz quadrada A =

a b
c d

, a representação do determinante de A
é |A| =
a b
c d
.

Representação de um Determinante
Exemplo
Como exemplo, considere a matriz A =

1 2
3 4

, o determinante |A| será representado por
1 2
3 4
, e calculado como (1 · 4) − (2 · 3) = 4 − 6 = −2.

Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 1
Definição
O cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem segue algumas regras e procedimentos
especı́ficos.
Para um determinante de segunda ordem, dado por uma matriz 2x2, o cálculo é feito pela
diferença do produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.

Exemplo para 2ª Ordem
Por exemplo, para a matriz A =

a b
c d

, o determinante |A| é calculado como ad − bc.

Definição para 3ª Ordem
Já para um determinante de terceira ordem, dado por uma matriz 3 × 3, a regra de Sarrus é
frequentemente usada. Esta regra envolve somar o produto das diagonais descendentes e
subtrair o produto das diagonais ascendentes.

Exemplo para 3ª Ordem
Por exemplo, para a matriz A =


a b c
d e f
g h i

, o determinante |A| é calculado conforme a regra
de Sarrus: a · e · i + b · f · g + c · d · h − c · e · g − b · d · i − a · f · h.

Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 2ª Ordem - Parte 1
Exemplo 1
Considere a matriz A =

3 2
5 1

. Vamos calcular o determinante |A|:
|A| = 3 · 1 − 2 · 5 = 3 − 10 = −7.

Exemplo 2
Agora, considere a matriz B =

7 −3
4 2

. Vamos calcular o determinante |B|:
|B| = 7 · 2 − (−3) · 4 = 14 + 12 = 26.

Exemplo 1
Consideremos a matriz C =


1 2 3
4 5 6
7 8 9

. Vamos calcular o determinante |C| usando a regra de
Sarrus:
|C| = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 − 3 · 5 · 7 − 2 · 4 · 9 − 1 · 6 · 8 = 0.

Exemplo 2
Agora, considere a matriz D =


2 −1 0
3 1 4
−2 0 1

. Vamos calcular o determinante |D| usando a
regra de Sarrus:
|D| = 2 · 1 · 1 + (−1) · 4 · (−2) + 0 · 3 · 0 − 0 · 1 · (−2) − (−1) · 3 · 1 − 2 · 4 · 0 = 2 + 8 = 10.

Até a próxima aula!

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