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Geometria Analitica e Vetores
Matrizes
Determinantes
Prof. Fernando Silveira Alves
Instituto Federal de Mato Grosso do Sul
2023/2
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 1 / 41
Índice
1 Matrizes
Definição
Tipos de matrizes
Operações com Matrizes
Propriedades das Operações com Matrizes
2 Determinantes
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 2 / 41
Introdução às Matrizes
Definição
Uma matriz é uma tabela retangular de números, sı́mbolos ou expressões, disposta em linhas e
colunas. Cada valor em uma matriz é referido como um elemento. Os elementos são
identificados pelo número da linha e da coluna em que estão posicionados. O tamanho de uma
matriz é determinado pelo número de suas linhas e colunas, denotado como n × m, onde n é o
número de linhas e m o número de colunas.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 3 / 41
Elementos de uma Matriz
Elementos de uma Matriz
Os elementos de uma matriz são geralmente representados por uma letra minúscula com dois
subscritos, onde o primeiro subscrito representa a linha e o segundo subscrito representa a
coluna. Por exemplo, em uma matriz A, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna é
representado por aij .
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 4 / 41
Dimensões de uma Matriz
Dimensões de uma Matriz
As dimensões de uma matriz são dadas pelo número de linhas e colunas que ela possui. Uma
matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m por n, ou matriz m x n.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 5 / 41
Tipos de Matrizes
Matriz quadrada
Uma matriz quadrada é uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. Ou seja,
para uma matriz quadrada, o número de linhas n é igual ao número de colunas m (n = m).
Um exemplo de matriz quadrada é a matriz identidade, que tem uns na diagonal principal (de
cima à esquerda para baixo à direita) e zeros em todas as outras posições.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 6 / 41
Tipos de Matrizes
Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal são
zero. Por exemplo:
D =





d11 0 · · · 0
0 d22 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · dnn





é uma matriz diagonal.
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Tipos de Matrizes
Matriz Identidade
Uma matriz quadrada é dita identidade se todos os elementos da diagonal principal são um e
todos os outros elementos são zero. Por exemplo:
I =





1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 1





é uma matriz identidade.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 8 / 41
Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são zero. Por exemplo:
N =





0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 0





é uma matriz nula.
Matriz Transposta
A transposta de uma matriz A é a matriz obtida trocando suas linhas por colunas (ou
vice-versa). É denotada por AT . Por exemplo, se A é uma matriz 2x3, então AT é uma matriz
3x2.
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Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas iguais se, e somente se, elas têm a mesma ordem (ou seja, o mesmo
número de linhas e colunas) e se todos os elementos correspondentes forem iguais. Isso
significa que se tivermos duas matrizes A e B, elas serão iguais se para todo i e j, aij = bij .
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Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas iguais se, e somente se, elas têm a mesma ordem (ou seja, o mesmo
número de linhas e colunas) e se todos os elementos correspondentes forem iguais. Isso
significa que se tivermos duas matrizes A e B, elas serão iguais se para todo i e j, aij = bij .
Exemplo
Por exemplo, consideremos as duas matrizes 2 × 2 a seguir:
A =

1 2
3 4

, B =

1 2
3 4

A e B são iguais porque todas as suas entradas correspondentes são iguais.
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Operações com Matrizes
Adição de Matrizes
A adição de matrizes é realizada elemento a elemento. Se A e B são duas matrizes de mesma
dimensão, então a soma A + B é dada por:
(A + B)ij = Aij + Bij
para todo i, j.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 11 / 41
Operações com Matrizes
Exemplo
Por exemplo, considere as duas matrizes 3x4:
A =


1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

 e B =


2 3 4 5
6 7 8 9
10 11 12 13

.
A soma A + B é dada por:
A + B =


(1 + 2) (2 + 3) (3 + 4) (4 + 5)
(5 + 6) (6 + 7) (7 + 8) (8 + 9)
(9 + 10) (10 + 11) (11 + 12) (12 + 13)

 =


3 5 7 9
11 13 15 17
19 21 23 25


Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 12 / 41
Operações com Matrizes
Subtração de Matrizes
A subtração de matrizes também é realizada elemento a elemento. Se A e B são duas
matrizes de mesma dimensão, então a diferença A − B é dada por:
(A − B)ij = Aij − Bij
para todo i, j.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 13 / 41
Operações com Matrizes
Exemplo
A =


3 4
5 6
7 8

 e B =


1 2
2 3
3 4

.
A diferença A − B é dada por:
A − B =


(3 − 1) (4 − 2)
(5 − 2) (6 − 3)
(7 − 3) (8 − 4)

 =


2 2
3 3
4 4


Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 14 / 41
Operações com Matrizes
Produto de uma Matriz por Escalar
O produto de uma matriz por um escalar é uma operação que multiplica cada elemento da
matriz pelo escalar. Se A é uma matriz e k é um escalar, o produto de A por k, denotado por
kA ou Ak, é obtido multiplicando cada elemento aij de A por k.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 15 / 41
Operações com Matrizes
Produto de uma Matriz por Escalar
O produto de uma matriz por um escalar é uma operação que multiplica cada elemento da
matriz pelo escalar. Se A é uma matriz e k é um escalar, o produto de A por k, denotado por
kA ou Ak, é obtido multiplicando cada elemento aij de A por k.
Exemplo
Considere a matriz A =

1 2
3 4

e o escalar k = 2.
O produto de A por k é dado por:
kA =

2 · 1 2 · 2
2 · 3 2 · 4

=

2 4
6 8

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Operações com Matrizes
Multiplicação de Matrizes
A multiplicação de matrizes é um pouco mais complexa. Se A é uma matriz mxn e B é uma
matriz nxp, então o produto AB é uma matriz mxp onde cada elemento é calculado como a
soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Ou seja,
(AB)ij =
n
X
k=1
AikBkj
para todo i, j.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 16 / 41
Operações com Matrizes
Exemplo: Multiplicação de Matrizes
Considere as matrizes:
A =


1 2
3 4
5 6

 (matriz 3 × 2)
B =

7 8 9
10 11 12

(matriz 2 × 3)
O produto AB é uma matriz 3 × 3, onde cada elemento é calculado pela soma dos produtos
dos elementos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Ou seja,
AB =


(17 + 210) (18 + 211) (19 + 212)
(37 + 410) (38 + 411) (39 + 412)
(57 + 610) (58 + 611) (59 + 612)

 =


27 30 33
61 68 75
95 106 117


Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 17 / 41
Operações com Matrizes
Divisão de Matrizes
A divisão de matrizes não é uma operação padrão. No entanto, podemos falar sobre a
multiplicação de uma matriz pela inversa de outra matriz, que é o mais próximo que temos da
divisão. Se A é uma matriz invertı́vel, então a ”divisão”de B por A é dada por BA−1.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 18 / 41
Propriedades das Operações com Matrizes
Propriedades da Adição
A adição de matrizes tem as seguintes propriedades:
Comutatividade: A + B = B + A para quaisquer matrizes A e B de mesma dimensão.
Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) para quaisquer matrizes A, B e C de
mesma dimensão.
Existência de elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 tal que A + 0 = A para
qualquer matriz A.
Existência de inverso aditivo: Para qualquer matriz A, existe uma matriz −A tal que
A + (−A) = 0.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 19 / 41
Propriedades das Operações com Matrizes
Propriedades da Subtração
A subtração de matrizes pode ser vista como a adição com o inverso aditivo. Portanto, as
propriedades da subtração são as mesmas que as da adição, mas com o inverso aditivo no
lugar da segunda matriz.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 20 / 41
Propriedades das Operações com Matrizes
Propriedades da Multiplicação
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
Não comutatividade: Em geral, AB ̸= BA para matrizes A e B.
Associatividade: (AB)C = A(BC) para quaisquer matrizes A, B e C tais que as
multiplicações sejam definidas.
Distributividade sobre a adição: A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA para
quaisquer matrizes A, B e C tais que as operações sejam definidas.
Existência de elemento neutro: Existe uma matriz identidade I tal que AI = A e
IA = A para qualquer matriz A.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 21 / 41
Matriz Inversa
Definição
Uma matriz quadrada A é dita invertı́vel se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, onde I
é a matriz identidade. A matriz B é chamada de matriz inversa de A e é denotada por A−1.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 22 / 41
Matriz Inversa
Definição
Uma matriz quadrada A é dita invertı́vel se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, onde I
é a matriz identidade. A matriz B é chamada de matriz inversa de A e é denotada por A−1.
Como Calcular
Para calcular a matriz inversa de uma matriz A, podemos usar o método da matriz adjunta.
Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de A, depois a transpomos para obter a matriz
adjunta, e finalmente dividimos cada elemento pelo determinante de A.
Por exemplo, se A =

a b
c d

, então A−1 = 1
ad−bc

d −b
−c a

, desde que ad − bc ̸= 0.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 22 / 41
Cálculo da Matriz Inversa: Passo 1 e 2
Passo 1: Calcular o determinante de A
Para uma matriz 2x2 A =

a b
c d

, o determinante é calculado como ad − bc.
Por exemplo, se A =

4 7
2 6

, então det(A) = (4 ∗ 6) − (7 ∗ 2) = 10.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 23 / 41
Cálculo da Matriz Inversa: Passo 1 e 2
Passo 1: Calcular o determinante de A
Para uma matriz 2x2 A =

a b
c d

, o determinante é calculado como ad − bc.
Por exemplo, se A =

4 7
2 6

, então det(A) = (4 ∗ 6) − (7 ∗ 2) = 10.
Passo 2: Criar a matriz adjunta de A
Para uma matriz 2x2, a matriz adjunta é obtida trocando os elementos da diagonal principal e
trocando os sinais dos elementos fora da diagonal principal.
Portanto, se A =

4 7
2 6

, então adj(A) =

6 −7
−2 4

.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 23 / 41
Cálculo da Matriz Inversa: Passo 3
Passo 3: Calcular a matriz inversa de A
A matriz inversa de A é obtida dividindo cada elemento da matriz adjunta pelo determinante
de A.
Portanto, se det(A) = 10 e adj(A) =

6 −7
−2 4

, então
A−1 = 1
10

6 −7
−2 4

=

0.6 −0.7
−0.2 0.4

.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 24 / 41
Matriz Inversa
Propriedades
A matriz inversa tem as seguintes propriedades:
(A−1)−1 = A
(AB)−1 = B−1A−1 para quaisquer matrizes invertı́veis A e B
(AT )−1 = (A−1)T
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 25 / 41
Classe de uma Permutação em Determinantes
Definição
Uma permutação de um conjunto de n elementos é uma disposição ordenada destes
elementos. A classe de uma permutação é um conceito utilizado ao calcular o determinante de
uma matriz.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 26 / 41
Classe de uma Permutação em Determinantes
Definição
Uma permutação de um conjunto de n elementos é uma disposição ordenada destes
elementos. A classe de uma permutação é um conceito utilizado ao calcular o determinante de
uma matriz.
Classe de uma permutação
Definimos a classe de uma permutação como sendo par ou ı́mpar, de acordo com o número de
transposições (trocas de dois elementos de posição) necessárias para transformar a
permutação no arranjo natural dos elementos.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 26 / 41
Classe de uma Permutação em Determinantes
Definição
Uma permutação de um conjunto de n elementos é uma disposição ordenada destes
elementos. A classe de uma permutação é um conceito utilizado ao calcular o determinante de
uma matriz.
Classe de uma permutação
Definimos a classe de uma permutação como sendo par ou ı́mpar, de acordo com o número de
transposições (trocas de dois elementos de posição) necessárias para transformar a
permutação no arranjo natural dos elementos.
Exemplo
Se temos a permutação (3, 1, 2) dos elementos 1, 2, 3, ela é de classe ı́mpar, pois precisa de
uma única transposição ((3, 1, 2) → (1, 3, 2)) para se tornar o arranjo natural (1, 2, 3).
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 26 / 41
Termo Principal em Determinantes
Definição
Em matemática, ao calcular o determinante de uma matriz quadrada, o termo principal se
refere ao produto dos elementos da diagonal principal da matriz. A diagonal principal de uma
matriz é a que se estende da primeira linha e primeira coluna até a última linha e última
coluna.
Por exemplo, considere a matriz quadrada A =

a b
c d

. O termo principal neste caso é o
produto a · d.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 27 / 41
Termo Secundário em Determinantes
Definição
O termo secundário ao se calcular o determinante de uma matriz quadrada se refere ao
produto dos elementos da diagonal secundária da matriz. A diagonal secundária de uma
matriz se estende da primeira linha e última coluna até a última linha e primeira coluna.
Por exemplo, considere a matriz quadrada A =

a b
c d

. O termo secundário neste caso é o
produto b · c.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 28 / 41
Determinante de uma Matriz
Definição
O determinante é uma função especial que só pode ser aplicada a matrizes quadradas. É um
valor numérico que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada. O
determinante tem importantes propriedades e diversas aplicações no estudo de sistemas de
equações lineares, na geometria e na teoria dos grafos.
Para uma matriz 2 × 2 A =

a b
c d

, o determinante (denotado por det(A) ou |A|) é calculado
pela diferença do produto dos elementos da diagonal principal e do produto dos elementos da
diagonal secundária:
det(A) = ad − bc.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 29 / 41
Ordem de um Determinante
Definição
A ordem de um determinante é o número de linhas (ou, equivalente, o número de colunas) na
matriz quadrada da qual o determinante é calculado.
É uma informação crucial que influencia a forma como o determinante é calculado.
Por exemplo, para uma matriz 2 × 2, o determinante é calculado pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
No entanto, para matrizes de ordem maior, como 3 × 3 ou 4 × 4, é necessário utilizar métodos
mais complexos, como o desenvolvimento de Laplace ou a regra de Sarrus.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 30 / 41
Representação de um Determinante
Definição
Um determinante é representado por uma matriz quadrada colocada entre duas linhas
verticais. Cada elemento do determinante corresponde a um elemento da matriz quadrada.
Por exemplo, se temos a matriz quadrada A =

a b
c d

, a representação do determinante de A
é |A| =
a b
c d
.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 31 / 41
Representação de um Determinante
Exemplo
Como exemplo, considere a matriz A =

1 2
3 4

, o determinante |A| será representado por
1 2
3 4
, e calculado como (1 · 4) − (2 · 3) = 4 − 6 = −2.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 32 / 41
Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 1
Definição
O cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem segue algumas regras e procedimentos
especı́ficos.
Para um determinante de segunda ordem, dado por uma matriz 2x2, o cálculo é feito pela
diferença do produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 33 / 41
Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 2
Exemplo para 2ª Ordem
Por exemplo, para a matriz A =

a b
c d

, o determinante |A| é calculado como ad − bc.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 34 / 41
Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 3
Definição para 3ª Ordem
Já para um determinante de terceira ordem, dado por uma matriz 3 × 3, a regra de Sarrus é
frequentemente usada. Esta regra envolve somar o produto das diagonais descendentes e
subtrair o produto das diagonais ascendentes.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 35 / 41
Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 4
Exemplo para 3ª Ordem
Por exemplo, para a matriz A =


a b c
d e f
g h i

, o determinante |A| é calculado conforme a regra
de Sarrus: a · e · i + b · f · g + c · d · h − c · e · g − b · d · i − a · f · h.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 36 / 41
Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 2ª Ordem - Parte 1
Exemplo 1
Considere a matriz A =

3 2
5 1

. Vamos calcular o determinante |A|:
|A| = 3 · 1 − 2 · 5 = 3 − 10 = −7.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 37 / 41
Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 2ª Ordem - Parte 2
Exemplo 2
Agora, considere a matriz B =

7 −3
4 2

. Vamos calcular o determinante |B|:
|B| = 7 · 2 − (−3) · 4 = 14 + 12 = 26.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 38 / 41
Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 3ª Ordem - Parte 1
Exemplo 1
Consideremos a matriz C =


1 2 3
4 5 6
7 8 9

. Vamos calcular o determinante |C| usando a regra de
Sarrus:
|C| = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 − 3 · 5 · 7 − 2 · 4 · 9 − 1 · 6 · 8 = 0.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 39 / 41
Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 3ª Ordem - Parte 2
Exemplo 2
Agora, considere a matriz D =


2 −1 0
3 1 4
−2 0 1

. Vamos calcular o determinante |D| usando a
regra de Sarrus:
|D| = 2 · 1 · 1 + (−1) · 4 · (−2) + 0 · 3 · 0 − 0 · 1 · (−2) − (−1) · 3 · 1 − 2 · 4 · 0 = 2 + 8 = 10.
Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 40 / 41
Até a próxima aula!
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Geometria Analitica - Matrizes e Determinantes

  • 1. Geometria Analitica e Vetores Matrizes Determinantes Prof. Fernando Silveira Alves Instituto Federal de Mato Grosso do Sul 2023/2 Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 1 / 41
  • 2. Índice 1 Matrizes Definição Tipos de matrizes Operações com Matrizes Propriedades das Operações com Matrizes 2 Determinantes Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 2 / 41
  • 3. Introdução às Matrizes Definição Uma matriz é uma tabela retangular de números, sı́mbolos ou expressões, disposta em linhas e colunas. Cada valor em uma matriz é referido como um elemento. Os elementos são identificados pelo número da linha e da coluna em que estão posicionados. O tamanho de uma matriz é determinado pelo número de suas linhas e colunas, denotado como n × m, onde n é o número de linhas e m o número de colunas. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 3 / 41
  • 4. Elementos de uma Matriz Elementos de uma Matriz Os elementos de uma matriz são geralmente representados por uma letra minúscula com dois subscritos, onde o primeiro subscrito representa a linha e o segundo subscrito representa a coluna. Por exemplo, em uma matriz A, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna é representado por aij . Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 4 / 41
  • 5. Dimensões de uma Matriz Dimensões de uma Matriz As dimensões de uma matriz são dadas pelo número de linhas e colunas que ela possui. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m por n, ou matriz m x n. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 5 / 41
  • 6. Tipos de Matrizes Matriz quadrada Uma matriz quadrada é uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. Ou seja, para uma matriz quadrada, o número de linhas n é igual ao número de colunas m (n = m). Um exemplo de matriz quadrada é a matriz identidade, que tem uns na diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita) e zeros em todas as outras posições. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 6 / 41
  • 7. Tipos de Matrizes Matriz Diagonal Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo: D =      d11 0 · · · 0 0 d22 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · dnn      é uma matriz diagonal. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 7 / 41
  • 8. Tipos de Matrizes Matriz Identidade Uma matriz quadrada é dita identidade se todos os elementos da diagonal principal são um e todos os outros elementos são zero. Por exemplo: I =      1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 1      é uma matriz identidade. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 8 / 41
  • 9. Tipos de Matrizes Matriz Nula Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são zero. Por exemplo: N =      0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0      é uma matriz nula. Matriz Transposta A transposta de uma matriz A é a matriz obtida trocando suas linhas por colunas (ou vice-versa). É denotada por AT . Por exemplo, se A é uma matriz 2x3, então AT é uma matriz 3x2. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 9 / 41
  • 10. Operações com Matrizes Igualdade de Matrizes Duas matrizes são ditas iguais se, e somente se, elas têm a mesma ordem (ou seja, o mesmo número de linhas e colunas) e se todos os elementos correspondentes forem iguais. Isso significa que se tivermos duas matrizes A e B, elas serão iguais se para todo i e j, aij = bij . Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 10 / 41
  • 11. Operações com Matrizes Igualdade de Matrizes Duas matrizes são ditas iguais se, e somente se, elas têm a mesma ordem (ou seja, o mesmo número de linhas e colunas) e se todos os elementos correspondentes forem iguais. Isso significa que se tivermos duas matrizes A e B, elas serão iguais se para todo i e j, aij = bij . Exemplo Por exemplo, consideremos as duas matrizes 2 × 2 a seguir: A = 1 2 3 4 , B = 1 2 3 4 A e B são iguais porque todas as suas entradas correspondentes são iguais. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 10 / 41
  • 12. Operações com Matrizes Adição de Matrizes A adição de matrizes é realizada elemento a elemento. Se A e B são duas matrizes de mesma dimensão, então a soma A + B é dada por: (A + B)ij = Aij + Bij para todo i, j. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 11 / 41
  • 13. Operações com Matrizes Exemplo Por exemplo, considere as duas matrizes 3x4: A =   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12   e B =   2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  . A soma A + B é dada por: A + B =   (1 + 2) (2 + 3) (3 + 4) (4 + 5) (5 + 6) (6 + 7) (7 + 8) (8 + 9) (9 + 10) (10 + 11) (11 + 12) (12 + 13)   =   3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25   Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 12 / 41
  • 14. Operações com Matrizes Subtração de Matrizes A subtração de matrizes também é realizada elemento a elemento. Se A e B são duas matrizes de mesma dimensão, então a diferença A − B é dada por: (A − B)ij = Aij − Bij para todo i, j. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 13 / 41
  • 15. Operações com Matrizes Exemplo A =   3 4 5 6 7 8   e B =   1 2 2 3 3 4  . A diferença A − B é dada por: A − B =   (3 − 1) (4 − 2) (5 − 2) (6 − 3) (7 − 3) (8 − 4)   =   2 2 3 3 4 4   Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 14 / 41
  • 16. Operações com Matrizes Produto de uma Matriz por Escalar O produto de uma matriz por um escalar é uma operação que multiplica cada elemento da matriz pelo escalar. Se A é uma matriz e k é um escalar, o produto de A por k, denotado por kA ou Ak, é obtido multiplicando cada elemento aij de A por k. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 15 / 41
  • 17. Operações com Matrizes Produto de uma Matriz por Escalar O produto de uma matriz por um escalar é uma operação que multiplica cada elemento da matriz pelo escalar. Se A é uma matriz e k é um escalar, o produto de A por k, denotado por kA ou Ak, é obtido multiplicando cada elemento aij de A por k. Exemplo Considere a matriz A = 1 2 3 4 e o escalar k = 2. O produto de A por k é dado por: kA = 2 · 1 2 · 2 2 · 3 2 · 4 = 2 4 6 8 Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 15 / 41
  • 18. Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes A multiplicação de matrizes é um pouco mais complexa. Se A é uma matriz mxn e B é uma matriz nxp, então o produto AB é uma matriz mxp onde cada elemento é calculado como a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Ou seja, (AB)ij = n X k=1 AikBkj para todo i, j. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 16 / 41
  • 19. Operações com Matrizes Exemplo: Multiplicação de Matrizes Considere as matrizes: A =   1 2 3 4 5 6   (matriz 3 × 2) B = 7 8 9 10 11 12 (matriz 2 × 3) O produto AB é uma matriz 3 × 3, onde cada elemento é calculado pela soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Ou seja, AB =   (17 + 210) (18 + 211) (19 + 212) (37 + 410) (38 + 411) (39 + 412) (57 + 610) (58 + 611) (59 + 612)   =   27 30 33 61 68 75 95 106 117   Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 17 / 41
  • 20. Operações com Matrizes Divisão de Matrizes A divisão de matrizes não é uma operação padrão. No entanto, podemos falar sobre a multiplicação de uma matriz pela inversa de outra matriz, que é o mais próximo que temos da divisão. Se A é uma matriz invertı́vel, então a ”divisão”de B por A é dada por BA−1. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 18 / 41
  • 21. Propriedades das Operações com Matrizes Propriedades da Adição A adição de matrizes tem as seguintes propriedades: Comutatividade: A + B = B + A para quaisquer matrizes A e B de mesma dimensão. Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) para quaisquer matrizes A, B e C de mesma dimensão. Existência de elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 tal que A + 0 = A para qualquer matriz A. Existência de inverso aditivo: Para qualquer matriz A, existe uma matriz −A tal que A + (−A) = 0. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 19 / 41
  • 22. Propriedades das Operações com Matrizes Propriedades da Subtração A subtração de matrizes pode ser vista como a adição com o inverso aditivo. Portanto, as propriedades da subtração são as mesmas que as da adição, mas com o inverso aditivo no lugar da segunda matriz. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 20 / 41
  • 23. Propriedades das Operações com Matrizes Propriedades da Multiplicação A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades: Não comutatividade: Em geral, AB ̸= BA para matrizes A e B. Associatividade: (AB)C = A(BC) para quaisquer matrizes A, B e C tais que as multiplicações sejam definidas. Distributividade sobre a adição: A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA para quaisquer matrizes A, B e C tais que as operações sejam definidas. Existência de elemento neutro: Existe uma matriz identidade I tal que AI = A e IA = A para qualquer matriz A. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 21 / 41
  • 24. Matriz Inversa Definição Uma matriz quadrada A é dita invertı́vel se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, onde I é a matriz identidade. A matriz B é chamada de matriz inversa de A e é denotada por A−1. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 22 / 41
  • 25. Matriz Inversa Definição Uma matriz quadrada A é dita invertı́vel se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, onde I é a matriz identidade. A matriz B é chamada de matriz inversa de A e é denotada por A−1. Como Calcular Para calcular a matriz inversa de uma matriz A, podemos usar o método da matriz adjunta. Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de A, depois a transpomos para obter a matriz adjunta, e finalmente dividimos cada elemento pelo determinante de A. Por exemplo, se A = a b c d , então A−1 = 1 ad−bc d −b −c a , desde que ad − bc ̸= 0. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 22 / 41
  • 26. Cálculo da Matriz Inversa: Passo 1 e 2 Passo 1: Calcular o determinante de A Para uma matriz 2x2 A = a b c d , o determinante é calculado como ad − bc. Por exemplo, se A = 4 7 2 6 , então det(A) = (4 ∗ 6) − (7 ∗ 2) = 10. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 23 / 41
  • 27. Cálculo da Matriz Inversa: Passo 1 e 2 Passo 1: Calcular o determinante de A Para uma matriz 2x2 A = a b c d , o determinante é calculado como ad − bc. Por exemplo, se A = 4 7 2 6 , então det(A) = (4 ∗ 6) − (7 ∗ 2) = 10. Passo 2: Criar a matriz adjunta de A Para uma matriz 2x2, a matriz adjunta é obtida trocando os elementos da diagonal principal e trocando os sinais dos elementos fora da diagonal principal. Portanto, se A = 4 7 2 6 , então adj(A) = 6 −7 −2 4 . Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 23 / 41
  • 28. Cálculo da Matriz Inversa: Passo 3 Passo 3: Calcular a matriz inversa de A A matriz inversa de A é obtida dividindo cada elemento da matriz adjunta pelo determinante de A. Portanto, se det(A) = 10 e adj(A) = 6 −7 −2 4 , então A−1 = 1 10 6 −7 −2 4 = 0.6 −0.7 −0.2 0.4 . Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 24 / 41
  • 29. Matriz Inversa Propriedades A matriz inversa tem as seguintes propriedades: (A−1)−1 = A (AB)−1 = B−1A−1 para quaisquer matrizes invertı́veis A e B (AT )−1 = (A−1)T Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 25 / 41
  • 30. Classe de uma Permutação em Determinantes Definição Uma permutação de um conjunto de n elementos é uma disposição ordenada destes elementos. A classe de uma permutação é um conceito utilizado ao calcular o determinante de uma matriz. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 26 / 41
  • 31. Classe de uma Permutação em Determinantes Definição Uma permutação de um conjunto de n elementos é uma disposição ordenada destes elementos. A classe de uma permutação é um conceito utilizado ao calcular o determinante de uma matriz. Classe de uma permutação Definimos a classe de uma permutação como sendo par ou ı́mpar, de acordo com o número de transposições (trocas de dois elementos de posição) necessárias para transformar a permutação no arranjo natural dos elementos. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 26 / 41
  • 32. Classe de uma Permutação em Determinantes Definição Uma permutação de um conjunto de n elementos é uma disposição ordenada destes elementos. A classe de uma permutação é um conceito utilizado ao calcular o determinante de uma matriz. Classe de uma permutação Definimos a classe de uma permutação como sendo par ou ı́mpar, de acordo com o número de transposições (trocas de dois elementos de posição) necessárias para transformar a permutação no arranjo natural dos elementos. Exemplo Se temos a permutação (3, 1, 2) dos elementos 1, 2, 3, ela é de classe ı́mpar, pois precisa de uma única transposição ((3, 1, 2) → (1, 3, 2)) para se tornar o arranjo natural (1, 2, 3). Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 26 / 41
  • 33. Termo Principal em Determinantes Definição Em matemática, ao calcular o determinante de uma matriz quadrada, o termo principal se refere ao produto dos elementos da diagonal principal da matriz. A diagonal principal de uma matriz é a que se estende da primeira linha e primeira coluna até a última linha e última coluna. Por exemplo, considere a matriz quadrada A = a b c d . O termo principal neste caso é o produto a · d. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 27 / 41
  • 34. Termo Secundário em Determinantes Definição O termo secundário ao se calcular o determinante de uma matriz quadrada se refere ao produto dos elementos da diagonal secundária da matriz. A diagonal secundária de uma matriz se estende da primeira linha e última coluna até a última linha e primeira coluna. Por exemplo, considere a matriz quadrada A = a b c d . O termo secundário neste caso é o produto b · c. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 28 / 41
  • 35. Determinante de uma Matriz Definição O determinante é uma função especial que só pode ser aplicada a matrizes quadradas. É um valor numérico que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada. O determinante tem importantes propriedades e diversas aplicações no estudo de sistemas de equações lineares, na geometria e na teoria dos grafos. Para uma matriz 2 × 2 A = a b c d , o determinante (denotado por det(A) ou |A|) é calculado pela diferença do produto dos elementos da diagonal principal e do produto dos elementos da diagonal secundária: det(A) = ad − bc. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 29 / 41
  • 36. Ordem de um Determinante Definição A ordem de um determinante é o número de linhas (ou, equivalente, o número de colunas) na matriz quadrada da qual o determinante é calculado. É uma informação crucial que influencia a forma como o determinante é calculado. Por exemplo, para uma matriz 2 × 2, o determinante é calculado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. No entanto, para matrizes de ordem maior, como 3 × 3 ou 4 × 4, é necessário utilizar métodos mais complexos, como o desenvolvimento de Laplace ou a regra de Sarrus. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 30 / 41
  • 37. Representação de um Determinante Definição Um determinante é representado por uma matriz quadrada colocada entre duas linhas verticais. Cada elemento do determinante corresponde a um elemento da matriz quadrada. Por exemplo, se temos a matriz quadrada A = a b c d , a representação do determinante de A é |A| = a b c d . Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 31 / 41
  • 38. Representação de um Determinante Exemplo Como exemplo, considere a matriz A = 1 2 3 4 , o determinante |A| será representado por 1 2 3 4 , e calculado como (1 · 4) − (2 · 3) = 4 − 6 = −2. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 32 / 41
  • 39. Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 1 Definição O cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem segue algumas regras e procedimentos especı́ficos. Para um determinante de segunda ordem, dado por uma matriz 2x2, o cálculo é feito pela diferença do produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 33 / 41
  • 40. Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 2 Exemplo para 2ª Ordem Por exemplo, para a matriz A = a b c d , o determinante |A| é calculado como ad − bc. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 34 / 41
  • 41. Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 3 Definição para 3ª Ordem Já para um determinante de terceira ordem, dado por uma matriz 3 × 3, a regra de Sarrus é frequentemente usada. Esta regra envolve somar o produto das diagonais descendentes e subtrair o produto das diagonais ascendentes. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 35 / 41
  • 42. Preliminares para o Cálculo dos Determinantes de 2ª e 3ª Ordem - Parte 4 Exemplo para 3ª Ordem Por exemplo, para a matriz A =   a b c d e f g h i  , o determinante |A| é calculado conforme a regra de Sarrus: a · e · i + b · f · g + c · d · h − c · e · g − b · d · i − a · f · h. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 36 / 41
  • 43. Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 2ª Ordem - Parte 1 Exemplo 1 Considere a matriz A = 3 2 5 1 . Vamos calcular o determinante |A|: |A| = 3 · 1 − 2 · 5 = 3 − 10 = −7. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 37 / 41
  • 44. Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 2ª Ordem - Parte 2 Exemplo 2 Agora, considere a matriz B = 7 −3 4 2 . Vamos calcular o determinante |B|: |B| = 7 · 2 − (−3) · 4 = 14 + 12 = 26. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 38 / 41
  • 45. Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 3ª Ordem - Parte 1 Exemplo 1 Consideremos a matriz C =   1 2 3 4 5 6 7 8 9  . Vamos calcular o determinante |C| usando a regra de Sarrus: |C| = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 − 3 · 5 · 7 − 2 · 4 · 9 − 1 · 6 · 8 = 0. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 39 / 41
  • 46. Exemplo de Cálculo dos Determinantes de 3ª Ordem - Parte 2 Exemplo 2 Agora, considere a matriz D =   2 −1 0 3 1 4 −2 0 1  . Vamos calcular o determinante |D| usando a regra de Sarrus: |D| = 2 · 1 · 1 + (−1) · 4 · (−2) + 0 · 3 · 0 − 0 · 1 · (−2) − (−1) · 3 · 1 − 2 · 4 · 0 = 2 + 8 = 10. Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 40 / 41
  • 47. Até a próxima aula! Prof. Fernando (IFMS) Geometria Analitica e Vetores 2023/2 41 / 41