O documento apresenta exercícios de geometria analítica resolvidos envolvendo circunferências e retas. Nos exercícios, são determinados os pontos de interseção, tangência e posição externa/interna de pontos em relação às circunferências. O documento também obtém a interseção de duas circunferências, resultando nos pontos (6,8) e (8,6).

1. Escola SESC de Ensino Médio
TURMA 2015 - 2017

2. (Página 699 – exercício 22) Em relação à circunferência 𝜆: 𝑥 + 2 2
+ 𝑦 + 1 2
= 9 dê a posição
dos pontos A(-2,2), B(-5,1), D(-1,2), E(0,1) e F(-5,-1).
A circunferência 𝜆 tem centro no ponto C(-2,-1) e R² = 9, logo R = 3.
Calculando a distância entre os pontos dados e o centro da circunferência 𝜆 teremos:
𝐴𝐶 = 02 + 3² = 3 AC = R, então A pertence à circunferência
𝐵𝐶 = 32 + 2² = 13 BC > R, então B é externo à circunferência
𝐷𝐶 = 12 + 3² = 10 DC > R, então D é externo à circunferência
𝐸𝐶 = 22 + 2² = 8 EC < R, então E é interno à circunferência
𝐹𝐶 = 32 + 0² = 3 FC = R, então F pertence circunferência

3. (Página 699 – exercício 23) Dê a posição dos pontos A(-1,2), B(3,6), O(0,0), D(-1,-4) e E(3,0) em relação à
circunferência 𝜆: 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 + 8𝑦 = 0.
Determinando centro e raio da circunferência 𝜆 obtemos:
Calculando a distância entre os pontos dados e o centro da circunferência 𝜆 teremos:
𝐴𝐶 = 42 + 6² = 52 AC > R, então A é externo à circunferência
𝐵𝐶 = 02 + 10² = 10 BC > R, então B é externo à circunferência
𝑂𝐶 = 32 + 4² = 5 OC = R, então O pertence à circunferência
𝐷𝐶 = 42 + 0² = 4 DC < R, então D é interno à circunferência
𝐸𝐶 = 02 + 4² = 4 EC < R, então E é interno circunferência
−2𝛼 = −6 → 𝛼 = 3
−2𝛽 = 8 → 𝛽 = −4
32
+ −4 2
− 𝑅2
= 0 → 𝑅2
= 25 → 𝑅 = 5
C(3,-4) e R = 5

4. (Página 703 – exercício 35) Em cada caso, isole uma das incógnitas na equação da
reta r e, substituindo esse valor na equação da circunferência 𝝀, dê a posição
relativa entre r e 𝝀:
a) 𝑟: 𝑥 − 𝑦 = 0 e 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
𝑟: 𝑥 = 𝑦
Substituindo x por y na circunferência 𝜆 teremos:
𝑦2 + 𝑦2 + 2𝑦 − 2𝑦 + 1 = 0
2𝑦2 = −1
𝑦2
= −
1
2
∉ ℝ
Isto é, r e 𝜆 não tem interseção. Logo, a reta r é externa a circunferência 𝜆.

5. b) 𝑟: 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 e 𝜆: (𝑥 + 1)2
+(𝑦 − 2)2
= 5
𝑟: 𝑥 = 𝑦 − 1
Substituindo x por y – 1 na circunferência 𝜆 teremos:
(𝑦 − 1 + 1)2
+(𝑦 − 2)2
= 5
𝑦2 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 5
2𝑦2
− 4𝑦 − 1 = 0
∆= 16 + 8 = 8
𝑦 =
4 ± 8
4
=
4 ± 2 2
4
=
2 ± 2
2
Isto é, r e 𝜆 tem duas interseções. Logo, a reta r é secante a circunferência 𝜆.
𝑥 =
2 + 2
2
− 1 =
2
2
𝑥 =
2 − 2
2
− 1 = −
2
2

6. c) 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 e 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0
𝑟: 𝑥 = −𝑦 + 2
Substituindo x por − y + 2 na circunferência 𝜆 teremos:
(−𝑦 + 2)2
+𝑦2
− 4(−𝑦 + 2) − 4𝑦 + 6 = 0
𝑦2 − 4𝑦 + 4 + 𝑦2 + 4𝑦 − 8 − 4𝑦 + 6 = 0
2𝑦2 − 4𝑦 + 2 = 0
∆= 16 − 16 = 0
𝑦 =
4 ± 0
4
=
4
4
= 1
Isto é, r e 𝜆 tem uma interseção. Logo, a reta r é tangente a circunferência 𝜆.
𝑥 = −1 + 2 = 1

7. (Página 708 – exercício 55) Obtenha a interseção das circunferências 𝜆1: 𝑥2 + 𝑦2 = 100
e 𝜆2: 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 68 = 0.
𝑥2 + 𝑦2 = 100
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 68 = 0
Subtraindo, membro a membro, as equações do sistema teremos:
12𝑥 + 12𝑦 − 68 = 100
12𝑥 + 12𝑦 = 168
𝑥 =
−12𝑦 + 168
12
= −𝑦 + 14
Substituindo x por −𝑦 + 14 na equação de 𝜆1 ou 𝜆2 teremos:

8. −𝑦 + 14 2 + 𝑦2 = 100
𝑦2 − 28𝑦 + 196 + 𝑦2 = 100
2𝑦2 − 28𝑦 + 96 = 0
𝑦2 − 14𝑦 + 48 = 0
∆= 196 − 192 = 4
𝑦 =
14 ± 4
2
=
14 ± 2
2
Isto é, as circunferências 𝜆1 e 𝜆2 tem interseção nos pontos (6,8) e (8,6).
𝑦 = 8 → 𝑥 = −8 + 14 = 6
𝑦 = 6 → 𝑥 = −6 + 14 = 8

9.  Matemática: ensino médio: volume único/Gelson Iezzi...[et al.].– 6. ed. – São Paulo:
Atual, 2015.