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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
ESCOLA SESC DE ENSINO MÉDIO
EQUIPE DE MATEMÁTICA
TURMA 2015 - 2017
Atividade – GeoGebra
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ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .
a
A
B C
bc
hipotenusa
(Â é reto)
O lado oposto ao ângulo
reto é chamado de hipotenusa,
enquanto os outros dois são
chamados catetos.
Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n.
• h: medida da altura relativa à hipotenusa;
• m: medida da projeção do cateto c sobre a
hipotenusa;
• n: medida da projeção do cateto b sobre a
hipotenusa. CB
A
bc
a
h
m n
H
Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC. Colocando-os na mesma posição, podemos
perceber os lados correspondentes.
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo B em comum.
O que eles têm em comum?
Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA.
c2 = am
ah = bc
ch = bm
= =
c h
m
c
b
a
m h
c
c
b
a
A
CBB
A
H
H
A
B A B C
Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC.
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo C em comum; portanto, são semelhantes.
Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum.
c
b
a
A
CB
A
CH n
b
h
b2 = an
ah = bc
bh = cn
b2 + c2= an + am
b2 + c2= a(n + m)
Como, m + n = a
Então,
Considerando c² = am
a2= b2 + c2
TEOREMA OU RELAÇÃO DE PITÁGORAS
A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos (b e c).
= +
5
a c
b
C
B
A
4
3 b2
c2a2
Demonstração do Teorema de
Pitágoras
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM
Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é
igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Assim como fizemos anteriormente,
ao observar os dois triângulos
podemos verificar que eles são
semelhantes.
Logo, .= =
De , obtemos que .= h2 = mn
A
HB
c h
m
CH
h
b
n
A
c2 = am
O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa
pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
Da demonstração do teorema de Pitágoras, você pôde notar que foram
estabelecidas outras relações:
Também da demonstração, temos outra relação:
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
b2 = an
ah = bc
Resumindo...
As relações métricas do triângulo retângulo são:
a2 = b2 + c2
h2 = mn
ah = bc
b2 = an
c2 = am
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Relações Métricas no Triângulo Retângulo

  • 1. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ESCOLA SESC DE ENSINO MÉDIO EQUIPE DE MATEMÁTICA TURMA 2015 - 2017
  • 2. Atividade – GeoGebra Disponível em: <https://www.geogebra.org/m/MywqH9rQ>
  • 3. ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A . a A B C bc hipotenusa (Â é reto) O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados catetos. Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. • h: medida da altura relativa à hipotenusa; • m: medida da projeção do cateto c sobre a hipotenusa; • n: medida da projeção do cateto b sobre a hipotenusa. CB A bc a h m n H
  • 4. Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC. Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os lados correspondentes. Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo B em comum. O que eles têm em comum? Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA. c2 = am ah = bc ch = bm = = c h m c b a m h c c b a A CBB A H H A B A B C
  • 5. Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC. Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo C em comum; portanto, são semelhantes. Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum. c b a A CB A CH n b h b2 = an ah = bc bh = cn b2 + c2= an + am b2 + c2= a(n + m) Como, m + n = a Então, Considerando c² = am a2= b2 + c2
  • 6. TEOREMA OU RELAÇÃO DE PITÁGORAS A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c). = + 5 a c b C B A 4 3 b2 c2a2
  • 7. Demonstração do Teorema de Pitágoras Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM
  • 8. Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Assim como fizemos anteriormente, ao observar os dois triângulos podemos verificar que eles são semelhantes. Logo, .= = De , obtemos que .= h2 = mn A HB c h m CH h b n A
  • 9. c2 = am O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. Da demonstração do teorema de Pitágoras, você pôde notar que foram estabelecidas outras relações: Também da demonstração, temos outra relação: Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa. b2 = an ah = bc
  • 10. Resumindo... As relações métricas do triângulo retângulo são: a2 = b2 + c2 h2 = mn ah = bc b2 = an c2 = am