Este documento apresenta as principais relações métricas no triângulo retângulo, incluindo a relação de Pitágoras. Ele define os elementos do triângulo retângulo, como hipotenusa e catetos, e mostra como dois triângulos dentro de um triângulo retângulo são semelhantes, levando às relações a2 = b2 + c2, h2 = mn, ah = bc e b2 = an. Ele então resume formalmente estas relações métricas importantes no triângulo retângulo.

1. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
ESCOLA SESC DE ENSINO MÉDIO
EQUIPE DE MATEMÁTICA
TURMA 2015 - 2017

2. Atividade – GeoGebra
Disponível em: <https://www.geogebra.org/m/MywqH9rQ>

3. ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .
a
A
B C
bc
hipotenusa
(Â é reto)
O lado oposto ao ângulo
reto é chamado de hipotenusa,
enquanto os outros dois são
chamados catetos.
Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n.
• h: medida da altura relativa à hipotenusa;
• m: medida da projeção do cateto c sobre a
hipotenusa;
• n: medida da projeção do cateto b sobre a
hipotenusa. CB
A
bc
a
h
m n
H

4. Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC. Colocando-os na mesma posição, podemos
perceber os lados correspondentes.
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo B em comum.
O que eles têm em comum?
Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA.
c2 = am
ah = bc
ch = bm
= =
c h
m
c
b
a
m h
c
c
b
a
A
CBB
A
H
H
A
B A B C

5. Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC.
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo C em comum; portanto, são semelhantes.
Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum.
c
b
a
A
CB
A
CH n
b
h
b2 = an
ah = bc
bh = cn
b2 + c2= an + am
b2 + c2= a(n + m)
Como, m + n = a
Então,
Considerando c² = am
a2= b2 + c2

6. TEOREMA OU RELAÇÃO DE PITÁGORAS
A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos (b e c).
= +
5
a c
b
C
B
A
4
3 b2
c2a2

7. Demonstração do Teorema de
Pitágoras
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM

8. Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é
igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Assim como fizemos anteriormente,
ao observar os dois triângulos
podemos verificar que eles são
semelhantes.
Logo, .= =
De , obtemos que .= h2 = mn
A
HB
c h
m
CH
h
b
n
A

9. c2 = am
O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa
pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
Da demonstração do teorema de Pitágoras, você pôde notar que foram
estabelecidas outras relações:
Também da demonstração, temos outra relação:
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
b2 = an
ah = bc

10. Resumindo...
As relações métricas do triângulo retângulo são:
a2 = b2 + c2
h2 = mn
ah = bc
b2 = an
c2 = am

11. Disponível em:
<https://srefabricianodivep.files.wordpress.com/2015/02/matematica9_geometria_e_trigonomet
ria.ppt>