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 Matriz é um agrupamento retangular de elementos, dispostos em m linhas e n
colunas, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1.
O tamanho (ou dimensão) de uma matriz corresponde ao número de linhas e
colunas existentes na matriz, por esse motivo denominada matriz (lê-se m por n)
ou matriz de ordem 𝑚 𝑥 𝑛.
Dada a matriz A do tipo 𝑚 𝑥 𝑛, denomina-se o elemento 𝑎𝑖𝑗 ao componente da
matriz que ocupar a linha i e a coluna j, onde 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ]
• Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j.
a32
a31
a22
a21
a12
a11
A =
 aij = 3i – j
a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1
a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4
a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7
2 1
5 4
8 7
A =
Matrizes Lei de formação de uma matriz
Matrizes
Exemplo: Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a
prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada
elemento 𝑎𝑖𝑗 da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (𝑑𝐵), registrado na medição 𝑖 do dia 𝑗.
45 62 68 44 63
51 49 72 48 68
39 52 71 52 62
51 45 63 40 69
De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 𝑑𝐵 é o nível máximo recomendável à exposição do
ouvido humano.
Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a
alternativa correta:
a) 46 𝑑𝐵
b) 46,5 𝑑𝐵
c) 52 𝑑𝐵
d) 65,5 𝑑𝐵
e) 68,5 𝑑𝐵
Exemplo: Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a
prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada
elemento 𝑎𝑖𝑗 da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (𝑑𝐵), registrado na medição 𝑖 do dia 𝑗.
45 62 68 44 63
51 49 72 48 68
39 52 71 52 62
51 45 63 40 69
De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 𝑑𝐵 é o nível máximo recomendável à exposição do
ouvido humano.
Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a
alternativa correta:
a) 46 𝑑𝐵
b) 46,5 𝑑𝐵
c) 52 𝑑𝐵
d) 65,5 𝑑𝐵
e) 68,5 𝑑𝐵
O dia é representado pelas colunas (𝑗), assim as medições do dia 4
estão na quarta coluna. Calculando:
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
44+48+52+40
4
= 46 𝑑𝐵
Conforme dados da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos públicos e
1814 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego aéreo
representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades com
aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 4 ×
4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4 × 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea
direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1
Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar
para a cidade de origem, assinale a alternativa correta.
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades.
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades.
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C.
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B.
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C.
Matriz Quadrada:
número de linhas = números de colunas
Matrizes Classificação
Matriz Retangular :
número de linhas é diferente do
números de colunas
 
0
2
1
4 







 
0
4
1
2
MATRIZ QUADRADA (An)










33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
DIAGONAL
PRINCIPAL
i = j
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
i + j = n + 1
4 5
0 3
8 -4 3 2
0 1 5 4
0 0 6 3
0 0 0 2
SÃO MATRIZES
TRIANGULARES
SUPERIORES.
Matrizes Classificação
8 0 0
5 1 0
3 2 7
8 0 0 0 0
3 1 0 0 0
4 1 6 0 0
7 5 9 2 0
4 7 3 2 4
SÃO MATRIZES
TRIANGULARES
INFERIORES.
MATRIZES DIAGONAIS.
4 0 0
0 1 0
0 0 3
6 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5 0
0 0 0 2
Matrizes Classificação
MATRIZ IDENTIDADE (In)










1
0
0
0
1
0
0
0
1
DIAGONAL
PRINCIPAL
IGUAL A UM
DEMAIS ELEMENTOS
IGUAIS A ZERO
I3 =
Matriz Nula
Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a
zero.







0
0
0
0
0
0
0
Matrizes Classificação
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de
ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas.
Representa-se por At








0
4
9
1
3
2
A2x3 =
At
3x2 =










0
1
4
3
9
2 









0
8
5
8
1
3
5
3
2
A =
SIMÉTRICA
A = At










0
8
-
5
8
0
3
-
5
-
3
0
A =
ANTI SIMÉTRICA
A = - At
Matrizes Classificação
Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At . Assim, se a matriz
A=
2 −1 2𝑦
2𝑥 + 3 0 𝑧 − 1
4 3 2
é simétrica, então x é igual a:
a) – 2
b) – 1
c) 1
d) 3
e) 5
Matrizes Classificação
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
Matrizes Igualdade de Duas Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus
elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo
mx n, temos:
A = B <=> aij=bij
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
𝑧 = 7
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
𝑧 = 7
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎:
Matrizes Classificação
Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
𝑧 = 7
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎:
𝑥. 𝑦. 𝑧 = 28
Matrizes Classificação
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO


















1
2
4
0
1
6
8
4
2
1
2
3









9
2
6
1
3
9
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
 Comutativa: A + B = B + A
 (A + B)t = At + Bt
MULTIPLICAÇÃO DE UM
NÚMERO POR UMA MATRIZ
–2 1
3 2
M =
3.M =
3.2
3.3
3.1
3.–2
=
–6 3
9 6
3.M
Matrizes Operações com Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 = 4
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
𝑋 =
2 3
4 6
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
𝑋 =
2 3
4 6
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
𝑋 =
2 3
4 6 Soma: 8
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
PRODUTO DE MATRIZES
Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente
A.B  B.A .
–3 1 0
2 4 –2
–1 2
3 5
–2 6
B =
A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6








Matrizes Operações com Matrizes
Exemplo
Matrizes Operações com Matrizes
Exemplo –3 1 0
2 4 –2
–1 2
3 5
–2 6
B =
A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6








2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6







 

12
14
1
6
A.B
Matrizes Operações com Matrizes
( UEL-PR ) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3x5, então é
verdade que:
a) p = 5 e q = 5
b) p = 4 e q = 5
c) p = 3 e q = 5
d) p = 3 e q = 4
e) p = 3 e q = 3
Matrizes
(PUC – PR) O elemento c22 da matriz C = A.B, onde
𝐴 =
1 2 3 4
5 6 7 8
−1 0 0 1
𝑒 𝐵 =
7 1 2
8 1 1
5 0 0
4 0 1
, é:
a) 0
b) 2
c) 6
d) 11
e) 22
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
( UEPG) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente.
Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto.
01. n.r = m.p
02. m = r + 1
04. p = 2m
08. n = r
16. n + r = p + m
GABARITO: 18
MATRIZES QUADRADAS
A.I = I.A = A
A2 = A.A
𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
𝑘𝐴 𝑡 = 𝑘𝐴𝑡 𝐴𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡.
MATRIZ TRANSPOSTA
𝐴 + 𝐵 2 ≠ 𝐴2 + 2AB + 𝐵2
𝐴 + 𝐵 2 = 𝐴2 + AB + BA + 𝐵2
𝐴 − 𝐵 2 ≠ 𝐴2 − 2AB + 𝐵2
𝐴 − 𝐵 2
= 𝐴2
− AB − BA + 𝐵2
A + B A − B ≠ 𝐴2 − 𝐵2
A + B A − B = 𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵2
Matrizes Operações com Matrizes
Exemplo: Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j2 - i2.
a) Escreva M na forma matricial.
b) Sendo Mt a matriz transposta de M, calcule o produto M.Mt.
Matrizes Operações com Matrizes
Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes
quantidades de três nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como
indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar os quatro tipos de ração
para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá
os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de
rações?
a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg.
A B C D percentuais de
mistura
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3
210
340
145
370
520
225
450
305
190
290
485
260
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
35%
25%
30%
10%
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
Sendo e a matriz na equação
será:
a) .
b) .
c) .
d) .
1 1
A
0 1
 
  
 







10
140
B
x
X
y
 
  
 
B
X
A 
.
13
5
5
 
 
 
0
10
 
 
 
10
5
 
 
 
10
10
 
 
 
Matrizes
(PUC – RS) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que
os alunos resolvessem a seguinte questão:
Se 𝐴 =
1 2
3 4
, então 𝐴2 é igual a
a)
1 3
2 4
b)
1 4
9 16
c)
7 10
15 22
d)
5 11
11 25
e)
5 5
25 25
Matrizes Operações com Matrizes
Matrizes
( UFSC ) Dada a equação matricial determine O valor da expressão 5x + 4y + z é:
4 2
1 3 0
4 2
3
1
4
2
3
x
y
z x
y






















 











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  • 2.  Matriz é um agrupamento retangular de elementos, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1. O tamanho (ou dimensão) de uma matriz corresponde ao número de linhas e colunas existentes na matriz, por esse motivo denominada matriz (lê-se m por n) ou matriz de ordem 𝑚 𝑥 𝑛. Dada a matriz A do tipo 𝑚 𝑥 𝑛, denomina-se o elemento 𝑎𝑖𝑗 ao componente da matriz que ocupar a linha i e a coluna j, onde 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ]
  • 3. • Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. a32 a31 a22 a21 a12 a11 A =  aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7 2 1 5 4 8 7 A = Matrizes Lei de formação de uma matriz
  • 4. Matrizes Exemplo: Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada elemento 𝑎𝑖𝑗 da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (𝑑𝐵), registrado na medição 𝑖 do dia 𝑗. 45 62 68 44 63 51 49 72 48 68 39 52 71 52 62 51 45 63 40 69 De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 𝑑𝐵 é o nível máximo recomendável à exposição do ouvido humano. Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a alternativa correta: a) 46 𝑑𝐵 b) 46,5 𝑑𝐵 c) 52 𝑑𝐵 d) 65,5 𝑑𝐵 e) 68,5 𝑑𝐵
  • 5. Exemplo: Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada elemento 𝑎𝑖𝑗 da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (𝑑𝐵), registrado na medição 𝑖 do dia 𝑗. 45 62 68 44 63 51 49 72 48 68 39 52 71 52 62 51 45 63 40 69 De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 𝑑𝐵 é o nível máximo recomendável à exposição do ouvido humano. Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a alternativa correta: a) 46 𝑑𝐵 b) 46,5 𝑑𝐵 c) 52 𝑑𝐵 d) 65,5 𝑑𝐵 e) 68,5 𝑑𝐵 O dia é representado pelas colunas (𝑗), assim as medições do dia 4 estão na quarta coluna. Calculando: 𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 44+48+52+40 4 = 46 𝑑𝐵
  • 6. Conforme dados da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos públicos e 1814 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades com aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 4 × 4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4 × 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1. 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar para a cidade de origem, assinale a alternativa correta. a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades. b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades. c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B. e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C.
  • 7. Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas Matrizes Classificação Matriz Retangular : número de linhas é diferente do números de colunas   0 2 1 4           0 4 1 2 MATRIZ QUADRADA (An)           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a DIAGONAL PRINCIPAL i = j DIAGONAL SECUNDÁRIA i + j = n + 1
  • 8. 4 5 0 3 8 -4 3 2 0 1 5 4 0 0 6 3 0 0 0 2 SÃO MATRIZES TRIANGULARES SUPERIORES. Matrizes Classificação 8 0 0 5 1 0 3 2 7 8 0 0 0 0 3 1 0 0 0 4 1 6 0 0 7 5 9 2 0 4 7 3 2 4 SÃO MATRIZES TRIANGULARES INFERIORES.
  • 9. MATRIZES DIAGONAIS. 4 0 0 0 1 0 0 0 3 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 2 Matrizes Classificação MATRIZ IDENTIDADE (In)           1 0 0 0 1 0 0 0 1 DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO I3 =
  • 10. Matriz Nula Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.        0 0 0 0 0 0 0 Matrizes Classificação
  • 11. TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por At         0 4 9 1 3 2 A2x3 = At 3x2 =           0 1 4 3 9 2           0 8 5 8 1 3 5 3 2 A = SIMÉTRICA A = At           0 8 - 5 8 0 3 - 5 - 3 0 A = ANTI SIMÉTRICA A = - At Matrizes Classificação
  • 12. Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At . Assim, se a matriz A= 2 −1 2𝑦 2𝑥 + 3 0 𝑧 − 1 4 3 2 é simétrica, então x é igual a: a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 3 e) 5 Matrizes Classificação
  • 13. ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: Matrizes Igualdade de Duas Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos: A = B <=> aij=bij
  • 14. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 Matrizes Classificação
  • 15. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 Matrizes Classificação
  • 16. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 Matrizes Classificação
  • 17. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 Matrizes Classificação
  • 18. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 −3𝑦 = 12 Matrizes Classificação
  • 19. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 −3𝑦 = 12 𝑦 = −4 Matrizes Classificação
  • 20. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 −3𝑦 = 12 𝑦 = −4 Matrizes Classificação
  • 21. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 −3𝑦 = 12 𝑦 = −4 −1 + 𝑧 = 6 Matrizes Classificação
  • 22. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 −3𝑦 = 12 𝑦 = −4 −1 + 𝑧 = 6 𝑧 = 7 Matrizes Classificação
  • 23. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 −3𝑦 = 12 𝑦 = −4 −1 + 𝑧 = 6 𝑧 = 7 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: Matrizes Classificação
  • 24. Matrizes ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 = 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 e 𝐵 = 𝑥 0 12 4 −1 6 Se A = Bt , o valor de x.y.z é: 2𝑥 + 1 −3𝑦 −1 0 4 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 12 −1 0 4 6 2𝑥 + 1 = 𝑥 𝑥 = −1 −3𝑦 = 12 𝑦 = −4 −1 + 𝑧 = 6 𝑧 = 7 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 28 Matrizes Classificação
  • 25. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO                   1 2 4 0 1 6 8 4 2 1 2 3          9 2 6 1 3 9  Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)  Comutativa: A + B = B + A  (A + B)t = At + Bt MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ –2 1 3 2 M = 3.M = 3.2 3.3 3.1 3.–2 = –6 3 9 6 3.M Matrizes Operações com Matrizes
  • 26. ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 Matrizes Operações com Matrizes
  • 27. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 Matrizes Operações com Matrizes
  • 28. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 Matrizes Operações com Matrizes
  • 29. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 Matrizes Operações com Matrizes
  • 30. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = Matrizes Operações com Matrizes
  • 31. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = 4 Matrizes Operações com Matrizes
  • 32. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = 4 6 Matrizes Operações com Matrizes
  • 33. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = 4 6 8 Matrizes Operações com Matrizes
  • 34. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = 4 6 8 12 Matrizes Operações com Matrizes
  • 35. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = 4 6 8 12 𝑋 = 2 3 4 6 Matrizes Operações com Matrizes
  • 36. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = 4 6 8 12 𝑋 = 2 3 4 6 Matrizes Operações com Matrizes
  • 37. Matrizes ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que X + Y = 3 4 2 1 e X – Y = 1 2 6 11 . Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 𝑋 + 𝑌 = 3 4 2 1 𝑋 − 𝑌 = 1 2 6 11 2𝑋 = 4 6 8 12 𝑋 = 2 3 4 6 Soma: 8 Matrizes Operações com Matrizes
  • 39. Matrizes Operações com Matrizes PRODUTO DE MATRIZES Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B  B.A .
  • 40. –3 1 0 2 4 –2 –1 2 3 5 –2 6 B = A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6         Matrizes Operações com Matrizes Exemplo
  • 41. Matrizes Operações com Matrizes Exemplo –3 1 0 2 4 –2 –1 2 3 5 –2 6 B = A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6         2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6           12 14 1 6 A.B
  • 42. Matrizes Operações com Matrizes ( UEL-PR ) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3x5, então é verdade que: a) p = 5 e q = 5 b) p = 4 e q = 5 c) p = 3 e q = 5 d) p = 3 e q = 4 e) p = 3 e q = 3
  • 43. Matrizes (PUC – PR) O elemento c22 da matriz C = A.B, onde 𝐴 = 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 0 0 1 𝑒 𝐵 = 7 1 2 8 1 1 5 0 0 4 0 1 , é: a) 0 b) 2 c) 6 d) 11 e) 22 Matrizes Operações com Matrizes
  • 44. Matrizes Operações com Matrizes ( UEPG) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto. 01. n.r = m.p 02. m = r + 1 04. p = 2m 08. n = r 16. n + r = p + m GABARITO: 18
  • 45. MATRIZES QUADRADAS A.I = I.A = A A2 = A.A 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 𝑘𝐴 𝑡 = 𝑘𝐴𝑡 𝐴𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡. MATRIZ TRANSPOSTA 𝐴 + 𝐵 2 ≠ 𝐴2 + 2AB + 𝐵2 𝐴 + 𝐵 2 = 𝐴2 + AB + BA + 𝐵2 𝐴 − 𝐵 2 ≠ 𝐴2 − 2AB + 𝐵2 𝐴 − 𝐵 2 = 𝐴2 − AB − BA + 𝐵2 A + B A − B ≠ 𝐴2 − 𝐵2 A + B A − B = 𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵2
  • 46. Matrizes Operações com Matrizes Exemplo: Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j2 - i2. a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo Mt a matriz transposta de M, calcule o produto M.Mt.
  • 47. Matrizes Operações com Matrizes Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades de três nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura. Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de rações? a) 389 mg. b) 330 mg. c) 280 mg. d) 210 mg. e) 190 mg. A B C D percentuais de mistura 𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1 𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2 𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3 210 340 145 370 520 225 450 305 190 290 485 260 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 35% 25% 30% 10% Matrizes Operações com Matrizes
  • 48. Matrizes Operações com Matrizes Sendo e a matriz na equação será: a) . b) . c) . d) . 1 1 A 0 1               10 140 B x X y        B X A  . 13 5 5       0 10       10 5       10 10      
  • 49. Matrizes (PUC – RS) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que os alunos resolvessem a seguinte questão: Se 𝐴 = 1 2 3 4 , então 𝐴2 é igual a a) 1 3 2 4 b) 1 4 9 16 c) 7 10 15 22 d) 5 11 11 25 e) 5 5 25 25 Matrizes Operações com Matrizes
  • 50. Matrizes ( UFSC ) Dada a equação matricial determine O valor da expressão 5x + 4y + z é: 4 2 1 3 0 4 2 3 1 4 2 3 x y z x y                                    Matrizes Operações com Matrizes