math exercise

2.  Matriz é um agrupamento retangular de elementos, dispostos em m linhas e n
colunas, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1.
O tamanho (ou dimensão) de uma matriz corresponde ao número de linhas e
colunas existentes na matriz, por esse motivo denominada matriz (lê-se m por n)
ou matriz de ordem 𝑚 𝑥 𝑛.
Dada a matriz A do tipo 𝑚 𝑥 𝑛, denomina-se o elemento 𝑎𝑖𝑗 ao componente da
matriz que ocupar a linha i e a coluna j, onde 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ]

3. • Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j.
a32
a31
a22
a21
a12
a11
A =
 aij = 3i – j
a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1
a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4
a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7
2 1
5 4
8 7
A =
Matrizes Lei de formação de uma matriz

4. Matrizes
Exemplo: Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a
prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada
elemento 𝑎𝑖𝑗 da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (𝑑𝐵), registrado na medição 𝑖 do dia 𝑗.
45 62 68 44 63
51 49 72 48 68
39 52 71 52 62
51 45 63 40 69
De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 𝑑𝐵 é o nível máximo recomendável à exposição do
ouvido humano.
Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a
alternativa correta:
a) 46 𝑑𝐵
b) 46,5 𝑑𝐵
c) 52 𝑑𝐵
d) 65,5 𝑑𝐵
e) 68,5 𝑑𝐵

5. Exemplo: Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a que estavam expostos os habitantes, a
prefeitura realizou quatro medições diárias durante cinco dias em um cruzamento de grande movimento. Cada
elemento 𝑎𝑖𝑗 da matriz a seguir representa o nível de ruído, em decibéis (𝑑𝐵), registrado na medição 𝑖 do dia 𝑗.
45 62 68 44 63
51 49 72 48 68
39 52 71 52 62
51 45 63 40 69
De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 50 𝑑𝐵 é o nível máximo recomendável à exposição do
ouvido humano.
Com as informações apresentadas, determine o nível médio de ruídos registrados no quarto dia e assinale a
alternativa correta:
a) 46 𝑑𝐵
b) 46,5 𝑑𝐵
c) 52 𝑑𝐵
d) 65,5 𝑑𝐵
e) 68,5 𝑑𝐵
O dia é representado pelas colunas (𝑗), assim as medições do dia 4
estão na quarta coluna. Calculando:
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
44+48+52+40
4
= 46 𝑑𝐵

6. Conforme dados da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos públicos e
1814 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego aéreo
representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades com
aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 4 ×
4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz 4 × 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea
direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1
Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar
para a cidade de origem, assinale a alternativa correta.
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades.
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades.
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C.
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B.
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C.

7. Matriz Quadrada:
número de linhas = números de colunas
Matrizes Classificação
Matriz Retangular :
número de linhas é diferente do
números de colunas
 
0
2
1
4 







 
0
4
1
2
MATRIZ QUADRADA (An)










33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
DIAGONAL
PRINCIPAL
i = j
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
i + j = n + 1

8. 4 5
0 3
8 -4 3 2
0 1 5 4
0 0 6 3
0 0 0 2
SÃO MATRIZES
TRIANGULARES
SUPERIORES.
Matrizes Classificação
8 0 0
5 1 0
3 2 7
8 0 0 0 0
3 1 0 0 0
4 1 6 0 0
7 5 9 2 0
4 7 3 2 4
SÃO MATRIZES
TRIANGULARES
INFERIORES.

9. MATRIZES DIAGONAIS.
4 0 0
0 1 0
0 0 3
6 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5 0
0 0 0 2
Matrizes Classificação
MATRIZ IDENTIDADE (In)










1
0
0
0
1
0
0
0
1
DIAGONAL
PRINCIPAL
IGUAL A UM
DEMAIS ELEMENTOS
IGUAIS A ZERO
I3 =

10. Matriz Nula
Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a
zero.







0
0
0
0
0
0
0
Matrizes Classificação

11. TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de
ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas.
Representa-se por At








0
4
9
1
3
2
A2x3 =
At
3x2 =










0
1
4
3
9
2 









0
8
5
8
1
3
5
3
2
A =
SIMÉTRICA
A = At










0
8
-
5
8
0
3
-
5
-
3
0
A =
ANTI SIMÉTRICA
A = - At
Matrizes Classificação

12. Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At . Assim, se a matriz
A=
2 −1 2𝑦
2𝑥 + 3 0 𝑧 − 1
4 3 2
é simétrica, então x é igual a:
a) – 2
b) – 1
c) 1
d) 3
e) 5
Matrizes Classificação

13. ( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
Matrizes Igualdade de Duas Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus
elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo
mx n, temos:
A = B <=> aij=bij

14. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
Matrizes Classificação

15. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
Matrizes Classificação

16. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
Matrizes Classificação

17. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
Matrizes Classificação

18. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
Matrizes Classificação

19. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
Matrizes Classificação

20. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
Matrizes Classificação

21. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
Matrizes Classificação

22. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
𝑧 = 7
Matrizes Classificação

23. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
𝑧 = 7
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎:
Matrizes Classificação

24. Matrizes
( UFSC ) Dadas as matrizes: 𝐴 =
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
e 𝐵 =
𝑥 0
12 4
−1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
2𝑥 + 1 −3𝑦 −1
0 4 𝑥 + 𝑧
=
𝑥 12 −1
0 4 6
2𝑥 + 1 = 𝑥
𝑥 = −1
−3𝑦 = 12
𝑦 = −4
−1 + 𝑧 = 6
𝑧 = 7
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎:
𝑥. 𝑦. 𝑧 = 28
Matrizes Classificação

25. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO


















1
2
4
0
1
6
8
4
2
1
2
3









9
2
6
1
3
9
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
 Comutativa: A + B = B + A
 (A + B)t = At + Bt
MULTIPLICAÇÃO DE UM
NÚMERO POR UMA MATRIZ
–2 1
3 2
M =
3.M =
3.2
3.3
3.1
3.–2
=
–6 3
9 6
3.M
Matrizes Operações com Matrizes

26. ( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
Matrizes Operações com Matrizes

27. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
Matrizes Operações com Matrizes

28. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
Matrizes Operações com Matrizes

29. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
Matrizes Operações com Matrizes

30. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
Matrizes Operações com Matrizes

31. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 = 4
Matrizes Operações com Matrizes

32. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
Matrizes Operações com Matrizes

33. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8
Matrizes Operações com Matrizes

34. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
Matrizes Operações com Matrizes

35. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
𝑋 =
2 3
4 6
Matrizes Operações com Matrizes

36. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
𝑋 =
2 3
4 6
Matrizes Operações com Matrizes

37. Matrizes
( UDESC – SC ) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
X + Y =
3 4
2 1
e X – Y =
1 2
6 11
.
Logo a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é:
a) 14
b) 7
c) 9
d) 16
e) 8
𝑋 + 𝑌 =
3 4
2 1
𝑋 − 𝑌 =
1 2
6 11
2𝑋 =
4 6
8 12
𝑋 =
2 3
4 6 Soma: 8
Matrizes Operações com Matrizes

38. Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes

39. Matrizes Operações com Matrizes
PRODUTO DE MATRIZES
Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente
A.B  B.A .

40. –3 1 0
2 4 –2
–1 2
3 5
–2 6
B =
A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6








Matrizes Operações com Matrizes
Exemplo

41. Matrizes Operações com Matrizes
Exemplo –3 1 0
2 4 –2
–1 2
3 5
–2 6
B =
A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6








2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6







 

12
14
1
6
A.B

42. Matrizes Operações com Matrizes
( UEL-PR ) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3x5, então é
verdade que:
a) p = 5 e q = 5
b) p = 4 e q = 5
c) p = 3 e q = 5
d) p = 3 e q = 4
e) p = 3 e q = 3

43. Matrizes
(PUC – PR) O elemento c22 da matriz C = A.B, onde
𝐴 =
1 2 3 4
5 6 7 8
−1 0 0 1
𝑒 𝐵 =
7 1 2
8 1 1
5 0 0
4 0 1
, é:
a) 0
b) 2
c) 6
d) 11
e) 22
Matrizes Operações com Matrizes

44. Matrizes Operações com Matrizes
( UEPG) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente.
Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto.
01. n.r = m.p
02. m = r + 1
04. p = 2m
08. n = r
16. n + r = p + m
GABARITO: 18

45. MATRIZES QUADRADAS
A.I = I.A = A
A2 = A.A
𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
𝑘𝐴 𝑡 = 𝑘𝐴𝑡 𝐴𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡.
MATRIZ TRANSPOSTA
𝐴 + 𝐵 2 ≠ 𝐴2 + 2AB + 𝐵2
𝐴 + 𝐵 2 = 𝐴2 + AB + BA + 𝐵2
𝐴 − 𝐵 2 ≠ 𝐴2 − 2AB + 𝐵2
𝐴 − 𝐵 2
= 𝐴2
− AB − BA + 𝐵2
A + B A − B ≠ 𝐴2 − 𝐵2
A + B A − B = 𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵2

46. Matrizes Operações com Matrizes
Exemplo: Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j2 - i2.
a) Escreva M na forma matricial.
b) Sendo Mt a matriz transposta de M, calcule o produto M.Mt.

47. Matrizes Operações com Matrizes
Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes
quantidades de três nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como
indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar os quatro tipos de ração
para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá
os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de
rações?
a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg.
A B C D percentuais de
mistura
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3
210
340
145
370
520
225
450
305
190
290
485
260
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
35%
25%
30%
10%
Matrizes Operações com Matrizes

48. Matrizes Operações com Matrizes
Sendo e a matriz na equação
será:
a) .
b) .
c) .
d) .
1 1
A
0 1
 
  
 







10
140
B
x
X
y
 
  
 
B
X
A 
.
13
5
5
 
 
 
0
10
 
 
 
10
5
 
 
 
10
10
 
 
 

49. Matrizes
(PUC – RS) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que
os alunos resolvessem a seguinte questão:
Se 𝐴 =
1 2
3 4
, então 𝐴2 é igual a
a)
1 3
2 4
b)
1 4
9 16
c)
7 10
15 22
d)
5 11
11 25
e)
5 5
25 25
Matrizes Operações com Matrizes

50. Matrizes
( UFSC ) Dada a equação matricial determine O valor da expressão 5x + 4y + z é:
4 2
1 3 0
4 2
3
1
4
2
3
x
y
z x
y






















 











Matrizes Operações com Matrizes