Este documento discute funções exponenciais e seu gráfico utilizando o software Winplot. Ele apresenta exemplos de funções exponenciais como f(x)=2x e f(x)=(1/2)x e observa que a primeira é crescente e a segunda é decrescente. O documento também explora propriedades e atividades práticas com o Winplot, incluindo o estudo de populações que variam exponencialmente no tempo.

1. Explorando as Funções
Exponenciais com o auxílio do
Winplot
Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Heitor Carvalho – 68117
Lucas Silveira - 68112
Matheus Brasiel – 68101
Mayara Permanhane - 68204

2. • Links para baixar o Winplot:
• http://www.winportal.com.br/winplot
Qualquer dúvida, consultem o seguinte arquivo:
http://math.exeter.edu/rparris/peanut/Explorando%20W
http://pibid.mat.ufrgs.br/2009-
2010/arquivos_publicacoes1/indicacoes_01/aplicacoes_win
plot_PIBID_bahia1.pdfinplot%20-%20Vol%201.pdf

3. Função Exponencial
Suponha que atualmente a dívida de
certo município seja de 1 milhão de
dólares e que, a partir de hoje, a cada
década, a dívida dobre em relação ao
valor devido na década anterior. Dessa
forma, podemos construir a tabela ao
lado, na qual o tempo zero indica o
momento atual.

4. TEMPO (EM
DÉCADAS)
DÍVIDA (EM
MILHÕES DE
DÓLARES)
0 1
1 2
3 8
4 16
5 32
X Y

5. Função Exponencial
Note que, na segunda coluna, os valores
são potências de 2, ou seja, 20, 21, 22,
23, 24, 25,...
Assim, para cada tempo x, em décadas,
a dívida y, em milhões de dólares, pode
ser expressa pela função: y = 2x.

6. Função Exponencial
Neste item, vamos estudar funções
como a desse exemplo, isto é, funções
do tipo y = ax, em que a é uma
constante real positiva e diferente de
1.

7. Definição
Chama-se de função exponencial toda
função f: R→R*
+, tal que f(x) = ax, com
a ϵ R*
+ e a ≠ 1.

8. Exemplos

9. Função 2x no Winplot
1. Abra o programa Winplot no seu
computador.
2. Clique em “Janela” e, em seguida, “2-
dim”.
3. Nesta nova janela, clique em “Equação”
e em “Explícita”.
4. Na janela, digite em f(x) a função: 2^x.

11. 1. Na mesma janela em que você fez o
gráfico da função f(x) = 2x, clique
em “Equação” e em “Explícita”.
2. Na janela, digite em f(x) a função:
(1/2)^x.

13. Obs.: O gráfico em vermelho representa a função
f(x) = 2x, já o gráfico em azul é referente a função
f(x) = (1/ 2)x.

14. Pergunta
O que você pôde observar nos gráficos
das funções digitadas anteriormente?

15. Possíveis respostas para
a pergunta anterior
• Os gráficos têm sentidos opostos.
• Um gráfico é crescente e o outro
decrescente.
• Os gráficos se interceptam no ponto
(0,1).
• Os gráficos não interceptam o eixo
das abscissas (eixo x).
Todas as respostas anteriores estão
corretas. A seguir discutiremos um pouco
sobre os gráficos das funções exponenciais.

16. Gráficos da Função
Exponencial
Vamos esboçar o gráfico de funções
exponenciais a partir de alguns pontos
obtidos por meio de uma tabela,
conforme os exemplos a seguir.

17. a) f(x) = 2x
Atribuindo a x os infinitos valores reais
obtemos o gráfico:
• D (f)= R
• Im (f)= R+
*
• f é crescente em
todo seu domínio

18. Atribuindo a x os infinitos valores reais
obtemos o gráfico:
• D (g)= R
• Im (g)= R+
*
• g é decrescente
em todo seu
domínio

19. Propriedades da função
exponencial
P1) Sendo a >0 e a ≠ 1, tem-se: ax = ay
se, e somente se, x = y.
P2) A função exponencial f(x)= ax é
crescente em todo seu domínio se, e
somente se, a > 1.
P3) A função exponencial f(x)= ax é
decrescente em todo seu domínio se,
e somente se, 0 < a < 1.

20. Atividade utilizando o
Winplot

21. 2) Suponha que as populações de dois vilarejos
ribeirinhos, A e B, situados ao longo das fronteiras
de Alagoas, Bahia e Sergipe, as margens do rio São
Francisco, tenham as suas populações variando de
acordo com as funções f(t) = 2t+2 + 75 e g(t) = 2t+1 +
139, em que t é o tempo, em ano, e as expressões
f(t) e g(t) representam, respectivamente, o número
de indivíduos desses vilarejos. (Cânion do Rio São
Francisco entre os estados de Alagoas, Bahia e
Sergipe, 2011).

22. Construindo o Gráfico no
Winplot
1. Abra o programa Winplot no seu
computador.
2. Clique em “Janela” e, em seguida, “2-dim”.
3. Nesta nova janela, clique em “Equação” e em
“Explícita”.
4. Na janela, digite primeiro a função f(t).
5. Repita os passos 3 e 4 para desenhar o
gráfico de g(t).

23. Utilize o Winplot para auxiliar nestas
atividades.
a) Determine o ponto (a,b), tal que
este ponto é a interseção dos gráficos das
funções f e g.
Dica: utilize o gráfico construído no Winplot.
b) Daqui quantos anos os dois vilarejos terão
o mesmo número de indivíduos?
c) Daqui a sete anos, qual será o número de
indivíduos do vilarejo A?

24. Agora você é o professor!
Crie um exercício envolvendo função
exponencial utilizando o software
Winplot e envie para um colega tentar
solucioná-lo.

25. Atividade envolvendo função
quadrática e exponencial
1. Construa o gráfico das funções:
a) f(x) = x2 + 2x – 1
g(x) = 2x + 1
b) Encontre as raízes de f e g.
c) Existem interseção entre as funções?
d) Em que intervalo f admite valores
menores que g?
Muito obrigado!!!!!