1. O documento discute equações modulares, definindo módulo e propriedades, e apresentando métodos para resolver equações do tipo |ax + b| = c e |f(x)| = c. 2. As equações modulares podem ser reduzidas a equações sem módulo usando propriedades do módulo, e então resolvidas algebraicamente ou geometricamente. 3. O método de intervalos pode ser usado para resolver equações mais complexas do tipo |f(x)| ± |g(x)| = h(x), dividindo o domínio

1. Equações Modulares
1 Definição e significado geométrico do mó-
dulo
|u| =
(
u se u ≥ 0
−u se u < 0
• |a| representa a distância do ponto a até a origem das coordenadas;
• |a−b| representa a distância entre os pontos a e b. Exemplo: se a = −1
e b = 3 então |a − b| = |(−1) − (3)| = | − 4| = 4.
Para quaisquer números a, b ∈ R são válidas as seguintes propriedades
básicas:
1. |a| ≥ 0 e |a| = 0 se e somente se a = 0;
2. |a + b| ≤ |a| + |b|;
3. |a − b| ≥ ||a| − |b||;
4. |ab| = |a||b|;
5. |a
b
| = |a|
|b|
, b 6= 0.
1

2. 2 Equação modular elementar
• |x| = c, onde c é uma constante dada;
• Solução analítica:
– Caso c > 0: essa equação tem duas soluções x = ±c. Realmente,
se x ≥ 0, então a equação |x| = c equivale a x = c e essa é a
solução da equação original uma vez que c > 0. Se x < 0, então
a equação |x| = c se torna −x = c ou x = −c que é a segunda
solução da equação modular, porque −c < 0.
– Caso c = 0: a única solução é x = 0.
– Caso c < 0: não há soluções, uma vez que |x| é uma grandeza não
negativa pela definição.
• Interpretação geométrica: Como ele representa a distância do ponto x
até a origem das coordenadas, então, resolver a equação significa en-
contrar todos os pontos na reta coordenada cuja distância até a origem
é igual a c.
– Caso c > 0: temos dois pontos que distanciam c unidades da
origem: um a direita e outro a esquerda da origem. O primeiro
tem coordenada c e o segundo −c, ou seja a solução é x = ±c.
– Caso c = 0: o ponto procurado coincide com a origem, isto é,
x = 0.
– Caso c < 0: não há soluções, porque a distância é uma grandeza
não negativa.
2

3. 3 Solução de equações modulares |ax + b| = c
• |ax + b| = c, onde a 6= 0, b, c são constantes dadas (parâmetros da
equação)
• Solução analítica
– Caso c = 0: a solução é ax + b = 0, isto é, x = −b
a
– Caso c < 0: obviamente não há solução
– Caso c > 0: usando o método analítico, chamamos t = ax + b,
|t| = c tem duas soluções t = ±c. Assim, ax + b = ±c o que leva
às duas soluções x = −b±c
a
. Ou seja, a solução de |ax + b| = c se
reduz a duas esquações lineares ax + b = ±c.
• Solução geométrica
– Podemos reescrever a equação na forma |x + b
a
| = c
|a|
. Como
|x − d| representa, geometricamente, a distância de x até d, então
temos que encontrar todos os pontos cuja distância até o ponto
d = −b
a
é igual a c
|a|
. Obviamente temos dois tais pontos: um fica
a direita de d e outro a esquerda (ambos na distância c
|a|
de d). A
coordenada do primeiro é d + c
|a|
e do segundo d − c
|a|
– as soluções da equação são x = d ± c
|a|
= −b
a
± c
|a|
– O tratamento analítico pode ser estendido a um grupo bem amplo
de equações modulares, enquanto o geométrico é bem limitado e se
usa normalmente só nos casos mais simples de equações |ax+b| = c
3

4. EXEMPLOS
1. Resolver a equação modular |x| = 2020.
Essa é a equação elementar e sua solução (da investigação geral de
equações elementares ou direto da definição do módulo) é x = ±2020.
2. Resolver a equação modular |2x − 1| = 5.
Essa equação modular equivale às duas equações lineares: 2x−1 = ±5.
Resolvendo essas duas equações, obtemos as duas soluções correspon-
dentes x = 1±5
2
, ou seja, x1 = 3 e x2 = −2. Essas são as duas soluções
da equação modular.
4 Solução de equações modulares |f(x)| = c
.
A equação |f(x)| = c equivale às duas equações sem o módulo: f(x) = ±c.
EXEMPLOS
1. Resolver a equação modular |x2
− 9| = 5.
Essa equação é reduzida às duas equações quadráticas x2
− 9 = ±5, ou
seja, x2
= 4 e x2
= 14. A primeira tem duas raizes x = ±2 e a segunda
– mais duas raizes x = ±
√
14. Assim, a equação original tem quatro
raizes: x = ±2 e x = ±
√
14.
2. Resolver a equação modular |x2
− 4x + 6| = 3.
Essa equação é reduzida às duas equações quadráticas x2
−4x+6 = ±3,
ou seja, x2
− 4x + 3 = 0 e x2
− 4x + 9 = 0. A primeira tem duas raizes
x = 1; 3 e a segunda – não tem raizes, uma vez que o seu discriminante
é negativo. Assim, a equação original tem duas raizes: x = 1; 3.
3. Resolver a equação modular

7. x−1
x+2