Aula 9 do Profmat da UERJ - Os Teoremas de Euler e Wilson - 27 10-17

1. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Aritm´etica - MA14
AULA 9 - OS TEOREMAS DE EULER E WILSON
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
27 de Outubro 2017
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2. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sum´ario
1 Teorema de Euler
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
2 Teorema de Wilson
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3. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Sum´ario
1 Teorema de Euler
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
2 Teorema de Wilson
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4. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Sistema completo de res´ıduos m´odulo m
Sistema completo de res´ıduos m´odulo m.
´E todo conjunto de n´umeros inteiros cujos restos pela divis˜ao por m
s˜ao os n´umeros 0, 1, ..., m − 1 sem repeti¸c˜oes e numa ordem qualquer.
Esse sistema completo de res´ıduos possui m elementos.
OBS: Em particular, um conjunto formado por m inteiros consecutivos
forma um sistema completo de res´ıduos m´odulo m.
Exemplo: Seja m = 12. Ent˜ao, por exemplo, os seguintes conjuntos
representam sistemas completos de res´ıduos m´odulo 12.
A = {a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 4, a6 = 5, a7 = 6, a8 = 7, a9 =
8, a10 = 9, a11 = 10, a12 = 11} e
B = {b1 = 13, b2 = 14, b3 = 15, , b4 = 16, b5 = 17, b6 = 18, b7 =
19, b8 = 20, b9 = 21, b10 = 22, b11 = 23, b12 = 24} .
A e B s˜ao dois sistemas completos de res´ıduos m´odulo 12,
pois seus restos na divis˜ao por 12 s˜ao, respectivamente,
0,1,2,..., 11 em qualquer ordem e sem repeti¸c˜ao.
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5. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m
Sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m.
´E um conjunto de n´umeros inteiros r1, r2, ...rs que s˜ao elementos do
sistema completo de res´ıduos m´odulo m, mas que devem satisfazer:
(a) (ri , m) = 1, ∀i = 1, .., s;
ou seja, ri e m s˜ao primos entre si, ∀i = 1, .., s; O 0 nunca faz parte!
(b) ri ≡ rj mod m, se i = j;
ou seja, ri n˜ao pode ser congruente com nenhum rj
(c) Para cada n ∈ Z, (n, m) = 1, existe i tal que n ≡ ri mod m
Exemplo: Seja m = 12. Ent˜ao, A e B tais que
A = {r1 = 1, r2 = 5, r3 = 7, r4 = 11} e B = {r1 = 13, r2 = 17, r3 = 19,
r4 = 23} representam sistemas reduzidos de res´ıduos m´odulo 12.
Note que A = {r1 = 1, r2 = 5, r3 = 7, r4 = 11, r5 = 13} serviria pelo
item (a) - primos entre si com 12. Mas por (b) n˜ao, pois temos que
r1 ≡ r5 mod 12 e como 1 = 5, ent˜ao n˜ao valeria o item (b).
Para ilustrar o item (c), tome n=31. (31,12)=1. 31 ≡ 7 mod 12.
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6. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler
Fun¸c˜ao fi de Euler
ϕ(m) ´e o n´umero de elementos de um sistema reduzido de
res´ıduos m´odulo m > 1(m ≥ 2), que corresponde `a quantidade de
n´umeros naturais entre 0 e m − 1 que s˜ao primos com m.
Pondo ϕ(1) = 1, isso define uma importante fun¸c˜ao
ϕ : N −→ N,
chamada de fun¸c˜ao fi de Euler.
OBS:
• Pela defini¸c˜ao, ϕ(m) ≤ m − 1, ∀m ≥ 2;
• Se m ≥ 2, ent˜ao ϕ(m) = m − 1 se e
somente se, m ´e um n´umero primo.
De fato, ϕ(7) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = m − 1 = 7 − 1 = 6.
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7. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler
Ser´a importante para demonstra¸c˜oes futuras analisar a congruˆencia
aX ≡ 1 mod m e verificar se existe solu¸c˜ao inteira.
aX ≡ 1 mod m tem solu¸c˜ao inteira?
x0 ´e solu¸c˜ao ↔ m|(ax0 − 1) ↔ aX − mY = 1 tem solu¸c˜ao inteira
↔ (a, m) = 1. Da´ı, ax0 ≡ 1 mod m se (a, m) = 1.
Por outro lado, se x1 ´e outra solu¸c˜ao, ent˜ao ax1 ≡ 1 mod m. Logo,
ax1 ≡ ax0 mod m. Como (a, m) = 1, pode-se fazer o cancelamento
e a´ı temos que x1 ≡ x0 mod m.
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8. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler
Essa an´alise da solu¸c˜ao da congruˆencia aX ≡ 1 mod m pode ser
sintetizada na proposi¸c˜ao a seguir.
Proposi¸c˜ao 10.1
Sejam a, m ∈ Z, com m > 1. A congruˆencia aX ≡ 1 mod m possui
solu¸c˜ao inteira se e somente se, (a, m) = 1. Al´em disso, se x0 ∈ Z
´e uma solu¸c˜ao, ent˜ao x tamb´em ser´a uma solu¸c˜ao da congruˆencia
se e somente se x ≡ x0 mod m .
OBS: Uma solu¸c˜ao da congruˆencia aX ≡ 1 mod m determina e ´e
determinada por qualquer outra solu¸c˜ao.
OBS: Considerando que duas solu¸c˜oes congruentes m´odulo m s˜ao
as mesmas, temos a unicidade da solu¸c˜ao m´odulo m da congruˆencia.
Exemplo:
A congruˆencia 7X ≡ 1 mod 8 tem x0 = 7 como solu¸c˜ao (8|(7 · 7) − 1) e
as demais solu¸c˜oes inteiras s˜ao: x ≡ 7 mod 8,
isto ´e, x = 7 + 8t, t ∈ Z. x ≡ 7 mod 8 ´e solu¸c˜ao ´unica mod 8. 8 / 32

9. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler
Esta proposi¸c˜ao vai auxiliar na demonstra¸c˜ao do Teorema de Euler.
Proposi¸c˜ao 10.4
Seja r1, r2, ..., rϕ(m) um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m e seja
a ∈ Z tal que (a, m) = 1. Ent˜ao, ar1, ar2, ..., arϕ(m) ´e um sistema
reduzido de res´ıduos m´odulo m.
Demonstra¸c˜ao:
POR ABSURDO:
Suponha que os elementos do conjunto ar1, ar2, ..., arϕ(m) n˜ao seja um
sistema reduzido de res´ıduos, ou seja, que pelo menos dois desses
elementos possuem o mesmo resto na divis˜ao por m. Ent˜ao,
ari ≡ arj mod m. Como (a, m) = 1, podemos cancelar a. Assim:
ri ≡ rj mod m, mas isso s´o ´e poss´ıvel se i = j.
Outra ideia: De fato, sendo r1, r2, ..., rϕ(m) um sistema reduzido de
res´ıduos m´odulo m, ent˜ao para cada ri , ∀i = 1, ..., ϕ, tem-se (ri , m) = 1.
Como (a, m) = 1, a ∈ Z, para cada produto obtido ari , ∀i = 1, ..., ϕ,
tem-se tamb´em que (ari , m) = 1. Logo ar1, ar2, ..., arϕ(m) ´e um sistema
reduzido de res´ıduos m´odulo m.
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10. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler
Teorema de Euler: Sejam a, m ∈ Z, m > 1, (a, m) = 1. Ent˜ao,
aϕ(m)
≡ 1 mod m.
Demonstra¸c˜ao:
Seja r1, r2, ..., rϕ(m) um sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m. Logo,
pela Proposi¸c˜ao 10.4, ar1, ar2, ..., arϕ(m) formam um sistema reduzido de
res´ıduos m´odulo m. Cada elemento de um sistema reduzido de res´ıduos
m´odulo m ´e congruente com um e apenas um elemento de um outro
sistema reduzido de res´ıduos m´odulo m, j´a que os elementos rj desse
sistema s˜ao todos diferentes entre si. Logo:
ar1 · ar2 · ... · arϕ(m) ≡ r1, r2, ..., rϕ(m) mod m.
Colocando a em evidˆencia, tem-se:
aϕ(m)
r1 · r2 · ... · rϕ(m) ≡ r1 · r2 · ... · rϕ(m) mod m.
Como (r1, r2, ..., rϕ(m), m) = 1, pode-se fazer o cancelamento:
aϕ(m)
≡ 1 mod m.
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11. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler
Pequeno Teorema de Fermat
Sejam a ∈ Z e p um n´umero primo tais que (a, p) = 1. Tem-se
que:
ap−1
≡ 1 mod p.
Demonstra¸c˜ao:
Sendo p primo, temos que ϕ(p) = p − 1. Logo, o resultado ´e
consequˆencia imediata do Teorema de Euler, pois:
ap−1
= aϕ(p)
≡ 1 mod p.
Outra vers˜ao do Pequeno Teorema de Fermat
Como (a, p) = 1, pode-se multiplicar a congruˆencia
ap−1 ≡ 1 mod p por p. Assim, obtemos:
ap
≡ p mod p, ∀a ∈ Z.
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12. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Calculando ϕ(m)
Para aplicar o Teorema de Euler, ´e necess´ario saber calcular ϕ(m). A seguir
algumas propriedades que s˜ao importantes nesse c´alculo.
Proposi¸c˜ao 10.9:
Sejam m, m ∈ N, (m, m ) = 1. Ent˜ao,
ϕ(mm ) = ϕ(m)ϕ(m ),
ou seja, ϕ(m) ´e uma fun¸c˜ao multiplicativa desde que os fatores
envolvidos sejam primos entre si.
Proposi¸c˜ao 10.11:
Se p ´e um n´umero primo e r um n´umero natural, ent˜ao tem-se que:
ϕ(pr
) = pr
− pr−1
= pr
1 −
1
p
.
ϕ(pr
) s˜ao os n´umeros de 1 a pr
que n˜ao s˜ao primos com pr
. Como p ´e
primo, temos que retirar de pr
os m´ultiplos de p, ou seja, p, 2p, ..., pr−1
p.
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13. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Calculando ϕ(m)
Teorema 10.12:
Seja m > 1 e seja m = pα1
1 · pα2
2 · · · pαn
n a decomposi¸c˜ao de m em
fatores primos. Ent˜ao:
ϕ(m) = pα1
1 · pα2
2 · · · pαn
n 1 −
1
p1
· 1 −
1
p2
· · · 1 −
1
pn
.
OBS: Esse teorema pode ser reescrito como:
ϕ(m = pα1
1 · pα2
2 · · · pαn
n ) = pα1−1
1 · · · pαn−1
n (p1 − 1) · · · (pn − 1).
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14. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - aplica¸c˜ao
Para calcular o resto da divis˜ao de uma potˆencia an por um n´umero
natural m > 1, ´e conveniente achar um expoente h ∈ N de modo
que ah ≡ 1 mod m, pois, se n = hp + r ´e a divis˜ao euclidiana de n
por h, teremos:
Determina¸c˜ao do resto de uma divis˜ao de uma potˆencia an por um
n´umero natural m.
an
= ahp+r
= ahp
ar
ah
≡ 1 mod m
(ah
)p
= ahp
≡ 1 mod m
ahp
ar
≡ 1 · ar
mod m
an
≡ ar
mod m
Portanto, o resto da divis˜ao de an por m ´e ar .
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15. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - aplica¸c˜ao
OBS: Nem sempre ´e poss´ıvel achar um n´umero natural h tal que
ah ≡ 1 mod m. Isso s´o ocorre quando (a, m) = 1.
Proposi¸c˜ao 10.14
Sejam dados a, m ∈ Z, m ≥ 2. Existe h ∈ Z tal que ah ≡ 1 mod m
se e somente se, (a, m) = 1.
Demonstra¸c˜ao:
IDA:
Suponha ah ≡ 1 mod m. Se h = 1, ent˜ao a ≡ 1 mod m. Logo
existe k tal que m|a − 1, ou seja, mk = a − 1, ou ainda,
a − mk = 1. Pela Proposi¸c˜ao 5.10, (a, m) = 1. Se h > 1, podemos
reescrever ah ≡ 1 mod m como: ah = aah−1 = aX ≡ 1 mod m.
Assim, x = ah−1 ´e uma solu¸c˜ao e pela proposi¸c˜ao 10.1, (a, m) = 1.
Volta:
Se (a, m) = 1, temos pelo Teorema de Euler, aϕ(m) ≡ 1 mod m,
mostrando que existe um expoente h = ϕ(m) desejado.
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16. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo 10.13: Achar o resto da divis˜ao de 3100 por 34.
Pelo Teorema de Euler, aϕ(m) ≡ 1 mod m. Logo,
3ϕ(34) ≡ 1 mod 34. Ent˜ao:
ϕ(34) = ϕ(2.17) = 21−1171−1(2 − 1)(17 − 1) = 16.
Assim, 316 ≡ 1 mod 34. Logo, como 100 = 16 · 6 + 4, temos:
3100 = 316·6+4 = (316)6 · 34.
(316)6 ≡ 1 mod 34
(316)6 · 34 ≡ 1 · 34 ≡ 13 mod 34.
Logo, o resto da divis˜ao de 3100 por 34 ´e 13.
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17. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo a): Achar o resto da divis˜ao de 32014 por 28.
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18. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo a): Achar o resto da divis˜ao de 32014 por 28.
Pelo Teorema de Euler, aϕ(m) ≡ 1 mod m. Logo,
3ϕ(28) ≡ 1 mod 28. Ent˜ao:
ϕ(28) = ϕ(22.7) = 22−171−1(2 − 1)(7 − 1) = 12.
Assim, 312 ≡ 1 mod 28. Logo, como 2014 = 12 · 167 + 10, temos:
32014 = 312·167+10 = (312)167 · 310.
(312)167 ≡ 1 mod 28
(312)167 · 310 ≡ 1 · 310 ≡ −3 ≡ 25 mod 28.
Logo, o resto da divis˜ao de 32014 por 28 ´e 25.
Outra forma, sem usar o teorema: Partir de uma congruˆencia
qualquer com o 1. Por exemplo:
36 ≡ 1 mod 28
2014=6x335+4. Logo:
(36)335 · 34 ≡ 34 ≡ 25 mod 28
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19. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo b): Determinar os poss´ıveis restos da divis˜ao de a100 por
125.
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20. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo b): Determinar os poss´ıveis restos da divis˜ao de a100
por 125.
Pelo Teorema de Euler, aϕ(m)
≡ 1 mod m, se (a, 125) = 1.
Tem-se que aϕ(125)
≡ 1 mod 125, se (a, 125) = 1. Ent˜ao:
ϕ(125) = ϕ(53
) = 53−1
(5 − 1) = 100.
Existem dois casos a considerar:
Se (a, 125) = 1, ent˜ao por Euler,
a100
≡ 1 mod 125. E o resto da divis˜ao seria 1.
Se (a, 125) = 1, ent˜ao 5|a, pois 125 s´o tem fator 5. Logo, a = 5k
· b e
(5, b) = 1.
Da´ı, a100
= 5100k
· b100
e como (5, b) = 1, ent˜ao (125,b)=1. Por Euler:
b100
≡ 1 mod 125.
b100
· 5100k
≡ 1 · 5100k
mod 125.
Mas 5100
= 53
597
e 53
≡ 0 mod 125. Logo, 5100k
≡ 0 mod 125 e da´ı
a100
= 5100k
b100
≡ 0 mod 125. E o resto da divis˜ao seria 0.
Ent˜ao os poss´ıveis restos da divis˜ao s˜ao 0 ou 1.
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21. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo c): Ache os algarismos da dezena e da unidade do n´umero
7999999
. - Exercicio 9.8
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22. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo c): Ache os algarismos da dezena e da unidade do n´umero
7999999
. - Exercicio 9.8
´E o mesmo que achar o resto da divis˜ao de 999999 por 100. Ent˜ao
vamos analisar a congruˆencia de 999999 m´odulo 100.
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23. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo c): Ache os algarismos da dezena e da unidade do n´umero
7999999
. - Exercicio 9.8
´E o mesmo que achar o resto da divis˜ao de 999999 por 100. Ent˜ao
vamos analisar a congruˆencia de 999999 m´odulo 100.
Solu¸c˜ao: Encontrar uma congruˆencia 7 elevado a algo m´odulo 100
cˆongruo com 1.
74
≡ 1 mod 100.
999999 = 4 · 249999 + 3. Ent˜ao:
(74
)249999
· 73
≡ 1 · 73
≡ 43 mod 100.
Logo os dois ´ultimos d´ıgitos s˜ao 43.
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24. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo d): Ache os 3 ´ultimos d´ıgitos de 79999
.
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25. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo d): Ache os 3 ´ultimos d´ıgitos de 79999
.
´E o mesmo que achar o resto da divis˜ao de 9999 por 1000. Ent˜ao vamos
analisar a congruˆencia de 9999 m´odulo 1000.
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26. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
Teorema de Euler - exemplos
Exemplo d): Ache os 3 ´ultimos d´ıgitos de 79999
.
´E o mesmo que achar o resto da divis˜ao de 9999 por 1000. Ent˜ao vamos
analisar a congruˆencia de 9999 m´odulo 1000.
Pelo Teorema de Euler, aϕ(m)
≡ 1 mod m. Logo, 7ϕ(1000)
≡ 1 mod 1000.
Ent˜ao:
ϕ(1000) = ϕ(23
.53
) = 23−1
53−1
(2 − 1)(5 − 1) = 400.
Assim, 7400
≡ 1 mod 1000. Temos que 9999=10.000-1. Se fosse elevado
a 10.000, seria f´acil, pois 10.000 = 25 · 400.Vamos fazer como se fosse
10.000.
(7400
)25
= 710.000
≡ 1 mod 1000. Mas n˜ao podemos dividir 1 por 7 para
chegar no 9999. Entretanto, temos que:
1001 = 7 · 143 ≡ 1 mod 1000. Da´ı, como (7, 1000) = 1:
79999
· 7 ≡ 7 · 143 mod 1000 ↔ 79999
≡ 143 mod 1000.
Logo os ´ultimos 3 d´ıgitos s˜ao 143.
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27. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Sum´ario
1 Teorema de Euler
Sistemas completos e reduzidos de res´ıduos m´odulo m
Fun¸c˜ao ϕ de Euler
2 Teorema de Wilson
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28. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Se p ´e um n´umero primo, ent˜ao
(p − 1)! ≡ −1 mod p
ou equivalentemente
p|(p − 1)! + 1
.
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29. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Se p ´e um n´umero primo, ent˜ao
(p − 1)! ≡ −1 mod p ou p|(p − 1)! + 1.
Demonstra¸c˜ao:
Vamos lembrar da Proposi¸c˜ao 10.1: aX ≡ 1 mod m possui solu¸c˜ao
inteira ´unica m´odulo m se e somente se, (a, m) = 1.
Temos que (p − 1)! = 1 · 2 · · · (p − 1)!. Cada fator desse fatorial ´e primo
com p, pois n˜ao tem fator p. Logo, podemos aplicar a Proposi¸c˜ao 10.1.
Ao colocar cada um desses fatores no lugar de ”a”, encontramos uma
solu¸c˜ao ´unica m´odulo m para X. E cada uma dessas solu¸c˜oes ´unicas xj
pertencem ao conjunto {1, 2, ..., p − 1}, pois outros valores seriam
congruentes m´odulo m a esses valores. Ent˜ao, cada ”a”pode ser agrupado
com seu par xj (a = xj ) de modo que axj ≡ 1 mod p. Falta analisar o
caso em que a = xj . Se isso ocorrer, teremos aa = a2
≡ 1 mod p. Nesse
caso, p|(a2
− 1) = (a − 1)(a + 1). Como p ´e primo, ou p|(a − 1), isto ´e,
a − 1 = 0, a = 1 ou p|(a + 1), isto ´e, a + 1 = p, a = p − 1. Logo o par de
p − 1 ´e ele mesmo. Assim, temos que 2.3...(p − 2) ≡ 1 mod p. Da´ı,
2.3...(p − 2)(p − 1) = (p − 1)! ≡ p − 1 ≡ −1 mod p . 29 / 32

30. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Rec´ıproca do Teorema de Wilson - crit´erio de primalidade N˜AO
eficiente.
Seja p ≥ 2 um n´umero inteiro. Se (p − 1)! ≡ −1 mod p, ent˜ao p ´e
um n´umero primo.
OBS: N˜ao ´e eficiente pois ´e trabalhoso. Imagine verificar se 83 ´e
primo calculando (83 − 1)! + 1 e verificando se esse valor ´e divis´ıvel
por 83.
Generaliza¸c˜ao do Teorema de Wilson:
Teorema 10.25
Sejam p um n´umero primo e m, n ∈ N ∪ {0} tais que
m + n = p − 1. Tem-se que
m!n! ≡ (−1)n+1
mod p
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31. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Teorema de Wilson
Exemplo 10.24
Se p ´e um n´umero primo ´ımpar, ent˜ao
p|2p−1
+ (p − 1)!
Solu¸c˜ao:
Sendo p primo ´ımpar, pelo Pequeno Teorema de Fermat se
p |a, p|(ap−1 − 1). Temos que p|2p−1 − 1. J´a pelo Teorema de
Wilson, p|(p − 1)! + 1. Logo, pelas propriedades da divisibilidade,
p|2p−1 − 1 + (p − 1!) + 1 = 2p−1 + (p − 1)!.
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32. Teorema de Euler
Teorema de Wilson
Teorema de Wilson - Exerc´ıcios:
10.14:
a) p|(p − 2)! − 1
b)p|(p − 3)! − (p−1)
2
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