1. O documento apresenta conceitos básicos de aritmética dos restos, incluindo definições de congruência módulo m e exemplos ilustrativos. 2. Propriedades como compatibilidade da congruência com adição e multiplicação são demonstradas. 3. O Pequeno Teorema de Fermat é relacionado à noção de congruência.

1. Aritm´etica dos restos
Aritm´etica - MA14
AULA 8 - CONGRUˆENCIAS
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
20 de Outubro 2017
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2. Aritm´etica dos restos
Sum´ario
1 Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
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3. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Sum´ario
1 Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
3 / 24

4. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Aqui ser˜ao tratados assuntos relativos a uma aritm´etica com restos
da divis˜ao euclidiana por um n´umero fixado m.
Defini¸c˜ao: Congruˆencia m´odulo m.
Dois n´umeros a e b s˜ao congruentes m´odulo m se os restos de
sua divis˜ao euclidiana por m s˜ao iguais.
Quando os inteiros a e b s˜ao congruentes m´odulo m, escreve-se:
a ≡ b mod m
Quando a rela¸c˜ao a ≡ b mod m for falsa, ´e dito que que a e b n˜ao
s˜ao congruentes, ou que s˜ao incongruentes, m´odulo m. Escreve-se:
a ≡ b mod m
Exemplo: 21 ≡ 13 mod 2, j´a que os restos da divis˜ao
de 21 e de 13 por 2 s˜ao iguais a 1.
Exemplo: 21 ≡ 13 mod 3, j´a que o restos da divis˜ao
de 21 por 3 ´e 0 e 13 por 3 ´e 1.
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5. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Congruˆencia m´odulo 1
Dois n´umeros a e b,
a ≡ b mod 1
´e sempre verdadeiro ∀a, b ∈ Z.
Por isso, considera-se sempre m > 1
A congruˆencia, m´odulo um inteiro fixado m ´e uma rela¸c˜ao de equi-
valˆencia.
Proposi¸c˜ao 9.1: Rela¸c˜ao de equivalˆencia
Seja m ∈ N. ∀a, b, c ∈ Z, tem-se que:
(i) a ≡ a mod m,
(ii) se a ≡ b mod m ent˜ao b ≡ a mod m,
(iii) se a ≡ b mod m e b ≡ c mod m, ent˜ao a ≡ c mod m.
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6. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Para verificar a congruˆencia de dois n´umeros, n˜ao ´e necess´ario fazer
a divis˜ao de ambos por m.
Proposi¸c˜ao 9.2: outra verifica¸c˜ao da congruˆencia de dois n´umeros
Dados a, b, m ∈ Z, m > 1, tem-se que:
a ≡ b mod m se e somente se m|b − a.
Exemplo:
13 ≡ 21 mod 4, pois 4|8 = 21 − 13;
21 ≡ 8 mod 4, pois 4 | − 13 = 8 − 21.
Consequˆencias:
todo n´umero inteiro ´e congruente m´odulo m ao seu resto pela
divis˜ao euclidiana por m,
a ≡ r mod m, sendo a = mq + r
todo n´umero inteiro ´e congruente m´odulo m a um dos n´umeros
0, 1, ..., m − 1,
cada par de n´umeros dentre esses n˜ao s˜ao congruentes m´odulo m. 6 / 24

7. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Formas equivalentes que representam a ideia de uma recorrˆencia:
a ≡ b mod m
´e o mesmo que dizer que:
a e b deixam o mesmo resto na divis˜ao por m
m|b − a
b−a
m ∈ Z
b = a + k · m, ∃k ∈ Z
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8. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Sistema completo de res´ıduos m´odulo m.
´E todo conjunto de n´umeros inteiros cujos restos pela divis˜ao por
m s˜ao os n´umeros 0, 1, ..., m − 1 sem repeti¸c˜oes e numa ordem
qualquer.
Esse sistema completo de res´ıduos possui m elementos.
OBS: Em particular, um conjunto formado por m inteiros
consecutivos forma um sistema completo de res´ıduos m´odulo m.
Exemplo:
{a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2} e {b1 = 10, b2 = 11, b3 = 12} s˜ao dois
sistemas completos de res´ıduos m´odulo 3, pois seus restos na
divis˜ao por 3 s˜ao, respectivamente, 0,1,2 e 1,2,0.
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9. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
A no¸c˜ao de congruˆencia ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia compat´ıvel
com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao nos inteiros.
Proposi¸c˜ao 9.3: congruˆencias, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao
Sejam a, b, c, d, m ∈ Z, m > 1.
(i) se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, ent˜ao a + c ≡ b + d mod m,
(ii) se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, ent˜ao ac ≡ bd mod m.
Corol´ario 9.4: congruˆencias e potˆencias
Sejam a, b, m ∈ Z, m > 1, n ∈ N. Tem-se que an ≡ bn mod m.
Demonstra¸c˜ao: por indu¸c˜ao em n.
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10. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Corol´ario 9.4: congruˆencias e potˆencias
Sejam a, b, m ∈ Z, m > 1, n ∈ N. Tem-se que an ≡ bn mod m.
Demonstra¸c˜ao: por indu¸c˜ao em n.
Base: n=1
a1 ≡ b1 mod m pela hip´otese da proposi¸c˜ao.
Hip´otese de Indu¸c˜ao: supor v´alida para algum n ∈ N.
an ≡ bn mod m
Passo de indu¸c˜ao: Mostrar que ´e verdadeira para n+1.
Quero mostrar que an+1 ≡ bn+1 mod m
De fato,
an ≡ bn mod m, pela hip´otese de indu¸c˜ao
a ≡ b mod m, pela hip´otese da proposi¸c˜ao
an · a ≡ bn · b mod m, pela proposi¸c˜ao 9.3
Logo, an+1 ≡ bn+1 mod m.
Ent˜ao an ≡ bn mod m, ∀n ∈ N. 10 / 24

11. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Congruˆencia e o Pequeno Teorema de Fermat
O Pequeno Teorema de Fermat (p primo, p|(ap − a), ∀a ∈ Z )
pode ser reescrito a partir da defini¸c˜ao de congruˆencia.
Se p ´e um n´umero primo e a ∈ Z, ent˜ao
ap
≡ a mod p
Al´em disso, se p |a, ent˜ao p|(ap−1 − 1) e assim:
ap−1
≡ 1 mod p
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12. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Exemplos:
9.5: Sejam p um n´umero primo e a, b ∈ Z. Mostrar que
(a ± b)p ≡ ap ± bp mod p.
Solu¸c˜ao:
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13. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Exemplos:
9.5: Sejam p um n´umero primo e a, b ∈ Z. Mostrar que
(a ± b)p ≡ ap ± bp mod p.
Solu¸c˜ao:
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos:
(a ± b)p ≡ a ± b mod p
ap ≡ a mod p
bp ≡ b mod p
Pela proposi¸c˜ao 9.3, temos:
a ± b ≡ ap ± bp mod p
Logo, pela transitividade:
(a ± b)p ≡ ap ± bp mod p.
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14. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Exemplos:
9.6: Se a1, a2, ..., ar ∈ Z e p um n´umero primo, ent˜ao
(a1 + a2 + ... + ar )p ≡ ap
1 + ap
2 + ... + ap
r mod p.
Solu¸c˜ao: A partir do exemplo 9.5 e indu¸c˜ao sobre r.
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15. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Exemplos:
9.6: Se a1, a2, ..., ar ∈ Z e p um n´umero primo, ent˜ao
(a1 + a2 + ... + ar )p
≡ ap
1 + ap
2 + ... + ap
r mod p.
Solu¸c˜ao:
Base: r=1
ap
1 ≡ ap
1 mod p pela rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Hip´otese de Indu¸c˜ao: supor v´alida para algum r ∈ N.
(a1 + a2 + ... + ar )p
≡ ap
1 + ap
2 + ... + ap
r mod p
Passo de indu¸c˜ao: Mostrar que ´e verdadeira para r+1.
(a1 + a2 + ... + ar+1)p
≡ ap
1 + ap
2 + ... + ap
r+1 mod p
De fato, pela hip´otese de indu¸c˜ao,
(a1 + a2 + ... + ar )p
≡ ap
1 + ap
2 + ... + ap
r mod p
Pelo exemplo 9.5
(a1 + a2 + ... + ar )p
+ ap
r+1 ≡ (a1 + a2 + ... + ar + ar+1)p
mod p
Fazendo substitui¸c˜oes:
ap
1 + ap
2 + ... + ap
r + ap
r+1 ≡ (a1 + a2 + ... + ar + ar+1)p
mod p 15 / 24

16. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Proposi¸c˜ao 9.8: cancelamento da adi¸c˜ao
Sejam a, b, c, m ∈ Z, m > 1. Tem-se que:
a + c ≡ b + c mod m ↔ a ≡ b mod m
A proposi¸c˜ao acima nos diz que, para as congruˆencias, vale o can-
celamento com rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao.
Entretanto, n˜ao vale, em geral, o cancelamento para a multiplica-
¸c˜ao.
Exemplo:
6 · 9 ≡ 6 · 5 mod 8, pois 6 · 9 − 6 · 5 = 24 e 8|24.
No entanto, ao fazer o cancelamento do 6, temos que: 9 ≡ 5 mod 8,
pois 8 |4.
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17. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
´E poss´ıvel fazer o cancelamento multiplicativo em alguns casos.
Proposi¸c˜ao 9.10: cancelamento multiplicativo
Sejam a, b, c, m ∈ Z, m > 1. Tem-se que:
ac ≡ bc mod m ↔ a ≡ b mod
m
(c, m)
Corol´ario 9.11: cancelamento multiplicativo
Sejam a, b, c, m ∈ Z, m > 1 e (c, m) = 1. Tem-se que:
ac ≡ bc mod m ↔ a ≡ b mod m
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18. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Exemplo: aplica¸c˜ao do cancelamento multiplicativo
Dˆe os n´umeros inteiros tais que 7(X2 − 1) ≡ 21 mod 8.
Solu¸c˜ao:
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19. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Exemplo: aplica¸c˜ao do cancelamento multiplicativo
Dˆe os n´umeros inteiros tais que 7(X2 − 1) ≡ 21 mod 8.
Solu¸c˜ao:
Tem-se que 7(X2 − 1) ≡ 21 mod 8 ↔ 7(X2 − 1) ≡ 7 · 3 mod 8.
Pelo corol´ario anterior, (c, m) = (7, 8) = 1, ent˜ao podemos
cancelar o fator 7:
X2 − 1 ≡ 3 mod 8 ↔ X2 ≡ 4 mod 8
Vamos analisar todas as poss´ıveis congruˆencias m´odulo 8,
lembrando que se x ≡ r mod 8, ent˜ao x2 ≡ r2 mod 8.
Inteiro congruˆencia m´odulo 8
x 0 1 2 3 4 5 6 7
x2 0 1 4 1 0 1 4 1
Portanto, x ≡ 2 mod 8 ou x ≡ 6 mod 8, ou seja:
8|x − 2 ↔ 8 · k = x − 2 ↔ x = 8k + 2, k ∈ Z ou
8|x − 6 ↔ 8 · k = x − 6 ↔ x = 8k + 6, k ∈ Z.
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20. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos
Propriedades adicionais das congruˆencias relacionadas com a multi-
plica¸c˜ao que envolvem divisibilidade, mmc e mdc.
Proposi¸c˜ao 9.13: Propriedades
Sejam a, b, m, n, m1, ..., mr ∈ Z, m, n, m1, ..., mr > 1. Tem-se que:
(i) a ≡ b mod m e n|m, ent˜ao a ≡ b mod n
(ii) a ≡ b mod mi , ∀i = 1, ..., r ↔ a ≡ b mod [m1, ..., mr ]
(iii) a ≡ b mod m, ent˜ao (a, m) = (b, m).
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21. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos - Exemplos
Exemplo 9.14: Achar o menor m´ultiplo positivo de 7 que deixa
resto 1 quando dividido por 2,3,4,5 e 6.
Solu¸c˜ao: Achar a menor solu¸c˜ao positiva u do seguinte sistema de
congruˆencias:
7X ≡ 1 mod 2, mod 3, mod 4, mod 5, mod 6.
ou seja, uma solu¸c˜ao simultˆanea de todas as congruˆencias acima.
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22. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos - Exemplos
Exemplo 9.14: Achar o menor m´ultiplo positivo de 7 que deixa
resto 1 quando dividido por 2,3,4,5 e 6.
Solu¸c˜ao: Achar a menor solu¸c˜ao positiva u do seguinte sistema de
congruˆencias:
7X ≡ 1 mod 2, mod 3, mod 4, mod 5, mod 6.
ou seja, uma solu¸c˜ao simultˆanea de todas as congruˆencias acima.
Pela proposi¸c˜ao 9.13, a solu¸c˜ao simultˆanea ´e dada por:
7X ≡ 1 mod [2, 3, 4, 5, 6] ↔ 7X ≡ 1 mod 60
Resolver a congruˆencia 7X ≡ 1 mod 60 ´e o mesmo que resolver a
equa¸c˜ao diofantina 7X − 60Y = 1, pois:
7X ≡ 1 mod 60 ↔ 60|7X − 1 ↔ 7X − 1 = 60Y ↔ 7X − 60Y = 1.
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23. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos - Exemplos
Exemplo 9.14: Achar o menor m´ultiplo positivo de 7 que deixa
resto 1 quando dividido por 2,3,4,5 e 6.
Continua¸c˜ao da solu¸c˜ao: 7X − 60Y = 1
1 = 7 · (−17) − 60 · (−2)
x0 = −17 → x = −17 + 60t, t ∈ Z
y0 = −2 → y = −2 + 7t, t ∈ Z
A menor solu¸c˜ao positiva para u (menor dos X) ´e dada quando
t = 1:
x = −17 + 60 · 1 = 43.
Logo, o menor m´ultiplo de 7 que satisfaz a congruˆencia ´e:
7X = 7 · 43 = 301.
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24. Aritm´etica dos restos
Defini¸c˜oes
Exemplos
Aritm´etica dos restos - Exemplos
Exemplo 9.15: Achar o resto da divis˜ao de 23728
por 13.
Solu¸c˜ao: Fazer a potˆencia e depois dividir n˜ao ´e o melhor
caminho. Vamos usar as propriedades da congruˆencia.
Temos que 28=24+4=2.12+4. Ent˜ao 23728
= 23724
· 2374
Tamb´em temos que: 237 = 13 · 18 + 3. Logo:
237 ≡ 3 mod 13.
23712
≡ 1 mod 13, Pequeno Teo. de Fermat (ap−1 ≡ 1 mod p).
(23712
)2 = 23724
≡ 12 = 1 mod 13, prop. potˆencias
Como 237 ≡ 3 mod 13, ent˜ao
2374
≡ 34 = 81 mod 13, prop. potˆencias
Mas 81 ≡ 3 mod 13, ent˜ao 2374
≡ 3 mod 13.
Como 23724
≡ 1 mod 13, temos:
23728
= 23724
· 2374
≡ 1 · 3 mod 13.
Logo, 23728
≡ 3 mod 13. Entao o resto ´e 3.
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