1) O documento descreve a vida e obra de Isaac Newton, incluindo seu nascimento na Inglaterra no século XVII e suas descobertas fundamentais em matemática, física e astronomia.
2) A resolução de problemas envolvendo equações de 2o grau é explicada através de exemplos que demonstram como formular a equação a partir do enunciado, resolver a equação e interpretar a solução no contexto original do problema.
3) Sete exemplos ilustram o passo-a-passo para a formulação e resolução de equ
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauAndré Luís Nogueira
O documento apresenta 10 exemplos resolvidos de problemas de equações do 2o grau. Os problemas envolvem situações do mundo real que podem ser representadas matematicamente por equações de 2o grau, como número de filhos, dimensões de uma tela e preço de lanches. As equações são resolvidas algebraicamente para encontrar suas raízes reais, que fornecem as soluções para os problemas propostos.
O documento apresenta 17 exercícios sobre quadriláteros para estudantes de um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Os exercícios envolvem identificar e calcular medidas de quadriláteros como retângulos, losangos, trapézios e paralelogramos.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
(1) O documento contém uma lista de exercícios de álgebra com nove questões sobre expressões algébricas, polinômios, redução de termos semelhantes e operações algébricas como soma, subtração e multiplicação. (2) As questões incluem classificar polinômios, efetuar operações com expressões algébricas, reduzir termos semelhantes e completar lacunas. (3) A lista de exercícios é para revisão de uma prova parcial do 8o ano A e B.
O documento fornece 35 exercícios resolvidos sobre equações do segundo grau, incluindo determinar raízes, discriminantes, conjuntos-solução e escrever equações a partir de propriedades das raízes. A página também oferece acesso a mais conteúdos sobre vestibulares no site www.vestibular1.com.br.
O documento apresenta 12 exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e diagonais de paralelepípedos retângulos e cubos. Os exercícios envolvem determinar medidas como diagonais, áreas totais e volumes a partir de informações como dimensões das arestas, diagonais ou áreas das faces.
O documento contém 30 questões de matemática sobre expressões algébricas. As questões abordam tópicos como desenvolvimento de expressões, fatoração, áreas de figuras geométricas representadas algebraicamente.
O documento apresenta 47 exercícios de equações do 1o grau resolvidos, com o objetivo de revisar o conteúdo. As respostas são dadas em conjunto de soluções. Alguns exercícios não possuem solução única devido a divisão por zero ou outras operações inválidas. A resolução segue os passos de isolamento de termos semelhantes, soma/subtração e fatoração.
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauAndré Luís Nogueira
O documento apresenta 10 exemplos resolvidos de problemas de equações do 2o grau. Os problemas envolvem situações do mundo real que podem ser representadas matematicamente por equações de 2o grau, como número de filhos, dimensões de uma tela e preço de lanches. As equações são resolvidas algebraicamente para encontrar suas raízes reais, que fornecem as soluções para os problemas propostos.
O documento apresenta 17 exercícios sobre quadriláteros para estudantes de um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Os exercícios envolvem identificar e calcular medidas de quadriláteros como retângulos, losangos, trapézios e paralelogramos.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
(1) O documento contém uma lista de exercícios de álgebra com nove questões sobre expressões algébricas, polinômios, redução de termos semelhantes e operações algébricas como soma, subtração e multiplicação. (2) As questões incluem classificar polinômios, efetuar operações com expressões algébricas, reduzir termos semelhantes e completar lacunas. (3) A lista de exercícios é para revisão de uma prova parcial do 8o ano A e B.
O documento fornece 35 exercícios resolvidos sobre equações do segundo grau, incluindo determinar raízes, discriminantes, conjuntos-solução e escrever equações a partir de propriedades das raízes. A página também oferece acesso a mais conteúdos sobre vestibulares no site www.vestibular1.com.br.
O documento apresenta 12 exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e diagonais de paralelepípedos retângulos e cubos. Os exercícios envolvem determinar medidas como diagonais, áreas totais e volumes a partir de informações como dimensões das arestas, diagonais ou áreas das faces.
O documento contém 30 questões de matemática sobre expressões algébricas. As questões abordam tópicos como desenvolvimento de expressões, fatoração, áreas de figuras geométricas representadas algebraicamente.
O documento apresenta 47 exercícios de equações do 1o grau resolvidos, com o objetivo de revisar o conteúdo. As respostas são dadas em conjunto de soluções. Alguns exercícios não possuem solução única devido a divisão por zero ou outras operações inválidas. A resolução segue os passos de isolamento de termos semelhantes, soma/subtração e fatoração.
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciostrigono_metria
O documento é um conjunto de exercícios de matemática sobre produtos notáveis e fatoração ministrado por Paulo Roberto Martins Berndt em um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 19 de maio de 2011, contendo 30 exercícios e testes com as respostas.
Mat exercicios equacao do segundo grau parte itrigono_metria
A equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau 2 da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Este documento apresenta exercícios propostos sobre resolução de equações do segundo grau para encontrar suas raízes.
Este documento contém 10 questões de um simulado de matemática sobre raízes, radicais e propriedades dos números. As questões abordam tópicos como medida do lado de uma área quadrada, valor da raiz quadrada de números, aproximação de raízes, simplificação de radicais e expressões numéricas.
Lista de Exercícios - Relações nos triãngulosandreilson18
1. O documento apresenta 13 problemas de geometria envolvendo triângulos, trapézios e outras figuras planas. Os problemas abordam cálculos de medidas de lados, ângulos, alturas e diagonais utilizando fórmulas trigonométricas e propriedades geométricas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 7o ano com equações e expressões algébricas. Inclui questões sobre representação de incógnitas, cálculo de perímetros, preços, equações com uma ou duas incógnitas e resolução de equações.
2) A orientação é realizar os exercícios em folhas de fichário com identificação e registro dos cálculos, apesar de estar em casa.
3) Deve ter foco e organização nos estudos.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
1) O documento é uma lista de exercícios de geometria para o 2° ano do ensino médio, preparada pelo professor Carlinhos em Teresópolis, em maio de 2012.
2) A lista contém 31 exercícios sobre funções trigonométricas, período, conjunto imagem, gráficos e outras propriedades de funções.
3) Os exercícios envolvem cálculos, interpretação de gráficos e escolha da alternativa correta.
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton brunoIlton Bruno
Antes de resolver a lista de exercícios, tem que rever o conceito, as propriedades e as operações de potências, ou seja, tudo que já vimos ou veremos em sala de aula...
O documento apresenta exercícios sobre potenciação de números naturais. Inclui transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular valores de potenciação e identificar propriedades como qualquer número elevado a zero é igual a um e elevado a um é igual a ele mesmo.
O documento apresenta exercícios sobre quadriláteros para alunos do 6o ano. Nos exercícios, os alunos devem identificar características de quadriláteros como pares de lados opostos e paralelos, ângulos opostos, e nomear quadriláteros como paralelogramo, trapézio, retângulo e losango.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
1) O documento apresenta exercícios sobre cálculo de média aritmética de conjuntos de números. Inclui médias de idades de jogadores, alturas, vendas de livros e veículos, lucros, notas escolares e outros.
2) São fornecidos os conceitos e fórmulas para cálculo de média aritmética simples e ponderada, ilustrados com diversos exemplos numéricos.
3) Os exercícios abordam diferentes situações para aplicação do cálculo de média, desde conjuntos pequenos até grandes
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores PrimosEverton Moraes
Este documento apresenta uma lista de 10 exercícios sobre decomposição de números em fatores primos. Os exercícios pedem para decompor vários números em fatores primos e identificar propriedades dos fatores como soma, repetição e ordem. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática para alunos do 9o ano, com 12 questões objetivas de múltipla escolha.
2) As questões vão desde operações com números até expressões algébricas e propriedades de potências e raízes.
3) O aluno deve assinalar a alternativa correta para cada questão no gabarito no final.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre ângulos, triângulos e polígonos. Inclui questões sobre cálculo de medidas de ângulos, classificação de triângulos, propriedades de polígonos regulares e figuras formadas por retas paralelas e transversais.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
O documento apresenta exemplos resolvidos de problemas envolvendo equações do 2o grau. Nos exemplos, primeiro se definem as variáveis para representar as grandezas desconhecidas do problema, em seguida se escreve a relação matemática entre essas grandezas na forma de uma equação do 2o grau, que é então resolvida para encontrar a(s) solução(ões).
Este documento discute equações de 1o grau com uma incógnita. Ele explica como resolver equações de 1o grau, incluindo transformações para reduzir equações a forma padrão ax = b. Exemplos demonstram como resolver equações e aplicar equações na resolução de problemas.
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciostrigono_metria
O documento é um conjunto de exercícios de matemática sobre produtos notáveis e fatoração ministrado por Paulo Roberto Martins Berndt em um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 19 de maio de 2011, contendo 30 exercícios e testes com as respostas.
Mat exercicios equacao do segundo grau parte itrigono_metria
A equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau 2 da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Este documento apresenta exercícios propostos sobre resolução de equações do segundo grau para encontrar suas raízes.
Este documento contém 10 questões de um simulado de matemática sobre raízes, radicais e propriedades dos números. As questões abordam tópicos como medida do lado de uma área quadrada, valor da raiz quadrada de números, aproximação de raízes, simplificação de radicais e expressões numéricas.
Lista de Exercícios - Relações nos triãngulosandreilson18
1. O documento apresenta 13 problemas de geometria envolvendo triângulos, trapézios e outras figuras planas. Os problemas abordam cálculos de medidas de lados, ângulos, alturas e diagonais utilizando fórmulas trigonométricas e propriedades geométricas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 7o ano com equações e expressões algébricas. Inclui questões sobre representação de incógnitas, cálculo de perímetros, preços, equações com uma ou duas incógnitas e resolução de equações.
2) A orientação é realizar os exercícios em folhas de fichário com identificação e registro dos cálculos, apesar de estar em casa.
3) Deve ter foco e organização nos estudos.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
1) O documento é uma lista de exercícios de geometria para o 2° ano do ensino médio, preparada pelo professor Carlinhos em Teresópolis, em maio de 2012.
2) A lista contém 31 exercícios sobre funções trigonométricas, período, conjunto imagem, gráficos e outras propriedades de funções.
3) Os exercícios envolvem cálculos, interpretação de gráficos e escolha da alternativa correta.
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton brunoIlton Bruno
Antes de resolver a lista de exercícios, tem que rever o conceito, as propriedades e as operações de potências, ou seja, tudo que já vimos ou veremos em sala de aula...
O documento apresenta exercícios sobre potenciação de números naturais. Inclui transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular valores de potenciação e identificar propriedades como qualquer número elevado a zero é igual a um e elevado a um é igual a ele mesmo.
O documento apresenta exercícios sobre quadriláteros para alunos do 6o ano. Nos exercícios, os alunos devem identificar características de quadriláteros como pares de lados opostos e paralelos, ângulos opostos, e nomear quadriláteros como paralelogramo, trapézio, retângulo e losango.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
1) O documento apresenta exercícios sobre cálculo de média aritmética de conjuntos de números. Inclui médias de idades de jogadores, alturas, vendas de livros e veículos, lucros, notas escolares e outros.
2) São fornecidos os conceitos e fórmulas para cálculo de média aritmética simples e ponderada, ilustrados com diversos exemplos numéricos.
3) Os exercícios abordam diferentes situações para aplicação do cálculo de média, desde conjuntos pequenos até grandes
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores PrimosEverton Moraes
Este documento apresenta uma lista de 10 exercícios sobre decomposição de números em fatores primos. Os exercícios pedem para decompor vários números em fatores primos e identificar propriedades dos fatores como soma, repetição e ordem. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática para alunos do 9o ano, com 12 questões objetivas de múltipla escolha.
2) As questões vão desde operações com números até expressões algébricas e propriedades de potências e raízes.
3) O aluno deve assinalar a alternativa correta para cada questão no gabarito no final.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre ângulos, triângulos e polígonos. Inclui questões sobre cálculo de medidas de ângulos, classificação de triângulos, propriedades de polígonos regulares e figuras formadas por retas paralelas e transversais.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
O documento apresenta exemplos resolvidos de problemas envolvendo equações do 2o grau. Nos exemplos, primeiro se definem as variáveis para representar as grandezas desconhecidas do problema, em seguida se escreve a relação matemática entre essas grandezas na forma de uma equação do 2o grau, que é então resolvida para encontrar a(s) solução(ões).
Este documento discute equações de 1o grau com uma incógnita. Ele explica como resolver equações de 1o grau, incluindo transformações para reduzir equações a forma padrão ax = b. Exemplos demonstram como resolver equações e aplicar equações na resolução de problemas.
José américo tarefa 1-plano de aula sobre equação do 2º grau-2ºb 9 a 2013José Américo Santos
Este documento apresenta um plano de trabalho para ensinar conceitos básicos de equações de 2o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental. O plano inclui cinco atividades que utilizam exemplos do mundo real e representações algébricas para ajudar os alunos a desenvolver compreensão sobre equações de 2o grau.
José américo tarefa 1-plano de aula sobre equação do 2º grau-2ºb 9 a 2013José Américo Santos
Este documento apresenta um plano de trabalho para ensinar conceitos básicos de equações de 2o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental, com atividades que utilizam exemplos do cotidiano e representações algébricas para despertar o interesse dos alunos. O plano inclui cinco atividades que abordam problemas com duas soluções, área de retângulos e identificação de coeficientes em equações.
O documento apresenta os conceitos e resolução de equações do 1o e 2o grau. Aborda os objetivos de reconhecer e resolver equações destes graus, além de apresentar exemplos históricos e de aplicações em situações reais. Explica os elementos, métodos de resolução e conceitos fundamentais como raízes, discriminante e composição de equações do 2o grau.
Oficina de Matemática do 8º ano (Prof. Vitor Rios)VITORRIOS26
O documento apresenta os conceitos de notação científica e equações do 1o grau. Explica que a notação científica representa números muito grandes ou pequenos de forma simplificada através de potências de 10. Também introduz o conceito de equação do 1o grau na forma "ax + b = 0", e métodos para resolvê-las como adicionar/subtrair termos ou multiplicar/dividir ambos os lados por um número. O documento contém exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
O documento discute métodos para resolver equações do segundo grau, incluindo fatoração, completar quadrados e a fórmula de Bhaskara. Recomenda-se ensinar esses métodos além da fórmula para que os alunos entendam melhor o significado da fórmula. Exemplos ilustram como aplicar os métodos para encontrar as raízes das equações.
1) O documento discute equações de 1o e 2o grau, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução.
2) É introduzida a noção de equação biquadrada e mostrado como resolvê-la reduzindo-a a uma equação quadrática.
3) Sistemas de equações lineares e funções polinomiais de 1o e 2o grau são explicados, assim como inequações do tipo produto e quociente.
Resolver problemas conducentes à equação quadráticaPaulo Mutolo
1) O documento descreve os passos para resolver problemas do 2o grau, incluindo estabelecer a equação matemática, resolver a equação e interpretar as raízes.
2) Um exemplo é dado sobre um problema onde o triplo do quadrado do número de filhos de Jacinto é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos, chegando-se à conclusão de que Jacinto tem 3 filhos.
3) Outro exemplo pergunta qual número natural tem a diferença entre ele e o triplo do seu inverso igual a duas unidades, concluindo que o número é 3.
O documento apresenta conceitos sobre equações do segundo grau, incluindo definição, tipos de equações (completas e incompletas), resolução utilizando a fórmula de Bhaskara e discriminante, e relações entre coeficientes e raízes. Há também exemplos de resolução de equações.
Este documento fornece informações sobre fatoração de polinômios e resolução de equações de primeiro e segundo grau. Apresenta exemplos de fatoração por evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio perfeito. Explica também o teorema do resto de um polinômio e métodos de resolução de equações como substituição e adição.
Este documento apresenta um caderno pedagógico de matemática do 8o ano com os seguintes tópicos: equações do primeiro grau, sistemas de equações do primeiro grau, geometria plana e medidas.
1) O documento discute a história da equação do 2o grau, desde os babilônios e hindus até a fórmula de Bhaskara.
2) A fórmula de Bhaskara é apresentada como uma maneira de reduzir equações do 2o grau a equações do 1o grau.
3) Métodos para resolver diferentes tipos de equações do 2o grau são explicados, incluindo equações completas e incompletas.
O documento descreve equações do segundo grau, definindo seus elementos e características, como tendo a forma geral ax2 + bx + c = 0 e possuindo dois coeficientes (a e b) e um termo independente (c). Também explica como encontrar as raízes de uma equação quadrática.
O documento apresenta conceitos e resolução de equações do 2o grau, incluindo: (1) definição de equação do 2o grau com uma incógnita na forma ax2 + bx + c = 0; (2) métodos para reduzir equações a forma normal ax2 + bx + c = 0; e (3) uso da fórmula de Bhaskara para resolver equações completas do 2o grau.
O documento explica como resolver equações de 2o grau através do método de completar os quadrados e apresenta a fórmula de Bhaskara. Aplica os métodos para resolver exemplos como encontrar as raízes de X2 -14x + 13 =0 e -6m2 + 12m = 0.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra como equações de 1o grau com uma e duas incógnitas, sistemas de equações, princípios aditivo e multiplicativo das igualdades, equações equivalentes e resolução de problemas envolvendo estas noções. Além disso, aborda outros tópicos como razão, proporção, grandezas proporcionais, ângulos e simetria.
Este documento fornece informações sobre o conteúdo de Matemática do 9o ano para o 2o bimestre de 2014 no Rio de Janeiro e inclui tópicos como racionalização de denominadores, equações do 2o grau e teorema de Pitágoras.
Este documento fornece informações sobre o conteúdo de Matemática do 9o ano para o 2o bimestre de 2014 no Rio de Janeiro e inclui tópicos como racionalização de denominadores, equações do 2o grau e teorema de Pitágoras.
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
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Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.ppt
1. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Binômio de Newton
Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de
Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de
março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você
também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio
interno que ensinava gramática na maior parte do tempo...
Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que,
como vamos ver, desenvolveu várias teorias que
revolucionaram a matemática, física e astronomia.
Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar
a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a
epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na
faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época,
Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a
decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos
diversos e as chamadas três leis de Newton.
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental, 9º ano
Resolução de problemas envolvendo
equações do 2º grau
2. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Um problema é do 2º grau se, para a sua resolução, for
formada uma equação do 2º grau.
Na resolução de um problema ajuda:
Fazer um esquema ou desenho de modo a
compreender melhor o enunciado;
Identificar os dados e a incógnita;
Formar a equação;
Resolver a equação;
Interpretar as soluções da equação no contexto do
problema.
http://bestanimations.com/Books/teacher-reading-book-animation.gif
3. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual
a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro
tem?
Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que:
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos;
63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos.
Montando a sentença matemática obtemos:
3x2 = 63 - 12x, que pode ser expressa como 3x2 + 12x - 63 = 0.
Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c =
0, que é denominada equação do 2° grau.
4. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Primeiramente calculemos o valor de Δ:
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 12² – 4.3.(– 63)
Δ = 144 + 756
Δ = 900
Como Δ é maior que zero, sabemos que a equação possui duas raízes
reais distintas. Vamos calculá-las:
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (– 12 + 900)/6
x1 = (– 12 + 30)/6
x1 = 18/6
x1 = 3
5. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
x2 = (– 12 – 900)/6
x2 = (– 12 – 30)/6
x2 = – 42/6
x2 = – 7
A raízes encontradas são 3 e –7, mas como o número de filhos de uma
pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz –7.
Portanto: Pedro tem 3 filhos.
http://www.heath
ersanimations.com
/children/a1057.gif
http://www.heat
hersanimations.c
om/children/a10
58.gif
http://www.
heathersanim
ations.com/c
hildren/a105
9.gif
6. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.2) Uma tela retangular com área de 9600 cm2
tem de largura uma vez e meia a sua altura.
Quais são as dimensões desta tela?
Se chamarmos de x a altura da tela, temos que:
1,5x será a sua largura.
Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é
calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida
da sua altura.
Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática
obtemos:
x . 1,5x = 9600
http://www.heathersanimations.com/schoo
l/sc52.gif
7. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
A sentença matemática x.1,5x = 9600, também pode ser expressa como:
1,5x2 – 9600 = 0
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que terá duas
raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é
igual a zero. Vamos aos cálculos:
1,5x2 – 9600 = 0
1,5x2 = 9600
x2 = 9600/1,5
x2 = 6400
x = 6400
x = 80
8. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
As raízes reais encontradas são – 80 e 80.
No entanto, como uma tela não pode ter dimensões negativas,
devemos desconsiderar a raiz – 80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de
1,5 . 80 = 120. Portanto:
Esta tela tem as dimensões de 80 cm de altura, por 120 cm de
largura.
9. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.3) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De
outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a
quantidade comprada foi igual ao valor unitário de
cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e
recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada
produto?
O enunciado nos diz que:
Os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos
denominá-lo então de x;
De um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu
comprei x unidades.
Recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria.
http://bestanimations.
com/Food/animated-
sandwich.gif
10. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Temos as informações necessárias para montarmos a seguinte
equação:
4 . x + x . x + 8 = 200
Ou então:
4x + x² + 8 = 200 x² + 4x – 192 = 0
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a
equação para descobrimos que valor é este:
x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 4² – 4.1. (– 192)
Δ = 16 + 768
Δ = 784
11. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (– 4 + 784)/2
x1 = (– 4 + 28)/2
x1 = 24/2
x1 = 12
x2 = (– 4 – 784)/2
x2 = (– 4 – 28)/2
x2 = – 32/2
x2 = – 16
As raízes reais da equação são – 16 e 12. Como o preço não pode ser
negativo, a raiz igual – 16 deve ser descartada.
Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.
12. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.4) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo
é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo.
Quantos anos tem cada um deles?
Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos:
x – 5 será a idade de Paulo.
O produto das idades é igual a 374, logo x . (x – 5) = 374.
Esta sentença matemática também pode ser expressa como:
x . (x – 5) = 374 x² – 5x = 374 x² – 5x – 374 = 0
http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm
13. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a
equação:
x² – 5x – 374 = 0 a = 1 b = – 5 c = – 374
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 5)² – 4.1. (– 374)
Δ = 25 + 1496
Δ = 1521
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (5 + 1521)/2
x1 = (5 + 39)/2
x1 = 44/2
x1 = 22
14. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x = (– b Δ)/2.a
x2 = (5 – 1521)/2
x2 = (5 – 39)/2
x2 = – 34/2
x2 = – 17
As raízes reais encontradas são – 17 e 22, por ser negativa, a raiz – 17
deve ser descartada.
Logo a idade de Pedro é de 22 anos.
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17
anos.
15. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Definindo a incógnita como x, temos:
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número;
15x equivale a 15 vezes este número.
http://bestanimations.com/Books/bo
y-reading-book-animation-3.gif
Podemos escrever esta sentença da seguinte forma:
3x2 = 15x
Ou ainda como:
3x2 – 15x = 0
Ex.5) Há dois números cujo triplo do quadrado é
a igual 15 vezes estes números. Quais números
são estes?
16. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, como apenas o
coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas
raízes reais. Uma é igual a zero e a outra é dada pelo oposto do
coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer
que:
3x² – 15x = 0
x(3x – 15) = 0
x = 0
3x – 15 = 0
3x = 15
x = 15/3
x = 5
Assim sendo, os dois números são 0 e 5.
17. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.6) Quais são as raízes da equação x² – 14x +
48 = 0?
Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta
pergunta:
Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que
multiplicados resultam em 48?
Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.
Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da
fórmula de Bháskara:
http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/livros/liv017.gif
19. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.7) Resolva a equação biquadrada x4 – 20x² –
576 = 0.
Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 por y
temos:
y4 – 20y² – 576 = 0
Resolvendo-a temos:
y4 – 20y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 20)² – 4.1. (– 576)
Δ = 400 + 2304
Δ = 2704
http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm
20. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
y4 – 20y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576
y = (– b Δ)/2.a
y1 = (20 + 2704)/2
y1 = (20 + 52)/2
y1 = 72/2
y1 = 36
y2 = (20 – 2704)/2
y2 = (20 – 52)/2
y2 = – 32/2
y2 = – 16
21. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da
equação biquadrada:
Para y1 = 36, temos:
x² = y
x² = 36
x = 36
x = 6
Para y2 = – 16, como não existe raiz quadrada real de um número
negativo, o valor de -16 não será considerado.
Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 – 20x2 – 576 = 0 são
somente: – 6 e 6.
22. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.8) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente.
Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da
idade do filho?
Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido o sinal de
menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no
tempo.
Representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos:
idade do pai há x anos: 45 – x
idade do filho há x anos: 15 – x
Equalizando as informações “idade do pai era igual ao quadrado da
idade do filho”: 45 – x = (15 – x)².
http://www.heathersanimations.com/school/sc28.gif
23. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Desenvolvendo a equação 45 – x = (15 – x)², obtemos:
45 – x = 225 – 30x + x2
x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 29) ² – 4.1.180
Δ = 841 – 720
Δ = 121
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (29 + 121)/2
x1 = (29 + 11)/2
x1 = 40/2
x1 = 20
24. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180
x2 = (29 – 121)/2
x2 = (29 – 11)/2
x2 = 18/2
x2 = 9
Analisando os resultados encontrados (20 e 9), o valor 20 não pode ser
usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa!
idade do pai há x anos: 45 – x
idade do filho há x anos: 15 – x
Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.
25. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.9) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao
quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m². Determine a
medida de seus lados.
Para calcularmos a área de uma região retangular devemos
multiplicar o comprimento pela largura.
4x . x = 256
4x² = 256 x² = 256/4 x² = 64 x = 64 x = 8
O lado de maior comprimento (4x) mede 32 metros e o de menor
comprimento (x), 8 metros.
256 m² x
4x
26. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.10) Num congresso havia 50 pessoas entre mulheres e
homens. Descubra quantas mulheres e quantos homens
estavam presentes, sabendo que o produto das
quantidades dos dois grupos é igual 621 e que a
quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de
homens.
Sendo h: número de homens e m o número de mulheres no
congresso, temos que:
h + m = 50 equivale ao total de pessoas no congresso;
h . m = 621 equivale ao produto das quantidades dos dois
grupos.
http://www.
fotosdahora.
com.br/gifs_
path/7190/o
lhos_7/
27. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Montando a sentença matemática obtemos:
h + m = 50 h = 50 – m
h . m = 621
Substituindo h por 50 – m na 2ª equação, temos:
(50 – m).m = 621
50m – m² – 621 = 0 x(-1)
m² – 50m + 621 = 0
a = 1 b = – 50 c = 621
= b² – 4.a.c
= (– 50)² – 4.1.621
= 2500 – 2484
= 16
28. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
m = (– b )/2.a
m = (50 4)/2
m1 = (50 + 4)/2
m1 = 54/2
m1 = 27
m2 = (50 – 4)/2
m2 = 46/2
m2 = 23
Como h + m = 50, e o número de mulheres é maior que o número de
homens, então havia 27 mulheres e 23 homens no congresso.
29. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
1º) Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200.000,00 para ser distribuída,
de maneira equitativa, entre os seus x filhos. No entanto, três desses filhos
renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x –
3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de
R$15.000,00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos
do referido cidadão é:
a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 7
2º) Em certa cidade há um terreno de formato retangular de 80 m2 de área, em que
um lado tem 2 m a mais que o outro. O prefeito da cidade pretende construir nesse
terreno uma praça, fazendo ainda duas passarelas perpendiculares que dividirão a
praça em quatro retângulos congruentes. Qual será a área ocupada pelas passarelas se
elas tiverem 2 m de largura?
3º) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esses números.
4º) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número.
Calcule esse número.
EXERCÍCIOS http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif
30. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
EXTRAS
GEOGEBRA
Utilizar o software geogebra para realizar algumas atividades sobre
equações do 2º grau, bem como revisar seus conceitos.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
31. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
REFERÊNCIAS
Sites:
http://pt.slideshare.net/AndrLusNogueira/exerccios-resolvidos-de-problemas-de-
equaes-do-2-grau
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 1:
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.