1.
Equações Modulares
1 Definição e significado geométrico do mó-
dulo
|u| =
u se u ≥ 0
−u se u < 0
• |a| representa a distância do ponto a até a origem das coordenadas;
• |a−b| representa a distância entre os pontos a e b. Exemplo: se a = −1
e b = 3 então |a − b| = |(−1) − (3)| = | − 4| = 4.
Para quaisquer números a, b ∈ R são válidas as seguintes propriedades
básicas:
1. |a| ≥ 0 e |a| = 0 se e somente se a = 0;
2. |a + b| ≤ |a| + |b|;
3. |a − b| ≥ ||a| − |b||;
4. |ab| = |a||b|;
5. |a
b
| = |a|
|b|
, b = 0.
1

2.
2 Equação modular elementar
• |x| = c, onde c é uma constante dada;
• Solução analítica:
– Caso c > 0: essa equação tem duas soluções x = ±c. Realmente,
se x ≥ 0, então a equação |x| = c equivale a x = c e essa é a
solução da equação original uma vez que c > 0. Se x < 0, então
a equação |x| = c se torna −x = c ou x = −c que é a segunda
solução da equação modular, porque −c < 0.
– Caso c = 0: a única solução é x = 0.
– Caso c < 0: não há soluções, uma vez que |x| é uma grandeza não
negativa pela definição.
• Interpretação geométrica: Como ele representa a distância do ponto x
até a origem das coordenadas, então, resolver a equação significa en-
contrar todos os pontos na reta coordenada cuja distância até a origem
é igual a c.
– Caso c > 0: temos dois pontos que distanciam c unidades da
origem: um a direita e outro a esquerda da origem. O primeiro
tem coordenada c e o segundo −c, ou seja a solução é x = ±c.
– Caso c = 0: o ponto procurado coincide com a origem, isto é,
x = 0.
– Caso c < 0: não há soluções, porque a distância é uma grandeza
não negativa.
2

3.
3 Solução de equações modulares |ax + b| = c
• |ax + b| = c, onde a = 0, b, c são constantes dadas (parâmetros da
equação)
• Solução analítica
– Caso c = 0: a solução é ax + b = 0, isto é, x = −b
a
– Caso c < 0: obviamente não há solução
– Caso c > 0: usando o método analítico, chamamos t = ax + b,
|t| = c tem duas soluções t = ±c. Assim, ax + b = ±c o que leva
às duas soluções x = −b±c
a
. Ou seja, a solução de |ax + b| = c se
reduz a duas esquações lineares ax + b = ±c.
• Solução geométrica
– Podemos reescrever a equação na forma |x + b
a
| = c
|a|
. Como
|x − d| representa, geometricamente, a distância de x até d, então
temos que encontrar todos os pontos cuja distância até o ponto
d = −b
a
é igual a c
|a|
. Obviamente temos dois tais pontos: um fica
a direita de d e outro a esquerda (ambos na distância c
|a|
de d). A
coordenada do primeiro é d + c
|a|
e do segundo d − c
|a|
– as soluções da equação são x = d ± c
|a|
= −b
a
± c
|a|
– O tratamento analítico pode ser estendido a um grupo bem amplo
de equações modulares, enquanto o geométrico é bem limitado e se
usa normalmente só nos casos mais simples de equações |ax+b| = c
3

4.
EXEMPLOS
1. Resolver a equação modular |x| = 2020.
Essa é a equação elementar e sua solução (da investigação geral de
equações elementares ou direto da definição do módulo) é x = ±2020.
2. Resolver a equação modular |2x − 1| = 5.
Essa equação modular equivale às duas equações lineares: 2x−1 = ±5.
Resolvendo essas duas equações, obtemos as duas soluções correspon-
dentes x = 1±5
2
, ou seja, x1 = 3 e x2 = −2. Essas são as duas soluções
da equação modular.
4 Solução de equações modulares |f(x)| = c
.
A equação |f(x)| = c equivale às duas equações sem o módulo: f(x) = ±c.
EXEMPLOS
1. Resolver a equação modular |x2
− 9| = 5.
Essa equação é reduzida às duas equações quadráticas x2
− 9 = ±5, ou
seja, x2
= 4 e x2
= 14. A primeira tem duas raizes x = ±2 e a segunda
– mais duas raizes x = ±
√
14. Assim, a equação original tem quatro
raizes: x = ±2 e x = ±
√
14.
2. Resolver a equação modular |x2
− 4x + 6| = 3.
Essa equação é reduzida às duas equações quadráticas x2
−4x+6 = ±3,
ou seja, x2
− 4x + 3 = 0 e x2
− 4x + 9 = 0. A primeira tem duas raizes
x = 1; 3 e a segunda – não tem raizes, uma vez que o seu discriminante
é negativo. Assim, a equação original tem duas raizes: x = 1; 3.
3. Resolver a equação modular x−1
x+2
= 3.
A equação modular equivale às duas equações racionais: x−1
x+2
= 3 e
x−1
x+2
= −3 . Resolvendo a primeira, obtemos x − 1 = 3x + 6 e então
x1 = −7
2
. Da segunda temos x − 1 = −3x − 6 e então x2 = −5
4
. Essas
são as duas soluções da equação modular.
4

5.
5 Solução de equações |f(x)| = |g(x)|
.
O método analítico pode ser estendido também a equações com dois mó-
dulos na forma |f(x)| = |g(x)|, onde f(x) e g(x) são duas expressões (funções)
conhecidas de x. Nesse caso, a equação modular equivale as duas equações
sem módulo f(x) = ±g(x). Isso é simples de ver, reescrevendo a equa-
ção dada na forma f(x)
g(x)
= 1, chamando h(x) = f(x)
g(x)
e obtendo asssim a
equação |h(x)| = 1, já considerada antes, que equivale a forma sem módulo
h(x) = ±1, que pode ser reescrita como f(x) = ±g(x), de acordo com a
definição de h(x). (Os pontos onde g(x) se anula e h(x) não está definida
serão recuperados quando voltamos a forma sem g(x) no denominador.) A
posterior resolução das equações f(x) = ±g(x) depende da forma de f(x) e
g(x).
6 Solução de equações |f(x)| ± |g(x)| = h(x)
.
O último tipo a ser considerado é a equação com dois módulos na forma
mais geral |f(x)| ± |g(x)| = h(x), onde f(x), g(x) e h(x) são três expressões
(funções) conhecidas de x. Esse tipo é mais complicado e não se resolve
da mesma maneira como as equações anteriores. O método mais usado na
resolução dessa equação consiste na verificação do sinal das expressões f(x)
e g(x) e consideração separada da equação dada nos conjuntos onde essas
expressões tem um sinal específico, o que possibilita se livrar do módulo.
Como os conjuntos que preservam o sinal de f(x) e g(x) muitas vezes são
intervalos, então esse método frequentemente é chamado do método de in-
tervalos. Esse é o método mais geral que o método analítico considerado
antes, mas usualmente ele é mais trabalhoso tecnicamente. Em geral, o pro-
cedimento pode ser muito complicado, mas em caso especial de expressões
lineares f(x) = ax + b e g(x) = cx + d pode ser realizado sem problemas.
Nos exemplos a seguir consideremos esse caso especial.
5

6.
EXEMPLOS
1. Resolver a equação modular |2x + 3| = |3x − 7|.
• Solução algébrica:
Essa equação é do tipo |f(x)| = |g(x)| e pode ser reduzida ime-
diatamente às duas equações lineares 2x + 3 = ±(3x − 7). A
primeira, 2x + 3 = 3x − 7, tem a solução x = 10 e a segunda,
2x + 3 = −3x + 7, tem a solução x = 4
5
. Assim, as soluções da
equação original são x = 10; 4
5
.
• Solução por intervalos:
A expressão f(x) = 2x+3 é positiva para x > −3
2
e negativa para
x < −3
2
. A segunda expressão g(x) = 3x−7 é positiva para x > 7
3
e negativa para x < 7
3
. Portanto, de acordo com a definição do
módulo,
|2x + 3| =
2x + 3, x ≥ −3/2
−2x − 3, x < −3/2
e
|3x − 7| =
3x − 7, x ≥ 7/3
−3x + 7, x < 7/3
Assim, temos dois pontos especiais x1 = −3
2
e x2 = 7
3
onde uma
das expressões muda o seu sinal. Consequentemente, dividindo
todo o eixo real em três partes (três intervalos) (−∞, −3
2
], (−3
2
, 7
3
)
e [7
3
, +∞), garantimos que em cada um desses intervalos ambas
as expressões não mudam o seu sinal e, por isso, podemos abrir
os módulos das duas expressões (veja Fig.1). (Notamos que os
pontos x = −3
2
e x = 7
3
podem ser incluídos em qualquer um dos
intervalos, uma vez que uma das expressões se anula num desses
pontos).
6

7.
Figura 1: Distribuição dos sinais das duas expressões lineares.
Dessa maneira, consideremos a equação original separadamente
nos três intervalos indicados.
(a) se x ≤ −3
2
, então a equação original equivale a equação linear
−2x − 3 = −3x + 7 cuja solução é x = 10. Mas essa solução
deve ser descartada porque fica fora do intervalo (−∞, −3
2
].
(b) se −3
2
< x < 7
3
, então a equação original equivale a equação
linear 2x + 3 = −3x + 7 cuja solução é x = 4
5
. Como essa
solução pertence ao intervalo (−3
2
, 7
3
), então ela é a solução da
equação modular.
(c) se x ≥ 7
3
, então a equação original equivale a equação linear
2x + 3 = 3x − 7 cuja solução é x = 10. Nesse caso, essa
solução fica dentro do intervalo [7
3
, +∞) e, por isso, conta
como a solução da equação modular. Concluindo, obtemos
as duas soluções da equação modular: x = 10; 4
5
. Claro, que
elas coincidem com as soluções encontradas pelo método mais
simples.
2. Resolver a equação modular |x + 3| − |2x − 1| = 1.
Resolvemos essa equação usando o método de intervalos.
Primeiro, resolvemos as equações x+3 = 0 e 2x−1 = 0 e encontramos
os dois pontos especiais x1 = −3 e x2 = 1
2
(colocados na ordem de
crescimento). Consequentemente, dividimos todo o eixo real em três
intervalos (−∞, −3], (−3, 1
2
) e [1
2
, +∞), garantindo que em cada um
desses intervalos ambas as expressões não mudam o seu sinal (veja
Fig.2).
7

8.
Agora podemos abrir os módulos separadamente em cada um desses
intervalos.
(a) se x ≤ −3, então a equação original equivale a equação linear
−(x + 3) + (2x − 1) = 1 que tem a solução x = 5, mas ela não
pertence ao intervalo (−∞, −3] e, por isso, deve ser descartada.
(b) se −3 < x < 1
2
, então a equação original equivale a equação linear
x + 3 + (2x − 1) = 1 que tem a solução x = −1
3
. Como essa raiz
fica dentro do intervalo (−3, 1
2
), então ela é a solução da equação
modular.
(c) se x ≥ 1
2
, então a equação original equivale a equação linear x +
3 − (2x − 1) = 1 cuja solução é x = 3. Como essa raiz fica dentro
do intervalo [1
2
, +∞), então ela é a solução da equação modular.
Assim, a equação modular tem duas soluções: x = −1
3
; 3.
Figura 2: Distribuição dos sinais das duas expressões lineares.
8

9.
3. Resolver a equação modular |5 − 2x| + |x + 3| = 2 − 3x.
Resolvemos essa equação usando o método de intervalos.
Primeiro, resolvemos as equações 5−2x = 0 e x+3 = 0 e encontramos
os dois pontos especiais x1 = −3 e x2 = 5
2
(colocados na ordem de
crescimento). Consequentemente, dividimos todo o eixo real em três
intervalos (−∞, −3], (−3, 5
2
) e [5
2
, +∞), garantindo que em cada um
desses intervalos ambas as expressões não mudam o seu sinal (veja
Fig.3).
Agora podemos abrir os módulos separadamente em cada um desses
intervalos.
(a) se x ≤ −3, então a equação original equivale a equação linear
5 − 2x − (x + 3) = 2 − 3x que se simplifica a identidade 0 = 0.
Isso quer dizer que qualquer x do intervalo em consideração é a
soluçaõ da equação modular.
(b) se −3 < x < 5
2
, então a equação original equivale a equação linear
5 − 2x + (x + 3) = 2 − 3x cuja solução é x = −3, mas ela não
pertence ao intervalo (−3, 5
2
) e, por isso, deve ser descartada.
(c) se x ≥ 5
2
, então a equação original equivale a equação linear −(5−
2x) + (x + 3) = 2 − 3x cuja solução é x = 2
3
, mas ela não pertence
ao intervalo [5
2
, +∞) e, por isso, deve ser descartada.
Assim, encontramos o seguinte conjunto de soluções da equação modu-
lar: x ∈ (−∞, −3].
Figura 3: Distribuição dos sinais das duas expressões lineares.
9