Este documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Aborda equações diferenciais lineares e não lineares, sistemas autônomos e não autônomos, existência e unicidade de soluções, dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros, e elementos da teoria qualitativa de equações diferenciais como campos vetoriais e fluxos.
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
1) O documento discute problemas de valor inicial e de contorno para equações diferenciais lineares de ordem superior, apresentando definições e teoremas sobre a existência e unicidade de soluções para esses problemas. 2) Também apresenta conceitos como independência linear, wronskiano e conjunto fundamental de soluções para equações diferenciais homogêneas. 3) Discutem-se ainda soluções gerais para equações diferenciais homogêneas e não-homogêneas.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
1. O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo três subclasses: equações lineares, separáveis e exatas.
2. Há vários métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem, como o uso de fator integrante e a transformação de equações não exatas em exatas.
3. A escolha adequada de um fator integrante pode facilitar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem.
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
1) O documento discute problemas de valor inicial e de contorno para equações diferenciais lineares de ordem superior, apresentando definições e teoremas sobre a existência e unicidade de soluções para esses problemas. 2) Também apresenta conceitos como independência linear, wronskiano e conjunto fundamental de soluções para equações diferenciais homogêneas. 3) Discutem-se ainda soluções gerais para equações diferenciais homogêneas e não-homogêneas.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
1. O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo três subclasses: equações lineares, separáveis e exatas.
2. Há vários métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem, como o uso de fator integrante e a transformação de equações não exatas em exatas.
3. A escolha adequada de um fator integrante pode facilitar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem.
1) O documento apresenta um método para resolver equações diferenciais ordinárias e parciais lineares de qualquer ordem através da construção de uma função solução como soma de funções parciais.
2) O método é aplicado para resolver a equação generalizada de Euler-Tricomi, obtendo uma expressão para a função solução em termos de integrais das funções que definem a equação diferencial original.
3) Achar pares de funções satisfazendo certa equação integral forneceria a solução completa do problema segundo o método proposto.
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
1) O documento discute métodos computacionais para resolver sistemas lineares, incluindo o método de Cramer e o processo de Gram-Schmidt.
2) Explica o método de Cramer para resolver sistemas lineares determinados e compatíveis através do cálculo de determinantes de matrizes associadas.
3) Descreve o processo de Gram-Schmidt para transformar qualquer base em uma base ortogonal através da ortogonalização sucessiva de vetores.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
O documento discute algoritmos computacionais para resolver sistemas lineares utilizando decomposições de matrizes. Apresenta a decomposição A=LU comparando-a com a eliminação de Gauss e discute a implementação da decomposição LU em Java, notando que seu custo de processamento é da ordem de N3, assim como a eliminação de Gauss.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Cálculo e equações em Química - Apostila + exercícios com gabarito.Mara Farias
1) O documento apresenta um curso de cálculo e equações diferenciais com aplicações, dividido em 25 capítulos.
2) Aborda tópicos como funções, limites, derivadas, integrais e suas aplicações.
3) Fornece exemplos, exercícios e referências para ajudar os estudantes a aprender os conceitos.
1) O documento introduz o Método de Elementos Finitos (MEF) para resolver equações diferenciais parciais. 2) No MEF, o domínio é dividido em subdomínios chamados "elementos finitos" e as variáveis são aproximadas por funções dentro de cada elemento. 3) O procedimento passo a passo do MEF inclui a discretização, formulação do elemento, e montagem do sistema matricial para cada elemento.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço infinito: o potencial é infinito para x < –a/2 e para x > a/2, e tem o valor 0 para –a/2 < x < a/2.
Este documento apresenta um capítulo sobre vibrações mecânicas lineares e análise em frequência. O capítulo introduz conceitos básicos de vibrações mecânicas lineares usando equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. É apresentado um modelo matemático para sistemas com um grau de liberdade e discutidas suas soluções para diferentes casos de forças excitadoras. Também são introduzidos conceitos como graus de liberdade, parâmetros cinemáticos, amortecimento e resposta em frequência.
1. Uma seqüência recorrente linear é uma seqüência cujos termos são determinados por uma função linear dos k termos anteriores, onde k é chamado de ordem da recorrência.
2. A seqüência de Fibonacci é definida por u0 = 0, u1 = 1 e un+2 = un+1 + un, e pode ser mostrado que seu termo geral é dado por un = (√5)n/√5 - (√5)n/√5.
3. Pode-se mostrar uma identidade útil sobre números de Fibonacci: um+n = umun-
1) O documento discute conceitos e simulação de cadeias de Markov, incluindo passeios aleatórios. 2) Ele apresenta objetivos de estudar cadeias de Markov discretas no tempo e simular modelos de disseminação de informação. 3) Inclui exemplos e equações para calcular probabilidades de transição entre estados usando potências da matriz estocástica.
Aula 6: O caso estacioário em uma dimensãoAdriano Silva
1) O documento discute o formalismo quântico no caso de sistemas unidimensionais sob a influência de potenciais independentes do tempo. 2) Nesse caso, a equação de Schrödinger tem uma forma simplificada e soluções podem ser encontradas separando as variáveis espaço e tempo. 3) A constante de separação E corresponde à energia do sistema e as soluções são autoestados do hamiltoniano.
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Este documento apresenta uma introdução aos processos estocásticos e cadeias de Markov. Processos estocásticos descrevem sistemas que evoluem no tempo de forma probabilística, onde a variável aleatória X(t) representa o estado do sistema no tempo t. Cadeias de Markov são um tipo de processo estocástico com estados discretos cuja probabilidade futura depende apenas do estado presente. O documento fornece exemplos de como modelar problemas como mudanças no uso da terra ao longo do tempo e estoque de câmeras em uma loja
Este documento apresenta os principais métodos para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo: (1) o método de separação de variáveis, (2) o método de substituição algébrica para equações homogêneas, e (3) o método para equações exatas. Além disso, discute aplicações destas equações diferenciais em problemas como o resfriamento/aquecimento de Newton, dinâmica populacional e crescimento de peixes.
Este documento resume pontos importantes sobre análise qualitativa de pontos de equilíbrio em sistemas não-lineares de primeira ordem. Discute conceitos como atratores, repulsores, selas e centros, e métodos para determinar o tipo de equilíbrio como uso da matriz jacobiana e busca por leis de conservação. Apresenta exemplos como o pêndulo com e sem atrito.
1) O documento apresenta um método para resolver equações diferenciais ordinárias e parciais lineares de qualquer ordem através da construção de uma função solução como soma de funções parciais.
2) O método é aplicado para resolver a equação generalizada de Euler-Tricomi, obtendo uma expressão para a função solução em termos de integrais das funções que definem a equação diferencial original.
3) Achar pares de funções satisfazendo certa equação integral forneceria a solução completa do problema segundo o método proposto.
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
1) O documento discute métodos computacionais para resolver sistemas lineares, incluindo o método de Cramer e o processo de Gram-Schmidt.
2) Explica o método de Cramer para resolver sistemas lineares determinados e compatíveis através do cálculo de determinantes de matrizes associadas.
3) Descreve o processo de Gram-Schmidt para transformar qualquer base em uma base ortogonal através da ortogonalização sucessiva de vetores.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
O documento discute algoritmos computacionais para resolver sistemas lineares utilizando decomposições de matrizes. Apresenta a decomposição A=LU comparando-a com a eliminação de Gauss e discute a implementação da decomposição LU em Java, notando que seu custo de processamento é da ordem de N3, assim como a eliminação de Gauss.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Cálculo e equações em Química - Apostila + exercícios com gabarito.Mara Farias
1) O documento apresenta um curso de cálculo e equações diferenciais com aplicações, dividido em 25 capítulos.
2) Aborda tópicos como funções, limites, derivadas, integrais e suas aplicações.
3) Fornece exemplos, exercícios e referências para ajudar os estudantes a aprender os conceitos.
1) O documento introduz o Método de Elementos Finitos (MEF) para resolver equações diferenciais parciais. 2) No MEF, o domínio é dividido em subdomínios chamados "elementos finitos" e as variáveis são aproximadas por funções dentro de cada elemento. 3) O procedimento passo a passo do MEF inclui a discretização, formulação do elemento, e montagem do sistema matricial para cada elemento.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço infinito: o potencial é infinito para x < –a/2 e para x > a/2, e tem o valor 0 para –a/2 < x < a/2.
Este documento apresenta um capítulo sobre vibrações mecânicas lineares e análise em frequência. O capítulo introduz conceitos básicos de vibrações mecânicas lineares usando equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. É apresentado um modelo matemático para sistemas com um grau de liberdade e discutidas suas soluções para diferentes casos de forças excitadoras. Também são introduzidos conceitos como graus de liberdade, parâmetros cinemáticos, amortecimento e resposta em frequência.
1. Uma seqüência recorrente linear é uma seqüência cujos termos são determinados por uma função linear dos k termos anteriores, onde k é chamado de ordem da recorrência.
2. A seqüência de Fibonacci é definida por u0 = 0, u1 = 1 e un+2 = un+1 + un, e pode ser mostrado que seu termo geral é dado por un = (√5)n/√5 - (√5)n/√5.
3. Pode-se mostrar uma identidade útil sobre números de Fibonacci: um+n = umun-
1) O documento discute conceitos e simulação de cadeias de Markov, incluindo passeios aleatórios. 2) Ele apresenta objetivos de estudar cadeias de Markov discretas no tempo e simular modelos de disseminação de informação. 3) Inclui exemplos e equações para calcular probabilidades de transição entre estados usando potências da matriz estocástica.
Aula 6: O caso estacioário em uma dimensãoAdriano Silva
1) O documento discute o formalismo quântico no caso de sistemas unidimensionais sob a influência de potenciais independentes do tempo. 2) Nesse caso, a equação de Schrödinger tem uma forma simplificada e soluções podem ser encontradas separando as variáveis espaço e tempo. 3) A constante de separação E corresponde à energia do sistema e as soluções são autoestados do hamiltoniano.
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Este documento apresenta uma introdução aos processos estocásticos e cadeias de Markov. Processos estocásticos descrevem sistemas que evoluem no tempo de forma probabilística, onde a variável aleatória X(t) representa o estado do sistema no tempo t. Cadeias de Markov são um tipo de processo estocástico com estados discretos cuja probabilidade futura depende apenas do estado presente. O documento fornece exemplos de como modelar problemas como mudanças no uso da terra ao longo do tempo e estoque de câmeras em uma loja
Este documento apresenta os principais métodos para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo: (1) o método de separação de variáveis, (2) o método de substituição algébrica para equações homogêneas, e (3) o método para equações exatas. Além disso, discute aplicações destas equações diferenciais em problemas como o resfriamento/aquecimento de Newton, dinâmica populacional e crescimento de peixes.
Este documento resume pontos importantes sobre análise qualitativa de pontos de equilíbrio em sistemas não-lineares de primeira ordem. Discute conceitos como atratores, repulsores, selas e centros, e métodos para determinar o tipo de equilíbrio como uso da matriz jacobiana e busca por leis de conservação. Apresenta exemplos como o pêndulo com e sem atrito.
1. O documento discute resolução de congruências lineares, o teorema chinês dos restos e classes residuais.
2. É apresentado um método para resolver congruências do tipo aX ≡ b mod m, assim como o conceito de sistema completo de soluções.
3. O teorema chinês dos restos fornece uma única solução para sistemas de congruências quando os módulos são relativamente primos.
1. O documento discute topologia de espaços métricos, incluindo definições de espaço métrico, métricas, bolas, conjuntos abertos e fechados, sequências em espaços métricos e propriedades topológicas.
2. As seções abordam espaços métricos, normas, produtos internos, bolas no plano complexo, isometrias, pontos de acumulação e sequências.
3. O documento fornece definições e propriedades fundamentais relacionadas a espaços métricos e topologia.
O documento discute regressão não linear, apresentando modelos não lineares comuns, técnicas de linearização, métodos de estimação como mínimos quadrados ordinários e Gauss-Newton, e propriedades dos estimadores. Exemplos ilustram a aplicação desses conceitos.
1. O documento apresenta uma introdução sobre sequências, definindo conceitos básicos como sequências finitas e infinitas, operações entre sequências e propriedades dessas operações.
2. É discutido o cálculo de limites de sequências, incluindo limites infinitos, e propriedades aritméticas dos limites. Também são apresentados exemplos de cálculo de limites.
3. Por fim, são abordados tópicos como sequências monotônicas, valores de aderência, limites preservando desigualdades e cálculo
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
O documento apresenta os conceitos de autovalor e autovetor e métodos para solução do problema do autovalor. Dois teoremas sobre limites de autovalores são descritos, incluindo o Teorema de Gerschgorin que fornece uma estimativa dos autovalores de uma matriz a partir de discos centrados nos elementos da diagonal principal. Exemplos ilustram a aplicação destes conceitos em problemas de vibrações mecânicas e modelos econômicos.
1. O documento apresenta apontamentos sobre álgebra linear, incluindo definições de equações e sistemas lineares, exemplos ilustrativos e classificação de sistemas de acordo com o seu conjunto de soluções.
2. Uma equação linear relaciona variáveis por meio de coeficientes e um termo independente. Um sistema linear é um conjunto de equações lineares.
3. Os sistemas podem ser classificados como possíveis ou impossíveis, e os possíveis como determinados ou indeterminados de acordo com o número de soluções.
1. O documento discute equações diferenciais parciais, abordando conceitos como classificação, origem e exemplos de equações.
2. É apresentada a equação de transporte de Burger como exemplo de equação diferencial parcial vinda de uma lei de conservação.
3. O documento introduz os principais tópicos a serem discutidos, como equações de primeira e segunda ordem, teoremas de existência e unicidade de soluções.
O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo:
1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos;
2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária;
3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.
O documento discute o esforço computacional envolvido em calcular determinantes e resolver sistemas lineares de diferentes ordens através de métodos tradicionais e com auxílio de computadores. Também apresenta o método de Gauss-Jordan para calcular a inversa de uma matriz e determinantes, reduzindo significativamente o esforço computacional.
Este documento apresenta um curso introdutório de álgebra linear. Ele inclui seções sobre noções preliminares, espaços vetoriais, transformações lineares, polinômios, formas canônicas e espaços vetoriais com produto interno.
Este documento apresenta uma introdução às equações diferenciais ordinárias e sistemas dinâmicos. Aborda tópicos como existência e unicidade de soluções, sistemas lineares e não-lineares, estabilidade, bifurcações e caos. Inclui também exemplos de modelos e implementações numéricas para visualização do comportamento de soluções.
O documento discute equações literais e como resolvê-las. Define equações literais como equações que têm mais de uma variável e fornece exemplos. Explica que as equações literais podem ser resolvidas em relação a qualquer variável isolando-a em um dos membros da equação usando as mesmas regras de equações numéricas.
1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
Este documento introduz o conceito de integral definida como uma ferramenta para calcular a área abaixo de funções contínuas. Ele motiva o conceito dividindo intervalos em partes menores e somando as áreas dos retângulos formados, mostrando que esta soma converge para o valor da área procurada quando o número de partes tende ao infinito. Finalmente, apresenta exercícios para praticar a aplicação deste novo conceito.
1) O documento descreve as transformadas z e de Fourier para sinais no tempo discreto. É introduzida a transformada z e discutida sua convergência.
2) São apresentadas propriedades importantes da transformada z, como como transformar convoluções em produtos e determinar a estabilidade de sistemas.
3) A transformada de Fourier é definida formalmente e mostradas suas relações com a transformada z e propriedades principais. Métodos de representação de Fourier para sequências periódicas também são discutidos.
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4. Cap´ıtulo 1
Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias
Defini¸c˜ao 1 (Equa¸c˜ao diferencial ordin´aria em Rn
). Sejam f : U → Rn
, U
aberto de R × Rn
, (t, x) ∈ U onde t ∈ R, x ∈ Rn
, x : I → Rn
onde I ´e um intervalo
aberto de R, x = x(t) sendo tamb´em chamada de caminho. Uma equa¸c˜ao da forma
x (t) = f(t, x)
´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria em Rn
, definida por f, no caso queremos
encontrar x que satisfa¸ca a equa¸c˜ao acima. t em f(t, x) ´e dita ser a vari´avel
temporal. Tal equa¸c˜ao x = f(t, x) ´e dita ser equa¸c˜ao vetorial, no caso de fun¸c˜oes
reais dizemos que a equa¸c˜ao ´e escalar.
Podemos denotar x(t) = (xk(t))n
1 e f(t, x) = (fk(t, x))n
1 onde cada xk : I → R,
fk(t, x) : U → R s˜ao as fun¸c˜oes coordenadas. A derivada x (t) consiste em derivar
coordenada-a-coordenada
x (t) = (xk(t))n
1
equiparando com o lado direito, temos o sistema
3
5. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 4
x1(t) = f1(t, x1(t), · · · , xn(t))
x2(t) = f2(t, x1(t), · · · , xn(t))
...
xn(t) = fn(t, x1(t), · · · , xn(t))
Ent˜ao a equa¸c˜ao diferencial vetorial x = f(t, x) ´e equivalente a um sistema
de equa¸c˜oes diferenciais escalares. x = f(t, x) ´e ainda chamada de equa¸c˜ao de
primeira ordem por envolver apenas a derivada primeira de x. Diremos tamb´em
que x ´e uma velocidade.
Corol´ario 1. Segue da interpreta¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial por meio de sis-
tema que a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes de sistema de equa¸c˜oes diferenciais
em R equivale a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais veto-
riais em Rn
.
Defini¸c˜ao 2 (Solu¸c˜ao de equa¸c˜ao diferencial). Uma solu¸c˜ao para equa¸c˜ao
diferencial x (t) = f(t, x) ´e um caminho deriv´avel x : I → R que satisfaz a primeira
equa¸c˜ao, x tamb´em pode ser chamado de curva integral.
Em termos de sistemas, uma solu¸c˜ao consiste em n fun¸c˜oes xj : I → R de-
riv´aveis, tais que
xj(t) = fj(t, x1(t), · · · , xn(t)).
Defini¸c˜ao 3 (Condi¸c˜ao inicial). Dada um solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial
x = f(t, x) dizemos que x(t0) = x0 ´e uma condi¸c˜ao inicial, um problema de valor
inicial ´e achar x : I → Rn
com x = f(t, x) e x(t0) = x0.
6. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 5
Uma condi¸c˜ao inicial para o sistema ´e dada por
x1(t0) = x1, x2(t0) = x2, · · · , xn(t0) = xn.
Defini¸c˜ao 4 (Equa¸c˜ao diferencial autˆonoma e campo de vetores). ´E uma
equa¸c˜ao do tipo x = f(t, x) onde f(t, x) = f(x), a fun¸c˜ao n˜ao depende de t.
Nesse caso interpretamos f : E → Rn
como um campo de vetores, E ⊂ Rn
.
Defini¸c˜ao 5 (Equa¸c˜ao diferencial n˜ao-autˆonoma). ´E uma equa¸c˜ao do tipo
x = f(t, x) onde f(t, x) depende de t.
Defini¸c˜ao 6 (Equa¸c˜ao diferenciais normais). S˜ao equa¸c˜oes do tipo x = f(t, x)
onde ´e poss´ıvel explicitar x em fun¸c˜ao de (t, x).
Defini¸c˜ao 7 (Equa¸c˜ao diferencial de ordem m). Uma equa¸c˜ao diferencial de
ordem ordem m em Rn
, ´e uma equa¸c˜ao do tipo
y(m)
= g(t, y, y(1)
, · · · , y(m−1)
)
onde g ´e definida em um aberto U ⊂ R×Rn
× · · · Rn
n vezes
onde y(k)
´e a k-´esima derivada
em rela¸c˜ao `a t, y : I → Rn
Propriedade 1. Toda equa¸c˜ao de ordem m, pode ser escrita como uma
equa¸c˜ao diferencial de ordem 1.
Demonstra¸c˜ao.
Definimos o sistema
7. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 6
x1(t) = x2(t)
x2(t) = x3(t)
...
xm−1(t) = xm(t)
xm(t) = g(t, x1(t), · · · , xm(t))
com isso temos xm(t) = xm
1 (t), tomando x1(t) = y(t), fazemos o sistema de ordem
m recair em um sistema de ordem 1
x (t) = f(t, x)
x(t) = (x1(t), x2(t), · · · , xm(t))
f(t, x) = (x2(t), x3(t), · · · , xm(t), g(t, x1(t), · · · , xm(t)) )
as igualdades conseguimos derivando termo-a-termo x(t) e equiparando com f(t, x).
Propriedade 2. Um sistema n˜ao-autˆonomo pode ser reduzido a um sistema
autˆonomo.
Demonstra¸c˜ao. Sendo uma equa¸c˜ao n˜ao-autˆonoma x = f(t, x), f : U → Rn
,
definimos y = (t, x) ∈ U ⊂ R × Rn
, definimos g : U → Rn+1
com
g(y) = g(t, x) = (1, f(t, x))
e a equa¸c˜ao y = g(y) que resulta em (1, x ) = (1, f(t, x)).
Com isso temos que a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais
vetoriais dependentes da vari´avel temporal ´e equivalente `a existˆencia e unicidade de
solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais vetoriais sem dependˆencia na vari´avel temporal t.
Como os casos citados recaem sobre o estudo da equa¸c˜ao autˆonoma x(t) = f(x),
vamos dar ˆenfase ao estudo desse tipo de equa¸c˜ao.
1.1 Equa¸c˜oes diferenciais lineares
8. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 7
Defini¸c˜ao 8 (Campos lineares). Campos lineares s˜ao fun¸c˜oes do tipo
f(x) = Ax
onde A = (ak,j)n×n e x ´e o vetor coluna n × 1.
Defini¸c˜ao 9 (Equa¸c˜ao diferencial linear). Uma equa¸c˜ao diferencial linear ´e
uma equa¸c˜ao do tipo x = A(x)
x (t) = Ax(t),
que pode ser vista como
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
=
a1,1 a1,2 · · · a1,n
... · · · · · ·
...
an,1 an,2 · · · an,n
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
efetuando a multiplica¸c˜ao temos o sistema
x1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t) + · · · + a1,nxn(t)
x2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t) + · · · + a2,nxn(t)
...
xn(t) = an,1x1(t) + an,2x2(t) + · · · + an,nxn(t)
Nesta se¸c˜ao iremos em geral considerar matrizes com entradas reais.
Teorema 1. Se A = (ak,j)n×n ´e uma matriz real, ent˜ao para cada x0 ∈ Rn
existe uma ´unica solu¸c˜ao do problema de valor inicial
x (t) = Ax, x(0) = x0.
Demonstra¸c˜ao.
9. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 8
Propriedade 3. O conjunto de todas solu¸c˜oes de x = A(x) ´e um espa¸co
vetorial, subespa¸co de F(R, Rn
).
Demonstra¸c˜ao.
• x(t) = 0v ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao pois x (t) = 0v, A(0v) = 0v, logo temos a
equa¸c˜ao diferencial satisfeita.
• Se s1(t) e s2(t) s˜ao solu¸c˜oes de x = A(x) ent˜ao s1(t) + cs2(t) ´e solu¸c˜ao onde
c ∈ R qualquer. Temos s1(t) = As1(t), s2(t) = As2(t), c ∈ R ent˜ao cs2(t) =
cAs2(t) = Acs2(t) portanto cs2(t) ´e solu¸c˜ao, juntando tais fatos temos
A(s1(t) + cs2(t)) = As1(t) + cAs2(t) = s1(t) + s2(t)
logo s1(t) + cs2(t) ´e solu¸c˜ao, como quer´ıamos demonstrar.
Corol´ario 2. Por unicidade de solu¸c˜ao se x(t ) = 0 para algum t ∈ R ent˜ao
x(t) = 0 ∀ t ∈ R por unicidade de solu¸c˜ao.
1.1.1 Caso de matriz diagonal
Propriedade 4. Se A ´e uma matriz diagonal, A = d(λ1, · · · λn) ent˜ao a
solu¸c˜ao de
x (t) = Ax(t)
´e da forma
x(t) = (x1eλ1t
, x2eλ2t
, · · · , xneλnt
)
onde x(0) = (t1, t2, · · · , tn) em outra nota¸c˜ao
x(t) = d(eλ1t
, eλ2t
, · · · , eλnt
)x0.
Demonstra¸c˜ao. Pelo produto das matrizes Ax = x (t) temos
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
=
λ1 0 · · · 0
... · · · · · ·
...
0 0 · · · λn
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
10. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 9
efetuando a multiplica¸c˜ao temos o sistema
x1(t) = λ1x1(t)
x2(t) = λ2x2(t)
...
xn(t) = λnxn(t)
cada uma das equa¸c˜oes diferenciais pode ser resolvida, resultando em xk(t) =
ckeλkt
, usando xk(0) = tk, temos ck = tk ent˜ao a solu¸c˜ao ´e da forma como quer´ıamos
x(t) = (t1eλ1t
, t2eλ2t
, · · · , tneλnt
).
1.1.2 Solu¸c˜oes e conjuga¸c˜ao
Propriedade 5. Se Q conjuga as matrizes reais A e B de Mn×n, isto ´e,
A = QBQ−1
, ent˜ao s˜ao equivalentes
1. y(t) ´e uma solu¸c˜ao de y = By
2. x(t) = Qy(t) ´e uma solu¸c˜ao de x = Ax.
Demonstra¸c˜ao.
1. 1) ⇒ 2). Vamos mostrar que se y(t) ´e uma solu¸c˜ao de y = By ent˜ao x(t) =
Qy(t) ´e uma solu¸c˜ao de x = Ax. Derivamos x(t) = Qy(t)
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
=
c1,1 c1,2 · · · c1,n
... · · · · · ·
...
cn,1 cn,2 · · · cn,n
y1(t)
y2(t)
...
yn(t)
=
=
c1,1y1(t) + · · · c1,ny1(t)
c2,1y2(t) + · · · c2,ny2(t)
...
cn,1yn(t) + · · · cn,nyn(t)
11. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 10
derivando temos
c1,1y1(t) + · · · c1,ny1(t)
c2,1y2(t) + · · · c2,ny2(t)
...
cn,1yn(t) + · · · cn,nyn(t)
=
c1,1 c1,2 · · · c1,n
... · · · · · ·
...
cn,1 cn,2 · · · cn,n
y1(t)
y2(t)
...
yn(t)
= Qy (t)
lembrando que AQ = QB e y (t) = By(t) temos
x (t) = Qy (t) = QBy(t) = AQy(t) = Ax(t)
como quer´ıamos demonstrar.
2. 2) ⇒ 1). Vamos provar que se x(t) = Qy(t) ´e uma solu¸c˜ao de x (t) = Ax(t)
ent˜ao y(t) ´e uma solu¸c˜ao de y (t) = By(t). Temos
Qy (t) = AQy(t)
como AQ = QB tem-se
Qy (t) = QBy(t) ⇒ y (t) = QBy(t)
pois Q ´e invert´ıvel, logo provamos a equivalˆencia.
Propriedade 6. Seja A ∈ Mn matriz diagonaliz´avel, isto ´e, A = QDQ−1
com
D diagonal.
1. Se D possui todos elementos na diagonal negativos ent˜ao x(t), solu¸c˜ao de
x (t) = Ax(t) satisfaz
lim
t→∞
x(t) = 0.
2. Se D possui todos elementos na diagonal positivos distintos, A n˜ao nulo e
y(0) n˜ao possuir coordenada nula ent˜ao
lim
t→∞
|x(t)| = ∞.
12. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 11
3. Cada coordenada xk satisfaz equa¸c˜ao diferencial linear de ordem n .
Demonstra¸c˜ao.
1. Seja y(t) solu¸c˜ao de y (t) = Dy(t), ela ´e da forma y(t) = (c1eλ1t
, · · · , cneλnt
),
onde
D =
λ1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · 0
.
A solu¸c˜ao de x (t) = Ax(t) ´e x(t) = Qy(t),
a1,1 · · · a1,n
... · · ·
...
an,1 · · · an,n
c1eλ1t
...
cneλnt
=
a1,1c1eλ1t
+ · · · + a1,ncneλnt
...
an,1c1eλ1t
+ · · · + an,ncneλnt
=
x1(t)
...
xn(t)
.
logo o limite em qualquer coordenada tende a zero, pois
xk(t) = ak,1c1eλ1t
+ · · · + ak,ncneλnt
onde cada parcela tende a zero pois eλkt
→ 0 quando t → ∞, se os coeficientes
s˜ao nulos n˜ao se altera o resultado.
2. Tem-se que
xk(t) = ak,1c1eλ1t
+ · · · + ak,ncneλnt
tomando λs o maior valor entre os (λk)n
1 que esteja associado a constante ak,s =
0 , colocamos em evidˆencia
|xk(t)| = |eλst
||ak,1c1e(λ1−λs)t
+ · · · + ak,scs + · · · + ak,ncne(λn−λs)t
|
onde |ak,1c1e(λ1−λs)t
+ · · · + ak,scs + · · · + ak,ncne(λn−λs)t
| ´e limitada pois possuem
termos que tendem a zero e o termo ak,ncn n˜ao ´e nulo, por isso a express˜ao
tamb´em n˜ao se anula, como |eλst
| tende a infinito ent˜ao |xk(t)| tamb´em, sendo
que isso vale para qualquer coordenada de x(t).
3. Temos que
xk(t) = ak,1c1eλ1t
+ · · · + ak,ncneλnt
aplicando o operador (D − λ1) · · · (D − λk) anulamos xk(t), logo ele satisfaz
equa¸c˜ao diferencial de ordem n.
13. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 12
1.2 Teoria geral de sistemas lineares
1.2.1 Exponencial de matrizes
Defini¸c˜ao 10 (Exponencial de matriz). Dada A ∈ Mn(C), definimos a sua
exponencial como a matriz n × n simbolizada por eA
, definida como
eA
=
∞
k=0
Ak
k!
que tamb´em pode ser denotada por exp(A).
Propriedade 7. Dada A ∈ Mn(C) ent˜ao
∞
k=0
Ak
k!
converge no espa¸co normado
Mn(C).
Demonstra¸c˜ao. Temos que
∞
k=0
||
Ak
k!
|| ≤
∞
k=0
||A||k
k!
= e||A||
logo a s´erie
∞
k=0
Ak
k!
converge absolutamente e portanto converge em Mn(C).
Corol´ario 3. Sendo A = 0 a matriz nula, temos
e0
=
∞
k=0
0k
k!
=
00
0!
+
∞
k=1
0k
k!
0
= I
pois 00
= I a matriz identidade.
14. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 13
Corol´ario 4. Se A ´e a matriz diagonal A =
λ1 · · · 0
0
... 0
0 · · · λn
, temos que
eA
=
∞
k=0
λk
1
k!
· · · 0
0
... 0
0 · · ·
λk
n
k!
=
∞
k=0
λk
1
k!
· · · 0
0
... 0
0 · · ·
∞
k=0
λk
n
k!
=
=
eλ1
· · · 0
0
... 0
0 · · · eλn
.
Em especial
eI
=
e1
· · · 0
0
... 0
0 · · · e1
= eI
e novamente tiramos que e0
= I.
Corol´ario 5. Seja a matriz n × n
Gc(n) =
0 0 · · · 0
c 0 · · · 0
... · · · · · · 0
0 · · · c 0
tal matriz ´e nilpotente e vale Gc(n)n
= 0. Podemos calcular sua exponencial, sendo
que sua s´erie trunca
16. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 15
Propriedade 8. Se A, B, Q ∈ Mn tais que AQ = QB ent˜ao eA
Q = QeB
. Em
especial se A e B s˜ao conjugadas ent˜ao eA
e eB
tamb´em o s˜ao.
Demonstra¸c˜ao. De AQ = QB temos por indu¸c˜ao que vale As
Q = QBs
∀ s ∈
N, logo
eA
Q = (lim
n
k=0
Ak
k!
)Q = lim
n
k=0
Ak
Q
k!
= lim
n
k=0
QBk
k!
= QeB
.
Corol´ario 6. Se Q ∈ Mn invert´ıvel com A = QBQ−1
ent˜ao
eA
= eQBQ−1
= QeB
Q−1
pois
AQ = QB ⇒ eA
Q = QeB
⇒ eA
= QeB
Q−1
.
Se as matrizes s˜ao conjugadas basta calcular a exponencial de uma das matri-
zes a da outra ´e obtida por produto com Q e Q−1
.
Propriedade 9. Sejam A, B ∈ Mn ent˜ao et(A+B)
= etA
etB
∀ t ∈ R ⇔ AB = BA.
Demonstra¸c˜ao. ⇐).
Vale que (AB)k
= Ak
Bk
= Bk
Ak
etA
etB
= (
∞
k=0
tk
Ak
k!
)(
∞
k=0
tk
Bk
k!
) =
∞
k=0
cktk
onde
ck =
k
s=0
Ak−s
Bs
(k − s)!s!
=
k
s=0
k!
Ak−s
Bs
(k − s)!s!k!
=
k
s=0
k
s
Ak−s
Bs
k!
=
(A + B)k
k!
o bin˜omio de Newton pode ser aplicado pois A e B comutam, ent˜ao
etA
etB
=
∞
k=0
(A + B)k
k!
tk
= et(A+B)
.
⇐).
17. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 16
Supondo a igualdade, derivando de ambos lados temos
(A + B)et(A+B)
= AetA
etB
+ etA
BetB
derivando novamente
(A + B)(A + B)et(A+B)
= A2
etA
etB
+ AetA
BetB
+ AetA
BetB
+ etA
B2
etB
tomando t = 0 tem-se
(A + B)(A + B) = A2
+ AB + AB + B2
= A2
+ AB + BA + B2
⇒ AB = BA
como quer´ıamos demonstrar.
Propriedade 10. Vale que
||eA
−
p
k=0
Ak
k!
|| ≤ e||A||
−
p
k=0
||A||k
k!
≤ ||A||p+1
e||A||
,
p ∈ N e A ∈ Mn.
Demonstra¸c˜ao.
||eA
−
p
k=0
Ak
k!
|| = ||
∞
k=p+1
Ak
k!
|| ≤
∞
k=p+1
||A||k
k!
= e||A||
−
p
k=0
||A||k
k!
temos ainda que
∞
k=p+1
||A||k
k!
=
||A||p+1
(k + p + 1) · · · (k + 1)
∞
k=0
||A||k
k!
≤ ||A||p+1
e||A||
.
Corol´ario 7. Em especial no resultado anterior com p = 0 temos
||eA
− I|| ≤ e||A||
− I ≤ ||A||e||A||
,
caso p = 1
||eA
− I − A|| ≤ e||A||
− 1 − |A| ≤ ||A||2
e||A||
.
18. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 17
Propriedade 11. Seja x : R → Mn um caminho cont´ınuo de matrizes que
´e deriv´avel em 0 ∈ R, com X(0) = I e x(t + u) = x(t)x(u) ∀ t, u ∈ R ent˜ao x ´e
deriv´avel em R com x (t) = x (0)x(t).
Demonstra¸c˜ao.
Consideramos a express˜ao, com t ∈ R arbitr´ario fixo
x(t + h) − x(t) − x (0)x(t)h
h
=
usamos que x(t + h) = x(h + t) = x(h)x(t), substituindo tem-se
=
x(h)x(t) − x(t) − x (0)x(t)h
h
=
[x(h) − I]x(t) − x (0)x(t)h
h
=
=
[x(h) − I − x (0)(h)]
h
x(t) +
x (0)hx(t)
h
−
x (0)x(t)(h)
h
=
=
[x(h) − I − x (0)(h)]
h
x(t) → 0
quando h → 0 pois x(s) ´e deriv´avel em s = 0, ent˜ao vale realmente x (t) = x (0)x(t).
Propriedade 12. Dada A ∈ Mn, x(t) : R → Mn com x(t) = etA
vale que
x(t + u) = x(t)x(u) ∀ t, u ∈ R.
Demonstra¸c˜ao. Temos que
n
r=0
(tA)r
r!
n
s=0
(uA)s
s!
=
2n
k=0
ckAk
onde
ck =
k
s=0
ts
uk−s
(s)!(k − s)!(k − s)!
=
k
s=0
k
s
ts
uk−s
(k)!
=
(t + u)k
k!
onde essa express˜ao ´e dada pelo regra do produto de polinˆomios, ent˜ao
n
r=0
(tA)r
r!
n
s=0
(uA)s
s!
=
2n
k=0
(t + u)k
k!
Ak
com n → ∞ todos express˜oes com somat´orio convergem tomando o limite temos
∞
r=0
(tA)r
r!
∞
s=0
(uA)s
s!
=
∞
k=0
(t + u)k
k!
Ak
⇒
e(t+u)A
= etA
euA
.
19. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 18
Corol´ario 8. Em especial vale que
e(t+u)A
= etA
euA
= euA
etA
as express˜oes comutam, pois t + u = u + t.
Propriedade 13. Sejam A ∈ Mn, x0 ∈ Rn
, X : R → Mn com X(t) = etA
,
x : R → Rn
com x(t) = X(t)x0 = etA
x0, ent˜ao x e X s˜ao deriv´aveis e vale
d(etA
)
dt
= AetA
∈ Mn
d(etA
x0)
dt
= AetA
x0 ∈ Rn
.
Demonstra¸c˜ao. Dados A ∈ Mn e t ∈ R temos ||tA|| = |t| ||A||, temos por
desigualdade de exponencial que
|| etA
X(t)
− I
X(0)
− tA
A(t)
|| ≤
1
|t|
||tA||2
e||tA||
= |t| ||A||2
e|t| ||A||
≤ |t|||A||2
e||A||
com |t| < 1, onde usamos desigualdade que j´a demonstramos para exponencial. Dessa
desigualdade tem-se que X (0) = A por defini¸c˜ao de derivada. Como temos
X(t + u) = X(t)X(u)
tem-se que X(t) ´e deriv´avel valendo
X (t) = X (0)X(t) = AX(t)
por aplica¸c˜ao em x0 segue que x(t) = X(t)x0 ´e deriv´avel em R e x (t) = Ax(t).
Corol´ario 9. Se A ∈ Mn e x0 ∈ Rn
ent˜ao o caminho x(t) = etA
x0, t ∈ R define
a ´unica solu¸c˜ao de x = Ax com condi¸c˜ao inicial x(0) = x0.
20. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 19
Propriedade 14. Se A, B ∈ Mn tais que AB = BA ent˜ao eA+B
= eA
eB
.
Vejamos outra demonstra¸c˜ao dessa propriedade usando unicidade de solu¸c˜ao de
equa¸c˜ao diferencial.
Demonstra¸c˜ao. Como BA = AB ent˜ao B(tA) = (tA)B, da´ı por resultado que
j´a mostramos tem-se BetA
= etA
B. Fixamos x0 ∈ Rn
, definindo
x(t) = etA
etB
x0
a regra da derivada do produto garante que
x (t) = AetA
etB
x0 + etA
BetB
x0 = AetA
etB
x0 + BetA
etB
x0 = (A + B)x(t)
al´em disso x(0) = x0, logo x(t) ´e solu¸c˜ao de x = (A + B)x com condi¸c˜ao inicial
x(0) = x0, por´em et(A+B)
x0 ´e a ´unica solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao, disso segue
etA
etB
x0 = et(A+B)
x0
tomando t = 1 segue eA
eB
x0 = e(A+B)
x0, como x0 ´e arbitr´ario, os dois operadores
devem ser idˆenticos, por isso
eA+B
= eA
eB
.
Corol´ario 10.
eA
e−A
= eA−A
= e0
= I
ent˜ao eA
´e sempre invert´ıvel com inversa e−A
.
Exemplo 2. Mostre que se u n˜ao ´e autovalor de A ent˜ao a equa¸c˜ao x =
Ax + eut
b, possui uma solu¸c˜ao da forma φ(t) = veut
. Onde b ∈ Rn
, u, t reais, logo
eut
´e a exponencial real.
Substitu´ımos φ(t) = veut
na equa¸c˜ao diferencial para encontrar v.
uveut
= Aveut
+ eut
b ⇒ (u − A)veut
= eut
b ⇒ (u − A)v = b
como u n˜ao ´e autovalor de A, det(uI − A) = 0 logo uI − A ´e invert´ıvel v =
21. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 20
(uI − A)−1
b, ent˜ao realmente existe φ(t) = veut
solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
Propriedade 15. Seja V < Rn
, A-invariante. Ent˜ao V ´e etA
invariante para
qualquer t ∈ R fixo .
Demonstra¸c˜ao. Como V ´e A invariante e subespa¸co de Rn
, ent˜ao ´e invariante
por
tk
Ak
k!
e soma de aplica¸c˜oes desse operador, por isso ∀ n temos
n
k=0
(tA)k
k!
(v) ∈ V ∀ v ∈ V
como subespa¸cos vetoriais s˜ao fechados a propriedade se mant´em na passagem do
limite ∞
k=0
(tA)k
k!
(v) ∈ V ∀ v ∈ V.
Propriedade 16. Sejam A ∈ Mn, S ⊂ F(R, Rn
) espa¸co de todas as solu¸c˜oes
de x = Ax. Definimos T : S → Rn
com T(x) = x(0). Nessas condi¸c˜oes T ´e linear,
sobrejetora e injetora, portanto ´e um isomorfismo e da´ı dimS = n.
Demonstra¸c˜ao.
T ´e linear, pois sendo x1, x2 ∈ S, c ∈ R tem-se
T(cx1 + x2) = (cx1 + x2)(0) = cx1(0) + x2(0) = cT(x1) + T(x2).
T ´e sobrejetora pois dado x0 ∈ Rn
a equa¸c˜ao x = Ax com x(0) = x0 possui
solu¸c˜ao, por condi¸c˜ao de existˆencia, portanto existe x ∈ S tal que T(x) = x0 = x(0).
T ´e injetora, suponha que T(x) = T(y), x, y ∈ S ent˜ao x(0) = y(0) ambas sendo
solu¸c˜ao de z = Az, por unicidade de solu¸c˜ao segue que x = y, pois coincidem na
condi¸c˜ao inicial.
Disso conclu´ımos que T ´e isomorfismo ent˜ao dimS = n.
Propriedade 17. Sejam A ∈ Mn, (vk)n
1 base de Rn
, (sk)n
1 : R → Rn
as solu¸c˜oes
de x = Ax com sk(0) = vk, k ∈ In. Ent˜ao (sk)n
1 ´e LI em S ⊂ F(R, Rn
) (espa¸co das
22. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 21
solu¸c˜oes de x = Ax), qualquer solu¸c˜ao de x = Ax ´e combina¸c˜ao linear de (sk)n
1 .
Demonstra¸c˜ao. Temos que a transforma¸c˜ao T : S → Rn
com T(s) = s(0) ´e um
isomorfismo ent˜ao ela leva base de S em base de Rn
e sua inversa T−1
: Rn
→ S leva
base de Rn
em base de S, como a imagem de (sk)n
1 ´e (vk)n
1 base de Rn
, ent˜ao (sk)n
1 ´e
base de S. Por isso tal conjunto gera S, espa¸co das solu¸c˜oes sendo tamb´em LI.
Propriedade 18. Se A ´e idempotente, ent˜ao
eA
= I + (e − 1)A.
Demonstra¸c˜ao. A ´e idempotente, isto ´e, A2
= A, Ak
= A para k > 0 ent˜ao
eA
= I + A
∞
k=1
1
k!
= I + A(e − 1).
Exemplo 3. Dˆe exemplo de matrizes A e B tais que eA+B
= eA
eB
. Tomamos
matrizes que n˜ao comutam no produto.
A =
1 0
0 0
, B =
0 0
1 0
1 0
0 0
0 0
1 0
=
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
0 0
=
0 0
1 0
portanto elas n˜ao comutam. B ´e nilpotente com B2
= 0, ent˜ao
eB
=
1 0
1 1
= I + B.
A ´e idempotente A2
= A, ent˜ao
23. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 22
eA
= I + (e − 1)A =
e 0
0 1
A + B =
1 0
1 0
A + B ´e idempotente logo
eA+B
= I + (e − 1)(A + B) =
e 0
e − 1 1
por´em temos
eA
eB
=
e 0
0 1
1 0
1 1
=
e 0
1 1
= eA+B
.
Portanto n˜ao vale eA+B
= eA
eB
, neste caso.
Exemplo 4. Calcule a exponencial da matriz
a b
0 a
.
Escrevemos
a b
0 a
=
a 0
0 a
+
0 b
0 0
.
as duas matrizes comutam no produto, dando em qualquer ordem
0 ab
0 0
24. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 23
A =
0 b
0 0
satisfaz A2
= 0 ent˜ao
eA
=
1 0
0 1
+
0 b
0 0
=
1 b
0 1
a outra matriz possui exponencial
e
ea
0
0 ea
usando que eA+B
= eA
eB
quando A e B comutam, temos o resultado desejado
multiplicando as matrizes, resultando em
ea
bea
0 ea
.
Exemplo 5. Calcule a exponencial da matriz
a b
−b a
.
Separamos a matriz como a soma
a b
−b a
=
a 0
0 a
+
0 b
−b 0
sendo que as parcelas comutam (primeira chamamos de A, segunda de B)
0 b
−b 0
a 0
0 a
=
0 ab
−ab 0
=
a 0
0 a
0 b
−b 0
ent˜ao
eA+B
= eA
.eB
=
ea
0
0 ea
cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
=
25. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 24
= ea
cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
.
1.2.2 Autovalores com autovetores
Propriedade 19. Seja v ∈ Rn
um autovetor de A ∈ Mn com autovalor λ ∈ R
ent˜ao
x(t) = eλt
v, t ∈ R
´e a solu¸c˜ao de x = Ax com x(0) = v.
Demonstra¸c˜ao.
Derivamos x(t) = eλt
v, obtemos
x (t) = λeλt
v = eλt
λv = eλt
A = A(x(t))
al´em disso x(0) = eλ0
v = v que satisfaz a condi¸c˜ao inicial e a equa¸c˜ao diferencial
ent˜ao tal express˜ao fornece a solu¸c˜ao por unicidade.
Propriedade 20. Se v ∈ Rn
´e um autovetor de A ∈ Mn e x : R → Rn
´e
solu¸c˜ao de x = Ax tal que x(t ) ∈ {av ∈ Rn
|a ∈ R} = s(v), para algum t ∈ R
ent˜ao x(t) ∈ S(v) ∀ t ∈ R.
Demonstra¸c˜ao. Temos x(t ) = av para algum a real, x = Ax, a solu¸c˜ao de
tal equa¸c˜ao com condi¸c˜ao inicial ´e
x(t) = eλ(t−t )
av,
pois, derivando
x (t) = λeλ(t−t )
av = eλ(t−t )
aλv = eλ(t−t )
aAv = A(eλ(t−t )
av) = Ax(t),
al´em disso x(t ) = av, como a solu¸c˜ao ´e ´unica tem-se x(t) = eλ(t−t )
av ∈ S(v).
26. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 25
Exemplo 6. Em um sistema
x1(t)
x2(t)
=
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
x1(t)
x2(t)
x1(t) e x2(t) satisfazem equa¸c˜oes diferenciais lineares de ordem 2. Por exemplo
x1 satisfaz
x1 = (a1,1 + a2,2)x1 + (a1,2a2,1 + a2,2a1,1)x1.
Propriedade 21. Suponha que A ∈ Mn possui um autovalor real λ < 0
ent˜ao a equa¸c˜ao x = Ax possui pelo menos uma solu¸c˜ao x(t) n˜ao trivial tal que
lim
t→∞
x(t) = 0.
Demonstra¸c˜ao.
Seja v0 autovetor associado `a λ ent˜ao x = Ax, A(0) = v0 possui solu¸c˜ao da forma
x(t) = eλt
v0,
pois x(0) = v0 e derivando
x (t) = λeλt
v0 = eλt
λv0 = eλt
Av0 = A(eλt
v0) = Ax(t)
portanto ´e realmente solu¸c˜ao, ainda temos que lim
t→∞
eλt
v0 = 0 por domina¸c˜ao da
exponencial em cada coordena do vetor solu¸c˜ao.
Propriedade 22. Todas as solu¸c˜oes x(t) de x = Ax tendem a 0 ∈ Rn
quando
t → ∞ se A ∈ Mn ´e diagonal e todas suas entradas s˜ao negativas.
Demonstra¸c˜ao.
A equa¸c˜ao diferencial ´e da forma
x1(t)
...
xn(t)
=
−λ1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · −λn
x1(t)
...
xn(t)
27. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 26
ent˜ao em cada coordenada temos xk(t) = −λkxk que possui solu¸c˜ao da forma
xk(t) = e−λkt
xk(0), com cada λk > 0, portanto cada coordenada tende a zero e da´ı
x(t) → 0.
Propriedade 23. Seja A ∈ Mn. Se λ ´e um autovalor de A associado `a v
ent˜ao eλ
´e um autovalor de eA
associado `a v.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que A(v) = λv, v = 0
eA
v = (
∞
k=0
Ak
k!
)v =
∞
k=0
Ak
v
k!
=
∞
k=0
λk
v
k!
= eλ
v
como quer´ıamos demonstrar.
Exemplo 7. Dˆe um exemplo de uma matriz A tal que eA
tenha algum
autovalor real negativo.
Seja A =
0 π
−π 0
, sua exponencial ´e
eA
=
cos(π) sen(π)
−sen(π) cos(π)
=
−1 0
0 −1
que possui autovalor −1, perceba que −1 = eiπ
, iπ ´e autovalor de A sobre C.
Propriedade 24. Seja A ∈ Mn tal que ||A − I|| < 1, ent˜ao A ´e invert´ıvel e
∞
k=0
(I − A)k
converge absolutamente para A−1
.
Demonstra¸c˜ao. Denotaremos b = ||A − I|| < 1
|x| = |I(x)| = |(I − A)x + A(x)| ≤ |(A − I)(x)| + |A(x)| ≤ ||A − I|||x| + |A(x)| ⇒
28. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 27
(1 − b)
>0
|x| < |A(x)|
1 − b > 0 pois b < 1. Portanto A(x) se anula ⇔ x = 0, A ´e injetora portanto
sobrejetora e bijetora (dimens˜ao finita).
A s´erie converge absolutamente pois ||I − A|| < 1 a norma dos termos da s´erie
converge por s´erie geom´etrica.
[(I − A) − I]
n−1
k=0
(I − A)k
=
n−1
k=0
[(I − A)k+1
− (I − A)k
] = (I − A)n
− I,
por soma telesc´opica, logo
A
n−1
k=0
(I − A)k
= I − (I − A)n
⇒ A
n−1
k=0
(I − A)k
− I = −(I − A)n
⇒
||A
n−1
k=0
(I − A)k
− I|| = ||(I − A)||n
→ 0
com n grande, ent˜ao
A
∞
k=0
(I − A)k
= I ⇒
∞
k=0
(I − A)k
= A−1
.
Propriedade 25. Se temos solu¸c˜ao y de y = By com y(0) = Q−1
x0 onde
x = Ax, AQBQ−1
ent˜ao temos a solu¸c˜ao de x = Ax com x(0) = x0 dada por
Qy(t).
Demonstra¸c˜ao. A solu¸c˜ao de x = Ax com x(0) = x0 ´e x(t) = eAt
x0 como
At = QBtQ−1
ent˜ao eAt
= QeBt
Q−1
de y(t) = eBt
y0 = eBt
Q−1
x0 multiplicando por Q
`a esquerda, tem-se
Qy(t) = (QeBt
Q−1
)
eAt
x0 = eAt
x0.
1.3 Solu¸c˜ao de sistemas lineares usando forma canˆonica
de Jordan
29. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 28
Propriedade 26. Sejam
B =
A1 · · · 0
... · · ·
...
0 · · · Am
onde cada Ak ´e um bloco, B ´e matriz diagonal em bloco, ent˜ao temos
eB
=
eA1
· · · 0
... · · ·
...
0 · · · eAm
a exponencial de uma matriz em blocos ´e obtida tomando a exponencial de
cada bloco ao longo da diagonal.
Demonstra¸c˜ao.
1.4 Teorema de Picard
Teorema 2 (Teorema de Picard). Considere o problema
X (t) = f(t, x)
x(t0) = x0
onde f ´e limitada, cont´ınua e Lipschitz na segunda vari´avel em Ia × Bb[x0] onde
Ia = [t0 − a, t0 + a],
Bb[x0] = {x ∈ Rn
| |x − x0| ≤ b}.
Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao do problema em Iα onde α = min{a,
b
M
}, M ´e
tal que |f| ≤ M.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que o problema ´e equivalente a resolver a equa¸c˜ao
integral
x(t) = x0 +
t
t0
f(s, x(s))ds
30. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 29
logo podemos definir o operador L : C0(Iα, Bb) → C0(Iα, Bb)
por
L(ϕ) = x0 +
t
t0
f(s, ϕ(s))ds.
Logo nosso problema se reduz a encontrar um ponto fixo de L. Dado ϕ ∈ C0(Iα, Bb),
L(ϕ) ´e cont´ınua, verificaremos que L(ϕ) : Iα → Bb
|L(ϕ)(t) − x0| = |
t
t0
f(s, ϕ(s))ds| ≤ M|t − t0| ≤ Mα ≤ b.
Como C0(Iα, Bb) ´e completo, basta ver que para algum m, Lm
´e contra¸c˜ao.
Vamos provar que para t ∈ Iα, temos
|Ln
(ϕ1)(t) − Ln
(ϕ2)(t)| ≤
kn
|t − t0|n
n!
|ϕ1 − ϕ2|∞
lembrando que |ϕ1 − ϕ2|∞ = sup
t∈Iα
|ϕ1(t) − ϕ2(t)|. Provamos por indu¸c˜ao, para m = 0
vale a desigualdade pois equivale `a
|ϕ1(t) − ϕ2(t)| ≤ |ϕ1 − ϕ2|∞
suponha a validade para m ent˜ao, vamos provar para m + 1
|Lm+1
(ϕ1)(t) −m+1
L (ϕ2)(t)| = |L(Lm
(ϕ1))(t) − L(m
L (ϕ2))(t)|
substituindo pela integral temos
|
t
t0
f(s, Lm
(ϕ1)(s))ds −
t
t0
f(s, Lm
(ϕ2)(s))ds| ≤
t
t0
|f(s, Lm
(ϕ1)(s)) − f(s, Lm
(ϕ2)(s))|ds ≤
usando a condi¸c˜ao de Lipschitz na segunda vari´avel
≤
t
t0
k|Lm
(ϕ1)(s) − Lm
(ϕ2)(s)|ds ≤
usamos agora a hip´otese da indu¸c˜ao
≤ k
t
t0
km |s − t0|m
m!
|ϕ1 − ϕ2|∞ds =
km+1
m!
|ϕ1 − ϕ2|∞
t−t0
0
|s|m
ds ≤
31. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 30
≤
km+1
(m + 1)!
|ϕ1 − ϕ2|∞|t − t0|m+1
logo fica provado por indu¸c˜ao, al´em disso temos que
|Ln
(ϕ1)(t) − Ln
(ϕ2)(t)| ≤
kn
αn
n!
|ϕ1 − ϕ2|∞
pois α ´e o comprimento do intervalo, Lm
´e contra¸c˜ao para m suficientemente grande,
pois para m grande temos 0 <
kn
αn
n!
|ϕ1 −ϕ2|∞ < 1, portanto L possui um ´unico ponto
fixo e o resultado est´a provado.
Propriedade 27. Considere o problema de valor inicial y (t) = f(t, y(t)), y(t0) =
y0,. Suponha que f ´e uniformemente lipschitz em y (a constante de Lipschtiz in-
dependente de t) e cont´ınua em t. Ent˜ao, para algum valor de ε > 0, existe uma
´unica solu¸c˜ao y(t) do problema de valor inicial no intervalo [t0 − ε, t0 + ε].
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 28. Sejam Ω aberto em R × E, E ⊂ Rn
, aberto . f : Ω → E
cont´ınua com D2f cont´ınua para todo ponto (t0, x0) ∈ Ω existe uma vizinhan¸ca
V = I(t0) × B[x0] tal que x = f(t, x), x(t0) = x0 tem uma ´unica solu¸c˜ao em I(t0).
Al´em disso o gr´afico desta solu¸c˜ao est´a contido em V onde I(t0) ´e algum intervalo
centrado em t0 e B(x0) alguma bola de Rn
centrada em x0.
Demonstra¸c˜ao. Seja U uma vizinhan¸ca de (t0, x0) tal que f|U ´e lipschitziana
na segunda vari´avel e |f| ≤ M em U, pois a segunda derivada ´e cont´ınua em um
compacto logo a fun¸c˜ao ´e lipschitz na segunda vari´avel. Seja α > 0 suficientemente
pequeno tal que V = Iα(t0)×Bb[x0] ⊂ U, onde b = αM, com isso estamos na condi¸c˜ao
do teorema de Picard, o que implica solu¸c˜ao ´unica.
Teorema 3 (Teorema de Peano). Dada f cont´ınua e |f| < M em Ia[t0] × Bb[x0].
Nessas condi¸c˜oes existe pelo menos uma solu¸c˜ao de
x = f(t, x), x(t0) = x0
32. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 31
em Iα, onde α = min{a,
b
M
} (Nota¸c˜oes como no teorema de Picard).
Demonstra¸c˜ao. Como f ´e cont´ınua em Ia × Bb, existe uma sequˆencia (pn) de
fun¸c˜oes de classe c∞
que converge uniformemente para f. (Basta aplicar o teorema
de aproxima¸c˜ao de Weierstrass em cada coordenada).
Agora considere o problema
(1)
x = pn(t, x)
x(t0) = x0
para n grande |pn| ≤ M em Ia × Bb, (pn) ´e lipschitz, por ser C∞
em compacto.
Assim podemos aplicar o teorema de Picard, obtendo uma fam´ılia (ϕn) de solu¸c˜oes
do problema (1), temos que tal fam´ılia ´e uniformemente limitada pois
|ϕn(t) − x0| ≤ b∀ t ∈ Iα
e vale a equicontinuidade pois
|ϕn(t) − ϕn(t )| = |x0 +
t
t0
pn(s, ϕn(s))ds − x0 −
t
t0
pn(s, ϕn(s))ds| =
= |
t
t
pn(s, ϕn(s))ds| ≤
t
t
|pn(s, ϕn(s))|ds ≤ M|t − t |
para n maior que algum n0 ∈ N , perceba tamb´em que essa rela¸c˜ao n˜ao depende
de n, na condi¸c˜ao de n > n0, portanto temos equicontinuidade. Denotaremos a
subsequˆencia pela mesma nota¸c˜ao (ϕn).
Como temos a sequˆencia uniformemente limitada ( logo simplesmente limitada)
e equicont´ınua, podemos aplicar o teorema de Arzel´a-Ascoli, garantindo a existˆencia
de uma subsequˆencia uniformemente convergente em C([a, b], Bb) para uma fun¸c˜ao
ϕ.
Afirmamos que ϕ ´e uma solu¸c˜ao do problema original. De fato , para cada n ≥ n0
temos que
ϕn(t) = x0 +
t
t0
pn(s, ϕn(s))ds
sabemos que ϕn →u ϕ, queremos mostrar que temos convergˆencia para
ϕ(t) = x0 +
t
t0
f(s, ϕ(s))ds.
33. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 32
Para isso, iremos mostrar que pn(s, ϕn(s)) →u f(s, ϕ(s)).
|pn(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| ≤ |pn(s, ϕn(s)) − f(s, ϕn(s))| + |f(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| ≤
≤ |pn − f|∞
norma do sup
+|f(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))|
pela continuidade de f, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se |(s1, x1) − (s2, x2)| < δ ⇒
|f(s1, x1) − f(s2, x2)| <
ε
2
, e dado tal δ > 0, existe n1 ∈ N tal que n ≥ n1
|ϕn(s) − ϕ(s)| ≤ δ ∀ s ∈ Iα
por convergˆencia uniforme de ϕn. Assim n ≥ n1 temos que
|f(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| <
ε
2
por outro lado temos que existe n2 ∈ N tal que n ≥ n2 implica |pn − f|∞ <
ε
2
, logo
para n ≥ max{n1, n2} tem-se
|pn(s, ϕn(s)) − f(s, ϕ(s))| <
ε
2
+
ε
2
= ε
como quer´ıamos demonstrar.
1.5 Solu¸c˜oes m´aximas
Defini¸c˜ao 11 (Solu¸c˜ao m´axima). Uma solu¸c˜ao ϕ de
(1)
x = f(t, x)
x(t0) = x0
´e dita m´axima, definida em I , intervalo, chamado de intervalo m´aximo , se toda
solu¸c˜ao de (1), θ, definida em J com I ⊂ J e θ|I = ϕ implica que J = I. ϕ ´e m´axima
se n˜ao admite extens˜ao que tamb´em ´e solu¸c˜ao de (1).
34. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 33
Propriedade 29. Seja f cont´ınua em Ω ⊂ R×Rn
, tal que para todo (t0, x0) ∈
Ω exista uma ´unica solu¸c˜ao de x = f(t, x), x(t0) = x0. Definida em um intervalo
aberto I = I(t0, x0) (por exemplo se f ´e localmente lipschitz na segunda vari´avel
), ent˜ao para todo (t0, x0) ∈ Ω existe uma ´unica solu¸c˜ao ϕ = ϕ(t, t0, x0) de x =
f(t, x), x(t0) = x0, definida em um intervalo M(t0, x0) = (w−(t0, x0), w+(t0, x0))
tal que toda solu¸c˜ao ψ de x = f(t, x), x(t0) = x0 em I, satisfaz I ⊂ M(t0, x0) e
ψ = ϕ|I, isto ´e, a equa¸c˜ao diferencial possui uma solu¸c˜ao m´axima.
Demonstra¸c˜ao. Tomamos M(t0, x0) = Iψ onde Iψ ´e o intervalo de defini¸c˜ao
de alguma solu¸c˜ao ψ de x = f(t, x), x(t0) = x0. Perceba que isso implica que para
qualquer solu¸c˜ao ϕ temos ϕ(t0) = x0 logo elas sempre possuem algum ponto em
comum no dom´ınio.
Se t ∈ Iψ, definimos ϕ(t) = ψ(t), tal defini¸c˜ao n˜ao depende da ϕ usada, pois se
existem ψ1 e ψ2 que assumem mesmo valor para o mesmo t consideramos o conjunto
B = {t ∈ Iψ1
∩ Iψ2
| ψ1(t) = ψ2(t)}
que ´e fechado por ser (ψ1 −ψ2)−1
(0), imagem inversa de fechado por fun¸c˜ao cont´ınua
´e fechado. B ainda ´e aberto, pois para todo ponto t nele cont´em I(t , ψ1(t )) ∩ B ,
pela existˆencia e unicidade das solu¸c˜oes pois dado t ∈ B por hip´otese existe uma
´unica solu¸c˜ao de x = f(t, x), x(t ) = ϕ1(t ) = ϕ2(t ) logo existe um intervalo aberto
I com t no centro tal que ϕ1|I = ϕ2|I e I ⊂ B. Como Iψ1
∩ Iψ2 ´e conexo, por ser
intervalo B ´e um conjunto fechado e aberto em Iψ1
∩ Iψ2
, logo vale que
B = Iψ1
∩ Iψ2
.
Portanto a fun¸c˜ao est´a bem definida. A uni˜ao Iψ := M ´e um intervalo pois os
intervalos dos quais estamos tomando a uni˜ao Iψ s˜ao n˜ao disjuntos.
Sejam x, y em M com x < y, vamos mostrar que z tal que x < z < y tamb´em
pertence `a M. Caso x < y < t0 temos um intervalo Iψ1
com x ∈ Iψ1
mas t0 pertence a
todos esses intervalos, logo (x, t0) ∈ Iψ1
isso implica que z entre x e y tamb´em, neste
caso. Se temos t0 < x < y ent˜ao existe Iψ1
com (t0, y) ∈ Iψ2
logo z tamb´em.
O ´ultimo caso ´e x < t0 < y, temos x ∈ Iψ e y ∈ Iψ por´em t0 pertence a ambos
intervalos, logo ao primeiro est´a contido (x, t0] o segundo [t0, y) portanto (x, y) ⊂ M.
35. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 34
Disso segue que M ´e intervalo, por ser uni˜ao de abertos ´e um aberto, portanto M ´e
um intervalo aberto.
Propriedade 30 (Solu¸c˜ao escapa de compacto). Seja f : U ⊂ R × Rn
→ Rn
,
cont´ınua, U aberto e ϕ uma solu¸c˜ao maximal ´unica de x = f(t, x) definida em
(w−, w+) = M definimos g : M → U com g(t) = (t, ϕ(t)), nessas condi¸c˜oes
g(t) → ∂U (se aproxima da borda de U) quando t → w±. Dito de outro modo,
para todo compacto K ⊂ U, existe uma vizinhan¸ca V de w± tal que ∀ t ∈ V tem-se
g(t) /∈ K. A fun¸c˜ao escapa de compacto .
Demonstra¸c˜ao.
Suponha que exista K ⊂ U compacto e (tn) ∈ R tal que tn → w+ e g(tn) ∈
K ∀ n, com isso temos uma sequˆencia em um compacto, que possui subsequˆencia
convergente, passando a subsequˆencia convergente (mantendo a mesma nota¸c˜ao),
temos que
g(tn) = (tn, f(tn)) → (w+, x0)
onde x0 = lim f(tn) por defini¸c˜ao. Considere o problema
x = f(t, x), x(w+) = x0
pelo teorema de Peano, existe uma solu¸c˜ao de tal problema em Iα[w+] × Bb[x0],
considere V = Iα
3
[w+] × Bb
3
[x0] logo para qualquer (t0, x0) ∈ V, existe uma solu¸c˜ao
definida em Iα
2
[t0] × Bb
2
[x0] e como g(tn) → (w+, x0) ent˜ao para n grande g(tn) ∈ V .
Consideremos o problema
x = f(t, x), x(tn) = ϕ(tn)
pela observa¸c˜ao anterior existe uma solu¸c˜ao em Iα
2
[tn] × Bb
2
[ϕ(tn)], logo ϕ ´e prolon-
gada at´e
tn +
α
2
≥ (w+ −
α
2
) +
α
2
> w+
pois tn ∈ [w+ −
α
3
, w+ +
α
3
] o que gera contradi¸c˜ao pois (w−, w+) ´e intervalo maximal
de solu¸c˜oes.
36. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 35
Propriedade 31. Dada f : U ⊂ R × Rn
→ Rn
, cont´ınua, U aberto , f limitada.
Se w+ < ∞ e w− > −∞ temos que lim
t→w±
g(t) existe.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 32. Se U = Rn
e |f(x)| < c ∀ x ∈ Rn
ent˜ao Ix = R∀ x ∈ Rn
,
nas condi¸c˜oes da propriedade de escapar de compacto . Isto ´e, as equa¸c˜oes com
campo limitado possuem solu¸c˜ao maximal definida em toda reta.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que w+(x) < ∞ para algum x ∈ R, como
|x − ϕt(x)| = |
t
0
f(ϕt(s))|ds ≤ ct ≤ c+(x)
disso resulta que para todo t ∈ [0, w+(x)] ϕt(x) est´a em Bcw+(x)[x]. O que contradiz a
propriedade de escapar de compacto, logo w+(x) = ∞ ∀ x ∈ Rn
do mesmo modo se
prova que w− = −∞ ∀ x ∈ Rn
.
Propriedade 33. Se ϕ ´e uma solu¸c˜ao de X = f(x) definida no intervalo
m´aximo I e ϕ(t1) = ϕ(t2) para t1 = t2 ent˜ao I = R e ϕ(t + c) = ϕ(t) ∀ t onde
c = t2 − t1, isto ´e, ϕ ´e peri´odica .
Demonstra¸c˜ao.
1.6 Classifica¸c˜ao de sistemas planares
Nesta se¸c˜ao trabalharemos em geral com equa¸c˜oes da forma x = Ax onde x : R →
R2
, caso contr´ario citaremos ao longo do texto.
Defini¸c˜ao 12 ( ´Orbita). A ´orbita de x : R → Rn
´e o conjunto
{(x1(t), x2(t), · · · , xn(t)), t ∈ R}
com t variando de −∞ at´e ∞, essa varia¸c˜ao ´e dita orienta¸c˜ao ou sentido do
37. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 36
percurso.
Corol´ario 11. Pela unicidade de solu¸c˜oes por cada ponto do espa¸co Rn
passa
uma ´unica ´orbita de x = Ax, A ∈ Mn.
Veremos a classifica¸c˜ao por casos.
Caso 1)
A possui dois autovalores reais distintos, λ1 < λ2, passamos a discuss˜ao para a
matriz diagonalizada, com equa¸c˜ao de solu¸c˜ao
x(t) = (l1eλ1t
, l2eλ2t
).
Caso 1a)
Ambos autovalores negativos. Consideramos a condi¸c˜ao inicial positiva em cada
coordenada. Temos que
lim
t→∞
x(t) = 0
lim
t→−∞
x(t) = ∞
pois cada coordenada apresenta tal comportamento.
Neste caso, um campo com esse comportamento ´e dito um atrator linear (as
solu¸c˜oes se aproximam de zero), que a origem ´e um po¸co ou um n´o est´avel.
As curvas definidas pelas solu¸c˜oes vˆem desde o infinito at´e a origem do plano.
Caso 1b)
Ambos autovalores positivos. Consideramos a condi¸c˜ao inicial positiva em cada
coordenada. o retrato de fase ´e como no caso anterior, trocando t po −t.
lim
t→∞
x(t) = ∞
lim
t→−∞
x(t) = 0.
O campo linear com esse comportamento ´e um repulsor linear, que a origem ´e
uma fonte (as solu¸c˜oes saem do ponto) ou n´o inst´avel .
38. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 37
1.6.1 Classifica¸c˜ao por conjuga¸c˜ao topol´ogica
Defini¸c˜ao 13 (Matriz hiperb´olica). A ∈ Mn ´e hiperb´olica se a parte real de
seus autovalores ´e n˜ao nula.
Defini¸c˜ao 14 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax ´e
Atrator se os autovalores de A possuem parte real negativa.
Defini¸c˜ao 15 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax ´e
Atrator se os autovalores de A possuem parte real negativa.
Defini¸c˜ao 16 (Repulsor). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax
´e repulsor se os autovalores de A possuem parte real positiva.
Defini¸c˜ao 17 (Sela). Um retrato de fase de um sistema linear x = Ax, A
de ordem 2 ´e sela se os autovalores de A possuem, um parte real positiva e outro
negativa.
Defini¸c˜ao 18 (Fluxo contrativo). O fluxo etA
de A ´e contrativo se existem
constantes positivas c e r tais que
|etA
| ≤ ce−rt
|x| ∀ t ≥ 0, x ∈ Rn
.
Propriedade 34. O fluxo de x = Ax ´e contrativo se todas as solu¸c˜oes
convergem para a origem uniforme e exponencialmente.
Demonstra¸c˜ao.
39. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 38
Propriedade 35. Seja A ∈ Mn um campo linear, s˜ao equivalentes
• A origem ´e um po¸co para A.
• A ´e um atrator .
• O fluxo de A ´e contrativo .
Para verificar que o fluxo de um campo linear em Rn
´e contrativo, basta veri-
ficar se todos os autovalores do campo possuem parte real negativa.
Demonstra¸c˜ao.
1.7 EDO e sistemas dinˆamicos
Defini¸c˜ao 19 (Difeomorfismos). F : U ⊂ Rn
→ Rn
´e um difeomorfismo de U
aberto em F(U) se F ´e deriv´avel e possui inversa deriv´avel.
Um C1
difeomorfismo ´e um difeomorfismo F : U ⊂ Rn
→ Rn
, tais que F −1
e F
s˜ao cont´ınuas, de maneira semelhante para Cn
difeomorfismo .
Defini¸c˜ao 20. Denotaremos o conjunto dos difeormorfismo de Rn
em Rn
por
Dif(n).
Propriedade 36. Dif(n) ´e um grupo com a composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes.
Demonstra¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 21 (Sistema dinˆamico). Um sistema dinˆamico agindo em Rn
´e um
homomorfismo de grupos ϕ : R → Diff(n), isto ´e,
ϕ(t + s) = ϕ(t) ◦ ϕ(s).
40. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 39
A cada real associamos um difeomorfismo.
Defini¸c˜ao 22. Nas condi¸c˜oes da defini¸c˜ao anterior, dizemos que
{ϕ(t)}t∈R
´e um grupo a um parˆametro de difeomorfismos.
Propriedade 37. Dada A ∈ Mn, eAt
´e um difeomorfismo.
Demonstra¸c˜ao.
1.8 Dependˆencia das solu¸c˜oes em rela¸c˜ao as condi¸c˜oes
iniciais e parˆametros
Para o primeiro teorema usaremos um lema
♣ Lema 1. Seja (ϕn) equicont´ınua , pontualmente limitada, ϕn : X → R, X espa¸co
m´etrico compacto. Se toda subsequˆencia de (ϕn) uniformemente convergente possuir
o mesmo limite ϕ, ent˜ao ϕn →u ϕ
Demonstra¸c˜ao. Suponha que (ϕn) n˜ao converge uniformemente para ϕ ent˜ao
existem ε > 0 , (tk) em X e (ϕnk
) subsequˆencia de (ϕn) tal que
|ϕnk
(tk) − ϕ(tk)| ≥ ε.
(ϕnk
) ´e equicont´ınua e pontualente limitada, o teorema de Arzel´a-Ascoli implica que
(ϕnk
) possui subsequˆencia (ϕnp ) uniformemente convergente para ϕ , mas isso ´e um
absurdo pois
|ϕnp (tp) − ϕ(tp)| ≥ ε.
41. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 40
Propriedade 38. Sejam fn : Ω → Rm
, (fn) cont´ınua em Ω aberto de R × Rm
,
fn →u f0 em cada parte compacta de Ω, (tn, xn) sequˆencia em Ω com (tn, xn) →
(t0, x0), supondo que
x = fn(t0, x0), x(tn) = xn, n ∈ N,
possui uma ´unica solu¸c˜ao m´axima ϕn em In = (w−(n), w+(n)), seja [a, b] ⊂ I0 =
(w−(0), w+(0)) ent˜ao existe n0 = n0(a, b) tal que para n > n0, In ⊃ [a, b] e
ϕn|[a,b] →u ϕ0|[a,b].
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 39 (Continuidade nas condi¸c˜oes iniciais). Sejam f cont´ınua
em Ω aberto em R × Rn
× A ,A ´e um espa¸co euclidiano, para cada (t0, x0, λ) ∈ Ω
o problema com condi¸c˜oes iniciais
x = f(t, x, λ), x(t0) = x0
λ fixo, possua uma ´unica solu¸c˜ao
ϕ = ϕ(t, t0, x0, λ)
definida no seu intervalo m´aximo (w,w+), w± = w±(t0, x0, λ), ent˜ao
1.
D = {(t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, t ∈ (w,w+)}
´e aberto em R × Ω
2. ϕ ´e cont´ınua em D.
Demonstra¸c˜ao.
♣ Lema 2 (Lema de Gronwall). Sejam u, v fun¸c˜oes cont´ınuas n˜ao negativas em
42. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 41
[a, b] tais que para α ≥ 0
u(t) ≤ α +
t
a
v(s)u(s)ds, t ∈ [a, b]
ent˜ao
u(t) ≤ αe
t
a v(s)ds
em especial se α = 0 ent˜ao u = 0.
Demonstra¸c˜ao. Se α > 0, seja w(t) = α +
t
a
v(s)u(s)ds, temos w(a) = α,
w(t) ≥ α > 0 pois integral de n˜ao negativas ´e n˜ao negativa, de
w (t) = v(t)u(t) ≤ v(t)w(t)
temos
w (t)
w(t)
≤ v(t)
aplicando
t
a
obtemos
ln(
w(t)
w(a)
α
) ≤
t
a
v(s)ds ⇒
w(t)
α
≤ e
t
a v(s)ds
⇒
u(t) ≤ w(t) ≤ αe
t
a v(s)ds
Propriedade 40. Seja K a constante de Lipschitz na segunda coordenada de
f (cont´ınua) , para t ∈ I(t0,x0) ∩ I(t0,y0) temos
|ϕ(t, t0, x0) − ϕ(t, t0, y0)| ≤ ek|t−t0|
|x0 − y0|
sendo ϕ(t, t0, x0) solu¸c˜ao de x (t) = f(t, x), x(t0) = x0.
Demonstra¸c˜ao. Sejam ϕ(t) = ϕ(t, t0, x0), ψ(t) = ψ(t) = ϕ(t, t0, y0), ent˜ao
ϕ(t) − ψ(t) = x0 − y0 +
t
t0
[f(s, ϕ(s) − f(s, ψ(s))]ds,
de onde segue por condi¸c˜ao de Lipschtiz e desigualdade de integral que
|ϕ(t) − ψ(t)| ≤ |x0 − y0| + |
t
t0
K|ϕ(s) − ψ(s)|ds|
43. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 42
se t ≥ t0 o resultado decorre do Lema de Gronwall com α = |x0 − y0|, u(t) =
|ϕ(t) − ψ(t)| e v(t) = K.
Se t ≤ t0, a propriedade resulta do Lema de Gronwall aplicado a x = −f(−t, x),
cuja solu¸c˜ao por (−t0, x0) ´e ψ(t, −t0, x0) (continuar depois n˜ao entendi a outra parte)
1.8.1 Diferenciabilidade
♣ Lema 3. Seja f cont´ınua em (a, b) × K onde K ´e um aberto convexo de Rn
.
Se f admite derivada parcial D2f cont´ınua em (a, b) × K ent˜ao existe uma fun¸c˜ao
h(a, b) × K × K → L(Rn
) cont´ınua tal que
1. h(t, x, x) = D2f(t, x), (t, x) ∈ (a, b) × K
2. f(t, x2) − f(t, x1) = h(t, x1, x2)(x2 − x1).
L(E) denota o espa¸co de aplica¸c˜oes lineares de E em E, isomorfo `a Rn
.
Demonstra¸c˜ao. Definimos
h(t, x1, x2) =
1
0
D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)du
que ´e integr´avel pois D2f ´e cont´ınua, podemos tomar ux2+(1−u)x1 com u variando em
[0, 1] pois K, conjunto onde f toma a segunda coordenada ´e convexo . A continuidade
de h resulta da continuidade de D2f .Basta tomar a diferen¸ca das integrais e usar
continuidade de D2f. Existe δ1 > 0 tal que |(t − t , x1 − x1, x2 − x2)| < δ1 implica
|(t − t , ux2 + (1 − u)x1 − ux2 + (1 − u)x1)| < δ e por continuidade |D2f(t, ux2 + (1 −
u)x1) − D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)| < ε da´ı
|h(t, x1, x2) − h(t, x1, x2)| ≤
1
0
|D2f(t, ux2 + (1 − u)x1) − D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)|du ≤ ε
logo a fun¸c˜ao ´e cont´ınua.
1.
h(t, x, x) =
1
0
D2f(t, ux + (1 − u)x)du =
1
0
D2f(t, x)du = D2f(t, x)
como quer´ıamos demonstrar.
44. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 43
2. Pelo teorema fundamental do c´alculo temos
f(t, x2) − f(t, x1) =
1
0
d
du
[f(t, ux2 + (1 − u)x1)]du =
(por regra da cadeias(?) segue que)
=
1
0
D2f(t, ux2 + (1 − u)x1)(x2 − x1)du
como quer´ıamos mostrar.
Teorema 4 (Dependˆencia diferenci´avel com respeito as condi¸c˜oes iniciais).
Seja f : U ⊂ R × Rn
cont´ınua no aberto U, f(t, x), t ∈ R, x ∈ Rn
, diferenci´avel com
rela¸c˜ao `a vari´avel x, sendo
∂f
∂x
cont´ınua em U.
Como consequˆencia do teorema de Picard, temos que ∀ (t0, x0) ∈ U o problema
de Cauchy x = f(t, x), x(t0) = x0 admite uma ´unica solu¸c˜ao maximal ϕ =
ϕ(t, t0, x0) com t tomando valores em um intervalo maximal I(t0, x0). Seja D o
aberto (ver), tal que ϕ : D → U, ent˜ao existe e ´e cont´ınua a derivada ∂x0
ϕ(t, t0, x0),
∂x0
ϕ : D → L(Rn
). Al´em disso tal derivada ´e a solu¸c˜ao da seguinte equa¸c˜ao
diferencial ordin´aria matricial linear
Z =
∂f(t, ϕ(t, t0x0))
∂x
Z
Z(t0) = I Identidade n × n.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 41. Seja f cont´ınua em Ω aberto de R × Rn
× Rm
, com
D2f cont´ınua em Ω. Ent˜ao para λ fixo, a solu¸c˜ao ϕ = ϕ(t, t0, x0, λ) de x =
f(t, x, λ), x(t0) = x0 ´e ´unica e admite derivada parcial D3ϕ com rela¸c˜ao `a x0, a
aplica¸c˜ao µ com x(t, t0, x0, λ) = D3ϕ(t, t0, x0, λ) ´e cont´ınua no seu dom´ınio
D = {(t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, w(t0, x0, λ) < t < w+(t0, x0, λ)}
45. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 44
e
x(t) = D3ϕ(t, t0, x0, λ)ek =
∂ϕ
∂xk
0
(t, t0, x0, x)
xk
0 para simbolizar k-´esima, para todo 1 ≤ k ≤ dimE sendo solu¸c˜ao de
x = J(t)x, x(t0) = ek
onde J(t) = J(t, t0, x0, λ) =2 f(t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ).
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 42. Se al´em das hip´oteses do teorema anterior f ´e diferenci´avel
em rela¸c˜ao `a λ e D3f ´e cont´ınua em Ω, ent˜ao ϕ ´e diferenci´avel em rela¸c˜ao `a λ e
D4ϕ(ek) =
∂ϕ
∂λk ´e cont´ınua em D.
Al´em disso, x(t) =
∂ϕ
∂λk
(t, t0, x0, λ) ´e solu¸c˜ao de x = j(t)X + b(t), x(t0) = 0
onde
b(t) = B(t)ek
B(t) = D3f(t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ).
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 43. Seja f cont´ınua em Ω aberto em R × Rn
× Rm
× Rp
, se
f(t, x, λ, µ) ´e diferenci´avel em rela¸c˜ao `a x, λ e D2f, D3f s˜ao cont´ınuas em Ω ent˜ao
para λ e µ fixos,
x = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0
possui solu¸c˜ao ´unica ϕ(t, t0, x0, λ, µ) diferenci´avel em rela¸c˜ao `a (t, x0, λ). As de-
rivadas D1ϕ, D3ϕ, D4ϕ, D1D3ϕ, D1D4ϕ s˜ao cont´ınuas em D.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 44. Seja f(t, x, λ, µ) cont´ınua em Ω ⊂ R × Rn
× Rm
× Rp
aberto,
com derivadas parciais de ordem ≤ w relativas `as coordenadas de (x, λ) cont´ınuas,
46. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 45
ent˜ao para λ, µ fixo
x = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0
possui solu¸c˜ao ´unica ϕ = ϕ(t, t0, x0, λ, µ), ϕ definida no aberto
D = {(t, t0, x0, λµ) | (t0, x0, λ, µ) ∈ Ω e w−(t, t0, x0, λ, µ) < t < w+(t0, x0, λ, µ)}
de R × Ω na qual admite todas derivadas parciais da forma
∂
s+
m
k=1
αk+
l
k=1
Bk
ϕ
∂ts
m
k=1
∂(xk
0)αk
l
k=1
∂(λk)Bk
cont´ınuas, com
m
k=1
αk +
l
k=1
Bk ≤ w, s ≤ 1.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 45. Seja f = f(t, x) de classe Cm
em Ω, ent˜ao ϕ = ϕ(t, t0, x0)
possui todas as derivadas parciais de ordem ≤ m com respeito as vari´aveis (t, x0)
cont´ınuas no aberto
D = {(t, t0, x0) | (t0, x0) ∈ Ω, w−(t0, x0) < t < w+(t0, x0)}.
Demonstra¸c˜ao.
1.9 Elementos da teoria qualitativa das equa¸c˜oes di-
ferenciais
1.9.1 Campos vetoriais e fluxos
Defini¸c˜ao 23 (Campo vetorial de classe Ck
). Seja U ⊂ Rn
aberto, um campo
47. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 46
vetorial de classe Ck
, 1 ≤ k ≤ ∞ em U ´e uma aplica¸c˜ao f : U → Rn
de classe Ck
ao qual associamos a equa¸c˜ao diferencial
x = f(x).
Defini¸c˜ao 24 (Trajet´orias-curvas integrais). As solu¸c˜oes ϕ : I → U (I inter-
valo aberto de R) de x = f(x), f campo vetorial de classe Ck
como na defini¸c˜ao
anterior, isto ´e,
dϕ(t)
dt
= f(ϕ(t)) ∀ t ∈ I
s˜ao chamadas de trajet´orias ou curvas integrais de f.
Neste caso o vetor velocidade de ϕ, ϕ (t) coincide com o valor do campo X
em ϕ(t).
Defini¸c˜ao 25 (Ponto singular). x ∈ U ´e dito ponto singular de f se f(x) = 0.
Defini¸c˜ao 26 (Ponto regular). x ∈ U ´e dito ponto regular de f se f(x) = 0.
Propriedade 46. Se x ´e ponto singular de f ent˜ao ϕ(t) = x ∀ t ∈ R ´e solu¸c˜ao
de x = f(x). Se ϕ(t) = x ∀ t ∈ R ´e solu¸c˜ao de x = f(x) ent˜ao x ´e ponto singular
de f .
Demonstra¸c˜ao. ⇒). Temos ϕ (t) = 0 e f(ϕ(t)) = f(x) = 0 portanto
ϕ (t) = f(ϕ(t))
´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial.
⇐).
Temos
ϕ (t) = f(ϕ(t)) = f(x)
por´em ϕ (t) = 0 portanto x ´e ponto singular de f.
48. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 47
Defini¸c˜ao 27 (Curva integral m´axima). Uma curva integral ϕ : I → U de f
chama-se m´axima, se para toda curva integral ψ : J → U com I ⊂ J e ϕ|I ent˜ao
I = J e da´ı ϕ = ψ.
Defini¸c˜ao 28 (Intervalo maximal). I na defini¸c˜ao anterior ´e chamado de
intervalo m´aximo ou maximal.
Propriedade 47. Valem as propriedades
1. Existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes maximais. Para cada x ∈ U existe um
intervalo aberto Ix onde est´a definida a ´unica solu¸c˜ao m´axima ϕx de x = f(x)
tal que ϕx(0) = x.
2. Propriedade de grupo . Se y = ϕx(t) e t ∈ Ix, ent˜ao
Iy = Ix − t = {r − t | r ∈ Ix}
e ϕy(s) = ϕx(t + s) ∀ s ∈ Iy.
3. Diferenciabilidade em rela¸c˜ao `as condi¸c˜oes iniciais. O conjunto
D = {(t, x) | x ∈ U, t ∈ Ix}
´e aberto em Rn+1
e a aplica¸c˜ao ϕ : D → Rn
com ϕ(t, x) = ϕx(t) ´e de classe
Cr
e
D1D2ϕ(t, x) = Df(ϕ(t, x)) ◦ D2ϕ(t, x) ∀ (t, x) ∈ D.
f sendo Cr
.
Demonstra¸c˜ao.
49. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 48
Defini¸c˜ao 29 (Fluxo gerado). ϕ : D → U chama-se fluxo gerador por f.
Tamb´em ´e chamado de fluxo local ou grupo local `a um parˆametro gerado por f .ϕ
satisfaz as rela¸c˜oes da propriedade anterior
ϕ(0, x) = x
ϕ(t + s, x) = ϕ(t, ϕ(s, x)).
1.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial
Defini¸c˜ao 30 ( ´Orbita). O conjunto γp = {ϕ(t, p), t ∈ Ip} imagem da curva
integral de f pelo ponto p chama-se ´orbita de f pelo ponto p.
Propriedade 48. q ∈ γp ⇔ γq = γp, duas ´orbitas de f coincidem ou s˜ao
disjuntas, U dom´ınio do campo f fica decomposto numa uni˜ao disjunta de curvas
diferenci´aveis.
Demonstra¸c˜ao. (analisar) Usaremos que ϕ(t, ϕ(s, p)) = ϕ(t + s, p). ⇒). Se
q ∈ yp ent˜ao existe t1 ∈ Ip (intervalo de defini¸c˜ao de ϕ) tal que ϕ(t1, p) = q por outro
lado
ϕ(t, q) = ϕ(t, ϕ(t1, p)) = ϕ(t + t1, p)
logo todo ponto de yq que ´e da forma ϕ(t, q) ´e da forma ϕ(t + t1, p) que pertence `a
yp. Agora um um elemento de yp pode ser escrito como ϕ(t + t1, p) para t escolhido
que ´e igual `a ϕ(t1, q) portanto vale a outra inclus˜ao e os conjuntos s˜ao iguais.
⇐). A volta vale pois yp = yq os conjuntos s˜ao iguais.
Usando o resultado provado acima. Se t ∈ yp ∩ yq ent˜ao yp = yt e yq = yt da´ı
yp = yq, portanto as ´orbitas ou s˜ao disjuntas ou idˆenticas.
Defini¸c˜ao 31 (Retrato de fase). O retrato de fase de f : U ⊂ Rn
→ Rn
,
U aberto , f de classe Cr
, r ≥ 1 ´e o conjunto U decomposto pelas ´orbitas de f,
50. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 49
munido de orienta¸c˜ao da curva integral.
Propriedade 49. Toda curva integral ϕ de f : U ⊂ Rn
→ Rn
, U aberto , f de
classe Cr
, r ≥ 1, ϕ solu¸c˜ao m´axima de x = f(x) em I ´e de um dos seguintes tipos
1. ϕ ´e injetora, yp ´e homeomorfa a um intervalo de R.
2. I = R, ϕ ´e constante, nesse caso a ´orbita yp chama-se ponto singular ou
singularidade.
3. yp ´e difeomorfa a um c´ırculo ,ϕ ´e peri´odica, neste caso existe p1 > 0 tal
que ϕ(t + p1) = ϕ(t) ∀ t ∈ R e ϕ(t1) = ϕ(t2) se |t1 − t2| < p1, neste caso yp
chama-se ´orbita peri´odica ou fechada.
Quando as solu¸c˜oes s˜ao peri´odicas ou singulares ent˜ao (w−, w+) = R para as
outras solu¸c˜oes isto pode n˜ao acontecer.
Demonstra¸c˜ao.
1. Se ϕ ´e injetiva ent˜ao temos que a ´orbita ´e imagem pelo intervalo e temos o
primeira caso.
Suponhamos que existem t1 = t2 tal que ϕ(t1) = ϕ(t2) ent˜ao o intervalo m´aximo
´e (w−, w+) = R e para c = t2 − t1 temos ϕ(t) = ϕ(t + c) ∀ t ∈ R, definimos B = {s ∈
R | ϕ(t) = ϕ(t + s) ∀ t ∈ R}, B ´e subgrupo aditivo fechado de R. Sejam a, b ∈ B ent˜ao
a + b ∈ B pois
ϕ(t + a + b) = ϕ((t + a) + b) = ϕ(t + a) = ϕ(t) ∀ t ∈ R.
Se a ∈ B ent˜ao −a ∈ B pois
ϕ(t − a) = ϕ((t − a) + a) = ϕ(t) ∀ t ∈ R.
´E claro tamb´em pela defini¸c˜ao que 0 ∈ B e o grupo ´e associativo adi¸c˜ao . Temos
tamb´em propriedade de fechamento por limite pois se (an) ∈ B com an → a como
an ∈ B∀ n ent˜ao
ϕ(t + a) = ϕ(t + lim an) = lim ϕ(t + an) = lim ϕ(t) = ϕ(t) ∀ t ∈ R,
51. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 50
onde usamos continuidade da fun¸c˜ao ϕ para passar o limite para fora do argumento
da fun¸c˜ao . Um subgrupo aditivo de R ´e da forma kZ (m´ultiplos inteiros de uma cons-
tante) ou denso em R, se B for denso em R temos que a ´orbita ´e uma singularidade
por ϕ ser fechado, se B = kZ ent˜ao ϕ ´e peri´odica de per´ıodo k.
Exemplo 8. Seja f(x) = 1 + x2
com f(0) = 0, x = 1 + x2
, f ´e C1
a solu¸c˜ao ´e
dada por ϕ(t) = tg(t), I0 = (−
π
2
,
π
2
), ϕ ´e injetora, a ´orbita ´e homeomorfa a um
intervalo . Neste caso n˜ao temos a reta toda como intervalo maximal da solu¸c˜ao
.
Propriedade 50. Seja f um campo C1
em R com um n´umero finito de
singularidades, digamos a1 < a2 < · · · < an podemos tomar a0 = −∞, an+1 = ∞
consideramos os intervalos da forma (ak, ak+1) com extremos nos pontos onde f
se anula. f possui o mesmo sinal em cada (ak, ak+1) pois se mudasse de sinal
por continuidade possuiria raiz no intervalo, mas por hip´otese j´a contamos todas
as ra´ızes. Agora suponha que f possui sinal positivo em (ak, ak+1) a solu¸c˜ao de
x = f(x) ´e estritamente crescente no seu intervalo maximal I(x) = (w−, w+) nessas
condi¸c˜oes vale que
1. lim
t→W−(x)
ϕ(t, x) = ak.
2. lim
t→W+(x)
ϕ(t, x) = ak+1.
Demonstra¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 32 (Campos Cr
equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn
→ Rn
e f2 :
U2 ⊂ Rn
→ Rn
, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr
, r ≥ 1, dizemos que f1 e f2 s˜ao
Cr
equivalentes se existe h : U1 → U2 difeomorfismo de classe Cr
preservando a
orienta¸c˜ao, com
h(y1(p)) = y2(h(p))
52. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 51
onde y1(p) ´e a ´orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) ´e a ´orbita orientada
de f2 passando por h(p). Neste caso h ´e chamado de equivalˆencia diferencial entre
f1 e f2.
Defini¸c˜ao 33 (Campos topologicamente equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn
→
Rn
e f2 : U2 ⊂ Rn
→ Rn
, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr
, r ≥ 1, dizemos que
f1 e f2 s˜ao topologicamente equivalentes se existe h : U1 → U2 homeomorfismo
preservando a orienta¸c˜ao, com
h(y1(p)) = y2(h(p))
onde y1(p) ´e a ´orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) ´e a ´orbita orientada
de f2 passando por h(p). Nesse caso h ´e chamado de equivalˆencia topol´ogica f1 e
f2.
Defini¸c˜ao 34 (Topologicamente conjugado). Sejam ϕ1 : D1 → Rn
, ϕ2 : D2 →
Rn
fluxos gerados pelos campos f1 : U1 → Rn
, f2 : U2 → Rn
respectivamente. f1 ´e
topologicamente conjugado `a f2 quando existe um homeomorfismo h : U1 → U2
tal que
h(ϕ1(t, x)) = ϕ2(t, h(x)) ∀ (t, x) ∈ D1.
Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)). Nesse caso h chama-se conjuga¸c˜ao
topol´ogica entre f1 e f2 .
Defini¸c˜ao 35 (Cr
- conjugado). Sejam ϕ1 : D1 → Rn
, ϕ2 : D2 → Rn
fluxos
gerados pelos campos f1 : U1 → Rn
, f2 : U2 → Rn
respectivamente. f1 ´e Cr
conjugado
`a f2 quando existe um difeomorfismo Cr
, h : U1 → U2 tal que
h(ϕ1(t, x)) = ϕ2(t, h(x)) ∀ (t, x) ∈ D1.
53. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 52
Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)).Nesse caso h chama-se Cr
conjuga¸c˜ao
entre f1 e f2 .
Propriedade 51. As rela¸c˜oes de equivalˆencia Cr
, topol´ogica e de conjuga¸c˜ao
Cr
e topol´ogica s˜ao rela¸c˜oes de equivalˆencia. Campos Cr
conjugados e topologica-
mente conjugados s˜ao Cr
equivalentes e topologicamente equivalentes respectiva-
mente.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 52. Uma rela¸c˜ao de equivalˆencia h entre f1 e f2 levam pontos
singulares em pontos singulares e ´orbitas peri´odicas em ´orbitas peri´odicas. Se h
for uma conjuga¸c˜ao o per´ıodo das ´orbitas peri´odicas tamb´em ´e preservado.
Demonstra¸c˜ao.
Propriedade 53. Sejam f1U1 → Rn
e f2 : U2 → Rn
campos Cr
e h : U1 → U2
difeomorfismo de classe Cr
, ent˜ao h ´e uma conjuga¸c˜ao entre f1 e f2 ⇔
Dh(p)f1(p) = f2(h(p)) ∀ p ∈ U1.
Demonstra¸c˜ao.
⇐).
Sejam ϕ1 : D1 → U1 e ϕ2 : D2 → U2 os fluxos de f1 e f2 respectivamente, dados
p ∈ U1 seja ψ(t) = h(ϕ1(t, p)) I ∈ I1(p) ent˜ao ψ ´e solu¸c˜ao de x = f2(x) com condi¸c˜ao
inicial ψ(0) = h(ϕ1(0, p)) = h(p), pois derivando a fun¸c˜ao temos
ψ (t) = h (ϕ1(t, p)) ◦ ϕ1(t, p) = h (ϕ1(t, p)) ◦ f1(ϕ1(t, p)) =
= f2(h(ϕ1(t, p))) = f2(ψ(t))
por´em tal equa¸c˜ao x = f2(x) com ψ(0) = h(p) tamb´em ´e satisfeita por ϕ2(t, h(p)),
portanto vale
ϕ2(t, h(p)) = h(ϕ1(t, p))
54. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 53
e da´ı os campos s˜ao conjugados , a igualdade vale por unicidade de solu¸c˜oes.
⇒). Suponha que h seja uma conjuga¸c˜ao. Dado p ∈ U1 tem-se h(ϕ1(t, p)) =
ϕ2(t, h(p)), t ∈ Ip, derivando em rela¸c˜ao `a t tem-se
h (ϕ1(t, p))ϕ1(t, p) = ϕ2(t, h(p)) =
= Dh(ϕ1(t, p))f(ϕ1(t, p)) = f(ϕ2(t, h(p)))
tomando t = 0 tem-se
Dh(p)f(p) = f(h(p))
como quer´ıamos demonstrar.
Defini¸c˜ao 36 (Se¸c˜ao transversal). Sejam f : U → Rn
campo de classe Cr
, r ≥ 1,
U ⊂ Rn
e A ⊂ Rn−1
abertos. Uma aplica¸c˜ao g : A → U de classe Cr
chama-se
se¸c˜ao transversal local de f quando ∀ a ∈ A, Dg(a)(Rn−1
) e f(g(a)) geram Rn
. Seja
Σ = g(A) ⊂ U ⊂ Rn
com topologia induzida. Se f : A → Σ for um homeomorfismo
, diz-se que Σ ´e uma se¸c˜ao transversal de f.
Propriedade 54. Sejam p ∈ U n˜ao singular e {v1, · · · , vn−1, f(p)} uma base de
Rn
, Bδ(0) uma bola de Rn−1
, para δ suficientemente pequeno, g : Bδ(0) → U com
g(x1, · · · , xn−1) = p +
n−1
k=1
xkvk
´e uma se¸c˜ao transversal de f em p.
Demonstra¸c˜ao.
Teorema 5 (Teorema do fluxo tubular). Seja p um ponto n˜ao singular de
f : U → Rn
de classe C2
e g : A → Σ uma se¸c˜ao transversal local de f, g de classe
Cr
com g(0) = p, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de p em U e um difeomorfismo
h : V → (−ε, ε) × B de classe Cr
onde ε > 0 e B = B(0) ´e uma bola aberta em Rn−1
de centro na origem 0 = g−1
(p) tal que
55. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 54
1. h(Σ ∩ V) = {0} × B
2. h ´e uma Cr
- conjuga¸c˜ao entre f|V e o campo constante Y : (−ε, ε) × B → Rn
,
Y = (1, 0, · · · , 0) ∈ Rn
.
Demonstra¸c˜ao. Sejam ϕ : D → U o fluxo de f, F : DA = {(t, u) | (t, g(w)) ∈
D} → U com F(t, u) = ϕ(t, g(u)). F aplica linhas paralelas em curvas integrais de
f. Vamos mostrar que F ´e um difeomorfismo local em 0 = (0, 0) ∈ R × Rn−1
, pelo
teorema da fun¸c˜ao inversa ´e suficiente provar que DF(0) ´e um isomorfismo. Temos
que
D1F(0) =
d
dt
ϕ(t, f(0))|t=0 = f(ϕ(0, p)) = f(p) = 0
e DjF(0) = Dj−1g(0) para todo j = 2 at´e j = n pois ϕ(0, g(u)) = ϕ(0, g(u)) =
g(u) ∀ u ∈ A. Portanto os vetores DjF(u), j = 1 at´e j = n geram Rn
e DF(0) ´e um
difeomorfismo pelo teorema da fun¸c˜ao inversa, que ainda garante a existˆencia de
ε > 0 e uma bola B em Rn−1
com centro em 0 tal que F|(−ε,ε)×B ´e um difeomorfismo
sobre o aberto V = F((−ε, ε) × B), seja h = (F|(−ε,ε)×B)−1
ent˜ao h(Σ ∩ V) = {0} × B pois
F(0, u) = g(u) ∈ Σ ∀ u ∈ B , isto prova 1). Por outro lado h−1
conjuga Y e f pois
Dh−1
(t, u) ◦ Y(t, u) = DF(t, u) ◦ (1, 0, · · · , 0) =
= D1F(t, u) = X(ϕ(t, g(u))) = X(F(t, u)) = X(h−1
(t, u)) ∀ (t, u) ∈ (−ε, ε) × B,
logo Y e f|V s˜ao conjugados pela condi¸c˜ao de conjuga¸c˜ao por derivada.
Propriedade 55. Seja Σ uma se¸c˜ao transversal de f, para todo p ∈ Σ existe
εp > 0, V vizinhan¸ca de p em Rn
e T : V → R de classe Ck
tais que T(V ∩ Σ) = 0 e
1. ∀ q ∈ V a curva integral ϕ(t, q) de f|V ´e definida e biun´ıvoca em Jq =
(−ε, +T(q), ε + T(q)).
2. n(q) = (ϕ(T(q), q)) ∈ Σ ´e o ´unico ponto onde ϕ(, q)|Jq intercepta a Σ em
particular q ∈ Σ ∩ V ⇔ T(q) = 0.
3. n : V → Σ ´e de classe Ck
e Dn(q) ´e sobrejetora para todo q ∈ V mais ainda
Dn(q)v = 0 ⇔ v = αf(q) para algum α ∈ R.
Demonstra¸c˜ao.
56. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 55
Defini¸c˜ao 37 (Ponto singular hiperb´olico). Um ponto p singular de um
campo f : U ⊂ Rn
→ Rn
de classe Cr
, r ≥ 1 ´e dito singular hiperb´olico se Dx(p) ´e
hiperb´olico, isto ´e, possui todos autovalores com parte real n˜ao nula.
Defini¸c˜ao 38 (´Indice de estabilidade de um ponto singular hiperb´olico).
Como na defini¸c˜ao anterior, p um ponto singular hiperb´olico do campo Cr
, f
possui ´ındice de estabilidade s se Dx(p) possui s autovalores com parte real
negativa.
Propriedade 56. Se X e Y s˜ao C2
conjugados por h ent˜ao se p ´e singular
hiperb´olico de X, h(p) = q ´e singular hiperb´olico de Y.
Demonstra¸c˜ao.
Usaremos que Y(h(p)) = Dh(p)X(p). Como P ´e singular de X ent˜ao
Y(q) = Y(h(p)) = Dh(p)X(p) X(p)
0
= 0
portanto q ´e ponto singular de Y. Temos que
Y(z) = Dh(h−1
(z))X(h−1
(z))
da´ı aplicando D e tomando z = q tem-se
DY(q) = D[Dh(h−1
(q))]X(h−1
(q)) + Dh(h−1
(q))D[X(h−1
(q))] =
onde aplicamos a regra da derivada do produto e agora aplicando a derivada da
composi¸c˜ao segue
= D2
h(h−1
(q))D h−1
(q)
p
X(h−1
(q)) + Dh(p)DX(h−1
(q))Dh−1
(q) =
= Dh(p)DX(h−1
(q))[Dh(p)]−1
onde usamos na ´ultima linha express˜ao de derivada do inverso.
57. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 56
Teorema 6 (Teorema de Hartman). Seja X : U ⊂ Rn
→ Rn
, U aberto, X
campo vetorial de classe C1
, p um ponto singular hiperb´olico de X, ent˜ao existe
uma vizinhan¸ca W de P em Rn
e uma vizinhan¸ca V de 0 em Rn
tal que X|W ´e
topologicamente conjugado `a Dx(p)|V.
Defini¸c˜ao 39 (Aplica¸c˜ao de Poincar´e). Sejam yp = {ϕ(t, p), t ∈ (0, t0)} ´orbita
peri´odica de per´ıodo t0 de um campo X de classe Cr
, r ≥ 1, definido em U ⊂ Rn
aberto, Σ uma se¸c˜ao transversal de X em p. Em virtude da continuidade do fluxo
ϕ de X , ∀ q ∈ Σ pr´oximo de p a trajet´oria ϕ(t, p) permanece pr´oxima `a yp com
t em um intervalo compacto pr´e fixado. Π(q) ´e o primeiro ponto em que a ´orbita
intercepta Σ. Temos por exemplo p ∈ Σ e Π(p) = p.
Dada uma vizinhan¸ca V do ponto ϕ(t, p) obtida pelo teorema do fluxo tubular,
pela dependˆencia cont´ınua de ϕ(t, p), temos que existe Σ0 vizinhan¸ca de p em Σ
tal que ϕ(t, Σ) ⊂ V ent˜ao podemos definir ΠΣ0 → Σ com Π(q) = n(ϕ(t, q)) onde
n : V → Σ com n(z) = ϕ(T(z), z) ´e a fun¸c˜ao Ck
dada na proposi¸c˜ao corol´ario do
Teorema do fluxo Tubular, ent˜ao
Π(q) = n(ϕ(t0, q)) = ϕ(T(ϕ(t0, q), ϕ(t0, q))) = ϕ(t0 + T(ϕ(t0, q), q))
a aplica¸c˜ao Π ´e Cr
por ser composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes Cr
´e tamb´em um difeomor-
fismo Cr
. Π nessas condi¸c˜oes ´e a aplica¸c˜ao de Poincar´e. T : V → R ´e o tempo T(x)
que leva a ´orbita por X em V para interceptar Σ. Do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita
T ´e de classe Cr
.
A se¸c˜ao Σ ´e uma hiper superf´ıcie ou uma subvariedade diferenci´avel n − 1-
dimensional de U ⊂ Rn
. Pode-se supor que a variedade Σ ´e um disco de um
subespa¸co vetorial ou afim de Rn
. Π : Σ0 → Σ ´e um difeomorfismo de classe Cr
sobre sua imagem Σ1, como ϕ(t0, p) = p existe uma vizinhan¸ca Σ0 de p em Σ tal
que ϕ(t0, q) ∈ V ∀ q ∈ Σ0
58. CAP´ITULO 1. EQUA ¸C ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS 57
Defini¸c˜ao 40 (Atrator peri´odico ou orbitalmente est´avel). Uma ´orbita peri´odica
yp ´e dita orbitalmente est´avel (ou atrator peri´odico)se
lim
t→∞
d(ϕ(t, q), yp) = 0 ∀ q ∈ Vyp
, isto ´e a distˆancia tende a zero com o tempo para qualquer q numa vizinhan¸ca
de yp.