1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
O documento descreve o Teorema de Fermat e o Teorema de Euler, que são fundamentais na teoria da aritmética modular. O Teorema de Fermat estabelece que se p for primo e a qualquer inteiro, então ap ≡ a (mod p). O Teorema de Euler relaciona a função φ de Euler com a congruência modular e estabelece que se a e m forem relativamente primos, então aφ(m) ≡ 1 (mod m). Demonstrações e exemplos são fornecidos.
O documento apresenta questões sobre números primos, perfeitos e congruências numéricas. A questão 1 discute propriedades de números primos e o Lema de Euclides. A questão 2 trata do Teorema de Euclides sobre números perfeitos. A questão 3 prova que o quinto número de Fermat não é primo usando congruências.
GEOMETRIA ESPACIAL - POLIEDROS E CORPOS REDONDOS - PROF TARCÍSIO - www.profta...Tarcísio Filho
This document discusses geometric solids including polyhedra, prisms, pyramids, cylinders, cones, and their properties. It states Euler's formula for convex polyhedra that the number of vertices plus the number of faces equals the number of edges plus two. Formulas are provided for calculating the volume of prisms, pyramids, parallelepipeds, cylinders, cones, and converting between units of volume like cubic meters, liters and cubic centimeters.
O documento discute aplicações do máximo divisor comum (MDC) em três tópicos: equações diofantinas lineares, expressões binômias e números de Fibonacci. Especificamente, apresenta proposições e métodos para calcular o MDC dessas expressões e determinar se equações diofantinas possuem soluções inteiras ou naturais.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
O documento discute as aplicações da matemática em diferentes profissões como administração, agronomia, arquitetura, cinema, direito, engenharia, geologia, jornalismo, odontologia e psicologia. A matemática é essencial para planejamento, cálculos, projetos, pesquisas, construções, animações, partilhas, composições, análises de dados e avaliações nestas áreas.
1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
O documento descreve o Teorema de Fermat e o Teorema de Euler, que são fundamentais na teoria da aritmética modular. O Teorema de Fermat estabelece que se p for primo e a qualquer inteiro, então ap ≡ a (mod p). O Teorema de Euler relaciona a função φ de Euler com a congruência modular e estabelece que se a e m forem relativamente primos, então aφ(m) ≡ 1 (mod m). Demonstrações e exemplos são fornecidos.
O documento apresenta questões sobre números primos, perfeitos e congruências numéricas. A questão 1 discute propriedades de números primos e o Lema de Euclides. A questão 2 trata do Teorema de Euclides sobre números perfeitos. A questão 3 prova que o quinto número de Fermat não é primo usando congruências.
GEOMETRIA ESPACIAL - POLIEDROS E CORPOS REDONDOS - PROF TARCÍSIO - www.profta...Tarcísio Filho
This document discusses geometric solids including polyhedra, prisms, pyramids, cylinders, cones, and their properties. It states Euler's formula for convex polyhedra that the number of vertices plus the number of faces equals the number of edges plus two. Formulas are provided for calculating the volume of prisms, pyramids, parallelepipeds, cylinders, cones, and converting between units of volume like cubic meters, liters and cubic centimeters.
O documento discute aplicações do máximo divisor comum (MDC) em três tópicos: equações diofantinas lineares, expressões binômias e números de Fibonacci. Especificamente, apresenta proposições e métodos para calcular o MDC dessas expressões e determinar se equações diofantinas possuem soluções inteiras ou naturais.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
O documento discute as aplicações da matemática em diferentes profissões como administração, agronomia, arquitetura, cinema, direito, engenharia, geologia, jornalismo, odontologia e psicologia. A matemática é essencial para planejamento, cálculos, projetos, pesquisas, construções, animações, partilhas, composições, análises de dados e avaliações nestas áreas.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
O documento discute poliedros, definindo suas faces, arestas e vértices. Também apresenta a fórmula de Euler para poliedros convexos e exemplos de cálculo de vértices e arestas. Finalmente, lista os cinco poliedros regulares de Platão.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos para resolver equações do tipo x2 = -1, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de apresentar a representação geométrica desses números no plano complexo.
O documento descreve a evolução histórica dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais usados para contar e evoluindo para os números inteiros, racionais e reais. Os conjuntos numéricos são representados graficamente em uma reta real.
1) O documento apresenta questões sobre aritmética, incluindo propriedades de quadrados e sequências numéricas, a equação pitagórica e o pequeno teorema de Fermat.
2) A questão 1 mostra que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados pode ser escrita na forma 4n+3 e analisa algumas sequências numéricas.
3) A questão 2 define termos relacionados à equação pitagórica e mostra que a média aritmética da hipotenusa com um cateto é um quadrado.
Este documento apresenta a resolução de questões de matemática de uma prova da Petrobrás realizada pelo CESGRANRIO em 2017. São resolvidas sete questões que envolvem lógica, probabilidade, geometria e álgebra. O professor Arthur Lima explica detalhadamente cada passo para chegar à resposta correta de cada questão.
1) A aula ensina sobre o desenvolvimento do espírito crítico ao estudar, relacionando novos assuntos com o que já se sabe.
2) Serão revisados conceitos de geometria analítica como equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre pontos.
3) Exemplos resolvidos irão aplicar esses conceitos em exercícios.
As equações do segundo grau eram conhecidas por civilizações antigas como os egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O matemático árabe Al-Khwarizmi descreveu princípios fundamentais para resolução de equações no século 9 no livro Al-jabr wa'l-muqabalah, que deu origem ao termo álgebra. O matemático hindu Bhaskara preencheu lacunas no trabalho de seus predecessores no século 12 no tratado Lilavati.
Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitasrosilenedalmolin
O documento descreve um problema de basquete onde Pipoca acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos, totalizando 25 arremessos e 55 pontos. Isso é representado por um sistema de duas equações com duas incógnitas, que é resolvido para encontrar que Pipoca acertou 20 arremessos de 2 pontos e 5 arremessos de 3 pontos.
1. O documento apresenta conceitos básicos de aritmética dos restos, incluindo definições de congruência módulo m e exemplos ilustrativos.
2. Propriedades como compatibilidade da congruência com adição e multiplicação são demonstradas.
3. O Pequeno Teorema de Fermat é relacionado à noção de congruência.
O documento apresenta exercícios sobre homomorfismos entre grupos. Verifica se funções dadas são homomorfismos e determina núcleos. Mostra que certas funções são isomorfismos e que um grupo é abeliano se e somente se uma função dada for homomorfismo.
Segue a apostila comum aos cargos de Assistente Operacional - Part #3
conteúdo extra :
https://mega.co.nz/#!LE1EGRyJ!yxfNUZtcYEUfQ89G4l3xBTQdAPxmd-oZIcXRfLA8bCk
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento discute polinômios, incluindo definição, operações com polinômios como adição, multiplicação e divisão algébricas, e fatoração de polinômios. Ele também apresenta produtos notáveis que são úteis para simplificar expressões algébricas.
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutaçõeswab030
O documento apresenta 43 exercícios de probabilidade e estatística que abordam tópicos como arranjos, permutações, combinações e probabilidades. Os exercícios envolvem contagem de casos possíveis em situações como formação de números, grupos de pessoas e cartas de baralho.
O documento discute os conceitos fundamentais da análise combinatória, incluindo permutações, arranjos, combinações e seus usos para resolver problemas de contagem. É apresentada a definição formal de cada conceito juntamente com exemplos numéricos de sua aplicação.
Análise combinatória estuda os agrupamentos de elementos sem enumerá-los. É importante para estimativas em jogos de azar e planejamento de horários e produção, entre outros usos. O princípio fundamental de contagem estabelece que, se um evento pode ocorrer em etapas independentes, o número de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
1. O documento discute resolução de congruências lineares, o teorema chinês dos restos e classes residuais.
2. É apresentado um método para resolver congruências do tipo aX ≡ b mod m, assim como o conceito de sistema completo de soluções.
3. O teorema chinês dos restos fornece uma única solução para sistemas de congruências quando os módulos são relativamente primos.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
O documento discute poliedros, definindo suas faces, arestas e vértices. Também apresenta a fórmula de Euler para poliedros convexos e exemplos de cálculo de vértices e arestas. Finalmente, lista os cinco poliedros regulares de Platão.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos para resolver equações do tipo x2 = -1, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de apresentar a representação geométrica desses números no plano complexo.
O documento descreve a evolução histórica dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais usados para contar e evoluindo para os números inteiros, racionais e reais. Os conjuntos numéricos são representados graficamente em uma reta real.
1) O documento apresenta questões sobre aritmética, incluindo propriedades de quadrados e sequências numéricas, a equação pitagórica e o pequeno teorema de Fermat.
2) A questão 1 mostra que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados pode ser escrita na forma 4n+3 e analisa algumas sequências numéricas.
3) A questão 2 define termos relacionados à equação pitagórica e mostra que a média aritmética da hipotenusa com um cateto é um quadrado.
Este documento apresenta a resolução de questões de matemática de uma prova da Petrobrás realizada pelo CESGRANRIO em 2017. São resolvidas sete questões que envolvem lógica, probabilidade, geometria e álgebra. O professor Arthur Lima explica detalhadamente cada passo para chegar à resposta correta de cada questão.
1) A aula ensina sobre o desenvolvimento do espírito crítico ao estudar, relacionando novos assuntos com o que já se sabe.
2) Serão revisados conceitos de geometria analítica como equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre pontos.
3) Exemplos resolvidos irão aplicar esses conceitos em exercícios.
As equações do segundo grau eram conhecidas por civilizações antigas como os egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O matemático árabe Al-Khwarizmi descreveu princípios fundamentais para resolução de equações no século 9 no livro Al-jabr wa'l-muqabalah, que deu origem ao termo álgebra. O matemático hindu Bhaskara preencheu lacunas no trabalho de seus predecessores no século 12 no tratado Lilavati.
Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitasrosilenedalmolin
O documento descreve um problema de basquete onde Pipoca acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos, totalizando 25 arremessos e 55 pontos. Isso é representado por um sistema de duas equações com duas incógnitas, que é resolvido para encontrar que Pipoca acertou 20 arremessos de 2 pontos e 5 arremessos de 3 pontos.
1. O documento apresenta conceitos básicos de aritmética dos restos, incluindo definições de congruência módulo m e exemplos ilustrativos.
2. Propriedades como compatibilidade da congruência com adição e multiplicação são demonstradas.
3. O Pequeno Teorema de Fermat é relacionado à noção de congruência.
O documento apresenta exercícios sobre homomorfismos entre grupos. Verifica se funções dadas são homomorfismos e determina núcleos. Mostra que certas funções são isomorfismos e que um grupo é abeliano se e somente se uma função dada for homomorfismo.
Segue a apostila comum aos cargos de Assistente Operacional - Part #3
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Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento discute polinômios, incluindo definição, operações com polinômios como adição, multiplicação e divisão algébricas, e fatoração de polinômios. Ele também apresenta produtos notáveis que são úteis para simplificar expressões algébricas.
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutaçõeswab030
O documento apresenta 43 exercícios de probabilidade e estatística que abordam tópicos como arranjos, permutações, combinações e probabilidades. Os exercícios envolvem contagem de casos possíveis em situações como formação de números, grupos de pessoas e cartas de baralho.
O documento discute os conceitos fundamentais da análise combinatória, incluindo permutações, arranjos, combinações e seus usos para resolver problemas de contagem. É apresentada a definição formal de cada conceito juntamente com exemplos numéricos de sua aplicação.
Análise combinatória estuda os agrupamentos de elementos sem enumerá-los. É importante para estimativas em jogos de azar e planejamento de horários e produção, entre outros usos. O princípio fundamental de contagem estabelece que, se um evento pode ocorrer em etapas independentes, o número de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
1. O documento discute resolução de congruências lineares, o teorema chinês dos restos e classes residuais.
2. É apresentado um método para resolver congruências do tipo aX ≡ b mod m, assim como o conceito de sistema completo de soluções.
3. O teorema chinês dos restos fornece uma única solução para sistemas de congruências quando os módulos são relativamente primos.
Aula 4 Profmat - Algoritmo de Euclides - MDC e MMC 25 08-17Aline Guedes
1. O documento apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros.
2. É explicado que o algoritmo de Euclides funciona através de sucessivas divisões euclidianas para gerar uma sequência de números até que um deles divida o anterior.
3. A aplicação do algoritmo é demonstrada através de um exemplo numérico de cálculo do MDC de 372 e 162, chegando ao resultado de 6.
O documento apresenta a resolução de 5 exercícios de estatística por um professor. No primeiro exercício, ele explica o conceito de regressão linear múltipla. No segundo, calcula a média e variância de um processo estocástico. No terceiro, analisa uma afirmação sobre razão de chances. No quarto, estima parâmetros de uma distribuição binomial. E no quinto, calcula a variância da diferença entre variáveis.
1. O documento discute os Teoremas de Euler e Wilson, que fornecem propriedades sobre congruências e fatoriais módulo primos.
2. O Teorema de Euler estabelece que aφ(m) ≡ 1 (mod m) se a e m são relativamente primos. Isso fornece uma solução para congruências da forma ax ≡ 1 (mod m).
3. O Teorema de Wilson afirma que (p-1)! ≡ -1 (mod p) para qualquer número primo p, relacionando fatoriais e primalidade.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
O documento discute equações literais e como resolvê-las. Define equações literais como equações que têm mais de uma variável e fornece exemplos. Explica que as equações literais podem ser resolvidas em relação a qualquer variável isolando-a em um dos membros da equação usando as mesmas regras de equações numéricas.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
O documento apresenta a resolução de duas questões sobre osciladores harmônicos. A primeira questão deriva a expressão da frequência natural de oscilação de um oscilador como função da temperatura. A segunda questão calcula o coeficiente b0 de uma expressão envolvendo integrais de funções senoidais.
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
Este documento apresenta 3 problemas de raciocínio quantitativo resolvidos. O primeiro problema envolve uma regra de três composta para calcular quantos dias seriam necessários para montar 500 veículos trabalhando 10 horas por dia. O segundo problema trata de áreas de triângulos eqüiláteros. O terceiro problema calcula uma porcentagem sobre o preço de custo.
02 Congruências e Inteiros Módulo m.pdfJuanGarutti1
A União Europeia está considerando novas regras para veículos autônomos. As regras propostas exigiriam que os fabricantes de veículos autônomos assumam mais responsabilidade por acidentes e forneçam mais dados sobre o desempenho do veículo para reguladores. Os fabricantes teriam que mostrar que sistemas autônomos são seguros antes de colocá-los à venda.
O documento apresenta o Teorema dos Casamentos e explica sua demonstração por indução completa. O teorema afirma que é possível selecionar elementos distintos de vários conjuntos, um de cada conjunto, se a união de qualquer subconjunto de conjuntos contiver ao menos elementos quantos conjuntos nesse subconjunto. A demonstração considera dois casos baseando-se no número de elementos na união de subconjuntos.
Este documento apresenta resoluções de exercícios sobre conjuntos e funções. O primeiro exercício verifica que quatro conjuntos são todos diferentes. O segundo mostra que duas igualdades sobre interseção e união de conjuntos são válidas. O terceiro define diferença simétrica de conjuntos e mostra duas propriedades sobre ela.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
Asdl emmendes a1 fundamentos de sinais e sistemasjoanes360
1) O documento discute o sistema massa-mola e como derivar sua equação dinâmica a partir da segunda lei de Newton.
2) A equação dinâmica encontrada é mẍ + kx = 0, cuja solução é x(t) = x0sen(ωt) + x0'cos(ωt).
3) O sistema massa-mola oscila com período T = 2π√(m/k) segundos e frequência ω = √(k/m) rad/s.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
Este documento introduz o conceito de integral definida como uma ferramenta para calcular a área abaixo de funções contínuas. Ele motiva o conceito dividindo intervalos em partes menores e somando as áreas dos retângulos formados, mostrando que esta soma converge para o valor da área procurada quando o número de partes tende ao infinito. Finalmente, apresenta exercícios para praticar a aplicação deste novo conceito.
Este documento discute equações de 1o grau com uma incógnita. Ele explica como resolver equações de 1o grau, incluindo transformações para reduzir equações a forma padrão ax = b. Exemplos demonstram como resolver equações e aplicar equações na resolução de problemas.
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
1. Semin´ario De Fundamentos De ´Algebra
Sistema De Congruˆencias
Teorema Chinˆes Dos Restos
Santos A. E.
aleniac@ufmg.br
UFMG
ICEx
14 de dezembro de 2015
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 1 / 33
2. Introdu¸c˜ao
Teorema Chinˆes Dos Restos
O objetivo deste semin´ario ´e apresentar o Teorema Chinˆes dos
Restos como m´etodo para resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e sistemas
lineares de congruˆencias de um anel comutativo com unidade.
Apresentaremos tamb´em uma forma alternativa facilmente
implement´avel em computadores e um exemplo resolvido.
Os teoremas, lemas, corol´arios e proposi¸c˜oes apontados nesta
apresenta¸c˜ao est˜ao contidos no Livro Fundamentos De ´Algebra
Linear [1], conforme as suas respectivas referˆencias.
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 2 / 33
3. Parte I - Equa¸c˜oes Lineares
Equa¸c˜oes Lineares
Seja Qm a congruˆencia em m´odulo m ∈ N abaixo:
ax ≡ b mod m, a, b ∈ Z (1)
em que
d = mdc(a, m)
m =
m
d
, se d|b.
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 3 / 33
4. Teorema
Considere a congruˆencia Qm (1) e d = mdc(a, m):
Teorema
i) A congruˆencia aX ≡ b mod m tem solu¸c˜ao, se, e somente se, d|b;
ii) Se X0 for uma solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao X tamb´em ´e uma solu¸c˜ao se, e
somente se, X0 ≡ X mod m em que m = m/d. Em particular, Qm
possui d solu¸c˜oes n˜ao congruentes m´odulo m.
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 4 / 33
5. Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao i.
Assumiremos por hip´otese que ax ≡ b mod m tem solu¸c˜ao.
Ent˜ao, temos:
ax ≡ b mod m
ax+ my = b. (2)
Aplicando o lema 7.67 [1], (2) tamb´em tem solu¸c˜ao. Da´ı, d|b, e
portanto, ambos lados da equa¸c˜ao abaixo:
a
d
x +
m
d
y =
b
d
.
Consequentemente, mdc(a, m)|b se Qm tem solu¸c˜ao.
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos 14 de dezembro de 2015 5 / 33
6. Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao
Rec´ıproca i.
Reciprocamente, Existe d tal que d = mdc(a, m), conforme:
ax + my = d (3)
Note que a equa¸c˜ao (3) tem solu¸c˜ao. Al´em disso, podemos
expressar b = βd, β ∈ Z.
Multiplicando (3) por β, temos:
a(βx) + m(βy) = b
aX0 + mY0 = b,
em que X0 = βx. Logo, aX0 ≡ b mod m.
Portanto X0 ´e uma solu¸c˜ao particular da congruˆencia Qm.
Como quer´ıamos mostrar.
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7. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Demonstra¸c˜ao ii.
Se x = X0 for uma solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao d|b, logo:
a
d
x +
m
d
y =
b
d
.
Ent˜ao podemos escrever:
a = αd, b = βd, m = m d
Reescrevendo Qm em termos de α, β, temos:
ax ≡ b mod m
αdx ≡ βd mod m
⇓ (Corol´ario 7.17 [1])
αx ≡ β mod m . (4)
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8. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Logo, obtemos a congruˆencia (4) que denotaremos por Qm .
Note que mdc(α, m ) = 1. Consequentemente, α posssui inverso
m´odulo m .
Logo, Qm tˆem uma solu¸c˜ao particular da forma:
X0 ≡ βα−1
mod m .
Ent˜ao temos como solu¸c˜ao geral a equa¸c˜ao:
x = X0 + m k, k ∈ Z.
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9. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Da´ı, qualquer elemento X ∈ [X0]m satisfaz Qm .
Logo, X tamb´em ´e solu¸c˜ao de Qm.
Temos ent˜ao garantido que:
X0 ≡ X mod m .
Portanto, X tamb´em ´e solu¸c˜ao de Qm se X0 ≡ X mod m .
Rec´ıproca ii.
Seja X0 uma solu¸c˜ao particular de Qm tal que X0 ≡ X mod m .
Obviamente, [X0]m ´e solu¸c˜ao de Qm , ent˜ao X0 e X s˜ao solu¸c˜oes.
Se x = X0 e x = X s˜ao solu¸c˜oes de Qm , temos que x satisfaz:
αx ≡ β mod m .
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10. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Se β = bd, ent˜ao o podemos aplicar o corol´ario 7.11 [1] em Qm
multiplicando-a por d:
dαx ≡ dβ mod dm
⇓
ax ≡ b mod m
em que a = a d e m = m d.
Logo, a solu¸c˜ao geral de Qm ´e dada por:
x ≡ X mod m, X ∈ [X0]m . (5)
Portanto, se X ´e solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao X0 tamb´em ´e.
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11. N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m
Verifica¸c˜ao.
Seja X0 uma solu¸c˜ao particular de Qm e Qm na forma reduzida,
0 ≤ X0 < (m − 1).
Seja Rm e Rm , respectivamente, os conjuntos das classes de Zm e
Zm .
Fazendo u = m − 1 e espandindo ambos conjuntos, temos:
Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u, . . . , 2u, . . . , 3u, . . . , du}
Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u}
Temos que a congruˆencia Qm (4) possui solu¸c˜ao da forma:
x = X0 + m k, k ∈ Z.
Isto ´e, [X0]m ∈ Rm ´e solu¸c˜ao ´unica de Qm .
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12. N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m
Da´ı, a solu¸c˜ao geral de Qm (5) pode ser escrita da seguinte forma:
x = X + mt t ∈ Z
em que X ∈ [X0]m .
Note que:
1 O conjunto Rm possui m = m d classes distintas.
2 As solu¸c˜oes X n˜ao s˜ao congruentes m´odulo m, pois:
[X0]m = [X0]m .
3 Cada solu¸c˜ao X ´e um representante de alguma classe de Zm.
4 Rm possui exatamente d elementos congruentes a X0 m´odulo m , a
saber, cada um deles est´a entre cada m´ultiplo de (m − 1).
Conclu´ımos, portanto, que Qm possui d solu¸c˜oes distintas m´odulo
m. Como quer´ıamos mostrar.
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13. Parte II - Sistemas De Congruˆencias
Sistemas de Congruˆencias
Considere o sistema de congruˆencias abaixo:
a1x ≡ b1 mod m1
a2x ≡ b2 mod m2
...
...
akx ≡ bk mod mk
Vamos assumir que:
1 O mdc(ai, mi) = 1, para todo i = 1, 2, ..., k;
2 O mdc(mi, mj) = 1, para todo i = j.
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14. Defini¸c˜oes Importantes
Defini¸c˜oes:
M =
k
i=1
= mmc(m1, m2, ..., mk)
Ni =
M
mi
=
m1m2...mi...mk
mi
Note que:
a) mi|Nj para todo i = j. Consequentemente, Nj ≡ 0 mod mi;
b) O mdc(Ni, mi) = 1. Portanto, Ni posssui inverso m´odulo mi, ou
seja:
NiLi ≡ 1 mi, em que Li = N−1
i . (6)
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15. Teorema Chinˆes Dos Restos
Teorema
Suponhamos as hip´oteses (1) e (2), ent˜ao para quaisquer das
congruˆencias dadas nos seus respectivos m´odulos m1, ..., mk, o
sistema possui solu¸c˜ao da forma:
X0 =
k
i=1
ciNiLi
em que:
ci ´e uma solu¸c˜ao de aix ≡ bi mod mi.
NiN−1
i ≡ 1 mod mi possui solu¸c˜ao N−1
i = Li.
Al´em disso, X ´e uma outra solu¸c˜ao do sistema se, e somente se,
X ≡ X mod M.
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16. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao.
Vamos assumir que X0 = k
j=1 cjNjLj ´e uma solu¸c˜ao particular
do sistema de congruˆencias dado. Isto ´e, para todo i = 1, ..., k,
aiX0 ≡ bi mod mi. Ent˜ao, temos:
aiX0 = ai(
k
j=1
cjNjLj)
=
k
j=1
aicjNjLj.
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17. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Note que, se i = j, Nj(aicjLj) ´e m´ultiplo de mi, pois mi|Ni. Logo:
aicjNjLj ≡ 0 mod mi.
Portanto,
k
j=1
aicjNjLj = aiciNiLi. (7)
Da´ı, reescrevemos a equivalˆencia da seguinte forma:
aiX0 ≡ aiciNiLi mod mi
≡ aici mod mi (8)
aplicando NiLi ≡ 1 mod mi em (8).
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18. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Observe que:
aici ≡ aiX0 mod mi
aiX0 ≡ bi mod mi
⇓ (Transitividade)
aici ≡ bi mod mi
E, portanto,
aiX0 ≡ bi mod mi.
Como quer´ıamos provar.
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19. Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M
Seja X uma outra solu¸c˜ao do sistema. Ent˜ao pra todo i = 1, ..., k:
aiX0 ≡ bi mod mi
e
aiX ≡ bi mod mi
⇓ (Transitividade)
aiX0 ≡ aiX mod mi
⇓ (Proposi¸c˜ao 7.16 [1])
X0 ≡ X mod mi
⇓ (Proposi¸c˜ao 7.18, ii [1])
X0 ≡ X mod mmc(m1, ..., mk).
Da´ı, conclu´ımos que X ≡ X0 mod M.
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20. Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M
Rec´ıproca
Reciprocamente, temos:
X ≡ X0 mod M
⇓ (Proposi¸c˜ao 7.18, i [1])
X ≡ X0 mod mi
⇓
aiX ≡ aiX0 mod mi
⇓ (X0 satisfaz a congruˆencia i)
aiX ≡ bi mod mi
Portanto, conclu´ımos que X tamb´em ´e uma solu¸c˜ao do sistema.
Como quer´ıamos provar.
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21. M´etodo Iterativo Para Congruˆencias Lineares
Sistemas de congruˆencias da forma x = bi mod mi
Como pudemos verificar, devemos considerar a h´ıpotese de que o
mdc(mi, mj) = 1, para todo i = 1, ..., k e i = j, no m´etodo
apresentado.
Al´em disso, ´e dif´ıcil de implement´a-lo computacionalmente.
Mostraremos uma t´ecnica alternativa que facilita a implementa¸c˜ao
em computadores e que n˜ao depende que o mdc(mi, mj) = 1, i = j.
O mdc(ai, mi)|bi, para i ∈ {1, ..., k}, ´e uma condi¸c˜ao necess´aria e
suficiente para que uma congruˆencia tenha uma solu¸c˜ao individual.
Em contrapartida, n˜ao necessariamente, o sistema tem solu¸c˜ao se
mdc(ai, mi)|bi [3].
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22. Isolando A Ic´onita X Do Sistema
Considere o sistema de congruˆencias lineares em que
di = mdc(ai, mi) e di|bi:
{aix ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k.
Vimos que um passo crucial foi dividir cada equa¸c˜ao de ordem i
pelo seu respectivo di. E, consequentemente, reca´ımos numa nova
congruˆencia da forma:
{αix ≡ βi mod mi, i = 1, ..., k,
cujo mdc(αi, mi) = 1.
Sabemos que αi possui inverso m´odulo mi. Da´ı, mutiplicando
ambos lados de cada equa¸c˜ao pelo seu inverso, obtemos:
{x ≡ βiα−1
i mod mi, i = 1, ..., k.
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23. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Da´ı, podemos considerar um novo sistema da forma:
{x ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k.
Resolvemos este sistema solucionando-o par a par. Substitu´ımos,
ent˜ao, o par original pela nova congruˆencia encontrada.
O processo se repete sucessivamente at´e a ´ultima equa¸c˜ao.
A princ´ıpio, vamos considerar as duas primeiras equa¸c˜oes do
sistema dado:
x ≡ b1 mod m1 (a)
x ≡ b2 mod m2 (b)
Sabemos que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (a) acima ´e da forma:
x = b1 + m1k, k ∈ Z. (9)
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24. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Da´ı, podemos levar o lado direito de (9) para a equa¸c˜ao (b):
x ≡ b2 mod m2
b1 + m1k ≡ b2 mod m2
⇓
m1k ≡ b2 − b1 mod m2
⇓
k ≡ (b2 − b1)m−1
1 mod m2,
em que m−1
1 ´e o inverso de m1 m´odulo m2.
Portanto,
k = (b2 − b1)m−1
1 + m2t
em que t ∈ Z ´e um valor arbitr´ario.
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25. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Uma vez obtido o valor de k, podemos substituir na equa¸c˜ao (9):
x = b1 + m1k
x = b1 + m1[(b2 − b1)m−1
1 + m2t]
Calculado o valor de x em termos de t ∈ Z, obtemos uma
congruˆencia X mod mmc(m1, m2), solu¸c˜ao comum do par.
Esta mesma deve substituir as duas primeiras congruˆencias do
sistema. Obt´em-se, portanto, um sistema equivalente com uma
equa¸c˜ao a menos.
Repetimos ent˜ao este processo at´e, finalmente, obter a solu¸c˜ao
geral do sistema.
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26. Exemplo De Sistema Com Trˆes Congruˆencias
Exemplo.
Considere o sistema de congruˆencias abaixo:
i)
3x ≡ 5 mod 4
2x ≡ 3 mod 5
4x ≡ 2 mod 3
⇓
ii)
x ≡ 5 · 3 mod 4
x ≡ 3 · 3 mod 5
x ≡ 2 · 4 mod 3
⇓
⇓
iii)
x ≡ 15 mod 4
x ≡ 9 mod 5
x ≡ 8 mod 3
⇓
iv)
x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
Note que os valores destacados em vermelho s˜ao os inversos
m´odulo mi dos seus respectivos ai, isto ´e, a1 = 3, a2 = 2, a3 = 4.
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27. Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias
Separando as duas primeiras congruˆencias do sistema (iv), temos:
iv)
x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 3 mod 4 (a)
x ≡ 4 mod 5 (b)
Da congruˆencia (a), temos que:
x = 3 + 4k, (10)
em que k ∈ Z ´e um valor arbitr´ario.
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28. Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias
Levamos, ent˜ao, esta express˜ao para a congruˆencia (b):
x ≡ 4 mod 5
3 + 4k ≡ 4 mod 5
⇓
4k ≡ 1 mod 5
⇓
k ≡ 1 · 4 mod 5
⇓
k ≡ 4 mod 5.
Logo, obtemos k = 4 + 5t, onde t ´e um inteiro arbitr´ario.
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29. Substituindo A Nova Congruˆencia No Sistema
Substituindo k na equa¸c˜ao (10), obtemos:
x = 3 + 4k
x = 3 + 4(4 + 5t)
x = 19 + 20t.
Da´ı, obtemos uma nova congruˆencia:
X ≡ 19 mod 20. (11)
Substituindo o primeiro par por X no sistema (iv), obtemos um
sistema equivalente:
iv)
x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
=⇒
x ≡ 19 mod 20 (a)
x ≡ 2 mod 3 (b)
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30. Solu¸c˜ao Do Segundo Par De Congruˆencias
Obtendo x da congruˆencia (a) deste sistema, temos:
x = 19 + 20k (12)
Substituindo (12) na congruˆencia (b):
x ≡ 2 mod 3
19 + 20k ≡ 2 mod 3
⇓
20k ≡ −17 mod 3
⇓
k ≡ 1 · 2 mod 3
⇓
k ≡ 2 mod 3.
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31. Solu¸c˜ao Final Do Sistema
Portanto, k = 2 + 3t e, substituindo na equa¸c˜ao (12), temos:
x = 19 + 20k
x = 19 + 20(2 + 3t)
x = 59 + 60t
Portanto a solu¸c˜ao geral do sistema ´e x = 59 + 60t. Em outras
palavras,
x ≡ 59 mod 60.
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32. Coment´arios
Coment´arios:
O exemplo resolvido ´e o mesmo encontrado em 7.70 [1] cujo
mesmo foi resolvido pelo m´etodo anterior. Vale ressaltar que a
solu¸c˜ao que encontramos est´a na sua forma reduzida, por´em ´e
congruente com a solu¸c˜ao dos autores de [1], como esper´avamos.
Contudo, em aplica¸c˜oes, deve-se considerar qual solu¸c˜ao particular
vai refletir corretamente a interpleta¸c˜ao da forma aplicada.
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33. Bibliografia
Bibliografia.
VIDIGAL A. e outros, (2009), Fundamentos de ´Algebra,
Universidade Federal de Minas Gerais.
COUTINHO S.C., (2011), N´umeros Inteiros e Criptografia RSA,
Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada.
SOMBRIO G. S., (2001), Teorema Chinˆes De Restos e Teorema
Da Aproxima¸c˜ao, Universidade Federal de Santa Catarina.
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/
81876/179152.pdf.
Santos A. E. aleniac@ufmg.br (UFMG ICEx)Teorema Chinˆes Dos Restos
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