O documento apresenta a fórmula resolvente para resolver equações do segundo grau completas da forma ax2 + bx + c = 0. A fórmula é x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. Exemplos mostram como aplicar a fórmula para encontrar as raízes de equações do tipo proposto.

1. Equações do 2º grau
Fórmula resolvente
9º Ano
Professora Cristina Alves

2. Vejamos como podemos resolver equações do 2º grau
completas
x2 + 8x +16 = 0Û ( x + 4)2 = 0Û
Û( x + 4)( x + 4) = 0Û
A partir de aqui podemos
resolver esta equação por dois
processos diferentes. Vejamos
com atenção cada processo.
Û x + 4 = 0 Ú x + 4 = 0Û
Û x = -4 Ú x = -4
Û x + 4 = ± 0
Û x + 4 = 0Û
Û x = -4
C.S. = {- 4}

3. Vejamos como resolver outra equação do 2º grau
x2 - 8x + 7 = 0Û x2 -8x + 42 + 7 = 42 Û
Û(x2 -8x +16) + 7 =16Û ( x - 4)2 =16 - 7Û
Û( x - 4)2 = 9Û ( x - 4) = ± 9 Û
Ûx -4 = 3 Ú x -4 = -3Û
Û x = 3 + 4 Ú x = -3 + 4Û
Ûx = 7 Ú x =1
C.S. = { 1, 7 }

4. De um modo geral, dada uma equação do 2º grau
completa temos:
ax2 + bx + c = 0Û
x c
a
Û 2 + + = 0Û
a
x b
2
b Û ÷ø
ö 2
çè
÷ø
æ
a
x b
a
ö çè
b
c
ö çèæ = + ÷ø
Û + + æ
2 2
2
2 a
a
2a
x b
x b 2
x b
a
ö çè
c
b
Û - = ÷ø
Û + + æ
a
a
a
2 2
2
2 4
x b 2
Ûæ +
c
b
ö = - Û a
÷øa
çè
a
2 2
2 4
Dividir ambos os membros da
equação por a ≠ 0
Adicionar a ambos os
membros da equação
c
Passar para o 2º membro o termo a
Factorizar o 1º membro da equação,
usando os casos notáveis da
multiplicação

5. c
x b b
2
Û - = ÷ø
÷ø
Reduzimos o 2º membro ao mesmo
denominador e escrevemos na forma
= b - ac
Û de uma única fracção x b
Ûæ + 2
2
4
b ac
Ûæ +
x b
a
Û + = ± - 4
Û 2
2 a
a
b ac
x b
Û = - ± - Û
2
2
4
4
a
2 a
Û = - ± 2 - 4
x b b ac
a
2
ö çè
a
a
a
2 2
2 4
Fórmula Resolvente
ö çè
2 2
4
4
2 a
Retiramos o quadrado do 1º membro
com a noção de raiz quadrada
Isolamos a incógnita x e
calculamos a raiz do denominador

6. Fórmula Resolvente
Para resolver uma equação do 2º grau completa,
basta aplicar a fórmula resolvente, isto é:
ax2 + bx + c = 0
Û = - ± 2 - 4
x b b ac
com a , b e c Î IR e a ≠ 0
a
2

7. Vejamos um exercício prático:
 Exercício 1:
2x2 - ( - 14 ) ± ( - 14 ) 2 -14x + 20 = 0 - 4 ´ 2 ´
20
Û
´
Û =
2 2
x
Aplicando a F.R.
Û x = 14 ± 196 -160 Û = ± Û
4
x 14 36
4
Û = ± Û = + Ú = 14 - 6
Û
4
x 14 6 x 14 6
x
4
4
Û x = 20 Ú x = Û x = Ú x =
5 2
8
4
4
C.S. = { 2, 5}

8. Exercício 2:
Resolve as seguintes equações do 2º grau
completas usando a Fórmula Resolvente
 a)
 b)
 c)
2x2 + 2x -12 = 0
2x2 - x -1 = 0
- x2 + 7x -12 = 0

9. 2x2 - 2 ± 22 - 4 ´ 2 ´ ( -
12
) + 2x -12 = 0 Û
´
Û =
2 2
x
Û = - ± + Û = - 2 ± 100
Û
4
x 2 4 96 x
4
Û = - + Ú = - 2 - 10
Û
4
x 2 10 x
4
Û x = 8 Ú x = - Û x = Ú x = -
2 3
12
4
4
C.S. = {- 3, 2}

10. 2x2 - x -1 = 0 - ( - 1 ) ± ( - 1 ) 2 - 4 ´ 2 ´ ( -
1
) Û
´
Û =
2 2
x
Û = ± + Û = 1 ± 9
Û
4
x 1 1 8 x
4
Û = + Ú = 1 - 3
Û
4
x 1 3 x
4
Û x = 4 Ú x = - Û x = Ú x = -
1 1
2
2
4
4
þ ý ü
C.S. 1
î í ì
= - , 1
2

11. x2 - 7 ± 72 - 4 ´ ( - 1 ) ´ ( -
12
)
- + 7x -12 = 0 ( ) Û
´ -
Û =
2 1
x
Û
Û = - ±
7 1
-
Û = - ± -
x 7 49 48 x
-
2
2
Û
Ú = - -
7 1
-
Û = - +
x 7 1 x
-
2
2
Û x = - Ú x = -
x x
6 Û = Ú =
3 4
8
2
2
-
-
C.S. = {3, 4}

12. Agora que já sabes resolver equações do 2º
grau completas, usando a Fórmula Resolvente,
deves praticar bastante para não cometeres
erros.