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- 2. Equaçãodo2ºgraucom umaincógnita Denomina-se equação do2º grau na incógnita x toda equação da forma ax² + bx + c = 0, em que a, b, c e a 0.
- 3. Nas equações do2º grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x: Exemplo a será sempre o coeficiente do termo em x² b será sempre o coeficiente do termo em x c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x 2x² – 2x – 40 = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 2, b = – 2 e c = – 40 x² – 25 = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 1, b = 0 e c = – 25 6x² – 9x = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 6, b = – 9 e c = 0.
- 4. Equações completas eincompletas Pela definição, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0. Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau de diz completa. Equação completa Exemplo 5x² – 8x +3 = 0 Equação completa A= 5 B = -8 C =3 Quando b = 0 ou c = 0, a equação do 2º grau de diz incompleta Equação incompleta Exemplo x² – 81 = 0 Equação incompleta A= 1 B = 0 C =-81
- 5. Formareduzidadaequaçãodo2º Graucomumaincógnita Escrever a equação2x² – 7x +4 = 1 - x² na forma reduzida Aplicamos o princípio aditivo 2x² – 7x +4 -1 + x² = 0 Forma reduzida 3x² – 7x + 3 = 0 1 2
- 6. rotação ResoluçõesdeEquaçõesdo2ºGraucomumaIncógnita Um número realé tal que seu quadrado é igual ao seu triplo. Qual é esse número? ! Equações incompletas na forma ax² + bx = 0
- 7. rotação ResoluçõesdeEquaçõesdo2ºGraucomumaIncógnita A medida daárea de uma praça quadrada é 144 m². Quanto mede o lado dessa praça? ! Equações incompletas na forma ax² + c = 0 Indicando por x a medida do lado dessa praça, podemos escrever a equação: Logo, a medida do lado da praça é 12 m.
- 8. A fórmula échamada fórmula resolutiva da equação completa do 2º grau ax² + bx + c = 0 Equações completas Termos Discriminante da equação () b² – 4ac = 0 Outra forma de escrever a fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara)
- 9. A existência ounão de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes, depende, exclusivamente, do valor do discriminante Raízes reais = b² – 4ac Equação ax² + bx + c = 0 A equação tem raízes reais >: Duas raízes diferentes = 0: Duas raízes iguais A equação não tem raízes reais
- 10. rotação Exemplos Resolver aequação x² + 2x - 8 = 0 , no conjunto R !
- 11. rotação Exemplos Resolver aequação x² - 14x + 49 = 0 , no conjunto R !
- 12. rotação Exemplos Resolver aequação x² - 5x + 8 = 0 , no conjunto R !
- 13. Considere a equaçãoax² + bx + c = 0, sendo x’ e x’’ as raízes reais dessa equação Entre as raízes e os coeficientes da equação, existem duas relações importantes Soma das raízes 1ª relação Sendo x’ e x’’ as raízes reais da equação, temos: Adicionando membro a membro dessas duas igualdades, obtemos a 1ª relação
- 14. Soma e Produto das raízes Sendox’ e x’’ as raízes reais da equação, temos: Multiplicando membro a membro dessas duas igualdades, obtemos a 2ª relação
- 15. 1ª relação Em todaequação do 2º grau, em que x’ e x’’ são raízes reais, temos x’ + x’’ =
- 16. 2ª relação Em todaequação do 2º grau, em que x’ e x’’ são raízes reais, temos x’ . x’’ =
- 17. rotação Exemplos A equação3x² -8x -3 = 0 , apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem resolver a equação, determine a soma e o produto dessas duas raízes !
- 18. Escrevendo uma equaçãoquando conhecemos as raízes 1 Podemos aplicar a relação entre as raízes e os coeficientes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 para escrever a equação na forma, quando são dados dois números reais (x’ e x’’) como raízes da equação. Como a ≠ 0, vamos dividir todos os termos pelo coeficiente a
- 19. Escrevendo uma equaçãoquando conhecemos as raízes 2 Sendo x’ e x’’ as raízes reais da equação, temos:
- 20. Escrevendo uma equaçãoquando conhecemos as raízes 3 Substituindo 1 e 3 na equação 1 x² - (x’ + x’’)x + x’ . x’’ = 0 4 Se indicarmos por S a soma das raízes (x’ + x’’ = S) e por P, o produto dessas raízes ( x’ . x’’ = P), escrevemos a equação na forma: x² - Sx + P = 0
- 21. rotação Exemplos João estámontando equações quadráticas para estudar para sua prova de matemática. Ele quer criar uma equação do segundo grau na forma ax² + bx + c = 0, mas esquece quais foram os coeficientes a, b e c. No entanto, ele lembra que o coeficiente a é 1 e que as raízes da equação são 3 e -2. Qual é a equação que João criou?
- 22. rotação Exemplos Determinar aequação do 2º grau na incógnita x, sabendo que as raízes dessa equação são os números reais 3 e 5 !
- 23. Resolução de sistemas do2° grau com duas incógnitas Exemplo Um sistema é chamado do 2º grau com duas incógnitas quando pelo menos uma das equações que o compõem é do 2º grau.
- 24. rotação Resolução sistema deequação do 2° grau
- 25. Resolução de problemasenvolvendo Sistema de equações Matheus cercou um terreno retangular cujo perímetro é 74 m, e a área, 300 m2 . Quais são as dimensões desse terreno?
- 26. Equações redutíveis à equação do2° grau Exemplo As equações da forma ax4 + bx2 + c = 0 são denominadas equações biquadradas. x4 – 7x2 + 12 = 0
- 27. Equações irracionais Exemplo Equações que apresentamuma expressão algébrica irracional em pelo menos um de seus termos, isto é, que apresentam variável no radicando, são chamadas de equações irracionais. √2 𝑥−1=𝑥 −2