1. O documento apresenta conceitos básicos de geometria plana, incluindo definições de polígonos, quadriláteros, triângulos e suas propriedades.
2. Também apresenta fórmulas para calcular áreas de figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos, losangos, trapézios, polígonos regulares e círculos.
3. As definições, propriedades e fórmulas fornecem informações essenciais sobre objetos geométricos planos e como calcular
O documento discute polígonos regulares, definindo-os como polígonos equiláteros e equiângulos. Ele explica que polígonos regulares podem ser inscritos ou circunscritos em uma circunferência e fornece fórmulas para calcular o lado e a apótema de polígonos regulares como quadrados, hexágonos e triângulos equiláteros em termos do raio da circunferência.
O documento discute polígonos, formas geométricas planas fechadas por segmentos de reta sem cruzamentos. Ele explica que polígonos têm lados e ângulos externos iguais aos internos e classifica-os em convexos ou não convexos e regulares. Também classifica triângulos por lados e ângulos e quadriláteros, incluindo paralelogramos.
O documento define vários tipos de ângulos e suas relações. Ele explica que um ângulo é o espaço entre duas semi-retas e define ângulos retos, agudos e obtusos. Também descreve ângulos complementares e suplementares, cujas somas são de 90° e 180° respectivamente. Por fim, define vários tipos de ângulos relacionados a retas paralelas cortadas por uma transversal, como ângulos colaterais, alternos internos e externos.
O documento apresenta o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos determinados em uma reta transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra reta transversal, quando cortadas por um feixe de retas paralelas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação do teorema na resolução de problemas geométricos.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Este documento descreve os principais tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista seus elementos. Em seguida, discute quadriláteros convexos e côncavos e a fórmula para a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo. Por fim, descreve propriedades específicas de paralelogramos, retângulos, losangos, quadrados e trapézios.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
1) O documento apresenta exemplos e fórmulas de progressões aritméticas e geométricas, incluindo a definição de termos, razão e soma.
2) São resolvidos seis exercícios que envolvem o cálculo de termos, razões e somas de PAs e PGs.
3) As soluções utilizam fórmulas como a do termo geral, soma de termos e equações do segundo grau para determinar valores pedidos nos exercícios.
O documento discute polígonos regulares, definindo-os como polígonos equiláteros e equiângulos. Ele explica que polígonos regulares podem ser inscritos ou circunscritos em uma circunferência e fornece fórmulas para calcular o lado e a apótema de polígonos regulares como quadrados, hexágonos e triângulos equiláteros em termos do raio da circunferência.
O documento discute polígonos, formas geométricas planas fechadas por segmentos de reta sem cruzamentos. Ele explica que polígonos têm lados e ângulos externos iguais aos internos e classifica-os em convexos ou não convexos e regulares. Também classifica triângulos por lados e ângulos e quadriláteros, incluindo paralelogramos.
O documento define vários tipos de ângulos e suas relações. Ele explica que um ângulo é o espaço entre duas semi-retas e define ângulos retos, agudos e obtusos. Também descreve ângulos complementares e suplementares, cujas somas são de 90° e 180° respectivamente. Por fim, define vários tipos de ângulos relacionados a retas paralelas cortadas por uma transversal, como ângulos colaterais, alternos internos e externos.
O documento apresenta o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos determinados em uma reta transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra reta transversal, quando cortadas por um feixe de retas paralelas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação do teorema na resolução de problemas geométricos.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Este documento descreve os principais tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista seus elementos. Em seguida, discute quadriláteros convexos e côncavos e a fórmula para a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo. Por fim, descreve propriedades específicas de paralelogramos, retângulos, losangos, quadrados e trapézios.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
1) O documento apresenta exemplos e fórmulas de progressões aritméticas e geométricas, incluindo a definição de termos, razão e soma.
2) São resolvidos seis exercícios que envolvem o cálculo de termos, razões e somas de PAs e PGs.
3) As soluções utilizam fórmulas como a do termo geral, soma de termos e equações do segundo grau para determinar valores pedidos nos exercícios.
O documento define polígonos como linhas poligonais fechadas formadas por segmentos de reta consecutivos. Descreve polígonos convexos e côncavos, apresenta a nomenclatura e fórmulas para o número de diagonais, soma dos ângulos internos e externos. Também define polígonos regulares como equiláteros e equiângulos, e apresenta suas características e fórmulas para ângulos internos e externos.
O documento discute ângulos e polígonos. Define ângulos, tipos de ângulos e como usar um transferidor. Define polígonos e seus elementos, tipos de polígonos e exemplos. Discute triângulos, quadriláteros e outros polígonos. Explica como polígonos aparecem no cotidiano em alimentos, edifícios, monumentos, móveis e na natureza.
O documento define triângulo e seus elementos, classifica triângulos de acordo com lados e ângulos, apresenta teoremas e pontos notáveis de triângulos como ortocentro, baricentro e incentro. Propriedades de triângulos isósceles e equiláteros também são descritas.
Este documento fornece informações sobre polígonos, incluindo suas definições, tipos e propriedades. Polígonos são figuras planas fechadas formadas por segmentos de reta. São classificados como convexos ou côncavos e recebem nomes específicos de acordo com o número de lados, como quadriláteros, pentágonos e hexágonos. O documento também descreve propriedades específicas de quadriláteros e paralelogramos.
1) Uma fração representa uma quantidade dividida em partes iguais. O numerador indica quantas partes estão sendo consideradas e o denominador indica o número total de partes.
2) Existem frações próprias e impróprias. Frações podem ser reduzidas à sua forma mais simples através da simplificação.
3) Para comparar e realizar operações com frações, é necessário reduzi-las a um mesmo denominador comum.
A geometria lida com formas e figuras, explicando como construí-las, medir e compará-las. Ela é usada em construção, engenharia e artes. Os elementos básicos incluem pontos, retas, planos, ângulos, polígonos e figuras tridimensionais.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego do século VII a.C. que observou que os raios solares chegavam paralelos à Terra e desenvolveu o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes na outra reta. Tales aplicou esse princípio para medir a altura da Grande Pirâmide de Gizé, formando triângulos semelhantes com a sombra projetada. O Teorema de Tales tem
O documento discute os critérios de congruência de triângulos, definindo-os como triângulos que têm lados e ângulos correspondentes congruentes. Apresenta cinco casos que garantem a congruência: Lado-Ângulo-Lado, Ângulo-Lado-Ângulo, Lado-Ângulo-Ângulo Oposto, Lado-Lado-Lado e um caso especial para triângulos retângulos. Explica também porque o caso Ângulo-Lado não constitui critério de congruência.
1) O documento contém 17 questões sobre polígonos regulares e suas propriedades, incluindo ângulos internos, externos, centrais e diagonais.
2) As questões abordam tópicos como pentágonos, hexágonos e decágonos regulares, bem como relações entre os mesmos.
3) São fornecidas figuras para ilustrar alguns dos conceitos envolvidos, como a construção de polígonos a partir de outros.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
O documento apresenta os algoritmos e propriedades das operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Inclui exemplos de aplicações destas operações em situações do cotidiano e do contexto escolar.
O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
1. A geometria se baseia nos conceitos primitivos de ponto, reta e plano, que não podem ser definidos, mas sim entendidos por exemplos.
2. Um ponto não tem dimensão e é representado por uma letra maiúscula. Uma reta é formada por pontos alinhados e é representada por uma letra minúscula.
3. Um plano tem duas dimensões e é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego.
Este documento apresenta e explica vários conceitos geométricos de lugares geométricos, incluindo circunferências, círculos, mediatrizes de segmentos de reta, bissectrizes de ângulos, superfícies esféricas, esferas e planos mediadores. Fornece exemplos práticos destes conceitos e como identificá-los geometricamente.
O documento descreve os elementos e propriedades da circunferência e do círculo, incluindo raio, diâmetro, corda, perímetro, ângulos inscritos e posições relativas entre circunferências. Explica como calcular o comprimento de um arco e apresenta exercícios sobre o tema.
Este plano de aula aborda o tema de poliedros e tem como objetivos explorar a representação plana de objetos tridimensionais, observar características de sólidos geométricos e identificar elementos de poliedros. Serão trabalhadas atividades como a manipulação de figuras geométricas, representação de poliedros em malhas de pontos e classificação de poliedros de acordo com critérios predefinidos.
O documento discute geometria espacial, especificamente o volume de prismas. Explica o princípio de Cavalieri, como calcular o volume de um prisma multiplicando a área da base pela altura, e fornece exercícios de fixação resolvidos para o cálculo do volume de diferentes prismas.
O documento discute a origem e desenvolvimento da geometria. (1) A geometria surgiu da necessidade humana de medir terras e estudar formas na natureza. (2) Os egípcios, babilônios e gregos desenvolveram conhecimentos geométricos iniciais. (3) O matemático grego Euclides organizou esses conhecimentos em seu livro "Elementos", que se tornou a base da geometria.
Este documento apresenta 24 exercícios resolvidos de geometria plana, incluindo problemas envolvendo segmentos de reta, triângulos e ângulos. As soluções fornecem os passos detalhados para chegar aos valores solicitados em cada questão.
O documento define polígonos como linhas poligonais fechadas formadas por segmentos de reta consecutivos. Descreve polígonos convexos e côncavos, apresenta a nomenclatura e fórmulas para o número de diagonais, soma dos ângulos internos e externos. Também define polígonos regulares como equiláteros e equiângulos, e apresenta suas características e fórmulas para ângulos internos e externos.
O documento discute ângulos e polígonos. Define ângulos, tipos de ângulos e como usar um transferidor. Define polígonos e seus elementos, tipos de polígonos e exemplos. Discute triângulos, quadriláteros e outros polígonos. Explica como polígonos aparecem no cotidiano em alimentos, edifícios, monumentos, móveis e na natureza.
O documento define triângulo e seus elementos, classifica triângulos de acordo com lados e ângulos, apresenta teoremas e pontos notáveis de triângulos como ortocentro, baricentro e incentro. Propriedades de triângulos isósceles e equiláteros também são descritas.
Este documento fornece informações sobre polígonos, incluindo suas definições, tipos e propriedades. Polígonos são figuras planas fechadas formadas por segmentos de reta. São classificados como convexos ou côncavos e recebem nomes específicos de acordo com o número de lados, como quadriláteros, pentágonos e hexágonos. O documento também descreve propriedades específicas de quadriláteros e paralelogramos.
1) Uma fração representa uma quantidade dividida em partes iguais. O numerador indica quantas partes estão sendo consideradas e o denominador indica o número total de partes.
2) Existem frações próprias e impróprias. Frações podem ser reduzidas à sua forma mais simples através da simplificação.
3) Para comparar e realizar operações com frações, é necessário reduzi-las a um mesmo denominador comum.
A geometria lida com formas e figuras, explicando como construí-las, medir e compará-las. Ela é usada em construção, engenharia e artes. Os elementos básicos incluem pontos, retas, planos, ângulos, polígonos e figuras tridimensionais.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego do século VII a.C. que observou que os raios solares chegavam paralelos à Terra e desenvolveu o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes na outra reta. Tales aplicou esse princípio para medir a altura da Grande Pirâmide de Gizé, formando triângulos semelhantes com a sombra projetada. O Teorema de Tales tem
O documento discute os critérios de congruência de triângulos, definindo-os como triângulos que têm lados e ângulos correspondentes congruentes. Apresenta cinco casos que garantem a congruência: Lado-Ângulo-Lado, Ângulo-Lado-Ângulo, Lado-Ângulo-Ângulo Oposto, Lado-Lado-Lado e um caso especial para triângulos retângulos. Explica também porque o caso Ângulo-Lado não constitui critério de congruência.
1) O documento contém 17 questões sobre polígonos regulares e suas propriedades, incluindo ângulos internos, externos, centrais e diagonais.
2) As questões abordam tópicos como pentágonos, hexágonos e decágonos regulares, bem como relações entre os mesmos.
3) São fornecidas figuras para ilustrar alguns dos conceitos envolvidos, como a construção de polígonos a partir de outros.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
O documento apresenta os algoritmos e propriedades das operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Inclui exemplos de aplicações destas operações em situações do cotidiano e do contexto escolar.
O documento apresenta conceitos básicos sobre ângulos, incluindo sua definição, tipos, elementos e relações entre ângulos como adjacentes, opostos e complementares. É apresentada a representação de ângulos e exemplos de cálculos envolvendo medidas de ângulos.
1. A geometria se baseia nos conceitos primitivos de ponto, reta e plano, que não podem ser definidos, mas sim entendidos por exemplos.
2. Um ponto não tem dimensão e é representado por uma letra maiúscula. Uma reta é formada por pontos alinhados e é representada por uma letra minúscula.
3. Um plano tem duas dimensões e é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego.
Este documento apresenta e explica vários conceitos geométricos de lugares geométricos, incluindo circunferências, círculos, mediatrizes de segmentos de reta, bissectrizes de ângulos, superfícies esféricas, esferas e planos mediadores. Fornece exemplos práticos destes conceitos e como identificá-los geometricamente.
O documento descreve os elementos e propriedades da circunferência e do círculo, incluindo raio, diâmetro, corda, perímetro, ângulos inscritos e posições relativas entre circunferências. Explica como calcular o comprimento de um arco e apresenta exercícios sobre o tema.
Este plano de aula aborda o tema de poliedros e tem como objetivos explorar a representação plana de objetos tridimensionais, observar características de sólidos geométricos e identificar elementos de poliedros. Serão trabalhadas atividades como a manipulação de figuras geométricas, representação de poliedros em malhas de pontos e classificação de poliedros de acordo com critérios predefinidos.
O documento discute geometria espacial, especificamente o volume de prismas. Explica o princípio de Cavalieri, como calcular o volume de um prisma multiplicando a área da base pela altura, e fornece exercícios de fixação resolvidos para o cálculo do volume de diferentes prismas.
O documento discute a origem e desenvolvimento da geometria. (1) A geometria surgiu da necessidade humana de medir terras e estudar formas na natureza. (2) Os egípcios, babilônios e gregos desenvolveram conhecimentos geométricos iniciais. (3) O matemático grego Euclides organizou esses conhecimentos em seu livro "Elementos", que se tornou a base da geometria.
Este documento apresenta 24 exercícios resolvidos de geometria plana, incluindo problemas envolvendo segmentos de reta, triângulos e ângulos. As soluções fornecem os passos detalhados para chegar aos valores solicitados em cada questão.
1) O documento discute atividades experimentais e dedutivas em geometria no ensino fundamental.
2) Inclui exemplos de atividades experimentais como construir polígonos e investigar propriedades geométricas.
3) Também aborda como a experimentação pode levar a deduções, como a medida dos ângulos de polígonos regulares.
O documento discute vários conceitos fundamentais de geometria plana, incluindo: (1) a definição de ângulo e classificações de ângulos como complementares, suplementares e replementares; (2) congruência de ângulos; e (3) propriedades de retas perpendiculares, paralelas e o Teorema das Retas Paralelas.
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre círculos e circunferências preparada pelo professor Heráclito para o site www.tioheraclito.com. A lista contém exercícios que envolvem calcular o comprimento da circunferência, área do círculo, setores circulares e ângulos no círculo.
1) O documento apresenta um módulo sobre geometria plana para alunos do ensino médio.
2) É fornecida uma breve introdução histórica sobre a geometria e seus desenvolvimentos.
3) As principais noções, definições e notações da geometria plana são apresentadas, incluindo pontos, retas e planos.
O documento descreve conceitos básicos de geometria como ponto, reta, plano e ângulos. Define pontos como localizações adimensionais representadas por letras maiúsculas. Explica que um plano é infinito e é indicado por letras gregas. Detalha os tipos de ângulos como agudos, obtusos e retos com suas aberturas correspondentes.
1) O documento apresenta uma atividade de geometria sobre retas, segmentos de reta e suas propriedades. 2) Os alunos devem identificar propriedades como posição relativa, congruência e paralelismo de retas e segmentos em figuras geométricas. 3) Questões incluem identificar pares de segmentos consecutivos e colineares, determinar se afirmações sobre figuras são verdadeiras ou falsas e representar geometricamente conceitos.
A geometria estuda as formas e o espaço. Os elementos geométricos mais simples são o ponto, a reta e o plano. O ponto não tem dimensão, a reta tem uma dimensão de comprimento e o plano tem duas dimensões de largura e comprimento.
Este documento é uma ficha de trabalho de matemática para alunos do 5o ano sobre posição relativa de retas, semirretas e segmentos de reta. Contém exercícios sobre retas paralelas, perpendiculares e oblíquas, bem como sobre igualdade e soma de ângulos.
1) O documento apresenta sugestões de atividades para a disciplina de Matemática do 5o ano do Ensino Fundamental, abordando os temas Espaço e Forma e Grandezas e Medidas. 2) As atividades incluem questões sobre identificação e propriedades de figuras planas e sólidos geométricos, resolução de problemas envolvendo unidades de medida e relações entre grandezas. 3) As sugestões visam avaliar e acompanhar o ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos.
El documento presenta diferentes figuras geométricas tridimensionales como la pirámide, el tetraedro, el tronco de pirámide, el cono, el tronco de cono y la esfera. También menciona los poliedros de Euler.
Relacionando-se com o pentagrama, a razão áurea aparece em muitas relações do corpo humano: a razão entre a altura de uma pessoa e a distância do umbigo aos pés, por exemplo. Este número foi usado várias vezes por Leonardo da Vinci, onde ele divida um segmento de reta em dois segmentos: x e 1-x (outra forma de se expressar o número áureo).
Este documento fornece instruções sobre noções básicas de geometria, incluindo como construir figuras geométricas como triângulos, quadrados, pentágonos e hexágonos dividindo uma circunferência em partes iguais. Também discute tipos de linhas, ângulos e suas relações.
O documento discute a razão áurea ou número áurea, que é uma proporção harmônica encontrada na natureza e usada na arte e arquitetura. Ele explica que a razão áurea pode ser usada para dividir um objeto de forma que uma parte seja aproximadamente 1,6 vezes maior que a outra, e fornece exemplos de como a razão aparece na Mona Lisa, obras de Mondrian, no Partenon e na concha do Nautilus.
Esta seção apresenta os principais conjuntos numéricos e números decimais. São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, mostrando suas características e relações. Também são explicados os números decimais como uma forma de escrever números no sistema posicional indo-arábico, onde o valor de cada algarismo depende de sua posição.
O documento discute polígonos, definindo-os como superfícies planas limitadas por linhas poligonais fechadas. Ele classifica polígonos como convexos ou côncavos dependendo de seus ângulos, e discute a relação entre o número de lados de um polígono e a soma dos ângulos internos e externos.
Geometria plana ângulos, triângulos, quadriláteros, cálculo de áreasCamila Rodrigues
O documento apresenta os principais conceitos de Geometria Plana, incluindo: definição da disciplina e seus principais estudiosos na Grécia Antiga; elementos básicos como ponto, reta e plano; classificação e propriedades de ângulos, triângulos e quadriláteros; e cálculo de áreas de figuras planas.
O documento descreve diferentes sólidos geométricos, incluindo poliedros (prismas, pirâmides, cubos), corpos redondos (cilindros, cones, esferas) e suas propriedades. Prismas, pirâmides e cubos são definidos e discutem-se suas áreas e volumes. Cilindros, cones e esferas também são definidos e fornecem-se fórmulas para calcular suas áreas e volumes.
O documento discute conceitos básicos de geometria, incluindo:
1) A origem do termo "geometria" e seu desenvolvimento inicial pelos egípcios e outras civilizações antigas.
2) Elementos básicos da geometria plana como ponto, reta e plano.
3) Conceitos relacionados a circunferências e círculos como raio, diâmetro e corda.
O documento fornece definições e propriedades de polígonos, triângulos, quadriláteros e teoremas geométricos. Aborda conceitos como polígonos convexos e côncavos, elementos de um polígono, polígonos regulares, classificação de triângulos, congruência e semelhança de triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, tipos de quadriláteros e teoremas de Tales e da bissetriz.
Geométria espacial autor antonio carlos carneiro barrosoAntonio Carneiro
O documento fornece informações sobre figuras geométricas tridimensionais como prismas, pirâmides, cilindros, poliedros e suas propriedades. Inclui definições de prisma, pirâmide, tetraedro regular, octaedro, hexaedro, cubo, paralelepípedo e fórmulas para calcular áreas e volumes destas figuras. Também apresenta breve biografia do professor Antonio Carlos Carneiro Barroso.
O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana, incluindo definições de triângulos (equilátero, isósceles, escaleno), quadriláteros (retângulo, losango, quadrado, paralelogramo), polígonos, circunferências e suas partes (centro, raio, diâmetro, corda).
O documento apresenta definições geométricas básicas como polígonos, paralelogramos, losangos, trapézios e triângulos. Explica como calcular as áreas dessas figuras planas utilizando a base e a altura. Também discute o conceito de região poligonal e introduz o círculo como limite de polígonos regulares inscritos.
1. O documento discute vários conceitos geométricos como polígonos, triângulos, quadriláteros e suas propriedades.
2. Polígonos são figuras planas formadas por linhas fechadas e simples. Triângulos podem ser classificados de acordo com seus ângulos ou lados.
3. Os teoremas de Tales e da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo tratam de proporcionalidade entre segmentos.
1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana e espacial como ângulos, triângulos, polígonos, quadriláteros, sólidos geométricos, retas e planos.
2) Inclui definições e propriedades de ângulos, classificação de triângulos e quadriláteros, teorema de Pitágoras, polígonos regulares e sólidos geométricos como prismas e pirâmides.
3) Fornece detalhes sobre critérios de paralelismo, perpendicularidade
O documento discute triângulos e suas classificações de acordo com os ângulos e lados. É apresentada a classificação de triângulos em agudângulo, retângulo e obtusângulo e fornecidas fórmulas para determinar o tipo de triângulo a partir das medidas dos lados. Circunferências e seus elementos como raio, diâmetro e corda também são explicados.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria como retas, segmentos de retas, ângulos, polígonos e suas classificações.
2) Inclui detalhes sobre triângulos, quadriláteros, circunferências e suas partes.
3) Explica simetria em figuras geométricas como triângulos e quadrados.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria como retas, segmentos de retas, ângulos, polígonos e suas classificações.
2) Inclui detalhes sobre triângulos, quadriláteros, circunferências e suas partes.
3) Explica simetria em figuras geométricas como triângulos e quadrados.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria como retas, segmentos de retas, ângulos, polígonos e suas classificações.
2) Inclui detalhes sobre triângulos, quadriláteros, circunferências e suas partes.
3) Explica simetria em figuras geométricas como triângulos e quadrados.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria como retas, segmentos de retas, ângulos, polígonos e suas classificações.
2) Inclui detalhes sobre triângulos, quadriláteros, circunferências e suas partes.
3) Explica simetria em figuras geométricas como triângulos e quadrados.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria como retas, segmentos de retas, ângulos, polígonos e suas classificações.
2) Inclui detalhes sobre triângulos, quadriláteros, circunferências e suas partes.
3) Explica simetria em figuras geométricas como triângulos e quadrados.
1) O documento descreve conceitos básicos da geometria plana, incluindo pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos.
2) É apresentada a definição e representação de pontos, retas, segmentos de reta e suas propriedades.
3) São descritos os tipos de ângulos e triângulos com base em suas medidas e relações.
Este documento é uma apostila de geometria que resume os principais tópicos de geometria plana e noções básicas de geometria espacial. A apostila contém 10 seções que abordam ângulos, polígonos, triângulos, quadriláteros, círculos, áreas de figuras planas e noções de geometria espacial, além de questões objetivas e discursivas com respostas. O documento é assinado pelo professor Paulo Soares Batista.
O documento discute vários conceitos fundamentais de geometria plana, incluindo: 1) A definição de polígonos e seus elementos; 2) As classificações e propriedades de triângulos e quadriláteros; 3) Teoremas importantes como o de Tales e da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo.
O documento descreve os conceitos básicos de polígonos, incluindo suas definições, tipos (convexo/não convexo), nomes com base no número de lados, classificações de triângulos e quadriláteros, e sugere atividades práticas usando um quebra-cabeça Tangram.
Semelhante a Apostila matemática geometria plana (20)
1. PARTE 01
GEOMETRIA PLANA
Introdução
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas
definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos
são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem
funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais
complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias,
centros de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada
lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são
denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é
muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no
interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo
estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não
convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades,
contiver pontos que estão fora do polígono.
Polígono No. de lados Polígono No. de lados
Triângulo 3 Quadrilátero 4
Pentágono 5 Hexágono 6
Heptágono 7 Octógono 8
Eneágono 9 Decágono 10
Undecágono 11 Dodecágono 12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que
tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num
paralelogramo:
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam
um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui
quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos,
denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos
lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das
somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
2. Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos
congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles
menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus
lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e
que os ângulos opostos
Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha
poligonal fechada.
TRIÂNGULOS
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto
aos lados e quanto aos ângulos.
Quanto aos lados:
Eqüilátero Isósceles Escaleno
todos os lados iguais dois lados iguais todos os lados diferentes
Quanto aos ângulos:
Acutângulo Obtusângulo Retângulo
Um ângulo agudo Um ângulo obtuso Um ângulo reto
Algumas propriedades:
- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
- Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.
Quadriláteros
- Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem
lados paralelos).
- Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos
(apenas com dois lados paralelos).
3. Paralelogramos
Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo
Propriedades:
Retângulo: - lados opostos iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais iguais que se interceptam no ponto médio
- dois eixos de simetria
Losango: - quatro lados iguais
- ângulos opostos iguais
- diagonais perpendiculares que se interceptam no ponto médio (bissetrizes do ângulos de
vértice)
- dois eixos de simetria
Quadrado: - quatro lados iguais
- quatro ângulos retos
- diagonais perpendiculares
- quatro eixos de simetria
Paralelogramo: - lados opostos iguais
- ângulos opostos iguais
- diagonais que se interceptam no ponto médio
- não tem eixos de simetria
Trapézios propriamente ditos
Isósceles Retangular Escaleno
Propriedades:
Isósceles: - dois lados iguais
- um eixo de simetria
Retangular: - um ângulo reto
- não tem eixos de simetria
Escaleno: - quatro lados diferentes
- não tem eixos de simetria
Polígonos
4. Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos. Por exemplo:
Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Por exemplo:
Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos. Por exemplo:
Octógonos - São polígonos de oito lados e oito ângulos. Por exemplo:
Os polígonos podem ser côncavos ou convexos.
Um polígono diz-se côncavo quando o prolongamento de pelo menos um dos seus lados corta o
polígono em duas partes.
Exemplo:
Um polígono diz-se convexo quando o prolongamento de qualquer dos segmentos que o determina
deixa o polígono de um só lado.
Exemplo:
Os polígonos podem ser regulares ou não regulares.
Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais, caso contrário, diz-se não
regular.
Exemplo de polígonos regulares:
5. Circunferência (Círculo)
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano
que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de
CENTRO da circunferência (ponto O). A distância constante denominamos de
RAIO (indicado por r).
Por exemplo:
Vejamos alguns elementos da circunferência:
* Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência
chama-se raio (r).
* Qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se
CORDA.
* A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se DIÂMETRO. Assim, o diâmetro é a maior
corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar o
diâmetro por d, logo d=2r.
ÁREA DO RETÂNGULO
Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde:
* a = medida do comprimento ou base
* b = medida da largura ou altura
* s = área total
temos que:
área do retângulo = b.a
6. ÁREA DO QUADRADO
Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais, figura
abaixo:
* l = medida do comprimento ou base
* l = medida da largura ou altura
* s = área total
temos que:
área do quadrado = l²
ÁREA DE UMA REGIÃO TRIANGULAR
(OU ÁREA DE UM TRIÂNGULO)
Considere as seguintes figuras:
Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é igual à metade da área
do retângulo ABCD.
Assim, de modo geral, temos:
área do triângulo = (b.h)/2
Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base. A altura a ser considerada é a
relativa a esse lado.
ÁREA DE UM LOSANGO
O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar:
* O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por D.
* O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por d.
Você nota que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são as
medidas D e d das diagonais do losango, então:
7. área do losango = (D.d)/2
ÁREA DE UM TRAPÉZIO
Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:
* MN é a base maior, cuja medida vamos representar por B.
* PQ é a base menor, cuja medida vamos representar por b.
* A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h.
Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, QPN e QMN, que têm a mesma
altura de medida h.
Da figura temos:
- área do trapézio MNPQ=área do triângulo QPN + área do triângulo QMN
- área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2
- área do trapézio = (B.h+b.h)/2
área do trapézio = (B + b).h/2
ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR
Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono.
A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes, em
cada um desse triângulos temos.
* base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja a medida vamos indicar por l.
* altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamos
indicar por a.
A área de cada triângulo é dada por (1.a)/2.
Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por:
5.(1.a)/2
Logo, a área de um polígono regular, é dada por n.(1.a)/2, onde n = nº de lados do polígono.
área de um polígono regular = n.(1.a)/2
8. Sabendo, que 5.1 representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado , a expressão 5.1/2
representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono.
Assim temos: área do pentágono = 5.1/2
Generalizando para todos os polígonos regulares, podemos escrever:
área de um polígono regular = p.a
ÁREA DE UM CÍRCULO
Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência.
Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir com a
região limitada pela CINCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO.
Assim:
* o perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento da CINCUNFERÊNCIA
(C=2.pi.r).
* o semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.
* o apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então:
área de um círculo = pi.r²