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APOSTILA DE
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

2014
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(01) Se o segmento ̅̅̅̅ mede 17 cm, determine o valor de x nos casos:

Solução
AP = x
PB = 7
AP + PB = 17
x + 7 = 17
x = 10 cm

Solução
PB = x
AB = 17
AP = 21
AB = AP – PB
17 = 21 – x
x = 4 cm

Solução
x+3+x = 17

Solução

2x=17-3

AP – BP = AB

2x=14

2x – (x-3) = 17

x = 7 cm

2x – x + 3 = 17
x =14

(02) Determine x, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅.

1
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Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Solução
̅̅̅̅̅

Solução

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅
𝐴𝑀

̅̅̅̅̅
𝑀𝐵

𝑥

9

𝑥
𝒙

𝟔

(03) Determine PQ, sendo AB = 31.

Solução
Solução

𝐴𝐵
𝑥
𝑥
𝑃𝑄

𝑥

𝑃𝑄
(

𝑷𝑸

)
(

𝟑𝟐

)
9

2
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(04) Determine AB, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅

Solução

𝐴𝑀

𝐴𝑃

𝑀𝐵

𝑥

(𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

7

𝑀𝐵

𝑥

𝐴𝑀

8

𝑀𝐵

𝑀𝐵

8

𝑀𝐵

𝑀𝐵

𝑥
𝒙

(𝐴𝑀

7)

𝑥
𝟏𝟐

𝐴𝐵

𝐴𝑀

𝐴𝐵

𝑥

𝐴𝐵

𝑀𝐵)

𝑀𝐵
𝑥

𝑥

𝐴𝐵
𝐴𝐵

6

𝑨𝑩

𝟐𝟒

(05) O segmento ̅̅̅̅ de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento ̅̅̅̅ dessa mesma
reta. Determine a medida do segmento ̅̅̅̅, considerando como unidade de medida a
quinta parte do segmento ̅̅̅̅.
Solução

3
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AB = 5CD
AB=?

̅̅̅̅
(06) P, A e B são três pontos distintos de uma reta. Se P está entre A e B, que
relação deve ser válida entre os segmentos ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅?
Solução

Observando a figura, notamos que:
̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

(07) P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se ̅̅̅̅ é igual ao triplo de
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 32 cm, determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
Solução
Temos duas possibilidades:
(1º) Q está entre P e R:

4
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(2º) R está entre P e Q:

𝑥

𝑥 →

𝑸𝑹

→ 𝒙

𝟏𝟔

𝟏𝟔

𝑃𝑄

𝑥

𝑥

𝑷𝑸

𝟒𝟖𝑃𝑄

𝑷𝑸

𝑥→

𝟐𝟒

(07) Os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são adjacentes, de tal maneira que ̅̅̅̅ é o triplo
de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ é o dobro de ̅̅̅̅ AD = 36 cm. Determine as medidas dos segmentos
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
Solução

De acordo com o enunciado da questão, temos:

6
6
8

7

9

7

8

5
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8

Resposta: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

.

(08) Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta, nessa ordem. Se ̅̅̅̅
são segmentos congruentes, mostre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.

̅̅̅̅̅

Solução

( )

( )
Comparando (1) com (2), concluímos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.
(09) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 cm e BC = 12
cm.
Solução

6
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AC = x
AC = AB + BC
AC = 20+12
AC = 32 cm

x + 12 = 20
x =20 – 12
x=8
x = AC = 8 cm

(10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são dois segmentos adjacentes. Se ̅̅̅̅ é quíntuplo de ̅̅̅̅ e AC = 42 cm,
determine AB e BC.
Solução

6

7

(11) Sendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ segmentos colineares consecutivos, ̅̅̅̅ o quádruplo de ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ =
45 cm, determine AB e BC.
Solução

7
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AB = 4x
BC = x
4x + x = 45
5x = 45
x = 9
AB = 4x
AB = 4.9
AB = 36 cm

AB = 4x
BC = x
45 + x = 4x
3x = 45
x = 15

𝑩𝑪

𝟏𝟓 𝒄𝒎

AB = 4x
AB = 4.15
AB = 60 cm

Resposta: AB = 36 cm e BC = 9 cm ou AB = 60 cm BC = 15 cm.
(12) Numa reta r, tomemos os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e um ponto P de modo que ̅̅̅̅ seja
o quíntuplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ seja o quádruplo de ̅̅̅̅ e AP = 80 cm. Sendo M e N os pontos
médios de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, respectivamente, determine MN.
Solução

8
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BP = 80 – 5x (1)

AB = 5x  AB = 5.10

Como:

BP = 4x – x

AB = 50

BN = BC/2  BN = 40/2  BN =
20

BP = 3x (2)

Como:

Fazendo: (1) = (2)

MB = AB/2  MB = 50 ÷ 2

80 – 5x = 3x

x = 10

MN = 45 cm

MB = 25

8x = 80
𝑷𝑪

𝟏𝟎

MN = MB + BN  MN = 25 + 20

Como:
BC = 4x  BC = 4.10

BC = 40

5x + 4x + x = 80
10x = 80
x =

8

BC = 4x

AC = AP - CP

BC = 4.8

AC = 80 – 8

BC = 32

𝑩𝑵

𝟏𝟔

AC = 72

AB = 5x

MN = MB + BN

AB = 5.8

MN = 20 + 16

AB = 40

𝑴𝑩

𝟐𝟎

MN = 36

9
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AB = 5 x
AC + CP = 80

PM + MB = PB

AB = 5.40

AC + CP = x + x

AB = 200

AC + CP = 2x

PM + 100 = 120
AM = 𝑴𝑩 100

PB = 3x

80 = 2x

PB = 3.40

x = 40

PB = 120

PM = 20
MN = PB – MB
MN = 120 – 100
MN = 20

Resposta: MN = 45 ou MN = 36 ou MN = 20.
(13) Se o

é isósceles de base BC, determine x:

AB = 2x – 7; AC x + 5.

Solução:
2x-7 = x+5
2x-x = 5+7
x = 12
(14) O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y.
AB = 15-y; BC = 2x-7 e AC = 9

10
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Solução
2x-7 = 9

15-y = 9

2x = 16

y = 15-9

x = 8

y = 6

é isósceles de base ̅̅̅̅, determine BC.

(15) Se o

AB = 3x-10; BC = 2x+4 e AC = x+4.

Solução
3x-10 = x+4

Como:

2x = 14

BC = 2x+4

x=7

BC = 2.7+4
BC = 18.

(16) Se o
̂

é isósceles de base BC, determine x.
e ̂

Solução
No triângulo isósceles os ângulos da base são
congruentes (iguais):
𝐵≡ 𝐶
𝑥
𝑥
𝒙

𝟐𝟎

11
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é isósceles de base ̅̅̅̅, determine x.

(17) Se o
̂

̂

.

Solução
x+30° = 2x-20°
2x-x = 30°+20°
x = 50°

(18) Se o

é isósceles de base BC, determine x e y.

Solução
𝑥

𝑥

𝑥
𝒙

𝑥
𝟗𝟓

Como:
𝑦

𝑥

𝑦

9

𝑦
𝒚

8
8
8

𝟒𝟎

(19) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é equilátero.
(a)

Solução

2x+ 1 = 3x-3
3x-2x =1+3

y = 2x+1

x = 4

y = 2.4+1
y = 9

12
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(b)

Solução
x+y = x+3

Como:

y = x-x+3

x+3 = y+4

y = 3

x+3 = 3+4
x = 4

(20) Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada ado.
Solução
Como os três lados são iguais, devemos ter:
7

÷

(21) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m,
quanto mede cada um dos outros lados?

(22) Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos abaixo:
(a) Triângulo equilátero com AB = x+2y, AC = 2x-y e BC = x+y+3.

13
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(b) Triângulo isósceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = x + 3.
Solução

(23) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse
triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base.
Solução

14
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Resposta: Os lados são: 3m, 6m e 6 m.
(24) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r
graus de (2x+3y) é:
(a) 64°

(b) 500°

(c) 520°

(d) 660°

u. O valor em

(e) 580°

Solução

15
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Observe que:
z + 120°= 180° (z e 120° = São colaterais internos, logo, são
suplementares)
z = 60°
z + y + 20° = 180°
60° + y = 160
y = 100°

Observe que:
y = x = 100°, logo:
2x + 3y  2.100° + 3.100°  200° + 300°  500°
Resposta: Letra (b).
(25) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:
(a) 100°

(b) 120°

(c) 110°

(d) 140°

(e) 130°

Solução

16
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(1) b = 2x + 60° (i) ("𝑏" é ângulo externo)
b + 4x = 180° (“b” e “4x” são colaterais internos)
b = 180° - 4x (ii)
Fazendo (i) = (ii), temos:
2x + 60° = 180° - 4x
6x = 120°
x = 20°
Como:
b = 2x + 60°
b = 2.20° + 60°
b =100°
Resposta: Letra (a)
(26) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o
menor ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo “a” mede:
(a) 36°

(b) 32°

(c) 24°

(d) 20°

(e) 18°

Solução

17
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No triângulo destacado na figura ao lado, temos:
90° + 72° + a = 180° (Soma dos ângulos internos)
162° + a = 180°
a = 18°

(27) Num triângulo ABC, os ângulos ̂ ̂ medem 50° e 70°, respectivamente. A
bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta ̅̅̅̅ os ângulos proporcionais a:
(a) 1 e 2

(b) 2 e 3

(c) 3 e 4

(d) 4 e 5

(e) 5 e 6

Solução
Primeiramente, precisamos saber os valores dos ângulos “p”
e “q”.
Note que No

𝐴𝐵𝐶, temos:

A+50°+70° = 180°
A = 180° - 120°
̂
𝑨
𝟔𝟎 (A bissetriz AH divide esse ângulo em partes
iguais).

No

𝐴𝐵𝐻, temos:

p + 50° + 30° = 180°
p = 180° - 80°
p = 100°

No

𝐴𝐶𝐻, temos:

q + 30° + 70° = 180°
q = 180° - 100°
q = 80°

Logo, os ângulos p e q, têm a
seguinte relação:
𝑝
𝑞

8

8

𝟓
𝟒

Assim, a bissetriz AH forma
com a reta BC ângulos
proporcionais a 4 e 5.
Resposta; Letra (d)

18
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(28) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de
“a” e “b”.

Dados:
𝐴

𝑎

𝐸

𝑏

𝐵
̂
𝐷

𝑏

8
𝑎

Solução
Observando a figura acima, temos:
≡̂
3a = 2a + 10°
a = 10°
≡
b + 48° = 5b
4b = 48
b = 12°
(29) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e
os lados do triângulo ACD.
Dados:
AB = x
CD = 3x+8
BC = 2y
DA = 2x

19
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Solução
Como os triângulos são semelhantes, temos:
2x = 3y + 8 (i)
x = 2y (ii)
Substituindo (ii) em (i), temos:
2(2y) = 3y + 8
4y = 3y + 8
y = 8
Como:
x = 2y  x = 2.8  x = 16
Cálculo dos lados do triângulo ACD:
AD = 2x  AD = 2.16  AD = 32
AC = x + 2y  AC = 16 + 2.8  AC = 32
DC = 3y + 8  DC = 3.8 + 8  DC = 32
(30) Na figura abaixo, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos.

Solução

20
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2x – 6 = 22
2x = 28
x = 14
3y + 5 = 35
3y = 30
y = 10

(31) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD.

Solução
x + 5 = 15
x = 10
3y – 2 = 2y + 17
y = 19
Lado AP = 2y + 17  AP = 2.19+17  AP = 55
Lado DP = 3y - 2  DP = 3.19 – 2  DP = 55
𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜
𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜

𝑃𝐶𝐴
𝑃𝐵𝐷

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑃
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑃

21
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(32) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y.

Solução
2x = 120°
x = 60°
3y = 27°
y = 9°
(33) As retas r e s das figuras abaixo são paralelas. Determine x e y.
(a)
Solução
x + 60° = 180° (Colaterais internos)
x = 120°
y + 105° = 180° ( Colaterais internos)
y = 75°
(b)

Solução
3x - 10° + 90° + 2x = 180° (Colaterais internos)
5x + 80° = 180°
5x = 100°
x = 20°

22
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y = 3x – 10° (alternos internos)
y = 3.20° - 10
y = 50°
(34) A soma de quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por
uma reta transversal é 80°. Determine o ângulo obtuso.
Solução

4x = 80°
x = 20°
x + y = 180°
20° + y = 180°
y = 160°

(35) Na figura abaixo, sendo a//b, calcule x.

Solução
17x – 9° + 8x + 9° = 180°
25x = 180°
x = 7° 12’

23
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(36) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y.
Solução
3x -20° = 2x (Alternos internos)
x = 20°
y + 10° = 3x – 20°  y + 10° = 3.20° - 20° 
y = 40° - 10°  y = 30°
(37) Na figura abaixo, temos os ângulos a e b de lados respectivamente paralelos.
Sendo a = 8x e b = 2x + 30°, determine o suplemento de b.

Solução
Pela figura, notamos que:
a=b
8x = 2x + 30°
6x = 30°  x = 5°

Como:

Cálculo do suplemento de b:

b = 2x + 30°

x = 180° - 40°

b= 2.5 + 30°

x = 140°

b = 40°
(38) Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos abaixo:
(a)

24
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Solução

Pela figura:
x = 50°

y = 60°
z + 50° + 60° = 180°
z = 180° - 110°
z = 70°

(b)

Solução

z = y (Alternos internos)

y + 20° + 40° = 180°

z = 120°

y = 180° - 60°

x + z + 20° = 180°

y = 120°

x + 120° + 20° = 180°
x = 40°

(39) Determine o valor de x na figura abaixo:

25
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Solução
Pela figura ao lado, temos:
3x – 30° = x – 10° + x + 30°

3x – 2x = 20° + 30°
x = 50°

(40) Determine x e y, na figura abaixo:

Solução

26
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No triângulo ABC, temos:
130° = x + 100°
x = 30°
No triângulo ACE, temos:
y + 40° + 80° + 30° = 180°
y = 180° - 150°
y = 30°
(41) Da figura abaixo, sabemos que AB = AC, ̂
Determine x =C ̂ D.

e AD = BC.

Solução

27
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Solução
(1) Indiquemos as medidas AB = AC = b e CD =
A, donde obtemos BC = a + b.
(2) Tracemos ̅̅̅̅ com AP = b, de modo que
𝐴𝑃
𝐵𝐴 𝑃 6 . Obtemos desta forma o triângulo
equilátero (verde) APB de lado b.
(3) Consideremos agora os triângulos PAD
(amarelo) e ABC. Note que eles são congruentes
pelo caso LAL.
Logo: PD = AC = b e A𝑃 𝐷 = 100°.
(4) De PD = b concluímos que o PBD é isósceles.
Note que neste triângulo PBD, como 𝑃 = 160°,
concluímos que 𝐵 ̂ = 10°.
𝐷
(5) Finalmente, de A𝐵 P = 60°, D𝐵 P = 10° e
̂
C𝐵 𝐴
, concluímos que C𝑩 𝑫
𝒙
𝟏𝟎

(42) Determine a área da região sombreada na figura abaixo.

Solução

28
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(1) Área do triângulo equilátero de lado igual a 10:
√

→

(

) √

√

→

→

√

(2) Área dos 3 setores circulares de ângulo central igual a 60° e raio igual a 5:

6

→

( )2 6

→

(3) Área da região sombreada:
→

√

→

√

→

(43) Na figura abaixo, ̅̅̅̅ é paralela a ̅̅̅̅. Sendo
35°, calcule a medida de A ̂ D.

(√

̂

)

igual a 80° e

̂

igual a

Solução

Solução

29
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(1) No triângulo amarelo ABF, temos:
y + 80° + 35° = 180°
y = 180° - 115°
y = 65°

(2) No triângulo AGE, temos:
x = 35 +80° ( x é ângulo externo)
x = 115°
(44) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a.

Solução

No triângulo colorido, o ângulo 3a, é
ângulo externo, logo:
3a = 180° - 2a + 80°
5a = 260°
a = 52°
(45) Determine o valor de x na figura abaixo:

30
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Solução
2a + 2(2x+10°) = 360° : 2
a + 2x + 10°= 180°
a + 2x = 170° (i)
2b + 2(2x-10°) = 360 ; 2
b + 2x – 10° = 180°
b + 2x = 190° (ii)
Fazendo (i) + (ii), temos:
a + 2x = 170°
b + 2x = 190°

+
+

a + b + 4x = 360° → a + b = 360° - 4x (iii)
No triângulo colorido, temos:
a + b + x = 180° (iv)
Substituindo (iii) em (iv), temos:
360° - 4x + x = 180°
3x = 180°
x = 60°

31
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Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(46) Num triângulo isósceles ABC o ângulo do vértice A vale 1/10 da soma dos ângulos
externos em B e C. Sendo ̅̅̅̅ a base do triângulo, determine o ângulo A.
Solução
a=

1
10

(𝑑

𝑒) → 𝟏𝟎𝒂

𝒅

𝒆 (1)

a + b + c = 180°  b + c = 180° - a (2)

Note que:
d + b = 180°

+

c + e = 180°
d + e + b + c = 360°

10a + 180° - a = 360°

9a = 180°
a = 20°
(47) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos ̂
excede o ângulo ̂ em 76°. Determine ̂ .

̂

Solução

32
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

𝑑 = x + 76°
No triângulo ABC, temos:
x + 2y + 2z = 180°
2y + 2z = 180° - x (i)
No triângulo BCD, temos:
y + z + d = 180° (multiplicando por 2)
2y + 2z + 2d = 360° (ii)
Substituindo (i) em (ii), temos:
180° - x + 2d = 360°
180° - x + 2 (x + 67°) = 360°
180° - x + 2x + 152° = 360°
x + 332° = 360°
x = 28°

(48) Seja ABC um triângulo isósceles de base ̅̅̅̅. Sobre o lado ̅̅̅̅ desse triângulo
considere um ponto D tal que os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ sejam todos congruentes entre
si. Calcule a medida do ângulo ̂ .
Solução
No triângulo BCD, temos:
𝑎

a+a+
𝑎
𝑎

𝑎
𝒂

8

2

𝑎

8

𝑎

6

6
𝟕𝟐

No triângulo ABC, temos:
x + a + a = 180°
x + 2a = 180°
x + 2.72° = 180°

x = 180° - 144°
x = 36°

33
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(49) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão 4 para 7.
Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, calcule (em metros) a largura
desse terreno.
Solução
𝐿
𝐶

7

→

𝐿

𝐶

7

𝐿

→

𝑳

𝑪
𝑳

𝟏𝟏
(𝒊)
𝟒

2L + 2C = 66 (Perímetro do retângulo) : 2
L + C = 33 (ii)
Substituindo (ii) em (i):

𝐿

→ 𝑳

𝟏𝟐 𝒎

(50) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e
AD = 1, AF = 2 e FB = x. Calcule o valor de x.

Solução
Como os retângulos são semelhantes, temos:
→

→
→

√

√

→
→
√8

→

→

→

√

34
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(51) Observe a figura abaixo. Nela “a”, “2a”, “b”, “2b” e “x” representam as
medidas, em graus, dos ângulos assinalados. Calcule o valor de “x” ( em graus).

Solução
Note que x é ângulo externo do

𝐴𝐵𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜

x = 2a + 2b  x = 2(a + b) (i)
Note que 𝑐 , é ângulo externo do triângulo amarelo,
logo:
c = a + 2a
c = 3a

No triângulo vermelho, temos:
c + b + 2b = 180°
3a + 3b = 180° : 3
a + b = 60° x (2)
2 (a + b) = 120° (ii)
Substituindo (i) em (ii):
x = 120°

35
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(52) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele
inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. Calcule o perímetro do triângulo MBN.

Solução

Observando a figura acima, notamos que aos triângulos vermelho e amarelo são
semelhantes, portanto:

→

8

8→

2

6

→ (

6)

→

O lado BM do triângulo vermelho vale: x – 2  6 – 2 = 4.

36
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MBN, temos:
(BN)²= 4²+ 4²→ (BN)²= 16 + 16  (BN)² = 32 BN = 4√
Cálculo do perímetro do triângulo MBN:
2p = 4 + 4 + 4√
2p = 8 + 4√
2p = 4(2 + √ )
(53) Calcule a área da região colorida na figura abaixo, sabendo que A e B são pontos
médios de dois lados do quadrado.

Solução
(1) Área dos triângulos (amarelo):
𝑆𝑡

→ 𝑺𝒕

𝟖

(2) Área do setor circular vermelho:
𝑆𝑠

𝜋𝑟 𝛼
→ 𝑆𝑠
6

𝜋

9

→ 𝑺𝒔

6

𝝅

(3) Área da região azul:
𝑆𝑎

𝑺𝒕

𝑺𝒔 → 𝑺𝒂

𝟖

𝝅

37
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(54) Em uma cidade, há um terreno abandonado, na esquina da Rua da Paz com a
Avenida da Alegria. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases
medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. Uma pessoa amorou seu cavalo para
pastar nesse terreno, num ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento. De acordo
com o esquema da figura abaixo, calcule a área (aproximada) do pasto do terreno que
o cavalo NÃO pode comer. Considere:

Solução
(1) Área do trapézio:
(

)
2

→

(1

12) 30
2

30 30

→

2

450

→

(2) Área do setor circular:
2

6

→

(

)2 9
6

→

→

→

(3) Área colorida:
→

→

(55) Considere um triângulo ABC isósceles de base ̅̅̅̅, e os pontos P e Q tais que
P ̅̅̅̅ e Q ̅̅̅̅. Se BC = BP = PQ = QA, qual é a medida do ângulo de vértice A, em
radianos?
Solução:

38
GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Observando a figura ao lado, notamos que os
ângulos B e C são congruentes, visto que o
triângulo ABC é isósceles, portanto:
2x+180°-6x = 3x
180°- 4x = 3x
7x = 180°
x=

1 0
7

Como:
𝜋
x =

8

𝝅
𝟕

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  • 1. APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 2014
  • 2. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (01) Se o segmento ̅̅̅̅ mede 17 cm, determine o valor de x nos casos: Solução AP = x PB = 7 AP + PB = 17 x + 7 = 17 x = 10 cm Solução PB = x AB = 17 AP = 21 AB = AP – PB 17 = 21 – x x = 4 cm Solução x+3+x = 17 Solução 2x=17-3 AP – BP = AB 2x=14 2x – (x-3) = 17 x = 7 cm 2x – x + 3 = 17 x =14 (02) Determine x, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅. 1
  • 3. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução ̅̅̅̅̅ Solução ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 𝑥 9 𝑥 𝒙 𝟔 (03) Determine PQ, sendo AB = 31. Solução Solução 𝐴𝐵 𝑥 𝑥 𝑃𝑄 𝑥 𝑃𝑄 ( 𝑷𝑸 ) ( 𝟑𝟐 ) 9 2
  • 4. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (04) Determine AB, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅ Solução 𝐴𝑀 𝐴𝑃 𝑀𝐵 𝑥 (𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 7 𝑀𝐵 𝑥 𝐴𝑀 8 𝑀𝐵 𝑀𝐵 8 𝑀𝐵 𝑀𝐵 𝑥 𝒙 (𝐴𝑀 7) 𝑥 𝟏𝟐 𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝐴𝐵 𝑥 𝐴𝐵 𝑀𝐵) 𝑀𝐵 𝑥 𝑥 𝐴𝐵 𝐴𝐵 6 𝑨𝑩 𝟐𝟒 (05) O segmento ̅̅̅̅ de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento ̅̅̅̅ dessa mesma reta. Determine a medida do segmento ̅̅̅̅, considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento ̅̅̅̅. Solução 3
  • 5. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves AB = 5CD AB=? ̅̅̅̅ (06) P, A e B são três pontos distintos de uma reta. Se P está entre A e B, que relação deve ser válida entre os segmentos ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅? Solução Observando a figura, notamos que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (07) P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se ̅̅̅̅ é igual ao triplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 32 cm, determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Solução Temos duas possibilidades: (1º) Q está entre P e R: 4
  • 6. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (2º) R está entre P e Q: 𝑥 𝑥 → 𝑸𝑹 → 𝒙 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝑃𝑄 𝑥 𝑥 𝑷𝑸 𝟒𝟖𝑃𝑄 𝑷𝑸 𝑥→ 𝟐𝟒 (07) Os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são adjacentes, de tal maneira que ̅̅̅̅ é o triplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ é o dobro de ̅̅̅̅ AD = 36 cm. Determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Solução De acordo com o enunciado da questão, temos: 6 6 8 7 9 7 8 5
  • 7. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 8 Resposta: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . (08) Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta, nessa ordem. Se ̅̅̅̅ são segmentos congruentes, mostre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes. ̅̅̅̅̅ Solução ( ) ( ) Comparando (1) com (2), concluímos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes. (09) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 cm e BC = 12 cm. Solução 6
  • 8. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves AC = x AC = AB + BC AC = 20+12 AC = 32 cm x + 12 = 20 x =20 – 12 x=8 x = AC = 8 cm (10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são dois segmentos adjacentes. Se ̅̅̅̅ é quíntuplo de ̅̅̅̅ e AC = 42 cm, determine AB e BC. Solução 6 7 (11) Sendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ segmentos colineares consecutivos, ̅̅̅̅ o quádruplo de ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ = 45 cm, determine AB e BC. Solução 7
  • 9. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves AB = 4x BC = x 4x + x = 45 5x = 45 x = 9 AB = 4x AB = 4.9 AB = 36 cm AB = 4x BC = x 45 + x = 4x 3x = 45 x = 15 𝑩𝑪 𝟏𝟓 𝒄𝒎 AB = 4x AB = 4.15 AB = 60 cm Resposta: AB = 36 cm e BC = 9 cm ou AB = 60 cm BC = 15 cm. (12) Numa reta r, tomemos os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e um ponto P de modo que ̅̅̅̅ seja o quíntuplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ seja o quádruplo de ̅̅̅̅ e AP = 80 cm. Sendo M e N os pontos médios de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, respectivamente, determine MN. Solução 8
  • 10. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves BP = 80 – 5x (1) AB = 5x  AB = 5.10 Como: BP = 4x – x AB = 50 BN = BC/2  BN = 40/2  BN = 20 BP = 3x (2) Como: Fazendo: (1) = (2) MB = AB/2  MB = 50 ÷ 2 80 – 5x = 3x x = 10 MN = 45 cm MB = 25 8x = 80 𝑷𝑪 𝟏𝟎 MN = MB + BN  MN = 25 + 20 Como: BC = 4x  BC = 4.10 BC = 40 5x + 4x + x = 80 10x = 80 x = 8 BC = 4x AC = AP - CP BC = 4.8 AC = 80 – 8 BC = 32 𝑩𝑵 𝟏𝟔 AC = 72 AB = 5x MN = MB + BN AB = 5.8 MN = 20 + 16 AB = 40 𝑴𝑩 𝟐𝟎 MN = 36 9
  • 11. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves AB = 5 x AC + CP = 80 PM + MB = PB AB = 5.40 AC + CP = x + x AB = 200 AC + CP = 2x PM + 100 = 120 AM = 𝑴𝑩 100 PB = 3x 80 = 2x PB = 3.40 x = 40 PB = 120 PM = 20 MN = PB – MB MN = 120 – 100 MN = 20 Resposta: MN = 45 ou MN = 36 ou MN = 20. (13) Se o é isósceles de base BC, determine x: AB = 2x – 7; AC x + 5. Solução: 2x-7 = x+5 2x-x = 5+7 x = 12 (14) O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y. AB = 15-y; BC = 2x-7 e AC = 9 10
  • 12. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução 2x-7 = 9 15-y = 9 2x = 16 y = 15-9 x = 8 y = 6 é isósceles de base ̅̅̅̅, determine BC. (15) Se o AB = 3x-10; BC = 2x+4 e AC = x+4. Solução 3x-10 = x+4 Como: 2x = 14 BC = 2x+4 x=7 BC = 2.7+4 BC = 18. (16) Se o ̂ é isósceles de base BC, determine x. e ̂ Solução No triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes (iguais): 𝐵≡ 𝐶 𝑥 𝑥 𝒙 𝟐𝟎 11
  • 13. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves é isósceles de base ̅̅̅̅, determine x. (17) Se o ̂ ̂ . Solução x+30° = 2x-20° 2x-x = 30°+20° x = 50° (18) Se o é isósceles de base BC, determine x e y. Solução 𝑥 𝑥 𝑥 𝒙 𝑥 𝟗𝟓 Como: 𝑦 𝑥 𝑦 9 𝑦 𝒚 8 8 8 𝟒𝟎 (19) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é equilátero. (a) Solução 2x+ 1 = 3x-3 3x-2x =1+3 y = 2x+1 x = 4 y = 2.4+1 y = 9 12
  • 14. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (b) Solução x+y = x+3 Como: y = x-x+3 x+3 = y+4 y = 3 x+3 = 3+4 x = 4 (20) Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada ado. Solução Como os três lados são iguais, devemos ter: 7 ÷ (21) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m, quanto mede cada um dos outros lados? (22) Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos abaixo: (a) Triângulo equilátero com AB = x+2y, AC = 2x-y e BC = x+y+3. 13
  • 15. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (b) Triângulo isósceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = x + 3. Solução (23) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base. Solução 14
  • 16. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Resposta: Os lados são: 3m, 6m e 6 m. (24) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r graus de (2x+3y) é: (a) 64° (b) 500° (c) 520° (d) 660° u. O valor em (e) 580° Solução 15
  • 17. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Observe que: z + 120°= 180° (z e 120° = São colaterais internos, logo, são suplementares) z = 60° z + y + 20° = 180° 60° + y = 160 y = 100° Observe que: y = x = 100°, logo: 2x + 3y  2.100° + 3.100°  200° + 300°  500° Resposta: Letra (b). (25) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: (a) 100° (b) 120° (c) 110° (d) 140° (e) 130° Solução 16
  • 18. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (1) b = 2x + 60° (i) ("𝑏" é ângulo externo) b + 4x = 180° (“b” e “4x” são colaterais internos) b = 180° - 4x (ii) Fazendo (i) = (ii), temos: 2x + 60° = 180° - 4x 6x = 120° x = 20° Como: b = 2x + 60° b = 2.20° + 60° b =100° Resposta: Letra (a) (26) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo “a” mede: (a) 36° (b) 32° (c) 24° (d) 20° (e) 18° Solução 17
  • 19. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves No triângulo destacado na figura ao lado, temos: 90° + 72° + a = 180° (Soma dos ângulos internos) 162° + a = 180° a = 18° (27) Num triângulo ABC, os ângulos ̂ ̂ medem 50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta ̅̅̅̅ os ângulos proporcionais a: (a) 1 e 2 (b) 2 e 3 (c) 3 e 4 (d) 4 e 5 (e) 5 e 6 Solução Primeiramente, precisamos saber os valores dos ângulos “p” e “q”. Note que No 𝐴𝐵𝐶, temos: A+50°+70° = 180° A = 180° - 120° ̂ 𝑨 𝟔𝟎 (A bissetriz AH divide esse ângulo em partes iguais). No 𝐴𝐵𝐻, temos: p + 50° + 30° = 180° p = 180° - 80° p = 100° No 𝐴𝐶𝐻, temos: q + 30° + 70° = 180° q = 180° - 100° q = 80° Logo, os ângulos p e q, têm a seguinte relação: 𝑝 𝑞 8 8 𝟓 𝟒 Assim, a bissetriz AH forma com a reta BC ângulos proporcionais a 4 e 5. Resposta; Letra (d) 18
  • 20. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (28) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de “a” e “b”. Dados: 𝐴 𝑎 𝐸 𝑏 𝐵 ̂ 𝐷 𝑏 8 𝑎 Solução Observando a figura acima, temos: ≡̂ 3a = 2a + 10° a = 10° ≡ b + 48° = 5b 4b = 48 b = 12° (29) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e os lados do triângulo ACD. Dados: AB = x CD = 3x+8 BC = 2y DA = 2x 19
  • 21. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução Como os triângulos são semelhantes, temos: 2x = 3y + 8 (i) x = 2y (ii) Substituindo (ii) em (i), temos: 2(2y) = 3y + 8 4y = 3y + 8 y = 8 Como: x = 2y  x = 2.8  x = 16 Cálculo dos lados do triângulo ACD: AD = 2x  AD = 2.16  AD = 32 AC = x + 2y  AC = 16 + 2.8  AC = 32 DC = 3y + 8  DC = 3.8 + 8  DC = 32 (30) Na figura abaixo, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos. Solução 20
  • 22. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 2x – 6 = 22 2x = 28 x = 14 3y + 5 = 35 3y = 30 y = 10 (31) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD. Solução x + 5 = 15 x = 10 3y – 2 = 2y + 17 y = 19 Lado AP = 2y + 17  AP = 2.19+17  AP = 55 Lado DP = 3y - 2  DP = 3.19 – 2  DP = 55 𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝐶𝐴 𝑃𝐵𝐷 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑃 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑃 21
  • 23. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (32) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y. Solução 2x = 120° x = 60° 3y = 27° y = 9° (33) As retas r e s das figuras abaixo são paralelas. Determine x e y. (a) Solução x + 60° = 180° (Colaterais internos) x = 120° y + 105° = 180° ( Colaterais internos) y = 75° (b) Solução 3x - 10° + 90° + 2x = 180° (Colaterais internos) 5x + 80° = 180° 5x = 100° x = 20° 22
  • 24. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves y = 3x – 10° (alternos internos) y = 3.20° - 10 y = 50° (34) A soma de quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal é 80°. Determine o ângulo obtuso. Solução 4x = 80° x = 20° x + y = 180° 20° + y = 180° y = 160° (35) Na figura abaixo, sendo a//b, calcule x. Solução 17x – 9° + 8x + 9° = 180° 25x = 180° x = 7° 12’ 23
  • 25. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (36) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y. Solução 3x -20° = 2x (Alternos internos) x = 20° y + 10° = 3x – 20°  y + 10° = 3.20° - 20°  y = 40° - 10°  y = 30° (37) Na figura abaixo, temos os ângulos a e b de lados respectivamente paralelos. Sendo a = 8x e b = 2x + 30°, determine o suplemento de b. Solução Pela figura, notamos que: a=b 8x = 2x + 30° 6x = 30°  x = 5° Como: Cálculo do suplemento de b: b = 2x + 30° x = 180° - 40° b= 2.5 + 30° x = 140° b = 40° (38) Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos abaixo: (a) 24
  • 26. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução Pela figura: x = 50° y = 60° z + 50° + 60° = 180° z = 180° - 110° z = 70° (b) Solução z = y (Alternos internos) y + 20° + 40° = 180° z = 120° y = 180° - 60° x + z + 20° = 180° y = 120° x + 120° + 20° = 180° x = 40° (39) Determine o valor de x na figura abaixo: 25
  • 27. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução Pela figura ao lado, temos: 3x – 30° = x – 10° + x + 30° 3x – 2x = 20° + 30° x = 50° (40) Determine x e y, na figura abaixo: Solução 26
  • 28. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves No triângulo ABC, temos: 130° = x + 100° x = 30° No triângulo ACE, temos: y + 40° + 80° + 30° = 180° y = 180° - 150° y = 30° (41) Da figura abaixo, sabemos que AB = AC, ̂ Determine x =C ̂ D. e AD = BC. Solução 27
  • 29. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (1) Indiquemos as medidas AB = AC = b e CD = A, donde obtemos BC = a + b. (2) Tracemos ̅̅̅̅ com AP = b, de modo que 𝐴𝑃 𝐵𝐴 𝑃 6 . Obtemos desta forma o triângulo equilátero (verde) APB de lado b. (3) Consideremos agora os triângulos PAD (amarelo) e ABC. Note que eles são congruentes pelo caso LAL. Logo: PD = AC = b e A𝑃 𝐷 = 100°. (4) De PD = b concluímos que o PBD é isósceles. Note que neste triângulo PBD, como 𝑃 = 160°, concluímos que 𝐵 ̂ = 10°. 𝐷 (5) Finalmente, de A𝐵 P = 60°, D𝐵 P = 10° e ̂ C𝐵 𝐴 , concluímos que C𝑩 𝑫 𝒙 𝟏𝟎 (42) Determine a área da região sombreada na figura abaixo. Solução 28
  • 30. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (1) Área do triângulo equilátero de lado igual a 10: √ → ( ) √ √ → → √ (2) Área dos 3 setores circulares de ângulo central igual a 60° e raio igual a 5: 6 → ( )2 6 → (3) Área da região sombreada: → √ → √ → (43) Na figura abaixo, ̅̅̅̅ é paralela a ̅̅̅̅. Sendo 35°, calcule a medida de A ̂ D. (√ ̂ ) igual a 80° e ̂ igual a Solução Solução 29
  • 31. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (1) No triângulo amarelo ABF, temos: y + 80° + 35° = 180° y = 180° - 115° y = 65° (2) No triângulo AGE, temos: x = 35 +80° ( x é ângulo externo) x = 115° (44) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a. Solução No triângulo colorido, o ângulo 3a, é ângulo externo, logo: 3a = 180° - 2a + 80° 5a = 260° a = 52° (45) Determine o valor de x na figura abaixo: 30
  • 32. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução 2a + 2(2x+10°) = 360° : 2 a + 2x + 10°= 180° a + 2x = 170° (i) 2b + 2(2x-10°) = 360 ; 2 b + 2x – 10° = 180° b + 2x = 190° (ii) Fazendo (i) + (ii), temos: a + 2x = 170° b + 2x = 190° + + a + b + 4x = 360° → a + b = 360° - 4x (iii) No triângulo colorido, temos: a + b + x = 180° (iv) Substituindo (iii) em (iv), temos: 360° - 4x + x = 180° 3x = 180° x = 60° 31
  • 33. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (46) Num triângulo isósceles ABC o ângulo do vértice A vale 1/10 da soma dos ângulos externos em B e C. Sendo ̅̅̅̅ a base do triângulo, determine o ângulo A. Solução a= 1 10 (𝑑 𝑒) → 𝟏𝟎𝒂 𝒅 𝒆 (1) a + b + c = 180°  b + c = 180° - a (2) Note que: d + b = 180° + c + e = 180° d + e + b + c = 360° 10a + 180° - a = 360° 9a = 180° a = 20° (47) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos ̂ excede o ângulo ̂ em 76°. Determine ̂ . ̂ Solução 32
  • 34. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 𝑑 = x + 76° No triângulo ABC, temos: x + 2y + 2z = 180° 2y + 2z = 180° - x (i) No triângulo BCD, temos: y + z + d = 180° (multiplicando por 2) 2y + 2z + 2d = 360° (ii) Substituindo (i) em (ii), temos: 180° - x + 2d = 360° 180° - x + 2 (x + 67°) = 360° 180° - x + 2x + 152° = 360° x + 332° = 360° x = 28° (48) Seja ABC um triângulo isósceles de base ̅̅̅̅. Sobre o lado ̅̅̅̅ desse triângulo considere um ponto D tal que os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ sejam todos congruentes entre si. Calcule a medida do ângulo ̂ . Solução No triângulo BCD, temos: 𝑎 a+a+ 𝑎 𝑎 𝑎 𝒂 8 2 𝑎 8 𝑎 6 6 𝟕𝟐 No triângulo ABC, temos: x + a + a = 180° x + 2a = 180° x + 2.72° = 180° x = 180° - 144° x = 36° 33
  • 35. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (49) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, calcule (em metros) a largura desse terreno. Solução 𝐿 𝐶 7 → 𝐿 𝐶 7 𝐿 → 𝑳 𝑪 𝑳 𝟏𝟏 (𝒊) 𝟒 2L + 2C = 66 (Perímetro do retângulo) : 2 L + C = 33 (ii) Substituindo (ii) em (i): 𝐿 → 𝑳 𝟏𝟐 𝒎 (50) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e AD = 1, AF = 2 e FB = x. Calcule o valor de x. Solução Como os retângulos são semelhantes, temos: → → → √ √ → → √8 → → → √ 34
  • 36. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (51) Observe a figura abaixo. Nela “a”, “2a”, “b”, “2b” e “x” representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. Calcule o valor de “x” ( em graus). Solução Note que x é ângulo externo do 𝐴𝐵𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜 x = 2a + 2b  x = 2(a + b) (i) Note que 𝑐 , é ângulo externo do triângulo amarelo, logo: c = a + 2a c = 3a No triângulo vermelho, temos: c + b + 2b = 180° 3a + 3b = 180° : 3 a + b = 60° x (2) 2 (a + b) = 120° (ii) Substituindo (i) em (ii): x = 120° 35
  • 37. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (52) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. Calcule o perímetro do triângulo MBN. Solução Observando a figura acima, notamos que aos triângulos vermelho e amarelo são semelhantes, portanto: → 8 8→ 2 6 → ( 6) → O lado BM do triângulo vermelho vale: x – 2  6 – 2 = 4. 36
  • 38. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MBN, temos: (BN)²= 4²+ 4²→ (BN)²= 16 + 16  (BN)² = 32 BN = 4√ Cálculo do perímetro do triângulo MBN: 2p = 4 + 4 + 4√ 2p = 8 + 4√ 2p = 4(2 + √ ) (53) Calcule a área da região colorida na figura abaixo, sabendo que A e B são pontos médios de dois lados do quadrado. Solução (1) Área dos triângulos (amarelo): 𝑆𝑡 → 𝑺𝒕 𝟖 (2) Área do setor circular vermelho: 𝑆𝑠 𝜋𝑟 𝛼 → 𝑆𝑠 6 𝜋 9 → 𝑺𝒔 6 𝝅 (3) Área da região azul: 𝑆𝑎 𝑺𝒕 𝑺𝒔 → 𝑺𝒂 𝟖 𝝅 37
  • 39. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves (54) Em uma cidade, há um terreno abandonado, na esquina da Rua da Paz com a Avenida da Alegria. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. Uma pessoa amorou seu cavalo para pastar nesse terreno, num ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento. De acordo com o esquema da figura abaixo, calcule a área (aproximada) do pasto do terreno que o cavalo NÃO pode comer. Considere: Solução (1) Área do trapézio: ( ) 2 → (1 12) 30 2 30 30 → 2 450 → (2) Área do setor circular: 2 6 → ( )2 9 6 → → → (3) Área colorida: → → (55) Considere um triângulo ABC isósceles de base ̅̅̅̅, e os pontos P e Q tais que P ̅̅̅̅ e Q ̅̅̅̅. Se BC = BP = PQ = QA, qual é a medida do ângulo de vértice A, em radianos? Solução: 38
  • 40. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves Observando a figura ao lado, notamos que os ângulos B e C são congruentes, visto que o triângulo ABC é isósceles, portanto: 2x+180°-6x = 3x 180°- 4x = 3x 7x = 180° x= 1 0 7 Como: 𝜋 x = 8 𝝅 𝟕 39