Este documento apresenta 24 exercícios resolvidos de geometria plana, incluindo problemas envolvendo segmentos de reta, triângulos e ângulos. As soluções fornecem os passos detalhados para chegar aos valores solicitados em cada questão.
O Exercício aborda os seguintes tópicos:
- Tipos de ângulos;
- Ângulos complementares e suplementares;
- Ângulos adjacentes;
- Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)
- Bissetriz de um ângulo;
- Equação do 1° grau com uma incógnita.
Lista carinhosamente preparada aos colegas com cerca de 70 exercícios e grande diversidade. Através dela é possível preparar várias sequências didáticas em diversos níveis.
O Exercício aborda os seguintes tópicos:
- Tipos de ângulos;
- Ângulos complementares e suplementares;
- Ângulos adjacentes;
- Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)
- Bissetriz de um ângulo;
- Equação do 1° grau com uma incógnita.
Lista carinhosamente preparada aos colegas com cerca de 70 exercícios e grande diversidade. Através dela é possível preparar várias sequências didáticas em diversos níveis.
soma dos ângulos internos de um triangulo
soma dos ângulos internos de um quadrilátero
diagonais de um polígono
construção de um quadrilátero com compasso e régua
côncavo e convexo
trapézio e paralelogramo
soma dos ângulos internos de um triangulo
soma dos ângulos internos de um quadrilátero
diagonais de um polígono
construção de um quadrilátero com compasso e régua
côncavo e convexo
trapézio e paralelogramo
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Muitos interpretam de modo equivocado o texto bíblico que diz: "Não faças tu comum ao que Deus purificou" (At 10.15). Isolam este verso do seu contexto e afirmam que agora podemos comer de tudo. É muito perigoso isolar o texto do seu contexto. Analisando o verso citado dentro do seu contexto bíblico tudo se torna claro e evitamos o erro doutrinário.
Conselhos práticos para pregadores e oradores.
A pregação do Evangelho é a mais nobre missão dada por Deus aos seus servos. Porém, requer preparação tanto espiritual quanto intelectual.
O cristão pode comer de tudo? Ou a Bíblia apresenta restrições quanto a determinados tipos de alimentos? Há animais limpos e imundos? A Lei que faz a distinção entre animais limpos e imundos ainda está em vigor em nossos dias?
Podemos comer todo tipo de alimento? Ou Deus estabeleceu uma lei que faz a distinção entre o que se pode e o que não se pode comer? Jesus purificou todos os animais?
Para muitos religiosos, o Espírito Santo é apenas uma "força impessoal" que emana de Deus. Porém, de acordo com as Escrituras o Espírito Santo é tanto pessoal quanto divino. Ele tem todos os atributos que revelam Sua personalidades, pois, pensa, sente e tem vontade própria.
Há muita dúvida e confusão sobre os vocábulos "alma" e "espírito". Mas, os mesmos só podem ser entendidos corretamente à luz do contexto bíblico. A Bíblia faz uma nítida distinção entre ambos. No conceito judaico do Antigo Testamento tanto a alma como o espírito são palavras inconfundíveis que têm aplicações diferentes.
"Os altos montes são das cabras montesas, e as rochas o refúgio do querogrilo"
(Salmo 104.18). Querogrilo... Você conhece este animal? Já ouviu falar dele? A Bíblia não fornece muitos detalhes acerca dele. Porém, podemos ter algum conhecimento sobre este curioso animal.
Projeto de articulação curricular:
"aLeR+ o Ambiente - Os animais são nossos amigos" - Seleção de poemas da obra «Bicho em perigo», de Maria Teresa Maia Gonzalez
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2. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(01) Se o segmento ̅̅̅̅ mede 17 cm, determine o valor de x nos casos:
Solução
AP = x
PB = 7
AP + PB = 17
x + 7 = 17
x = 10 cm
Solução
PB = x
AB = 17
AP = 21
AB = AP – PB
17 = 21 – x
x = 4 cm
Solução
x+3+x = 17
Solução
2x=17-3
AP – BP = AB
2x=14
2x – (x-3) = 17
x = 7 cm
2x – x + 3 = 17
x =14
(02) Determine x, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅.
1
3. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
̅̅̅̅̅
Solução
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐴𝑀
̅̅̅̅̅
𝑀𝐵
𝑥
9
𝑥
𝒙
𝟔
(03) Determine PQ, sendo AB = 31.
Solução
Solução
𝐴𝐵
𝑥
𝑥
𝑃𝑄
𝑥
𝑃𝑄
(
𝑷𝑸
)
(
𝟑𝟐
)
9
2
4. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(04) Determine AB, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅
Solução
𝐴𝑀
𝐴𝑃
𝑀𝐵
𝑥
(𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
7
𝑀𝐵
𝑥
𝐴𝑀
8
𝑀𝐵
𝑀𝐵
8
𝑀𝐵
𝑀𝐵
𝑥
𝒙
(𝐴𝑀
7)
𝑥
𝟏𝟐
𝐴𝐵
𝐴𝑀
𝐴𝐵
𝑥
𝐴𝐵
𝑀𝐵)
𝑀𝐵
𝑥
𝑥
𝐴𝐵
𝐴𝐵
6
𝑨𝑩
𝟐𝟒
(05) O segmento ̅̅̅̅ de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento ̅̅̅̅ dessa mesma
reta. Determine a medida do segmento ̅̅̅̅, considerando como unidade de medida a
quinta parte do segmento ̅̅̅̅.
Solução
3
5. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AB = 5CD
AB=?
̅̅̅̅
(06) P, A e B são três pontos distintos de uma reta. Se P está entre A e B, que
relação deve ser válida entre os segmentos ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅?
Solução
Observando a figura, notamos que:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(07) P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se ̅̅̅̅ é igual ao triplo de
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 32 cm, determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
Solução
Temos duas possibilidades:
(1º) Q está entre P e R:
4
6. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(2º) R está entre P e Q:
𝑥
𝑥 →
𝑸𝑹
→ 𝒙
𝟏𝟔
𝟏𝟔
𝑃𝑄
𝑥
𝑥
𝑷𝑸
𝟒𝟖𝑃𝑄
𝑷𝑸
𝑥→
𝟐𝟒
(07) Os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são adjacentes, de tal maneira que ̅̅̅̅ é o triplo
de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ é o dobro de ̅̅̅̅ AD = 36 cm. Determine as medidas dos segmentos
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
Solução
De acordo com o enunciado da questão, temos:
6
6
8
7
9
7
8
5
7. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
8
Resposta: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
.
(08) Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta, nessa ordem. Se ̅̅̅̅
são segmentos congruentes, mostre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.
̅̅̅̅̅
Solução
( )
( )
Comparando (1) com (2), concluímos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.
(09) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 cm e BC = 12
cm.
Solução
6
8. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AC = x
AC = AB + BC
AC = 20+12
AC = 32 cm
x + 12 = 20
x =20 – 12
x=8
x = AC = 8 cm
(10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são dois segmentos adjacentes. Se ̅̅̅̅ é quíntuplo de ̅̅̅̅ e AC = 42 cm,
determine AB e BC.
Solução
6
7
(11) Sendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ segmentos colineares consecutivos, ̅̅̅̅ o quádruplo de ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ =
45 cm, determine AB e BC.
Solução
7
9. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AB = 4x
BC = x
4x + x = 45
5x = 45
x = 9
AB = 4x
AB = 4.9
AB = 36 cm
AB = 4x
BC = x
45 + x = 4x
3x = 45
x = 15
𝑩𝑪
𝟏𝟓 𝒄𝒎
AB = 4x
AB = 4.15
AB = 60 cm
Resposta: AB = 36 cm e BC = 9 cm ou AB = 60 cm BC = 15 cm.
(12) Numa reta r, tomemos os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e um ponto P de modo que ̅̅̅̅ seja
o quíntuplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ seja o quádruplo de ̅̅̅̅ e AP = 80 cm. Sendo M e N os pontos
médios de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, respectivamente, determine MN.
Solução
8
10. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
BP = 80 – 5x (1)
AB = 5x AB = 5.10
Como:
BP = 4x – x
AB = 50
BN = BC/2 BN = 40/2 BN =
20
BP = 3x (2)
Como:
Fazendo: (1) = (2)
MB = AB/2 MB = 50 ÷ 2
80 – 5x = 3x
x = 10
MN = 45 cm
MB = 25
8x = 80
𝑷𝑪
𝟏𝟎
MN = MB + BN MN = 25 + 20
Como:
BC = 4x BC = 4.10
BC = 40
5x + 4x + x = 80
10x = 80
x =
8
BC = 4x
AC = AP - CP
BC = 4.8
AC = 80 – 8
BC = 32
𝑩𝑵
𝟏𝟔
AC = 72
AB = 5x
MN = MB + BN
AB = 5.8
MN = 20 + 16
AB = 40
𝑴𝑩
𝟐𝟎
MN = 36
9
11. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AB = 5 x
AC + CP = 80
PM + MB = PB
AB = 5.40
AC + CP = x + x
AB = 200
AC + CP = 2x
PM + 100 = 120
AM = 𝑴𝑩 100
PB = 3x
80 = 2x
PB = 3.40
x = 40
PB = 120
PM = 20
MN = PB – MB
MN = 120 – 100
MN = 20
Resposta: MN = 45 ou MN = 36 ou MN = 20.
(13) Se o
é isósceles de base BC, determine x:
AB = 2x – 7; AC x + 5.
Solução:
2x-7 = x+5
2x-x = 5+7
x = 12
(14) O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y.
AB = 15-y; BC = 2x-7 e AC = 9
10
12. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
2x-7 = 9
15-y = 9
2x = 16
y = 15-9
x = 8
y = 6
é isósceles de base ̅̅̅̅, determine BC.
(15) Se o
AB = 3x-10; BC = 2x+4 e AC = x+4.
Solução
3x-10 = x+4
Como:
2x = 14
BC = 2x+4
x=7
BC = 2.7+4
BC = 18.
(16) Se o
̂
é isósceles de base BC, determine x.
e ̂
Solução
No triângulo isósceles os ângulos da base são
congruentes (iguais):
𝐵≡ 𝐶
𝑥
𝑥
𝒙
𝟐𝟎
11
13. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
é isósceles de base ̅̅̅̅, determine x.
(17) Se o
̂
̂
.
Solução
x+30° = 2x-20°
2x-x = 30°+20°
x = 50°
(18) Se o
é isósceles de base BC, determine x e y.
Solução
𝑥
𝑥
𝑥
𝒙
𝑥
𝟗𝟓
Como:
𝑦
𝑥
𝑦
9
𝑦
𝒚
8
8
8
𝟒𝟎
(19) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é equilátero.
(a)
Solução
2x+ 1 = 3x-3
3x-2x =1+3
y = 2x+1
x = 4
y = 2.4+1
y = 9
12
14. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(b)
Solução
x+y = x+3
Como:
y = x-x+3
x+3 = y+4
y = 3
x+3 = 3+4
x = 4
(20) Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada ado.
Solução
Como os três lados são iguais, devemos ter:
7
÷
(21) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m,
quanto mede cada um dos outros lados?
(22) Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos abaixo:
(a) Triângulo equilátero com AB = x+2y, AC = 2x-y e BC = x+y+3.
13
15. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(b) Triângulo isósceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = x + 3.
Solução
(23) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse
triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base.
Solução
14
16. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Resposta: Os lados são: 3m, 6m e 6 m.
(24) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r
graus de (2x+3y) é:
(a) 64°
(b) 500°
(c) 520°
(d) 660°
u. O valor em
(e) 580°
Solução
15
17. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Observe que:
z + 120°= 180° (z e 120° = São colaterais internos, logo, são
suplementares)
z = 60°
z + y + 20° = 180°
60° + y = 160
y = 100°
Observe que:
y = x = 100°, logo:
2x + 3y 2.100° + 3.100° 200° + 300° 500°
Resposta: Letra (b).
(25) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:
(a) 100°
(b) 120°
(c) 110°
(d) 140°
(e) 130°
Solução
16
18. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(1) b = 2x + 60° (i) ("𝑏" é ângulo externo)
b + 4x = 180° (“b” e “4x” são colaterais internos)
b = 180° - 4x (ii)
Fazendo (i) = (ii), temos:
2x + 60° = 180° - 4x
6x = 120°
x = 20°
Como:
b = 2x + 60°
b = 2.20° + 60°
b =100°
Resposta: Letra (a)
(26) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o
menor ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo “a” mede:
(a) 36°
(b) 32°
(c) 24°
(d) 20°
(e) 18°
Solução
17
19. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
No triângulo destacado na figura ao lado, temos:
90° + 72° + a = 180° (Soma dos ângulos internos)
162° + a = 180°
a = 18°
(27) Num triângulo ABC, os ângulos ̂ ̂ medem 50° e 70°, respectivamente. A
bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta ̅̅̅̅ os ângulos proporcionais a:
(a) 1 e 2
(b) 2 e 3
(c) 3 e 4
(d) 4 e 5
(e) 5 e 6
Solução
Primeiramente, precisamos saber os valores dos ângulos “p”
e “q”.
Note que No
𝐴𝐵𝐶, temos:
A+50°+70° = 180°
A = 180° - 120°
̂
𝑨
𝟔𝟎 (A bissetriz AH divide esse ângulo em partes
iguais).
No
𝐴𝐵𝐻, temos:
p + 50° + 30° = 180°
p = 180° - 80°
p = 100°
No
𝐴𝐶𝐻, temos:
q + 30° + 70° = 180°
q = 180° - 100°
q = 80°
Logo, os ângulos p e q, têm a
seguinte relação:
𝑝
𝑞
8
8
𝟓
𝟒
Assim, a bissetriz AH forma
com a reta BC ângulos
proporcionais a 4 e 5.
Resposta; Letra (d)
18
20. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(28) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de
“a” e “b”.
Dados:
𝐴
𝑎
𝐸
𝑏
𝐵
̂
𝐷
𝑏
8
𝑎
Solução
Observando a figura acima, temos:
≡̂
3a = 2a + 10°
a = 10°
≡
b + 48° = 5b
4b = 48
b = 12°
(29) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e
os lados do triângulo ACD.
Dados:
AB = x
CD = 3x+8
BC = 2y
DA = 2x
19
21. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
Como os triângulos são semelhantes, temos:
2x = 3y + 8 (i)
x = 2y (ii)
Substituindo (ii) em (i), temos:
2(2y) = 3y + 8
4y = 3y + 8
y = 8
Como:
x = 2y x = 2.8 x = 16
Cálculo dos lados do triângulo ACD:
AD = 2x AD = 2.16 AD = 32
AC = x + 2y AC = 16 + 2.8 AC = 32
DC = 3y + 8 DC = 3.8 + 8 DC = 32
(30) Na figura abaixo, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos.
Solução
20
22. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
2x – 6 = 22
2x = 28
x = 14
3y + 5 = 35
3y = 30
y = 10
(31) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD.
Solução
x + 5 = 15
x = 10
3y – 2 = 2y + 17
y = 19
Lado AP = 2y + 17 AP = 2.19+17 AP = 55
Lado DP = 3y - 2 DP = 3.19 – 2 DP = 55
𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜
𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜
𝑃𝐶𝐴
𝑃𝐵𝐷
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑃
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑃
21
23. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(32) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y.
Solução
2x = 120°
x = 60°
3y = 27°
y = 9°
(33) As retas r e s das figuras abaixo são paralelas. Determine x e y.
(a)
Solução
x + 60° = 180° (Colaterais internos)
x = 120°
y + 105° = 180° ( Colaterais internos)
y = 75°
(b)
Solução
3x - 10° + 90° + 2x = 180° (Colaterais internos)
5x + 80° = 180°
5x = 100°
x = 20°
22
24. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
y = 3x – 10° (alternos internos)
y = 3.20° - 10
y = 50°
(34) A soma de quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por
uma reta transversal é 80°. Determine o ângulo obtuso.
Solução
4x = 80°
x = 20°
x + y = 180°
20° + y = 180°
y = 160°
(35) Na figura abaixo, sendo a//b, calcule x.
Solução
17x – 9° + 8x + 9° = 180°
25x = 180°
x = 7° 12’
23
25. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(36) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y.
Solução
3x -20° = 2x (Alternos internos)
x = 20°
y + 10° = 3x – 20° y + 10° = 3.20° - 20°
y = 40° - 10° y = 30°
(37) Na figura abaixo, temos os ângulos a e b de lados respectivamente paralelos.
Sendo a = 8x e b = 2x + 30°, determine o suplemento de b.
Solução
Pela figura, notamos que:
a=b
8x = 2x + 30°
6x = 30° x = 5°
Como:
Cálculo do suplemento de b:
b = 2x + 30°
x = 180° - 40°
b= 2.5 + 30°
x = 140°
b = 40°
(38) Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos abaixo:
(a)
24
26. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
Pela figura:
x = 50°
y = 60°
z + 50° + 60° = 180°
z = 180° - 110°
z = 70°
(b)
Solução
z = y (Alternos internos)
y + 20° + 40° = 180°
z = 120°
y = 180° - 60°
x + z + 20° = 180°
y = 120°
x + 120° + 20° = 180°
x = 40°
(39) Determine o valor de x na figura abaixo:
25
27. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
Pela figura ao lado, temos:
3x – 30° = x – 10° + x + 30°
3x – 2x = 20° + 30°
x = 50°
(40) Determine x e y, na figura abaixo:
Solução
26
28. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
No triângulo ABC, temos:
130° = x + 100°
x = 30°
No triângulo ACE, temos:
y + 40° + 80° + 30° = 180°
y = 180° - 150°
y = 30°
(41) Da figura abaixo, sabemos que AB = AC, ̂
Determine x =C ̂ D.
e AD = BC.
Solução
27
29. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
(1) Indiquemos as medidas AB = AC = b e CD =
A, donde obtemos BC = a + b.
(2) Tracemos ̅̅̅̅ com AP = b, de modo que
𝐴𝑃
𝐵𝐴 𝑃 6 . Obtemos desta forma o triângulo
equilátero (verde) APB de lado b.
(3) Consideremos agora os triângulos PAD
(amarelo) e ABC. Note que eles são congruentes
pelo caso LAL.
Logo: PD = AC = b e A𝑃 𝐷 = 100°.
(4) De PD = b concluímos que o PBD é isósceles.
Note que neste triângulo PBD, como 𝑃 = 160°,
concluímos que 𝐵 ̂ = 10°.
𝐷
(5) Finalmente, de A𝐵 P = 60°, D𝐵 P = 10° e
̂
C𝐵 𝐴
, concluímos que C𝑩 𝑫
𝒙
𝟏𝟎
(42) Determine a área da região sombreada na figura abaixo.
Solução
28
30. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(1) Área do triângulo equilátero de lado igual a 10:
√
→
(
) √
√
→
→
√
(2) Área dos 3 setores circulares de ângulo central igual a 60° e raio igual a 5:
6
→
( )2 6
→
(3) Área da região sombreada:
→
√
→
√
→
(43) Na figura abaixo, ̅̅̅̅ é paralela a ̅̅̅̅. Sendo
35°, calcule a medida de A ̂ D.
(√
̂
)
igual a 80° e
̂
igual a
Solução
Solução
29
31. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(1) No triângulo amarelo ABF, temos:
y + 80° + 35° = 180°
y = 180° - 115°
y = 65°
(2) No triângulo AGE, temos:
x = 35 +80° ( x é ângulo externo)
x = 115°
(44) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a.
Solução
No triângulo colorido, o ângulo 3a, é
ângulo externo, logo:
3a = 180° - 2a + 80°
5a = 260°
a = 52°
(45) Determine o valor de x na figura abaixo:
30
32. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
2a + 2(2x+10°) = 360° : 2
a + 2x + 10°= 180°
a + 2x = 170° (i)
2b + 2(2x-10°) = 360 ; 2
b + 2x – 10° = 180°
b + 2x = 190° (ii)
Fazendo (i) + (ii), temos:
a + 2x = 170°
b + 2x = 190°
+
+
a + b + 4x = 360° → a + b = 360° - 4x (iii)
No triângulo colorido, temos:
a + b + x = 180° (iv)
Substituindo (iii) em (iv), temos:
360° - 4x + x = 180°
3x = 180°
x = 60°
31
33. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(46) Num triângulo isósceles ABC o ângulo do vértice A vale 1/10 da soma dos ângulos
externos em B e C. Sendo ̅̅̅̅ a base do triângulo, determine o ângulo A.
Solução
a=
1
10
(𝑑
𝑒) → 𝟏𝟎𝒂
𝒅
𝒆 (1)
a + b + c = 180° b + c = 180° - a (2)
Note que:
d + b = 180°
+
c + e = 180°
d + e + b + c = 360°
10a + 180° - a = 360°
9a = 180°
a = 20°
(47) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos ̂
excede o ângulo ̂ em 76°. Determine ̂ .
̂
Solução
32
34. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
𝑑 = x + 76°
No triângulo ABC, temos:
x + 2y + 2z = 180°
2y + 2z = 180° - x (i)
No triângulo BCD, temos:
y + z + d = 180° (multiplicando por 2)
2y + 2z + 2d = 360° (ii)
Substituindo (i) em (ii), temos:
180° - x + 2d = 360°
180° - x + 2 (x + 67°) = 360°
180° - x + 2x + 152° = 360°
x + 332° = 360°
x = 28°
(48) Seja ABC um triângulo isósceles de base ̅̅̅̅. Sobre o lado ̅̅̅̅ desse triângulo
considere um ponto D tal que os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ sejam todos congruentes entre
si. Calcule a medida do ângulo ̂ .
Solução
No triângulo BCD, temos:
𝑎
a+a+
𝑎
𝑎
𝑎
𝒂
8
2
𝑎
8
𝑎
6
6
𝟕𝟐
No triângulo ABC, temos:
x + a + a = 180°
x + 2a = 180°
x + 2.72° = 180°
x = 180° - 144°
x = 36°
33
35. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(49) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão 4 para 7.
Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, calcule (em metros) a largura
desse terreno.
Solução
𝐿
𝐶
7
→
𝐿
𝐶
7
𝐿
→
𝑳
𝑪
𝑳
𝟏𝟏
(𝒊)
𝟒
2L + 2C = 66 (Perímetro do retângulo) : 2
L + C = 33 (ii)
Substituindo (ii) em (i):
𝐿
→ 𝑳
𝟏𝟐 𝒎
(50) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e
AD = 1, AF = 2 e FB = x. Calcule o valor de x.
Solução
Como os retângulos são semelhantes, temos:
→
→
→
√
√
→
→
√8
→
→
→
√
34
36. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(51) Observe a figura abaixo. Nela “a”, “2a”, “b”, “2b” e “x” representam as
medidas, em graus, dos ângulos assinalados. Calcule o valor de “x” ( em graus).
Solução
Note que x é ângulo externo do
𝐴𝐵𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜
x = 2a + 2b x = 2(a + b) (i)
Note que 𝑐 , é ângulo externo do triângulo amarelo,
logo:
c = a + 2a
c = 3a
No triângulo vermelho, temos:
c + b + 2b = 180°
3a + 3b = 180° : 3
a + b = 60° x (2)
2 (a + b) = 120° (ii)
Substituindo (i) em (ii):
x = 120°
35
37. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(52) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele
inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. Calcule o perímetro do triângulo MBN.
Solução
Observando a figura acima, notamos que aos triângulos vermelho e amarelo são
semelhantes, portanto:
→
8
8→
2
6
→ (
6)
→
O lado BM do triângulo vermelho vale: x – 2 6 – 2 = 4.
36
38. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MBN, temos:
(BN)²= 4²+ 4²→ (BN)²= 16 + 16 (BN)² = 32 BN = 4√
Cálculo do perímetro do triângulo MBN:
2p = 4 + 4 + 4√
2p = 8 + 4√
2p = 4(2 + √ )
(53) Calcule a área da região colorida na figura abaixo, sabendo que A e B são pontos
médios de dois lados do quadrado.
Solução
(1) Área dos triângulos (amarelo):
𝑆𝑡
→ 𝑺𝒕
𝟖
(2) Área do setor circular vermelho:
𝑆𝑠
𝜋𝑟 𝛼
→ 𝑆𝑠
6
𝜋
9
→ 𝑺𝒔
6
𝝅
(3) Área da região azul:
𝑆𝑎
𝑺𝒕
𝑺𝒔 → 𝑺𝒂
𝟖
𝝅
37
39. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(54) Em uma cidade, há um terreno abandonado, na esquina da Rua da Paz com a
Avenida da Alegria. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases
medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. Uma pessoa amorou seu cavalo para
pastar nesse terreno, num ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento. De acordo
com o esquema da figura abaixo, calcule a área (aproximada) do pasto do terreno que
o cavalo NÃO pode comer. Considere:
Solução
(1) Área do trapézio:
(
)
2
→
(1
12) 30
2
30 30
→
2
450
→
(2) Área do setor circular:
2
6
→
(
)2 9
6
→
→
→
(3) Área colorida:
→
→
(55) Considere um triângulo ABC isósceles de base ̅̅̅̅, e os pontos P e Q tais que
P ̅̅̅̅ e Q ̅̅̅̅. Se BC = BP = PQ = QA, qual é a medida do ângulo de vértice A, em
radianos?
Solução:
38
40. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Observando a figura ao lado, notamos que os
ângulos B e C são congruentes, visto que o
triângulo ABC é isósceles, portanto:
2x+180°-6x = 3x
180°- 4x = 3x
7x = 180°
x=
1 0
7
Como:
𝜋
x =
8
𝝅
𝟕
39