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Polígonos
1
Geometria plana
Índice
Esquadros de madeira ― www.ser.com.br
Semelhança de triângulos
Triângulos
Congruência de triângulos
Quadriláteros
Teorema de Tales
Teorema da bissetriz de um ângulo
interno de um triângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
2
Polígonos
Definição
Chama-se polígono toda figura plana formado por linhas
poligonal fechadas e simples juntamente com os pontos da
região interna que essa linha determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
3
Plano
Não plano
4
5
Contorno fechados :
Contorno fechado é quando a ponta da reta se encontra com sua
outra ponta
Contorno simples: quando desenhados dividem em apenas 2
regiões; interna e externa. Os polígonos simples são aqueles cujos
segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se
cruzam e se tocam apenas nas extremidades.
6
Um polígono se diz convexo quando o
segmento de reta que une dois pontos
quaisquer de sua região interna está
sempre contido nela.
Polígonos convexos e polígonos côncavos
Polígonos convexos Polígonos côncavos
Um polígono se diz côncavo quando
existem dois pontos de sua região interna
tais que o segmento de reta por eles
determinado não está contido nela.
A
B
A
B
São polígonos convexos São polígonos côncavos
Polígonos
7
Polígonos
Elementos de um polígono
No polígono ABCDE ao lado temos que:
A
B
CD
E
• Os segmentos
são os lados do polígono;
, , , ,AB BC CD DE EA
• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices
do polígono;
• Os segmentos
são as diagonais do polígono;
, , , ,AC AD BD BE CE
• são os ângulos
do polígono;
ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD, CDE, DEA, EAB
Nota:
Diagonal de um polígono é o segmento de
reta que une dois vértices não
consecutivos desse polígono.
8
Polígonos
Chama-se polígono regular a todo polígono que
tem todos os lados congruentes e todos os
ângulos congruentes (ângulos que possuem a
mesma medida).
Polígonos regulares
A
B
CD
E
M
O
9
Nome dos polígonos
De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.
Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:
Número de
lados
Nome Número de
lados
Nome
3 Triângulo 9 Eneágono
4 Quadrilátero 10 Decágono
5 Pentágono 11 Undecágono
6 Hexágono 12 Dodecágono
7 Heptágono 15 Pentadecágono
8 Octógono 20 Icoságono
Polígonos
10
Polígonos
Soma das medidas
dos ângulos internos:
 180º 2iS n 
Soma das medidas
dos ângulos externos:
360ºeS 
Ângulos internos de
um polígono regular:
 180º 2
oui
i i
nS
a a
n n

 
Ângulos externos de
um polígono regular:
360º
oue
e e
S
a a
n n
 
Número de diagonais
de um polígono:
 3
2
n n
d


11
Triângulos ― classificação
Quanto aos ângulos Quanto aos lados
Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida.
Obs.: os três ângulos internos têm
medidas de 60º.
Retângulo: possui dois ângulos agudos e
um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado
o teorema de Pitágoras:
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
Isósceles: dois lados de mesma medida.
Obs.: os ângulos opostos aos lados
congruentes também são de mesma
medida.
Obtusângulo: possui dois ângulos agudos
e um obtuso.
Escaleno: três lados de medidas
diferentes entre si.
12
Triângulos - medidas de seus ângulos
Soma das medidas dos
ângulos internos
Teorema do ângulo externo
Condição de existência de um triângulo
a + b + g  180º a + x  180º b + g  x
A soma das medidas
dos dois lados menores
tem que ser maior que
a medida do lado maior.
b + c > a
13
Triângulos – cevianas e pontos notáveis
Ceviana Definição Ponto notável Figura
Mediana
É o segmento que tem como
extremidade um vértice do
triângulo e o ponto médio do lado
oposto a esse vértice.
Baricentro (G): é o ponto de
encontro das medianas do
triângulo; é o centro de
gravidade do triângulo.
Bissetriz
É o segmento que tem uma
extremidade em um vértice do
triângulo, divide o ângulo ao meio
e tem a outra extremidade no
lado oposto a esse vértice.
Incentro (I): é o encontro das
bissetrizes internas do
triângulo; é o centro da
circunferência inscrita no
triângulo, pois equidista dos
três lados.
Altura
É o segmento com uma
extremidade em um vértice e a
outra extremidade no lado oposto
ou no seu prolongamento,
formando com ele ângulos retos.
Ortocentro (H): é o ponto de
encontro das retas que contêm
as alturas, podendo pertencer
ao exterior do triângulo.
Mediatriz
Reta que passa pelo ponto médio
de um lado do triângulo e é
perpendicular a ele.
Circuncentro (C): é o ponto
de encontro das mediatrizes
dos lados do triângulo; é o
centro da circunferência
circunscrita ao triângulo, pois
equidista dos três vértices.
14
Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem
sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a
mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.
1o caso: LAL
Dois lados congruentes
e o ângulo formado
por eles congruente
3o caso: ALA
Dois ângulos
congruentes e o lado
compreendido entre
eles congruente
4o caso: LAAo
Um lado congruente,
um ângulo adjacente e
o ângulo oposto a esse
lado congruente
2o caso: LLL
Três lados congruentes
15
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são
semelhantes.
1o caso: AA
Se dois ângulos de um
triângulo são
respectivamente
congruentes a dois ângulos
de outro, o terceiro ângulo
também será.
3o caso: LAL
Dois triângulos são
semelhantes se possuem
um ângulo congruente
compreendido entre lados
proporcionais.
2o caso: LLL
Dois triângulos são
semelhantes se os lados de
um são proporcionais aos
lados do outro.
Casos de semelhança:
Assim teremos:
  
AB BC AC
constante
DE EF DF
16
Relações métricas no triângulo retângulo
Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento
perpendicular ao lado , com D em .
AD
BC BC
Definições dos segmentos:






BC hipotenusa (medida "a")
AB cateto (medida "c")
AC cateto (medida "b")
BD projeção do cateto AB
sobre a hipotenusa (medida "m")
DC projeção do cateto AC
sobre a hipotenusa (medida "n")
AD altura relativa à
hipotenusa (medida "h")
Assim teremos:
2 2 2
2
2
2
 +
  
 
 
 
a b c
a h b c
b m a
c n a
h m n
17
Quadriláteros
Quanto aos
ângulos
Quanto às
diagonais
Quanto aos
lados
Paralelogramo
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
Encontram-se no
seu ponto médio.
Lados opostos
congruentes.
Retângulo
Quatro ângulos
retos.
São congruentes. Lados opostos
congruentes.
Losango
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
São perpendiculares
entre si e estão
contidas nas
bissetrizes dos
ângulos internos do
losango.
Quatro lados
congruentes.
Quadrado
Quatro ângulos
retos.
Encontram-se no
seu ponto médio e
são congruentes.
Quatro lados
congruentes.
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
18
Quadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de
lados paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retângulo
É todo trapézio que tem dois
ângulos retos. Nele, um dos
lados que não é base é
perpendicular às duas bases.
Trapézio isósceles
É todo trapézio que tem dois
lados não paralelos
congruentes.
19
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer
determinam segmentos proporcionais.
Assim teremos:
 
AB BC AC
DE EF DF
20
Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o
lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que
formam esse ângulo.
Assim teremos:

BD AB
DC AC

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Poligonos 6 ano

  • 1. Polígonos 1 Geometria plana Índice Esquadros de madeira ― www.ser.com.br Semelhança de triângulos Triângulos Congruência de triângulos Quadriláteros Teorema de Tales Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Relações métricas no triângulo retângulo
  • 2. 2 Polígonos Definição Chama-se polígono toda figura plana formado por linhas poligonal fechadas e simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha determina. As figuras a seguir são polígonos As figuras a seguir não são polígonos
  • 4. 4
  • 5. 5 Contorno fechados : Contorno fechado é quando a ponta da reta se encontra com sua outra ponta Contorno simples: quando desenhados dividem em apenas 2 regiões; interna e externa. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades.
  • 6. 6 Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está sempre contido nela. Polígonos convexos e polígonos côncavos Polígonos convexos Polígonos côncavos Um polígono se diz côncavo quando existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela. A B A B São polígonos convexos São polígonos côncavos Polígonos
  • 7. 7 Polígonos Elementos de um polígono No polígono ABCDE ao lado temos que: A B CD E • Os segmentos são os lados do polígono; , , , ,AB BC CD DE EA • Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono; • Os segmentos são as diagonais do polígono; , , , ,AC AD BD BE CE • são os ângulos do polígono; ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD, CDE, DEA, EAB Nota: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.
  • 8. 8 Polígonos Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (ângulos que possuem a mesma medida). Polígonos regulares A B CD E M O
  • 9. 9 Nome dos polígonos De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial. Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos: Número de lados Nome Número de lados Nome 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono Polígonos
  • 10. 10 Polígonos Soma das medidas dos ângulos internos:  180º 2iS n  Soma das medidas dos ângulos externos: 360ºeS  Ângulos internos de um polígono regular:  180º 2 oui i i nS a a n n    Ângulos externos de um polígono regular: 360º oue e e S a a n n   Número de diagonais de um polígono:  3 2 n n d  
  • 11. 11 Triângulos ― classificação Quanto aos ângulos Quanto aos lados Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras: hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 Isósceles: dois lados de mesma medida. Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida. Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso. Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.
  • 12. 12 Triângulos - medidas de seus ângulos Soma das medidas dos ângulos internos Teorema do ângulo externo Condição de existência de um triângulo a + b + g  180º a + x  180º b + g  x A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior. b + c > a
  • 13. 13 Triângulos – cevianas e pontos notáveis Ceviana Definição Ponto notável Figura Mediana É o segmento que tem como extremidade um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Baricentro (G): é o ponto de encontro das medianas do triângulo; é o centro de gravidade do triângulo. Bissetriz É o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Incentro (I): é o encontro das bissetrizes internas do triângulo; é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois equidista dos três lados. Altura É o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos. Ortocentro (H): é o ponto de encontro das retas que contêm as alturas, podendo pertencer ao exterior do triângulo. Mediatriz Reta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele. Circuncentro (C): é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices.
  • 14. 14 Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos. 1o caso: LAL Dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente 3o caso: ALA Dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente 4o caso: LAAo Um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente 2o caso: LLL Três lados congruentes
  • 15. 15 Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes. 1o caso: AA Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será. 3o caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. 2o caso: LLL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. Casos de semelhança: Assim teremos:    AB BC AC constante DE EF DF
  • 16. 16 Relações métricas no triângulo retângulo Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento perpendicular ao lado , com D em . AD BC BC Definições dos segmentos:       BC hipotenusa (medida "a") AB cateto (medida "c") AC cateto (medida "b") BD projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida "m") DC projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida "n") AD altura relativa à hipotenusa (medida "h") Assim teremos: 2 2 2 2 2 2  +          a b c a h b c b m a c n a h m n
  • 17. 17 Quadriláteros Quanto aos ângulos Quanto às diagonais Quanto aos lados Paralelogramo Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. Encontram-se no seu ponto médio. Lados opostos congruentes. Retângulo Quatro ângulos retos. São congruentes. Lados opostos congruentes. Losango Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Quatro lados congruentes. Quadrado Quatro ângulos retos. Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes. Quatro lados congruentes. São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
  • 18. 18 Quadriláteros Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor. Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases. Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.
  • 19. 19 Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer determinam segmentos proporcionais. Assim teremos:   AB BC AC DE EF DF
  • 20. 20 Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo. Assim teremos:  BD AB DC AC