geometria plana

1. Prof. Jorge

2. TRIÂNGULOS CONGRUENTES
Dois triângulos são congruentes, se e somente se, tiverem os
lados e ao ângulos correspondentes congruentes.
AB = A’B’; AC = A’C’ e BC = B’C’
A = A’ ; B = B’ e C = C’
⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B

3. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIACRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
Existem alguns critérios mínimos queExistem alguns critérios mínimos que
garantem a congruência de dois triângulos.garantem a congruência de dois triângulos.
São osSão os casos de congruênciacasos de congruência..

4. CASO LAL (LADO, ÂNGULO, LADO)
• Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então eles são congruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
L → AC = A’C’

5. EXEMPLO
• Provar que todos os pontos da mediatriz de um segmento são
equidistantes de seu extremos.
A
m
B
E
P
L → PM = PM
A → PÊA = PÊB
L → MA = MB
Δ PMA = Δ PMB
⇒⇒
PA = PB

6. CASO ALA (ÂNGULO, LADO, ÂNGULO)
• Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes um lado e dois ângulos
a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.
A → A = A’
L → AB = A’B’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → B = B’

7. EXEMPLO
• Na figura, AB = AD e BC // DE. Provar que AC = AE.
B D
A
A → B = D
L → AB = AD
A → CÂB = EÂD
Δ ABC = Δ ADE
⇒
C
E
⇒
AC = AE

8. CASO LAAO (LADO, ÂNGULO, ÂNGULO OPOSTO)
• Se dois triângulos tem ordenadamente um lado, um ângulo e o
ângulo oposto ao lado, então eles são congruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → C = C’

9. EXEMPLO
• Provar que todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante de seus
lados.
L → OP = OP
A → PÔA = PÔB
A → A = B
Δ PAO = Δ PBO
⇒
O
A
B
P
⇒
PA = PB

10. CASO LLL (LADO, LADO, LADO)
• Se dois triângulos tem os três lados ordenadamente congruentes, então
esses triângulos são congruentes.
L → AB = A’B’
L → AC = A’C’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
L → BC = B’C’
A
C
B

11. CASO ESPECIAL: CONGRUENCIA DE
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
• DOIS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS QUE POSSUEM A HIPOTENUSA E UM
DOS CATETOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES SÃO TRIÂNGULOS
CONGRUENTES
5cm 5cm
4cm
4cm

12. POR QUE ALL NÃO CONSTITUI CASO DE
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
∆ABM e ∆ABC
apresentam as
congruências ALL:
 é ângulo comum
ABé lado comum
BM= BC
Entretanto ∆ AMB e ∆ABC não são congruentes!

13. Referências:
•IEZZI, Gelson; MACHADO,
Antonio; DOLCE, Osvaldo.
Geometria Plana-Conceitos básicos.
1ª edição. São Paulo: Atual, 2008.
•DANTE, Luiz Roberto. Matemática.
Ensino Médio. Projeto Múltiplo. São
Paulo: Ática: 2014.
•DOLCE, Osvaldo. Fundamentos de
Matemática elementar 9: geometria
plana. 8ª ed. São Paulo: Atual, 2005.
•GIOVANNI, José Rui; PARENTE,
Eduardo. Aprendendo Matemática.
São Paulo: FTD, 2007

14. EXERCÍCIOS DO LIVRO PGS: 37 E 38