O documento apresenta definições geométricas básicas como polígonos, paralelogramos, losangos, trapézios e triângulos. Explica como calcular as áreas dessas figuras planas utilizando a base e a altura. Também discute o conceito de região poligonal e introduz o círculo como limite de polígonos regulares inscritos.

1. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Eneágono 9 Decágono 10
DISCIPLINA: Matemática III
PROFESSOR: THIAGO
Undecágono 11 Dodecágono 12
Geometria Plana e Espacial
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo
se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados,
estes pontos como extremidades, contiver pontos que
axiomas, definições e teoremas, sendo que essas
estão fora do polígono.
definições e postulados são usados para demonstrar a
validade de cada teorema. Alguns desses objetos são
aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais
conceitos porque os mesmos parecem funcionar na
prática!
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos
são congruentes quando têm as mesmas medidas.
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos
elementares para construir outros objetos mais complexos
ementares
como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais
variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de
objetos, etc.
Algumas definições Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos
são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
se
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais
segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os 1. Os lados opostos são congruentes;
segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os 2. Os ângulos opostos são congruentes;
o
pontos de intersecção são denominados vértices do 3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180 ;
polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes 4. As diagonais cortam- ao meio.
-se
tratada como se fosse o próprio polígono
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados
congruentes. As diagonais de um losango formam um
o
ângulo de 90 .
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos
Polígono convexo: É um polígono construído de modo e dois pares de lados paralelos.
que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior
da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono
s
convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos
como extremidades, estará inteiramente contido no
polígono.
No. de No. de Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo
Polígono Polígono um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro
lados lados
lados com a mesma medida e também quatro ângulos
retos.
Triângulo 3 Quadrilátero 4
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos
Pentágono 5 Hexágono 6 paralelos com comprimentos distintos, denominados base
menor e base maior. Pode-se mos
se mostrar que o segmento que
Heptágono 7 Octógono 8 liga os pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a
Matemática III 1

2. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
média aritmética das somas das medidas das bases maior
e menor do trapézio.
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias
regiões triangulares e isto pode ser feito de várias
maneiras
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos
são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos
e
congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é
obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor Duas ou mais regiões poligonais são não não-sobrepostas
superior (amarelo) do triângulo isósceles maior. quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é
um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é
Triângulo e região triangular um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.
No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns
segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os conceitos primitivos:
pontos localizados no triângulo e também dentro do
triângulo é chamada uma região triangular. A região 1. A cada região poligonal corresponde um único
triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos número real positivo chamado área.
dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do
m 2. Se dois triângulos são congruentes então as
interior do triângulo ABC são pontos da região triangular. regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões
Triângulo ABC Região triangular ABC poligonais não-sobrepostas então sua área é a
sobrepostas
soma das áreas das n n-regiões.
Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais,
adotaremos as seguintes práticas:
a. Os desenhos de regiões poligonais serão
sombreadas apenas quando houver possibilidade
de confusão entre o polígono e a região.
b. Usaremos expressões como a área do triângulo
Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de
a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de expressões como a área da regi triangular ABC
região
reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reuniã de
reunião e a área da região limitada pelo retângulo RSTU
RSTU.
três regiões triangulares não sobrepostas.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser
obtida pela decomposição da região poligonal em regiões
triangulares.
O conceito de região poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de
regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão
sobrepostas Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos
quatro regiões poligonais. Observe que uma região Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)
triangular é por si mesmo uma região poligonal e além
disso uma região poligonal pode conter "buracos".
Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado
cujo lado tem uma unidade de comprimento.
Matemática III 2

3. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois
V
segmentos tracejados são congruentes e qualquer um
deles pode representar a altura do paralelogramo em
relação à base RV.
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da
etc. medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h.
Área do Retângulo Área do Triângulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, qque mede 3 A área de um triângulo é a metade do produto da medida
unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.
segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os
segmentos verticais, dividem o retângulo em seis
quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero
emos
cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota
a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de
0.
Pitágoras, escrevemos h²=s²
h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s²
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis garantindo que h=R[3]s/2.
quadrados. O número de unidades de área do retângulo
coincide com o obtido pelo produto do número de unidades
do comprimento da base AB pelo número de unidades da
altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado
adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o
produto da medida da base b pela medida da altura h.
Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então
A=b×h segue que:
Área do Paralelogramo
A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²
Combinando os processos para obtenção de áreas de
rocessos
triângulos congruentes com aqueles de áreas de Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas
retângulos podemos obter a área do paralelogramo. congruentes possuem a mesma área.
ssuem
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como Comparação de áreas entre triângulos semelhantes
sua base e a altura correspondente é o segmento
perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes
se
esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter
a razão entre as áreas desses triângulos.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos
verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles
pode representar a altura do paralelogramo em relação à
base AB.
Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos
semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os
emelhantes
comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Matemática III 3

4. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
Área de ABC a² b² c² Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares
inscritas em círculos congruentes.
= = =
Área de RST r² s² t²
Área do losango
Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito
O losango é um paralelogramo e a sua área é também
observamos que també aumenta:
igual ao produto do comprimento da medida da base pela
mento
medida da altura.
1. O apótema, aproximando
aproximando-se do raio do cículo
como um limite.
2. O perímetro, aproximando
aproximando-se da circunferência do
círculo como um limit
limite.
3. A área, aproximando
aproximando-se da área do círculo como
um limite.
Neste trabalho não é possível apresentar uma definição
A área do losango é o semi-produto das medidas das
produto
precisa de limite e sem ela não podemos construir uma
diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2.
expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da
área de uma região poligonal re
regular inscrita num círculo.
A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da
Área do trapézio circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito
nessa circunferência, à medida que o número de lados do
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, polígono aumenta.
uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.
O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à
medida que o número de lados da região poligonal inscrita
aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área
do círculo. Este também é um processo através de limites.
Perímetro do círculo e da circunferência
Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite
da sequência dos perímetros dos polígonos regulares
A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre
inscritos de n lados na circunferência à medida que o
as medidas das bases pela medida da altura, isto é,
número n de lados aumenta indefinidamente.
A=(b1+b2).h/2.
Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas
Circunferência circunscrita: Em um polígono regular
das regiões poligonais regulares inscritas no círculo
s
com n lados, podemos construir uma circunferência
quando o número n de lados das poligonais aumenta
circunscrita (por fora), que é uma circunferência q passa
que
arbitrariamente.
em todos os vértices do polígono e que contém o polígono
em seu interior.
Relações associadas ao perímetro
1. Com base nestas duas definições temos um
importante resultado sobre a relação existente
entre o perímetro e o diâmetro da c
circunferência:
A razão entre o perímetro e o diâmetro
de uma circunferência é uma constante
2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2,
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão
lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre
dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro
todos os lados do polígono e que está contida no polígono. do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre
os raios r1 e r2.
O círculo como o limite de regiões poligonais regulares
Matemática III 4

5. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
A1 D1 r1
= =
A2 D2 r2
3. Para todo círculo (e também circunferência), a Apótema: OM, Apótema: OX,
razão entre o perímetro e o diâmetro é uma Raios: OA,OF Raios: OR,OT
constante, denominada Pi, denotada pela letra Ângulo central: AOF Ângulo central: ROT
grega que é um número irracional (não pode
ser escrito como a divisão de dois números
inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dí
dígitos
decimais é: 5. Medida do ângulo central de um polígono com n
lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o
ângulo central de um hexágono regular mede 60
= 3,1415926536....
graus e o ângulo central de um pentágono regular
mede 360/5=72 graus.
Área do círculo
Áreas de polígonos regulares
Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das
regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse
itas
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono
caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo
regular a cada um dos vértices desse polígono de n
n-lados,
são:
iremos decompor este polígono em n triângulos
congruentes.
Área = r² = ¼ D²
Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios,
respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e
diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois
círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de
seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.
A1 (D1)² (r1)²
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal
= = regular será dada pela metade do produto da medida do
apótema a pelo perímetro P, isto é:
A2 (D2)² (r2)²
A = a × Perímetro / 2
Comparando áreas entre polígonos semelhantes
as
Polígonos regulares
Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L
congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três
duas circunferências associadas a um polígono regular.
ferências triângulos.
Elementos de um polígono regular
1. Centro do polígono é o centro comum às
circunferências inscrita e circunscrita.
2. Raio da circunferência circunscrita é a distância
do centro do polígono até um dos vértices.
3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do
polígono, isto é, a distância do centro do polígono Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN,
ao ponto médio de um dos lados. parecem semelhantes, o que pode ser verificado
4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro diretamente através da medição de seus ângulos com um
do polígono e cujos lados contém vértices transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida
consecutivos do polígono. para polígonos semelhantes com n lados.
Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles
podem ser decompostos no mesmo número de triângulos
e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a
posição correspondente no outro polígono.
Matemática III 5

6. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas
faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo
número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo
número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
m
Poliedro Planificação Elementos
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de
4 faces
triângulos semelhantes são usados para demonstrar o
triangulares
seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.
4 vértices
Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos
ão
semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os
Tetraedro 6 arestas
comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
6 faces
Área de ABCDE... s² t² quadrangulares
= = 8 vértices
Hexaedro
Área de A'B'C'D'E'... (s')² (t')² 12 arestas
8 faces
triangulares
Poliedros
6 vértices
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou
itado
mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e
12 arestas
que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja Octaedro
alguns exemplos:
12 faces
pentagonais
20 vértices
Dodecaedro 30 arestas
20 faces
triangulares
12 vértices
30 arestas
Icosaedro
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os
vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do
poliedro. Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
Poliedros convexos e côncavos
V-A+F=2
Observando os poliedros acima, podemos notar que,
considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros em que V é o número de vértices, A é o número de arestas
encontram-se inteiramente no mesmo semi
se semi-espaço que e F, o número de faces.
essa face determina. Assim, esses poliedros são
denominados convexos.
Observe os exemplos:
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação
a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um
semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
espaço.
Poliedros regulares
Matemática III 6

7. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
Um prisma pode ser:
• reto: quando as arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases;
• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas
aos planos das bases.
V = 12 A = 18
V=8 A=12 F=6 Veja:
F=8
8 - 12 + 6 = 2 Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas
12 - 18 + 8 = 2
bases são polígonos regulares:
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e
distintos, , um polígono convexo R contido em e
uma reta r que intercepta , mas não R:
prisma regular triangular prisma regular hexagonal
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos
congruentes.
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o
,
segmento , paralelo à reta r :
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um
prisma determina nele uma região chamada secção do
prisma.
Secção transversal é um região determinada pela
uma
intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos
das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são
congruentes ( figura 2).
Assim, temos:
Áreas
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as
todos os segmentos congruentes paralelos a r.
paral faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes
áreas:
Classificação
Matemática III 7

8. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c
que constituem as faces; da figura:
b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos
que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das
bases
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de
AT = AL + 2AB medida b e quatro arestas de medida c; as arestas
indicadas pela mesma letra são paralelas.
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base
a e aresta lateral h, temos: Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
db = diagonal
da base
dp = diagonal
do
paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o
nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
b) paralelepípedo reto
a) paralelepípedo oblíquo
No triângulo AFD, temos:
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele
é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoe
retângulo,ortoedro ou
paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Área lateral
Matemática III 8

9. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo No triângulo ACE, temos:
retângulo, temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac +
bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área
do,
total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
Área lateral
AT= 2( ab + ac + bc)
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de
lado a: AL=4a²
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de
2
lado a: AT=6a
Volume
Volume
O volume de um paralelepípedo retângulo de
dimensões a, b e c é dado por: De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o
volume de um cubo de aresta a é dado por:
V = abc
3
V= a . a . a = a
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na
área de uma face e como qualquer face pode ser Cilindro
considerada como base, podemos dizer que o volume do
paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB
pela medida da altura h:
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas
congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa
forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base
Considere a figura a seguir: • bases: os círculos de centro O e O'e raios r
Na base ABCD, temos: • altura: a distância h entre os planos
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos
pontos das circunferências das bases ( por
exemplo, ) e paralelo à reta r
Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
Matemática III 9

10. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo
às bases; a sua planificação:
• circular reto: quando as geratrizes são
perpendiculares às bases.
Veja:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e
cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de
dimensões :
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro
de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um
erado
retângulo por um de seus lados. b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
Secção
Secção transversal é a região determinada pela
intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das
Todas as secções transversais são congruentes.
bases
Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar
novamente o princípio de Cavalieri.
cípio
Secção meridiana é a região determinada pela
intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano ,
se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os
sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos
têm volumes iguais:
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Matemática III 10

11. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e
de todo cilindro é o produto da área da base pela medida
de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a
área do círculo de raio r ; • altura: distância h do vértice V ao plano
• geratriz (g):segmento com uma extremidade no
):segmento
portanto seu volume é: ponto V e outra num ponto da circunferência
• raio da base: raio R do círculo
• eixo de rotação:reta determinada pelo centro
do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base
é chamado cone reto, também denominado cone de
,
revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de
.
um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (
altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro
eqüilátero.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a
seguinte relação:
g2 = h2 + R2
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um
: plano que contém o eixo de rotação é cham
chamada secção
meridiana.
Cone circular
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será
Dado um círculo C, contido num plano
, , e um ponto eqüilátero:
V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o
Áreas
conjunto de todos os segmentos .
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular
reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento
:
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
Matemática III 11

12. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares
se
de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro
é regular.
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Secção paralela à base de uma pirâmide
Volume
Um plano paralelo à base que intercepte todas as
arestas laterais determina uma secção poligonal d modo
de
que:
• as arestas laterais e a altura sejam divididas na
Pirâmides mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos
Dados um polígono convexo R, contido em um plano
, semelhantes;
, e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de • as áreas desses polígonos estejam entre si assim
como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
pirâmide o conjunto de todos os segmentos .
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do
râmide
vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular,
recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser
triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme s sua
base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero,
um pentágono etc.
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro.
Quando o tetraedro possui como faces triângulos
eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e
todas as arestas são congruentes).
Matemática III 12

13. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
as
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da
pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Para uma pirâmide regular, temos:
• as bases são polígonos regulares paralelos e
semelhantes;
• as faces laterais são trapézios isósceles
em que: congruentes.
Áreas
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios
:
isósceles congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das
áreas da base menor (Ab) e maior (AB)
Volume AT =AL+AB+Ab
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma Volume
pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
s
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:
Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide
obtido pela secção é válida a relação:
Troncos
Se um plano interceptar todas as arestas de uma
pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o
plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma
ividirá
nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e Tronco do cone
um tronco de cone.
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir,
Vamos estudar os troncos. temos:
Tronco da pirâmide
Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
Matemática III 13

14. Pré-Universitário Popular da UFF
Universitário
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
• as bases maior e menor são paralelas;
• a altura do tronco é dada pela distância entre os
planos que contém as bases.
Áreas
Temos:
a) área lateral
b) área total
Volume
Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone
obtido pela secção são válidas as relações:
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de
pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou
igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo
em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa
,
rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e
formada por todos os pontos pertencentes a essa
superfície e ao seu interior.
Matemática III 14