Este documento apresenta e explica vários conceitos geométricos de lugares geométricos, incluindo circunferências, círculos, mediatrizes de segmentos de reta, bissectrizes de ângulos, superfícies esféricas, esferas e planos mediadores. Fornece exemplos práticos destes conceitos e como identificá-los geometricamente.

1. Escola Secundária António Inácio da Cruz
8ºano
Áurea Azevedo
Ano Lectivo 2009/2010

2. Conceito de Lugar Geométrico
Um lugar geométrico é uma região do
plano ou do espaço com determinadas
propriedades comuns.
O objectivo desta apresentação é o estudo
mais aprofundado de alguns lugares
geométricos de que já ouviste falar.

3. Circunferência e Círculo
Um jardineiro quer construir um canteiro com a forma de
uma circunferência. Para isso coloca uma estaca num
ponto do terreno e prende nela uma corda. Na outra ponta
da corda coloca um objecto e vai fazendo, com a corda
totalmente esticada, um sulco no chão.
O jardineiro está a desenhar
uma circunferência sobre o
chão.
Todos os pontos estão
situados à mesma distância
do ponto onde se encontra
espetada a estaca ( centro da
circunferência).

4. Circunferência e Círculo
Uma circunferência é o lugar geométrico dos
pontos do plano que são equidistantes de um ponto
fixo chamado centro da circunferência.
À distância de qualquer ponto
da circunferência ao seu
centro dá-se o nome de raio
da circunferência.
Na figura, o raio da
circunferência corresponde ao
comprimento do segmento de
recta [PC].

5. Circunferência e Círculo
Os pontos A e B da figura abaixo estão situados no
interior da circunferência. A distancia destes pontos ao
centro da circunferência é menor do que o raio.
Um circulo é formado por todos os pontos interiores à
circunferência e pela circunferência.
Assim, o circulo é o lugar
geométrico dos pontos
pertencentes a uma
circunferência ou ao seu
interior.

6. Circunferência e Círculo
Na figura abaixo estão representados os pontos D e E.
A distancia destes pontos ao centro da circunferência é
maior do que o raio da circunferência. Os pontos D e E
são pontos exteriores à circunferência.
O exterior de uma
circunferência é o
lugar geométrico dos
pontos do plano que
distam do centro da
circunferência mais do
que o seu raio.

7. Circunferência e Círculo
Considerando duas circunferências concêntricas
(com o mesmo centro) e raios diferentes, podemos
definir um lugar geométrico do plano situado entre as
duas circunferências, incluindo-as. Essa região do
plano designa-se por coroa circular.
A região assinalada a
amarelo representa uma
coroa circular. Os seus
pontos encontram-se a uma
distância do ponto C igual ou
maior do que BC e igual ou
menor do que AC .

8. Mediatriz de um segmento de recta

9. Mediatriz de um segmento de recta
Propriedades:
Um ponto qualquer da mediatriz de um
segmento de recta é equidistante dos extremos
desse segmento.
O ponto médio do segmento de recta é o ponto
da mediatriz desse segmento que se encontra à
menor distância dos extremos desse segmento
de recta.

10. Mediatriz de um segmento de recta
Exemplo 1:
Pretende-se construir uma estrada que diste
igualmente de duas localidades.
A estrada vai ter de
corresponder à mediatriz
do segmento de recta que
une as duas localidades.
Desta forma, qualquer
ponto da estrada é
equidistante das duas
localidades.

11. Circuncentro de um triângulo
Exemplo 2:
A Câmara de Grândola quer construir uma piscina municipal
que fique à mesma distância das três localidades referidas na
figura. Em que lugar se deve colocar a piscina?
A piscina deve deve ficar
colocado na posição
indicada. O ponto assinalado
chama-se circuncentro do
triângulo e corresponde à
intersecção das mediatrizes
dos lados do triângulo.

12. Bissectrizes de um ângulo
Considerando a recta r e o
ponto P, não pertencente à
recta, a menor distância entre
o ponto P e a recta r é dada
pelo comprimento do segmento
de recta [PA], perpendicular á
recta r, no ponto A.
A bissectriz de um ângulo é
uma semi-recta que divide o
ângulo em outros dois ângulos
geometricamente iguais.

13. Bissectrizes de um ângulo
Para construíres a
bissectriz de um ângulo
começas por desenhar
o arco [AB], centrando
o compasso no ponto V
(vértice do ângulo)
De seguida, abres o compasso com raio igual ao comprimento
do segmento de recta [AB]. Centras o compasso em A e depois
em B, traçando os arcos que se encontram a verde. Esses
arcos interceptam-se num ponto.
Traçando a semi-recta que passa por esse ponto e pelo vértice
do ângulo, obténs a bissectriz do ângulo.

14. Bissectrizes de um ângulo
Cada um dos pontos da
bissectriz de um ângulo é
equidistante dos lados
do ângulo.
Por exemplo:
AP = BP e CQ = DQ
Podemos agora definir a bissectriz como o lugar
geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados
de um ângulo.

15. Bissectrizes de um ângulo
Exemplo 3:
Se pretendermos colocar
candeeiros entre duas
ruas de modo a que
cada um deles esteja a
igual distância de ambas
as ruas, teremos de
determinar a bissectriz
do ângulo formado pelas
duas ruas (linha a
amarelo)
Como a figura ilustra, os candeeiros deveriam ficar segundo a
bissectriz do ângulo cujos lados são representados pelas duas ruas
A e B.

16. Alguns lugares geométricos especiais

17. Lugares geométricos no espaço
Superfície esférica e esfera
O vidro do qual é feito o abat-jour do
candeeiro de tecto (amarelo) pode
imaginar-se como sendo uma região do
espaço cujos pontos se encontram todos
a igual distância de um ponto central fixo.
Ao lugar geométrico dos pontos do
espaço equidistantes de um ponto fixo
chamado centro, dá-se o nome de
superfície esférica.
O abat-jour representa uma superfície
esférica.

18. Lugares geométricos no espaço
Superfície esférica e esfera
Se considerares agora todos os pontos
da superfície esférica e todos aqueles
que lhe são interiores, tens um novo
lugar geométrico denominado esfera.
Assim, a esfera é o lugar geométrico
de todos os pontos do espaço que se
encontram a igual ou menor distância
de um ponto fixo chamado centro.
A distância do centro da esfera a um
qualquer ponto da superfície esférica,
chama-se raio da esfera.

19. Lugares geométricos no espaço
Plano mediador
Exemplo 4:
Supõe que tens dois candeeiros no
chão da tua sala, como se
representa na figura ao lado.
Pretendes saber quais são os
lugares da sala que estão
equidistantes dos dois candeeiros.
Considerando o segmento de recta
cujos extremos são as bases dos
dois candeeiros, os pontos do
plano representado a verde são
pontos equidistantes das bases.

20. Lugares geométricos no espaço
Plano mediador
O plano representado a verde
denomina-se Plano Mediador
do segmento de recta.
O plano mediador de um
segmento de recta é o lugar
geométrico dos pontos do
espaço equidistantes dos
extremos do segmento de recta.
O plano mediador é
perpendicular ao segmento de
recta e contém o ponto médio
desse segmento de recta.

21. FIM
Maio de 2010