NÚMEROS REAIS - Circunfêrencia - Teorema de Pitagoras.

1. Números
Reais
Prof. Jônatas
Silva

2. A medida (ou comprimento) de um segmento de
reta 𝐴𝐵 é um número que expressa quantas vezes
o segmento 𝐴𝐵 contém um segmento de
medida u que se convencionou tomar como
unidade de comprimento ou segmento unitário.
MEDIDA DE UM SEGMENTO DE
RETA

3. MEDIDA DE UM SEGMENTO DE RETA
Para medir um segmento de reta, é preciso:
• escolher um segmento unitário e adotá-lo como unidade de medida;
• verificar quantas vezes o segmento unitário cabe no segmento que será medido;
• encontrar um número que possa expressar, rigorosamente, o resultado da medição.

4. rotação Exemplo
calcule o perímetro comparando os lados dos quadriláteros com o segmento
unitário u.

5. SEGMENTOS COMENSURÁVEIS
Considere os segmentos de reta 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 e um terceiro segmento de reta u

6. Vamos recordar algumas características do
triângulo retângulo
Teorema de
Pitágoras
É aquele que tem um ângulo reto
O lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa
Os lados que formam o ângulo reto
chamam-se catetos

7. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
medida da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados das medidas dos catetos
Teorema de
Pitágoras
𝒂𝟐
= 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐

8. rotação Exemplo
Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa mede a = 13 cm e um dos catetos mede b =
12 cm. Quanto mede o outro cateto?
!

9. rotação Exemplo
Em uma jogada ensaiada, o jogador A passa a bola para o jogador B, que passa para o
jogador C. Considerando que a trajetória da bola é linear e eles estão parados em seus
lugares, qual é o total da distância percorrida pela bola nessa jogada?
!

10. Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado, podemos
estabelecer uma relação importante entre a medida da
diagonal e a medida do lado do quadrado.
No quadrado ABCD, 𝑙 é a medida do lado, e 𝑑, a medida da
diagonal. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo ABC, podemos escrever:
Teorema de Pitágoras no
quadrado

11. rotação NúmeroRacional
!
Sendo a e b dois números inteiros, com b ≠ 0, o resultado da divisão
de a por b (razão de a para b ou quociente entre a e b) é definido
como número racional.
Exemplos:
•
0
10
= 0 (natural)
• −
12
3
= −4 (inteiro)
•
7
2
= 3,5 (decimal exato)
•
2
3
= 0,666 …(dízima períodica simples)
•
11
6
= 1,83(dízima períodica composta)

12. rotação NúmeroIrracional
!
Todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é definido
como número irracional. Os irracionais mais comuns são as raízes não exatas de
números naturais.
Exemplos:
• 2 = 1,414213 …
• 5 = 2,236067 …
• 8 = 2,828427 …

13. rotação OsNúmerosReais
! Denomina-se real qualquer número racional ou irracional. Ou seja:
R = {x | x é racional ou x é irracional}

14. rotação
Representação dos números reais em diagrama
!
• Q: Racionais
• Z: Inteiros
• N: Naturais
• Q': Irracionais
• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
• Q' ⊂ R
• Q ∪ Q' = R
• Q ∩ Q' = ∅, isto é, Q e Q' são conjuntos disjuntos.

15. Dízimas
Periódicas
Em outros casos, essa representação decimal é
infinita.
Vamos ver a fração −
7
11
=
0,636363
: ...
Dízima periódica

16. Dízimas
Periódicas
Dízima periódica
Dízima periódica simples
Na dízima periódica – 0,636363..., o
período é o grupo 63, que se repete, e a
representação abreviada desse número é
− 0, 63.
1
Dízima periódica composta
Vamos observar a seguinte dízima
periódica: 12,1454545... O período é 45 e
o algarismo 1, que ocupa a casa dos
décimos, não se repete. Portanto não
pertence ao período, 12,145.
2

17. Exemplo1
Vamos encontrar a fração geratriz da dízima periódica 0,5555..., ou seja,
encontrar qual fração, quando transformada em número racional na forma
decimal, gera essa dízima
1 Para isso, montamos a equação x = 0,5555... (que chamaremos de I) em
que x é a fração geratriz procurada.
2 Depois, multiplicamos os dois termos dessa equação por 10, ou seja, 10x =
5,5555... (que chamaremos de II).
3 Em seguida, subtraímos (I) de (II):
A fração geratriz da
dízima periódica 0,5555...
é
5
9

18. Exemplo2
Dada a dízima periódica 3,2727..., vamos encontrar a fração geratriz dela.
1 Para encontrar a fração geratriz dessa dízima periódica, montamos a
equação y = 3,2727... (que chamaremos de I) em que y é a fração geratriz
que desejamos.
2 Em seguida, multiplicamos os dois termos dessa equação por 100 e
obtemos 100y = 327,2727... (que chamaremos de II). Em seguida,
subtraímos (I) de (II):

19. Exemplo
Dada a dízima periódica composta – 5,6707070..., vamos encontrar sua fração
geratriz
1 Para fazermos o que se pede, primeiro escrevemos a equação x = –
5,67070..., em que x é a fração que queremos encontrar
2 Em seguida, multiplicamos os dois membros dessa equação por 10 (equação
I) e também por 1 000 (equação II). Em seguida, subtraímos (I) de (II):

20. Método
Prático
Dízima periódica simples
1
Exemplo: Qual a fração geratriz da dízima periódica 34,131313...?

21. Método
Prático
Dízima periódica composta
2
Exemplo: Encontre a fração geratriz da dízima periódica 0,34222...

22. Decomposição
em fatores
primos
Decompor um número em fatores primos ou, fatorá-lo,
é escrever este número como uma multiplicação de
números primos.

23. Exemplo
Decomponha 180 em fatores primos.
A forma fatorada em fatores primos de 180 é 2 x 2 x 3 x 3 x 5 ou, .

24. Exemplo
Decomponha 3 125 em fatores primos.
A forma fatorada de 3 125 é 5 . 5 . 5 . 5 . 5 ou, .

25. Raiz exata de um número
racional

26. Raiz quadrada aproximada
de um número
Uma raiz é aproximada quando não é exata,
ou seja, quando não há um número que
elevado ao quadrado resulte no número que
está na raiz.

27. Cálculo da raiz aproximada por tentativa
Para agilizar a determinação de uma raiz quadrada aproximada, seguimos os seguintes
passos:
1 Raiz exata mais próxima, anterior e posterior.
2 Tentativa com os decimais.
3 Subtração para saber qual é o mais próximo.

28. Exemplo
Vamos calcular a raiz quadrada de 17
1 Raiz exata mais próxima, anterior e posterior.
2 Tentativa com os decimais.

29. Exemplo
3
Subtração para saber qual é o mais próximo.
17 - 16,81 = 0,19
17,64 - 17 = 0,64
Como 0,19 é menor que 0,64, concluímos que 4,1 é uma melhor aproximação
para raiz quadrada de 17.

30. Cálculo da raiz aproximada com fórmula
Onde:
n: é o número que pretendemos obter a raiz;
Q: é o quadrado perfeito mais próximo.

31. Exemplo
Determine .

32. A cada novo conjunto numérico estudado, números
novos foram agregados ao conjunto numérico já
aprendido por você
Até agora, você estudou os
conjuntos dos números naturais,
dos números inteiros e dos
números racionais
Ainda assim, com esses conjuntos não é possível
escrever todos os números existentes. Temos, por
exemplo, o número π que, entre outros usos, é muito
utilizado no estudo de circunferência

33. A História do Número 𝛑
O número π é conhecido há pelo menos 4.000 anos!
O Papiro de Rhind mostra que os
matemáticos egípcios utilizavam o valor
3,16 para o número π
Na Grécia antiga, Arquimedes atribuía a π um
valor entre 3
10
71
e 3
10
70
.

34. A História do Número 𝛑
O número π é conhecido há pelo menos 4.000 anos!
O matemático chinês Tsu Ch’ung-chih
chegou a um valor entre 3,1415926 e
3,1415927, resultado surpreendente para a
época
No fim do século XVI, o holandês Ludolph
van Ceulen obteve um valor para o número
π com 35 casas decimais

35. No fim do século XVI, o holandês Ludolph
van Ceulen obteve um valor para o número
π com 35 casas decimais
Por ocasião de sua morte, a esposa de Ludolph van
Ceulen mandou gravar no túmulo dele o valor de π
com as 35 casas decimais

36. A História do Número 𝛑
O número π é conhecido há pelo menos 4.000 anos!
Em 1761, Johann Heinrich Lambert, matemático
nascido em Mulhouse (Alsácia), foi o primeiro a
provar que o número p é irracional.
No início de 2013, Ed Karrels, usando 24
computadores, conseguiu representar o número
π com 8 quatrilhões de dígitos!

37. O número π foi calculado com uma
precisão de 62,8 trilhões de casas
decimais!
Esse recorde mundial foi batido no dia 14/08/2021
pela Universidade de Ciências Aplicadas de
Graubünden (Grisons em inglês, um cantão da
Suiça)

38. rotação OsNúmerosReais
! Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e
todos os números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os
números reais; e cada ponto dessa reta pode ser associado a um número racional
ou a um número irracional.
Essa reta é denominada reta real.

39. No conjunto dos números reais, efetuamos
qualquer adição, subtração, multiplicação e
divisão com números reais (exceto a divisão por
zero), bem como extraímos a raiz quadrada de
qualquer número positivo e encontramos número
reais
Operações
Números Reais
Vale lembrar que há restrições

40. 1
A raiz quadrada de um números negativo, por
exemplo, não representa um número real, pois não
existe número real que elevado ao quadrado tenha
como resultado um número real negativo
2 Então, por exemplo, −𝟒 ∉ ℝ
Vale lembrar que há restrições

41. rotação Exemplos
Calcular, com aproximação até a segunda casa decimal, o
produto 𝟓 . 𝟑
1 𝟑 ≅ 𝟏, 𝟕𝟑
Então, 5. 𝟑 ≅ 𝟓. 𝟏, 𝟕𝟑
2 5. 𝟑 ≅ 𝟖, 𝟔𝟓
O valor procurado é 8,65

42. rotação Exemplos
Calcular, 𝟓𝟒
1 𝟓𝟒= 𝟓. 𝟓. 𝟓. 𝟓 = 𝟔𝟐𝟓 = 𝟐𝟓
O valor procurado é 25

43. rotação Exemplos
Com valores aproximados até a segunda casa decimal,
determinar 𝟏𝟒 + 𝟐
1 𝟏𝟒 ≅ 𝟑, 𝟕𝟒 e 𝟐 ≅ 𝟏, 𝟒𝟏
2 𝟏𝟒 + 𝟐 ≅ 𝟑, 𝟕𝟒 + 𝟏, 𝟒𝟏
O valor procurado é 5,15
3 𝟏𝟒 + 𝟐 ≅ 𝟓, 𝟏𝟓