O documento descreve os principais conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais), suas propriedades e relações de inclusão. Explica que os números reais são formados pela união dos conjuntos racionais e irracionais, e que os demais conjuntos são subconjuntos uns dos outros na ordem: números naturais, inteiros, racionais e reais.

1. Matemática
9º ano
2022/2023
 Conjuntos Numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais - Toda Matéria (todamateria.com.br)

2. Encontramos números em diversas situações do nosso dia-a-dia, nos meios de
comunicação, como os jornais, por ex., deparamo-nos com muitas informações
numéricas contidas em tabelas, gráficos, textos diversos, ….
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são os
números, formados pelos conjuntos dos números naturais(ℕ), inteiros(ℤ),
racionais(ℚ), irracionais(𝕝) e reais(ℝ).
O ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos
conjuntos.
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
O sistema de numeração natural que utilizamos hoje, é derivado do
sistema indo - arábico e foi introduzido na Europa no século XIII.
Atualmente, o conjunto dos números naturais é representado pela
letra ℕ, isto é, ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, é um conjunto infinito e ordenado.

3. • Conjuntos dos números naturais não-nulos(N*), ou seja, sem o zero
N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}.
• Conjunto dos números naturais pares
Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N
• Conjunto dos números naturais ímpares.
Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N:
• Conjunto dos números naturais primos.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}:
Subconjuntos dos Números Naturais
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra ℤ , inclui
todos os elementos dos naturais(ℕ) e números negativos.
ℤ = {-3, -4, - 2 , 1,0, 1, 2, 3, ...}

4. Subconjunto dos Números Inteiros (ℤ)
• Conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.
Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}
• Conjunto dos números inteiros e não-negativos.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, Note que Z+ = N
• Conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.
Z*
+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
• Conjunto dos números inteiros não-positivos.
Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}
• Conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.
Z*
– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}:
Conclui-se que o ℕ é um subconjunto de ℤ(ℕ ⊂ ℤ ).

5. Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
O conjunto dos números racionais é representado por Q, reúne todos os números
que podem ser escritos na forma m/n, sendo m e n números inteiros e n≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Todo número inteiro é também número racional., então, Z é um subconjunto de Q.
Quando se representam estes números na forma de dízimas, obtém-se sempre
uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica.Toda a dízima finita ou
infinita periódica representa um número racional.
Os números racionais 23/10 e 2/10 podem ser representadas por dízimas
finitas.
23/10 = 2,3 e 2/10 = 0,25
O números racionl 1/3 tem uma representação sob a forma de dízima infinita
periódica.
1/3 = 0,3333… = 0,(3)
As dízimas, são números decimais que se repetem após a vírgula, por ex.: 1,4444444444...
Embora possua infinitas casas decimais, pode ser escrito como a fração 13/9.
Nota:

6. Subconjuntos dos Números Racionais
• Q* → Subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números
racionais sem o zero.
Q* = { ,…, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
• Q+ → Subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos
números racionais positivos e o zero.
Q+ = { 0,…, 1/3, 1/2, 3/4,..., 1, 2, 3,,, ...}
• Q*
+ → Subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números
racionais positivos, sem o zero.
Q*
+ = { .,.., 1/3, 1/2, 3/4,..., 1, 2, 3, ...}
• Q– → Subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos
números racionais negativos e o zero.
Q– = {…, -3, -2, -1, -3/4, -1/ 2, -1/3,…, 0, ...,}
• Q*– → Subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números
racionais negativos, sem o zero.
Q*– = {…, -3, -2, -1, -3/4, -1/ 2, -1/3,…, 0, ...,}

7. Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais é representado por I, reúne os números
decimais não exatos, ou seja, são todos os números que podem ser
representados por dízimas infinitas não periódicas.
Exemplos:
Por exemplo, a raiz quadrada de um número natural que não é um quadrado
perfeito, como
Também os números: Pi(π), e o e(número de Neper) são Números
Irracionais.
Nota:
Se adicionarmos ou subtrairmos um número racional e o outro irracional,
obtemos sempre um número irracional. Também, se multiplicarmos ou
dividirmos dois números, não nulos, um racional e o outro irracional, obtemos
sempre um número irracional.

8. Exemplos:
São números irracionais
Conjunto dos Números Reais (ℝ)
O conjunto dos números reais é representado por ℝ, é formado pelos números
racionais (ℚ) e irracionais (I). Assim, temos que ℝ = ℚ ∪ I. Além disso, ℕ, ℤ, ℚ e
I são subconjuntos de ℝ.
Concluí-se que, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
ℝ
Números
Irracionais
ℚ
ℤ
ℕ

9. Alguns subconjuntos de (ℝ)
Podemos considerar alguns subconjuntos de ℝ:
Relação de Pertença e Inclusão
A relação entre um conjunto e os seus subconjuntos é conhecida como
relação de Inclusão.
Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os
elementos de B também forem elementos de A, ou seja

10. A reta real
A reta real é uma reta em se estipula uma origem, uma escala e um sentido
segundo o qual se deve dispor os números por ordem crescente. A origem é o
ponto de abcissa zero(0). A cada número real corresponde um e um só ponto da
reta real e vice – versa.
Cada número racional se pode associar um ponto sobre uma reta numérica.

12. Propriedades da Relação de ordem em ℝ
Ter relações é estar relacionado, por exemplo, matemáticamente:
 2 ≤ 5, isto é, 2 está relacionado com 5 pela relação menor ou igual;
 [1; 2] ⊂ ℝ+, ou seja, o intervalo [1; 2] está relacionado com o conjunto dos
números reais positivos pela relação de inclusão.
1- Dizer que a ˃ b é o mesmo dizer que b ˂ a
2- Transitividade
Se a ˂ b e b ˂ c, então a ˂ c;
3- Monotonia da adição
Sendo a, b e c três números reais quaisquer, e a ˂ b, então a + c ˂ b + c
4- Monotonia da multiplicação
As propriedades da Relação de ordem em ℝ são:
Sendo a, b e c três números reais quaisquer, c ˃ 0, a ˂ b ⇔ a x c ˂ b x c.

13. (Quando se multiplica/divide por um mesmo número positivo os membros de
uma desigualdade, o sentido da desigualdade mantém-se.)
Se c ˂ 0, a ˂ b ⇔ a x c ˃ b x c (Quando se multiplica/divide por um mesmo
número negativo os dois membros de uma desigualdade, o sentido da
desigualdade se mantém-se. )

14. Intervalos de números reais
Compreensão(Condiçã
o)
Gráfico Intervalo
⦌a, b⦋ → Aberto
⦋a, b⦌ → Fechado
⦋a, b⦋ → Fechado á esquerda e
aberto á direita
⦋a, b⦋ → Abero á esquerda e
fechado á direita
Em Matemática, podemos representar conjuntos, subconjuntos e soluções de
equações pela notação de Intervalos.
O Intervalo, significa que o conjunto possui cada número real entre dois
extremos indicados, seja numericamente ou geometricamente

15. Compreensão(Condição
)
Gráfico Intervalo
Reunião e Interseção de Intervalos
A reunião do conjunto A com o conjunto B representa-se por A⋃B, é o
conjunto contituído pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao
conjunto B.
Exemplo:
Se A = ⦌-3, 5⦌ e B = ⦋-2, +∞⦋, então A⋃B = ⦋-3, +∞⦋.

16. A Interseção do conjunto A com o conjunto B representa-se por A⋂B, é o
conjunto contituído pelos elementos que pertencem simultaneamente ao
conjunto A e ao conjunto B.
Exemplo:
Se A = ⦌-3, 5⦌ e B = ⦋-2, +∞⦋, então A⋂B = ⦋-2, 5⦌.
Valores aproximados de resultados de operações em ℝ
Seja x um número real qualquer e r um número positivo (r ˃ 0). Chama-se
aproximação de x com erro inferior a r a todo o número x´ cuja distancia a x
seja menor menor do que r, isto é, tal que x´∊ ⦌x – r, x +r⦋.
D

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