Slides cn c05

Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
12 de abril de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Introdução
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021

Introdução
Vimos, anteriormente, que a interpoladora é uma função que aproxima valores
tabelados. Contudo, esta, geralmente não é aconselhável quando se é preciso
obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de
tabelamento (extrapolação).

Introdução
Vimos, anteriormente, que a interpoladora é uma função que aproxima valores
tabelados. Contudo, esta, geralmente não é aconselhável quando se é preciso
obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de
tabelamento (extrapolação).
Surge, então, a necessidade de se ajustar a esta tabela, uma função que seja uma “boa
aproximação”, considerando determinada propriedade constatada nesta, e que nos
permita “extrapolar” com certa margem de segurança.

Introdução
Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g,
escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas:

Introdução
Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g,
escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas:
Na modelagem
1 Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores.
2 Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica.

O Método dos Mínimos Quadrados

Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n.
O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n
escalares αj tais que a função g(x) =
n
X
j=1
αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser
determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não
lineares.
Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama
de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que
forneceu a tabela.

Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi.

O método dos mínimos quadrados consiste em escolher os coeficientes αj, j = 1, . . . , m
de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é:
n
X
i=1
d2
i =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
é mínimo.

n
X
i=1
d2
i =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
é mínimo.
Assim, os coeficientes αj, que fazem com que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são
os que minimizam a função:
F(α1, . . . , αm) =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
=
n
X
i=1

f(xi) −
m
X
j=1
αjgj(xi)


2
.

n
X
i=1
d2
i =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
é mínimo.
Assim, os coeficientes αj, que fazem com que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são
os que minimizam a função:
F(α1, . . . , αm) =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
=
n
X
i=1

f(xi) −
m
X
j=1
αjgj(xi)


2
.
Para isto, é necessário que as m derivadas parciais de F de primeira ordem se anulem,
ou seja:

∂F
∂αj
(α1, . . . , αj) = 2 ·
n
X
i=1

f(xi) −
m
X
j=1
αjgj(xi)

 · [−gj(xi)] = 0, j = 1, 2, . . . , m.

Exemplo
Example
Considere a distribuição
{(−2, 15), (−1, 7), (0, 4), (1, 2), (2, 3), (3, 6)}
e, pela análise gráfica, determinaremos a
equação da curva y = g(x) que melhor
aproxima y = f(x) seja a de uma parábola.
10
20
x
y

Exemplo
Example
Considere a distribuição
{(−2, 15), (−1, 7), (0, 4), (1, 2), (2, 3), (3, 6)}
e, pela análise gráfica, determinaremos a
equação da curva y = g(x) que melhor
aproxima y = f(x) seja a de uma parábola.
10
20
x
y
Solução: Uma parábola tem equação
g(x) = α2x2
+ α1x + α0.

Exemplo
Para cada ponto xi, yi do conjunto, temos os desvios quadráticos dados por:
F =
6
X
i=1

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)
2

Exemplo
F =
6
X
i=1

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)
2
Para encontramos os valores de αj, j = 0, 1, 2, que minimizam F e consequentemente,
aproximam g de f, temos que resolver o sistema:
∂F
∂αj
= 0, j = 0, 1, 2.

Exemplo
F =
6
X
i=1

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)
2
Para encontramos os valores de αj, j = 0, 1, 2, que minimizam F e consequentemente,
aproximam g de f, temos que resolver o sistema:
∂F
∂αj
= 0, j = 0, 1, 2.
Sendo assim, para j = 2
0 =
∂F
∂α2
=
6
X
i=1
2x2
i

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,

Exemplo
Ou seja,
6
X
i=1
yix2
i = α2
6
X
i=1
x4
i + α1
6
X
i=1
x3
i + α0
6
X
i=1
x2
i ;

Exemplo
Ou seja,
6
X
i=1
yix2
i = α2
6
X
i=1
x4
i + α1
6
X
i=1
x3
i + α0
6
X
i=1
x2
i ;
para j = 1
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2xi

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,

Exemplo
Ou seja,
6
X
i=1
yix2
i = α2
6
X
i=1
x4
i + α1
6
X
i=1
x3
i + α0
6
X
i=1
x2
i ;
para j = 1
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2xi

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,
Ou seja,
6
X
i=1
yixi = α2
6
X
i=1
x3
i + α1
6
X
i=1
x2
i + α0
6
X
i=1
xi.

Exemplo
para j = 0
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,

Exemplo
para j = 0
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,
Ou seja,
6
X
i=1
yi = α2
6
X
i=1
x2
i + α1
6
X
i=1
xi + α0
6
X
i=1
x0
i .

Exemplo
Tabulemos os valores dos coeficientes de αj, j = 0, 1, 2
xi yi x4
i x3
i x2
i x0
i x2
i yi xiyi
−2 15 16 −8 4 1 60 − 30
−1 7 1 −1 1 1 7 −7
0 4 0 0 0 1 0 0
1 2 1 1 1 1 2 2
2 3 16 8 4 1 12 6
3 6 81 27 9 1 54 18
Soma 3 37 115 27 19 6 135 − 11

Exemplo
Façamos Y = [135 − 11 37]t, α = [α2 α1 α0]t e
G =


115 27 19
27 19 3
19 3 6



Exemplo
Façamos Y = [135 − 11 37]t, α = [α2 α1 α0]t e
G =


115 27 19
27 19 3
19 3 6


A solução do sistema G Y = α é:
α = G−1
Y = [1, 26785714 − 2, 95357143 3, 62857143]t
.

Exemplo
10
20
x
y

Ajuste para o Caso Contínuo
Neste caso, teremos que aproximar a função f : [a, b] → R por outra g : [a, b] → R que
minimize o desvio

Neste caso, teremos que aproximar a função f : [a, b] → R por outra g : [a, b] → R que
minimize o desvio Z b
a
(f(x) − g(x))2
dx.

Example
Determine a função afim que se aproxima da função f(x) = 2x3 − x + 3, no intervalo
[0, 1].

Solução: Queremos minimizar a função:

Solução: Queremos minimizar a função:
= F(a, b) =
Z 1
0
[2x3
− x + 3 − (ax + b)]2
=
Z 1
0
[2x3
− (1 + a)x + (3 − b)]2
=
Z 1
0
[2x3
− (1 + a)x + (3 − b)]2
=
Z 1
0
8x6
− 4(1 + a)x4
+ 4(3 − b)x3
+ (1 + a)2
x2
− 2(1 + a)(3 − b)x + (3 − b)2
=
8
7
x7 −
4(1 + a)
5
x5 + (3 − b)x4 +
(1 + a)2
3
x3 − (1 + a)(3 − b)x2 + (3 − b)2x

1
0
=
8
7
−
4(1 + a)
5
+ (3 − b) +
(1 + a)2
3
− (1 + a)(3 − b) + (3 − b)2

Analogamente ao caso discreto, devemos anular as derivadas com respeito aos
coeficientes da função de ajuste g. Assim,

Analogamente ao caso discreto, devemos anular as derivadas com respeito aos
coeficientes da função de ajuste g. Assim,
0 =
∂F
∂a
=
−4
5
+
2
3
(1 + a) − (3 − b) ⇒ 47 = 10a + 15b.
0 =
∂F
∂b
= −1 + (1 + a) − 2(3 − b) ⇒ 6 = a + 2b
Portanto, a =
4
5
e b =
13
5
.

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