SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 43
Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
12 de abril de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Introdução
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Introdução
Vimos, anteriormente, que a interpoladora é uma função que aproxima valores
tabelados. Contudo, esta, geralmente não é aconselhável quando se é preciso
obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de
tabelamento (extrapolação).
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Introdução
Vimos, anteriormente, que a interpoladora é uma função que aproxima valores
tabelados. Contudo, esta, geralmente não é aconselhável quando se é preciso
obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de
tabelamento (extrapolação).
Surge, então, a necessidade de se ajustar a esta tabela, uma função que seja uma “boa
aproximação”, considerando determinada propriedade constatada nesta, e que nos
permita “extrapolar” com certa margem de segurança.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Introdução
Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g,
escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Introdução
Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g,
escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas:
Na modelagem
1 Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores.
2 Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Introdução
Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g,
escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas:
Na modelagem
1 Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores.
2 Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n.
O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n
escalares αj tais que a função g(x) =
n
X
j=1
αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser
determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não
lineares.
Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama
de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que
forneceu a tabela.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n.
O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n
escalares αj tais que a função g(x) =
n
X
j=1
αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser
determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não
lineares.
Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama
de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que
forneceu a tabela.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n.
O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n
escalares αj tais que a função g(x) =
n
X
j=1
αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser
determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não
lineares.
Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama
de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que
forneceu a tabela.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n.
O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n
escalares αj tais que a função g(x) =
n
X
j=1
αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser
determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não
lineares.
Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama
de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que
forneceu a tabela.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n.
O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n
escalares αj tais que a função g(x) =
n
X
j=1
αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x).
Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser
determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não
lineares.
Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama
de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que
forneceu a tabela.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Mínimos Quadrados
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Mínimos Quadrados
Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Mínimos Quadrados
Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi.
O método dos mínimos quadrados consiste em escolher os coeficientes αj, j = 1, . . . , m
de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é:
n
X
i=1
d2
i =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
é mínimo.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Mínimos Quadrados
Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi.
O método dos mínimos quadrados consiste em escolher os coeficientes αj, j = 1, . . . , m
de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é:
n
X
i=1
d2
i =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
é mínimo.
Assim, os coeficientes αj, que fazem com que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são
os que minimizam a função:
F(α1, . . . , αm) =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
=
n
X
i=1

f(xi) −
m
X
j=1
αjgj(xi)


2
.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Mínimos Quadrados
Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi.
O método dos mínimos quadrados consiste em escolher os coeficientes αj, j = 1, . . . , m
de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é:
n
X
i=1
d2
i =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
é mínimo.
Assim, os coeficientes αj, que fazem com que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são
os que minimizam a função:
F(α1, . . . , αm) =
n
X
i=1
[f(xi) − g(xi)]2
=
n
X
i=1

f(xi) −
m
X
j=1
αjgj(xi)


2
.
Para isto, é necessário que as m derivadas parciais de F de primeira ordem se anulem,
ou seja:
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Mínimos Quadrados
∂F
∂αj
(α1, . . . , αj) = 2 ·
n
X
i=1

f(xi) −
m
X
j=1
αjgj(xi)

 · [−gj(xi)] = 0, j = 1, 2, . . . , m.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Example
Considere a distribuição
{(−2, 15), (−1, 7), (0, 4), (1, 2), (2, 3), (3, 6)}
e, pela análise gráfica, determinaremos a
equação da curva y = g(x) que melhor
aproxima y = f(x) seja a de uma parábola.
10
20
x
y
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Example
Considere a distribuição
{(−2, 15), (−1, 7), (0, 4), (1, 2), (2, 3), (3, 6)}
e, pela análise gráfica, determinaremos a
equação da curva y = g(x) que melhor
aproxima y = f(x) seja a de uma parábola.
10
20
x
y
Solução: Uma parábola tem equação
g(x) = α2x2
+ α1x + α0.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Para cada ponto xi, yi do conjunto, temos os desvios quadráticos dados por:
F =
6
X
i=1

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)
2
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Para cada ponto xi, yi do conjunto, temos os desvios quadráticos dados por:
F =
6
X
i=1

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)
2
Para encontramos os valores de αj, j = 0, 1, 2, que minimizam F e consequentemente,
aproximam g de f, temos que resolver o sistema:
∂F
∂αj
= 0, j = 0, 1, 2.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Para cada ponto xi, yi do conjunto, temos os desvios quadráticos dados por:
F =
6
X
i=1

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)
2
Para encontramos os valores de αj, j = 0, 1, 2, que minimizam F e consequentemente,
aproximam g de f, temos que resolver o sistema:
∂F
∂αj
= 0, j = 0, 1, 2.
Sendo assim, para j = 2
0 =
∂F
∂α2
=
6
X
i=1
2x2
i

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Ou seja,
6
X
i=1
yix2
i = α2
6
X
i=1
x4
i + α1
6
X
i=1
x3
i + α0
6
X
i=1
x2
i ;
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Ou seja,
6
X
i=1
yix2
i = α2
6
X
i=1
x4
i + α1
6
X
i=1
x3
i + α0
6
X
i=1
x2
i ;
para j = 1
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2xi

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Ou seja,
6
X
i=1
yix2
i = α2
6
X
i=1
x4
i + α1
6
X
i=1
x3
i + α0
6
X
i=1
x2
i ;
para j = 1
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2xi

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,
Ou seja,
6
X
i=1
yixi = α2
6
X
i=1
x3
i + α1
6
X
i=1
x2
i + α0
6
X
i=1
xi.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
para j = 0
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
para j = 0
0 =
∂F
∂α1
=
6
X
i=1
2

yi − (α2x2
i + α1xi + α0)

,
Ou seja,
6
X
i=1
yi = α2
6
X
i=1
x2
i + α1
6
X
i=1
xi + α0
6
X
i=1
x0
i .
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Tabulemos os valores dos coeficientes de αj, j = 0, 1, 2
xi yi x4
i x3
i x2
i x0
i x2
i yi xiyi
−2 15 16 −8 4 1 60 − 30
−1 7 1 −1 1 1 7 −7
0 4 0 0 0 1 0 0
1 2 1 1 1 1 2 2
2 3 16 8 4 1 12 6
3 6 81 27 9 1 54 18
Soma 3 37 115 27 19 6 135 − 11
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Façamos Y = [135 − 11 37]t, α = [α2 α1 α0]t e
G =


115 27 19
27 19 3
19 3 6


7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
Façamos Y = [135 − 11 37]t, α = [α2 α1 α0]t e
G =


115 27 19
27 19 3
19 3 6


A solução do sistema G Y = α é:
α = G−1
Y = [1, 26785714 − 2, 95357143 3, 62857143]t
.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Exemplo
10
20
x
y
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Contínuo
Neste caso, teremos que aproximar a função f : [a, b] → R por outra g : [a, b] → R que
minimize o desvio
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Contínuo
Neste caso, teremos que aproximar a função f : [a, b] → R por outra g : [a, b] → R que
minimize o desvio Z b
a
(f(x) − g(x))2
dx.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Contínuo
Example
Determine a função afim que se aproxima da função f(x) = 2x3 − x + 3, no intervalo
[0, 1].
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Contínuo
Solução: Queremos minimizar a função:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Contínuo
Solução: Queremos minimizar a função:
= F(a, b) =
Z 1
0
[2x3
− x + 3 − (ax + b)]2
=
Z 1
0
[2x3
− (1 + a)x + (3 − b)]2
=
Z 1
0
[2x3
− (1 + a)x + (3 − b)]2
=
Z 1
0
8x6
− 4(1 + a)x4
+ 4(3 − b)x3
+ (1 + a)2
x2
− 2(1 + a)(3 − b)x + (3 − b)2
=
8
7
x7 −
4(1 + a)
5
x5 + (3 − b)x4 +
(1 + a)2
3
x3 − (1 + a)(3 − b)x2 + (3 − b)2x
1
0
=
8
7
−
4(1 + a)
5
+ (3 − b) +
(1 + a)2
3
− (1 + a)(3 − b) + (3 − b)2
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Contínuo
Analogamente ao caso discreto, devemos anular as derivadas com respeito aos
coeficientes da função de ajuste g. Assim,
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Discreto
O Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste para o Caso Contínuo
Analogamente ao caso discreto, devemos anular as derivadas com respeito aos
coeficientes da função de ajuste g. Assim,
0 =
∂F
∂a
=
−4
5
+
2
3
(1 + a) − (3 − b) ⇒ 47 = 10a + 15b.
0 =
∂F
∂b
= −1 + (1 + a) − 2(3 − b) ⇒ 6 = a + 2b
Portanto, a =
4
5
e b =
13
5
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Funcoes Para Alunos Do 2º Grau
Funcoes Para Alunos Do 2º GrauFuncoes Para Alunos Do 2º Grau
Funcoes Para Alunos Do 2º Grau
guest3651befa
 
Relacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostilaRelacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostila
Thalles Anderson
 
Conjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoesConjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoes
Felipe Bugov
 
Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.
silvia_lfr
 

Mais procurados (20)

Projeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
Projeto final Informática educativa I - Michele ZachariasProjeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
Projeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
 
Matematica2 3
Matematica2 3Matematica2 3
Matematica2 3
 
Funcoes Para Alunos Do 2º Grau
Funcoes Para Alunos Do 2º GrauFuncoes Para Alunos Do 2º Grau
Funcoes Para Alunos Do 2º Grau
 
Funcoes injetoras sobrejetoras e bijetoras
Funcoes injetoras sobrejetoras e bijetorasFuncoes injetoras sobrejetoras e bijetoras
Funcoes injetoras sobrejetoras e bijetoras
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
 
Aula no
Aula noAula no
Aula no
 
Resumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaResumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afa
 
Relacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostilaRelacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostila
 
Função Polinomial
Função PolinomialFunção Polinomial
Função Polinomial
 
Composição de Funções
Composição de FunçõesComposição de Funções
Composição de Funções
 
Conjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoesConjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoes
 
Lista de exercícios 9
Lista de exercícios 9Lista de exercícios 9
Lista de exercícios 9
 
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat ElemLista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
 
CentroApoio.com - Matemática - Função Exponencial - Vídeo Aulas
 CentroApoio.com - Matemática - Função Exponencial - Vídeo Aulas CentroApoio.com - Matemática - Função Exponencial - Vídeo Aulas
CentroApoio.com - Matemática - Função Exponencial - Vídeo Aulas
 
Ap matemática m2
Ap matemática m2Ap matemática m2
Ap matemática m2
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - Cálculo
 
Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
 
Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
 

Semelhante a Slides cn c05

Função modular
Função modularFunção modular
Função modular
ISJ
 
Mat equacoes do 1 grau 003
Mat equacoes do 1 grau  003Mat equacoes do 1 grau  003
Mat equacoes do 1 grau 003
trigono_metria
 
Função modular
Função modularFunção modular
Função modular
ISJ
 
Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Joabe Amaral
 
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Ana Carolline Pereira
 

Semelhante a Slides cn c05 (20)

Cursocalc1ead
Cursocalc1eadCursocalc1ead
Cursocalc1ead
 
03 raizes
03 raizes03 raizes
03 raizes
 
Trabalho de mat.pptx
Trabalho de mat.pptxTrabalho de mat.pptx
Trabalho de mat.pptx
 
CUSC.pptx
CUSC.pptxCUSC.pptx
CUSC.pptx
 
Ms impresso aula05
Ms impresso aula05Ms impresso aula05
Ms impresso aula05
 
ok
okok
ok
 
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
 
Função Quadrática
Função QuadráticaFunção Quadrática
Função Quadrática
 
Introdução à otimização convexa.
Introdução à otimização convexa.Introdução à otimização convexa.
Introdução à otimização convexa.
 
Integração numerica
Integração  numericaIntegração  numerica
Integração numerica
 
Integração numerica
Integração  numericaIntegração  numerica
Integração numerica
 
Apostila pré cálculo
Apostila pré cálculoApostila pré cálculo
Apostila pré cálculo
 
Aula de Funções - Noções básicas, Inequações
Aula de Funções - Noções básicas, InequaçõesAula de Funções - Noções básicas, Inequações
Aula de Funções - Noções básicas, Inequações
 
Função modular
Função modularFunção modular
Função modular
 
Mat equacoes do 1 grau 003
Mat equacoes do 1 grau  003Mat equacoes do 1 grau  003
Mat equacoes do 1 grau 003
 
Matematica2 1
Matematica2 1Matematica2 1
Matematica2 1
 
Função modular
Função modularFunção modular
Função modular
 
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoTeste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvido
 
Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2
 
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
 

Mais de Paulo Nascimento (11)

CN C01 Sistemas em Ponto Flutuante
CN C01 Sistemas em Ponto FlutuanteCN C01 Sistemas em Ponto Flutuante
CN C01 Sistemas em Ponto Flutuante
 
Distribuicao continua
Distribuicao continuaDistribuicao continua
Distribuicao continua
 
CN 07
CN 07CN 07
CN 07
 
Slide c03 c cn 2020.1
Slide c03 c cn 2020.1Slide c03 c cn 2020.1
Slide c03 c cn 2020.1
 
Slide c03b cn 2020.1
Slide c03b cn 2020.1Slide c03b cn 2020.1
Slide c03b cn 2020.1
 
Slide c03a cn 2020.1
Slide c03a cn 2020.1Slide c03a cn 2020.1
Slide c03a cn 2020.1
 
Tutorial latex
Tutorial latexTutorial latex
Tutorial latex
 
Lmatead alg2020.1 s06
Lmatead alg2020.1 s06Lmatead alg2020.1 s06
Lmatead alg2020.1 s06
 
Introdução ao Cálculo Numérico S06
Introdução ao Cálculo Numérico S06Introdução ao Cálculo Numérico S06
Introdução ao Cálculo Numérico S06
 
Slide S05
Slide S05Slide S05
Slide S05
 
Lmatead icns05
Lmatead icns05Lmatead icns05
Lmatead icns05
 

Último

O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhosoO Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
VALMIRARIBEIRO1
 
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalPPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
carlaOliveira438
 

Último (20)

Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdfRespostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
 
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhosoO Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
 
Enunciado_da_Avaliacao_1__Sociedade_Cultura_e_Contemporaneidade_(ED70200).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Sociedade_Cultura_e_Contemporaneidade_(ED70200).pdfEnunciado_da_Avaliacao_1__Sociedade_Cultura_e_Contemporaneidade_(ED70200).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Sociedade_Cultura_e_Contemporaneidade_(ED70200).pdf
 
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxEBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
 
livro para educação infantil conceitos sensorial
livro para educação infantil conceitos sensoriallivro para educação infantil conceitos sensorial
livro para educação infantil conceitos sensorial
 
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
 
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalPPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
 
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdfAtividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
 
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos AnimaisNós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
 
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptxSlides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
 
HISTORIA DA XILOGRAVURA A SUA IMPORTANCIA
HISTORIA DA XILOGRAVURA A SUA IMPORTANCIAHISTORIA DA XILOGRAVURA A SUA IMPORTANCIA
HISTORIA DA XILOGRAVURA A SUA IMPORTANCIA
 
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã""Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
 
Slides Lição 8, Betel, Ordenança para confessar os pecados e perdoar as ofens...
Slides Lição 8, Betel, Ordenança para confessar os pecados e perdoar as ofens...Slides Lição 8, Betel, Ordenança para confessar os pecados e perdoar as ofens...
Slides Lição 8, Betel, Ordenança para confessar os pecados e perdoar as ofens...
 
Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número
 
Geometria para 6 ano retas angulos .docx
Geometria para 6 ano retas angulos .docxGeometria para 6 ano retas angulos .docx
Geometria para 6 ano retas angulos .docx
 
Enunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdfEnunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdf
 
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º anoNós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
 
bem estar animal em proteção integrada componente animal
bem estar animal em proteção integrada componente animalbem estar animal em proteção integrada componente animal
bem estar animal em proteção integrada componente animal
 
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande""Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
"Nós Propomos! Escola Secundária em Pedrógão Grande"
 
Enunciado_da_Avaliacao_1__Sistemas_de_Informacoes_Gerenciais_(IL60106).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Sistemas_de_Informacoes_Gerenciais_(IL60106).pdfEnunciado_da_Avaliacao_1__Sistemas_de_Informacoes_Gerenciais_(IL60106).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Sistemas_de_Informacoes_Gerenciais_(IL60106).pdf
 

Slides cn c05

  • 1. Cálculo Numérico I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 12 de abril de 2021 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
  • 2. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Introdução 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 3. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Introdução Vimos, anteriormente, que a interpoladora é uma função que aproxima valores tabelados. Contudo, esta, geralmente não é aconselhável quando se é preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento (extrapolação). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 4. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Introdução Vimos, anteriormente, que a interpoladora é uma função que aproxima valores tabelados. Contudo, esta, geralmente não é aconselhável quando se é preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento (extrapolação). Surge, então, a necessidade de se ajustar a esta tabela, uma função que seja uma “boa aproximação”, considerando determinada propriedade constatada nesta, e que nos permita “extrapolar” com certa margem de segurança. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 5. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Introdução Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g, escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 6. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Introdução Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g, escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas: Na modelagem 1 Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores. 2 Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 7. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Introdução Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f por outra função g, escolhida de uma família de funções, em duas situações distintas: Na modelagem 1 Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores. 2 Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 8. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 9. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n. O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n escalares αj tais que a função g(x) = n X j=1 αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x). Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não lineares. Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj? Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 10. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n. O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n escalares αj tais que a função g(x) = n X j=1 αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x). Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não lineares. Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj? Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 11. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n. O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n escalares αj tais que a função g(x) = n X j=1 αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x). Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não lineares. Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj? Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 12. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n. O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n escalares αj tais que a função g(x) = n X j=1 αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x). Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não lineares. Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj? Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 13. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto Considere os n pontos (xi; f(xi)), com i assumindo valores inteiros entre 1 e n. O ajuste de curvas consiste em: escolhidas n funções contínuas gj(x), encontrar n escalares αj tais que a função g(x) = n X j=1 αj · gj(x) se aproxime ao máximo de f(x). Este modelo matemático é linear pois os n coeficientes αj, que devem ser determinados, aparecem linearmente, embora as funções gj(x) possam ser não lineares. Surge, então, a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas gj? Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama de dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 14. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Mínimos Quadrados 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 15. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Mínimos Quadrados Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 16. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Mínimos Quadrados Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi. O método dos mínimos quadrados consiste em escolher os coeficientes αj, j = 1, . . . , m de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é: n X i=1 d2 i = n X i=1 [f(xi) − g(xi)]2 é mínimo. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 17. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Mínimos Quadrados Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi. O método dos mínimos quadrados consiste em escolher os coeficientes αj, j = 1, . . . , m de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é: n X i=1 d2 i = n X i=1 [f(xi) − g(xi)]2 é mínimo. Assim, os coeficientes αj, que fazem com que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função: F(α1, . . . , αm) = n X i=1 [f(xi) − g(xi)]2 = n X i=1  f(xi) − m X j=1 αjgj(xi)   2 . 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 18. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Mínimos Quadrados Seja di = f(xi) − g(xi) o desvio existente entre as imagens de f e g em xi. O método dos mínimos quadrados consiste em escolher os coeficientes αj, j = 1, . . . , m de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é: n X i=1 d2 i = n X i=1 [f(xi) − g(xi)]2 é mínimo. Assim, os coeficientes αj, que fazem com que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função: F(α1, . . . , αm) = n X i=1 [f(xi) − g(xi)]2 = n X i=1  f(xi) − m X j=1 αjgj(xi)   2 . Para isto, é necessário que as m derivadas parciais de F de primeira ordem se anulem, ou seja: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 19. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Mínimos Quadrados ∂F ∂αj (α1, . . . , αj) = 2 · n X i=1  f(xi) − m X j=1 αjgj(xi)   · [−gj(xi)] = 0, j = 1, 2, . . . , m. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 20. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Example Considere a distribuição {(−2, 15), (−1, 7), (0, 4), (1, 2), (2, 3), (3, 6)} e, pela análise gráfica, determinaremos a equação da curva y = g(x) que melhor aproxima y = f(x) seja a de uma parábola. 10 20 x y 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 21. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Example Considere a distribuição {(−2, 15), (−1, 7), (0, 4), (1, 2), (2, 3), (3, 6)} e, pela análise gráfica, determinaremos a equação da curva y = g(x) que melhor aproxima y = f(x) seja a de uma parábola. 10 20 x y Solução: Uma parábola tem equação g(x) = α2x2 + α1x + α0. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 22. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Para cada ponto xi, yi do conjunto, temos os desvios quadráticos dados por: F = 6 X i=1 yi − (α2x2 i + α1xi + α0) 2 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 23. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Para cada ponto xi, yi do conjunto, temos os desvios quadráticos dados por: F = 6 X i=1 yi − (α2x2 i + α1xi + α0) 2 Para encontramos os valores de αj, j = 0, 1, 2, que minimizam F e consequentemente, aproximam g de f, temos que resolver o sistema: ∂F ∂αj = 0, j = 0, 1, 2. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 24. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Para cada ponto xi, yi do conjunto, temos os desvios quadráticos dados por: F = 6 X i=1 yi − (α2x2 i + α1xi + α0) 2 Para encontramos os valores de αj, j = 0, 1, 2, que minimizam F e consequentemente, aproximam g de f, temos que resolver o sistema: ∂F ∂αj = 0, j = 0, 1, 2. Sendo assim, para j = 2 0 = ∂F ∂α2 = 6 X i=1 2x2 i yi − (α2x2 i + α1xi + α0) , 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 25. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Ou seja, 6 X i=1 yix2 i = α2 6 X i=1 x4 i + α1 6 X i=1 x3 i + α0 6 X i=1 x2 i ; 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 26. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Ou seja, 6 X i=1 yix2 i = α2 6 X i=1 x4 i + α1 6 X i=1 x3 i + α0 6 X i=1 x2 i ; para j = 1 0 = ∂F ∂α1 = 6 X i=1 2xi yi − (α2x2 i + α1xi + α0) , 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 27. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Ou seja, 6 X i=1 yix2 i = α2 6 X i=1 x4 i + α1 6 X i=1 x3 i + α0 6 X i=1 x2 i ; para j = 1 0 = ∂F ∂α1 = 6 X i=1 2xi yi − (α2x2 i + α1xi + α0) , Ou seja, 6 X i=1 yixi = α2 6 X i=1 x3 i + α1 6 X i=1 x2 i + α0 6 X i=1 xi. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 28. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo para j = 0 0 = ∂F ∂α1 = 6 X i=1 2 yi − (α2x2 i + α1xi + α0) , 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 29. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo para j = 0 0 = ∂F ∂α1 = 6 X i=1 2 yi − (α2x2 i + α1xi + α0) , Ou seja, 6 X i=1 yi = α2 6 X i=1 x2 i + α1 6 X i=1 xi + α0 6 X i=1 x0 i . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 30. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Tabulemos os valores dos coeficientes de αj, j = 0, 1, 2 xi yi x4 i x3 i x2 i x0 i x2 i yi xiyi −2 15 16 −8 4 1 60 − 30 −1 7 1 −1 1 1 7 −7 0 4 0 0 0 1 0 0 1 2 1 1 1 1 2 2 2 3 16 8 4 1 12 6 3 6 81 27 9 1 54 18 Soma 3 37 115 27 19 6 135 − 11 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 31. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Façamos Y = [135 − 11 37]t, α = [α2 α1 α0]t e G =   115 27 19 27 19 3 19 3 6   7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 32. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo Façamos Y = [135 − 11 37]t, α = [α2 α1 α0]t e G =   115 27 19 27 19 3 19 3 6   A solução do sistema G Y = α é: α = G−1 Y = [1, 26785714 − 2, 95357143 3, 62857143]t . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 33. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Exemplo 10 20 x y 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 34. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo Neste caso, teremos que aproximar a função f : [a, b] → R por outra g : [a, b] → R que minimize o desvio 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 35. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo Neste caso, teremos que aproximar a função f : [a, b] → R por outra g : [a, b] → R que minimize o desvio Z b a (f(x) − g(x))2 dx. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 36. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo Example Determine a função afim que se aproxima da função f(x) = 2x3 − x + 3, no intervalo [0, 1]. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 37. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo Solução: Queremos minimizar a função: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 38. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo Solução: Queremos minimizar a função: = F(a, b) = Z 1 0 [2x3 − x + 3 − (ax + b)]2 = Z 1 0 [2x3 − (1 + a)x + (3 − b)]2 = Z 1 0 [2x3 − (1 + a)x + (3 − b)]2 = Z 1 0 8x6 − 4(1 + a)x4 + 4(3 − b)x3 + (1 + a)2 x2 − 2(1 + a)(3 − b)x + (3 − b)2 = 8 7 x7 − 4(1 + a) 5 x5 + (3 − b)x4 + (1 + a)2 3 x3 − (1 + a)(3 − b)x2 + (3 − b)2x
  • 39.
  • 40.
  • 41. 1 0 = 8 7 − 4(1 + a) 5 + (3 − b) + (1 + a)2 3 − (1 + a)(3 − b) + (3 − b)2 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 42. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo Analogamente ao caso discreto, devemos anular as derivadas com respeito aos coeficientes da função de ajuste g. Assim, 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 43. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo Analogamente ao caso discreto, devemos anular as derivadas com respeito aos coeficientes da função de ajuste g. Assim, 0 = ∂F ∂a = −4 5 + 2 3 (1 + a) − (3 − b) ⇒ 47 = 10a + 15b. 0 = ∂F ∂b = −1 + (1 + a) − 2(3 − b) ⇒ 6 = a + 2b Portanto, a = 4 5 e b = 13 5 . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 44. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Contínuo x y A aproximação pelo MMQ fica cada vez mais trabalhoso à medida que aumentamos o número de coeficientes a determinar na função de ajuste. Esta função pode ser usada em problemas para obter aproximações em valores fora do intervalo considerado. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 45. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados REFERÊNCIAS 1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas: UFRB, 2021. 2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997. 3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021
  • 46. Método dos Mínimos Quadrados Ajuste para o Caso Discreto O Método dos Mínimos Quadrados FIM Votos e agradecimentos Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde mais! Sucesso! 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de abril de 2021