Zeros Reais de Funções
Reais

Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Programa
g
1. Introdução
2. Isolamento d raízes
2 I l
das í
3. Refinamento
a) Critério de parada
b) Métodos iterativos
c) ...
Zeros Reais de Funções
Reais – Introdução

Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç


Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0
Estruturas

F

Circuitos
...
Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç


 é um zero da função f(x) ou raiz da equação



Zeros podem ser reais ou co...
Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç


Para uma equação de segundo grau na forma:

ax 2  bx  c  0


Determinação d...
Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç


Etapas para a determinação de raízes a partir de
métodos numéricos
é d
éi


FA...
Zeros Reais de Funções
Reais – Isolamento de Raízes

Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Isolamento de raízes


Realização de uma análise teórica e gráfica da função
f(x)
f( )



Precisão das análises é releva...
Isolamento de raízes – Análise Gráfica
f(x)
( )

f(x)

a



b

a

x

2

1

f(x)

a

1

2

b

x

3b

x
Isolamento de raízes – Tabelamento


f ( x)  x 3  9 x  3
Exemplo:

f(x) é contínua para  x  
I1 = [-5, -3]
I2 = [0,...
Isolamento de raízes – Tabelamento


Exemplo: f ( x) 

x  5e  x

f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1 2]
[1,...
Isolamento de raízes


A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal
em ( b) então esse i
(a,b),
intervalo ...
Isolamento de raízes


Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no
intervalo [ b]
i
l [a, b].
Isolamento de raízes


A análise gráfica é fundamental para se obter boas
aproximações para a raiz
i
i



Suficiente uti...
Isolamento de raízes


O esboço do gráfico de uma função requer um estudo
detalhado de
d lh d d seu comportamento, no qua...
Isolamento de raízes


f ( x)  x 3  9 x  3
Exemplo:

1  (4,  3)

Solução utilizando o método 1:
f ( x)  x 3  9 x...
Isolamento de raízes


f ( x)  x 3  9 x  3  0
Exemplo:
y
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Dada
1  (4,  3)

x3...
Isolamento de raízes


f ( x)  x  5e  x  0
Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Dada

x  5e

x

h(x)

y

...
Isolamento de raízes


Exemplo: f ( x)  x log( x)  1  0
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Dada
y
1
log( x) 
x

 ...
Zeros Reais de Funções
Reais – Refinamento de Raízes

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Refinamento de raízes


Aplicação de métodos numéricos destinados ao
refinamento d raízes
fi
de í
I.
II.
II
III.
IV.
IV
V...
Refinamento de raízes
Sequência de passos:
Critérios de Parada


Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata?



Como verificar tal questionamento?



Interpr...
Critérios de Parada


Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração



Obtenção de um intervalo [a,b] tal que:
...
Critérios de Parada


Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
Critérios de Parada


Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos um dos
critérios



Quando
Q ando da utilização de...
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Bisseção

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Método da Bisseção
ç


Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde
existe uma raiz ú i
i
i única, é possível d
...
Método da Bisseção
ç


Definição do intervalo inicial


Atribui-se [a,b] como intervalo inicial





a0 = a
b0 = b

C...
Método da Bisseção
ç


Definição de novos intervalos


Calcula-se o ponto médio entre a e b, chamado de x0



Determina...
Método da Bisseção - Resumo
ç
a0  b0
2

 f ( a0 )  0 


f (b0 )  0 

 f ( x )  0
0



  (a0 , x0 )

 a...
Método da Bisseção - Graficamente
ç

y

a3
||

a2
||

a
||
a1

x1
x2 x0
||

||

b3 b1=b2

b

x
Método da Bisseção
ç


Exemplo: f ( x)  x log( x)  1  0
Utilizando o método de Equações Equivalentes para
Isolamento d...
Método da Bisseção
ç


Exemplo: f ( x)  x log( x)  1  0

  (2.5, 3)
 f (2)  0.3979  0

23

  a  x  2,5
...
Método da Bisseção - Algoritmo
ç
g
k = 0;
a0 = a; b0 = b;
xk = (ak + bk)/2;
while bk  ak   and f ( xk )  
hile
if f...
Método da Bisseção - Algoritmo
ç
g


Ao final da execução do algoritmo, teremos um intervalo
[a
[ k, bk] que contém a rai...
Método da Bisseção – Execução Algoritmo
ç
ç
g


3
Exemplo: f ( x)  x  9 x  3  0

Utilizando o método de Equações Equi...
Método da Bisseção – Execução Algoritmo
ç
ç
g


3
f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   3 10
Exemplo:

Cálculo da 1...
Método da Bisseção – Execução Algoritmo
ç
ç
g


3
f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   3 10
Exemplo:



Então x ...
Método da Bisseção – Estimativa do
número de iterações
ú
d i
õ


Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo:
bk...
Método da Bisseção – Estimativa do
número de iterações
ú
d i
õ


Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2,
calcu...
Método da Bisseção
ç


Vantagens:






Facilidade de implementação;
Estabilidade e convergência para a solução procu...
Método da Bisseção – Exercício
ç
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da
Bisseção para a f
Bi
função f ( x)  x 3...
Método da Bisseção – Exercício
ç
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da
3
Bisseção para a f
Bi
função f ( x)  x...
Método da Bisseção – Exercício
ç
b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita,
calcule quantas i
l l
iterações ain...
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Posição Falsa

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Método da Posição Falsa
ç


Método da Bisseção




Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que
contém a rai...
Método da Posição Falsa
ç


Dada a função f ( x)  x 3  9 x  3  0 e, sendo o intervalo
inicial a, b  0, 1 , temos...
Método da Posição Falsa - Graficamente
ç


Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta
que passa pelos pontos (...
Método da Posição Falsa - Graficamente
ç
x1 = a1f(b1) – b1f(a1)
f(x)

x0 = a0f(b0) - b0f(a0)

f(x)

f(b1) - f(a1)

f(b0) -...
Método da Posição Falsa
ç


Definição do intervalo inicial


Atribui-se [a,b] como intervalo inicial





a0 = a
b0 =...
Método da Posição Falsa
ç


Definição dos Subintervalos


Subdivide-se o intervalo pelo ponto de interseção da reta
que ...
Método da Posição Falsa
ç


Definição do novo intervalo


Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
cont...
Método da Posição Falsa
ç


Exemplo: f ( x)  x log( x)  1, I  [2, 3]

f (a0 )  0,3979  0
 logo, existe ao menos 1...
Método da Posição Falsa
ç


Exemplo: f ( x)  x log( x)  1, I  [2, 3]

a1  x0  2,4798

b1  3

f (a1 )  0 

f (...
Método da Posição Falsa - Algoritmo
ç
g
k = 0;
a0 = a; b0 = b
b;
FA0 = f(a0); GB0 = f(b0);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - F...
Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo
ç
g


3
f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   2  10
Exemplo:

Cálculo da
...
Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo
ç
g


3
f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   3  10
Exemplo:

Então x  0...
Método da Posição Falsa
ç


Vantagens:






Estabilidade e convergência para a solução procurada;
Desempenho regular...
Zeros Reais de Funções
Reais – Método do Ponto Fixo

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Método do Ponto Fixo


Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde
existe uma raiz ú i
i
i única, f( ) = 0, é p...
Método do Ponto Fixo


2
Exemplo: Dada a função f ( x)  x  x  6  0

São funções de iteração possíveis:

1 ( x)  6 ...
Método do Ponto Fixo


A partir da definição da forma de φ(x),  ( x)  x  A( x) f ( x) ,
podemos então mostrar que f (...
Método do Ponto Fixo - Graficamente


Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissa do ponto de
interseção d reta y=x com a cur...
Método do Ponto Fixo - Graficamente


Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do
Ponto Fi pode di
P
Fixo d diverg...
Método do Ponto Fixo


Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 :
 As raízes são 1 = -3 e 2 = 2 (Não há necessid...
Método do Ponto Fixo


2
Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz
2 = 2 , φ1 ( ) = 6 - x2 e x0 = 1
(x)
...
Método do Ponto Fixo


2
Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz
2 = 2 , φ1 ( ) = 6 - x2 e x0 = 1
(x)
...
Método do Ponto Fixo


2
Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz
2 = 2 ,  2 ( x)  6  x e x0 = 1
1,5...
Método do Ponto Fixo


2
Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz
2 = 2 ,  2 ( x)  6  x e x0 = 1
1,5...
Método do Ponto Fixo
Teorema 2:
Sendo  uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I
centrado em  e φ(x) uma função de...
Método do Ponto Fixo


Resgatando os exemplos anteriores, para a função
f ( x)  x 2  x  6  0 temos que:




φ1( ) (...
Método do Ponto Fixo


Avaliando a divergência de φ1(x)


φ1(x) = 6 - x2 e φ’1(x) = - 2x  contínuas em I



|φ’1 (x)| ...
Método do Ponto Fixo


Avaliando a convergência de φ2(x)






e  2 ' ( x)  (1 / 2 6  x )
φ2 ( ) é contínua em S =...
Método do Ponto Fixo - Algoritmo
g
 Critérios de Parada


|f(xk)|  



|xk – xk-1|  

k = 0;
x0 = x;

while xk  xk...
Método do Ponto Fixo – Verificando a
Convergência
C
ê i


Exemplo: Dada a função f ( x)  x 2  x  6  0 , cujas raízes
...
Método do Ponto Fixo – Verificando a
Convergência
C
ê i


Exemplo: Dada a função f ( x)  x 2  x  6  0 , cujas raízes
...
Método do Ponto Fixo – Verificando a
Convergência
C
ê i


Exemplo: Dada a função f ( x)  x 2  x  6  0 , cujas raízes
...
Método do Ponto Fixo
x3 1
 Exemplo: Dados: f ( x )  x  9 x  3  0;  ( x ) 
 ;
9 3
2
x0  0,5;   5  10 ;   (0,...
Método do Ponto Fixo


Vantagens





Rapidez processo de convergência;
Desempenho regular e previsível.

Desvantagens...
Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1

1 1
utilizando a função de iter...
Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1

1 1
utilizando a função de iter...
Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1

1 1
utilizando a função de iter...
Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1

1 1
utilizando a função de iter...
Zeros Reais de Funções
Reais – Método de Newton-Raphson

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Método de Newton-Raphson
p


Método do Ponto Fixo (MPF)






Uma das condições de convergência é que |φ’(x)| < 1,
 x...
Método de Newton-Raphson
p


Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para
φ(x)
( )
φ(x) = x + A(x)f(x)



Busc...
Método de Newton-Raphson
p


Assim

1
 ' ( )  0  1  A( ) f ' ( )  0  A( ) 
f ' ( )
1
 donde se toma A( x )...
Método de Newton-Raphson
p


Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x - f(x)/f’(x)
será tal que φ’() = 0, posto q...
Método de Newton-Raphson
p


Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será
determinada por
d
i d

f ( xk )
xk 1  xk ...
Método de Newton-Raphson –
Graficamente
G fi


Dado o ponto ( xk , f(xk) )
p
(


Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva ...
Método de Newton-Raphson –
Graficamente
G fi


Análise Gráfica

f(x)

1a iteração
2a iteração
3a iteração


x0

x3

x2

...
Método de Newton-Raphson - Convergência
p
g


Teorema 3:

Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que
conté...
Método de Newton-Raphson
p


Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5

Fórmula recursiva:

f ( x)
x2  x  6
...
Método de Newton-Raphson
p


Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5



Comentários:


A parada poderá ocor...
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g


Teste de parada:
 |f(xk)|  ε
 |xk – xk-1|  ε



Algoritmo:
g
x0 := x;
;
k...
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g


Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontr...
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g


Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontr...
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g


Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontr...
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g


Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontr...
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g


Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontr...
Método de Newton-Raphson
p


Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0


Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x...
Método de Newton-Raphson
p


Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0


Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x...
Método de Newton-Raphson
p


Vantagens:
Rapidez processo de convergência
 Desempenho elevado




Desvantagens:
Necessi...
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Secante

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Método da Secante


Método de Newton-Raphson




Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de
f’(x) e o cálcu...
Método da Secante


A função de iteração será:

f ( xk )
 ( x )  xk 
f ( xk )  f ( xk 1 )
xk  xk 1
f ( xk )
xk  ...
Método da Secante - Geometricamente


A partir de duas aproximações xk-1 e xk obtém-se o
ponto xk+1 como sendo a abscissa...
Método da Secante - Convergência
g


Como o Método da Secante é uma aproximação do
método d N
é d de Newton, as condições...
Método da Secante


Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0,
x0 = 1 e x1 = 1
1,5
1,7:

Solução:

x0  f ( x1...
Método da Secante


Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0,
x0 = 1 e x1 = 1
1,5
1,7:



Comentários:


A ...
Método da Secante - Algoritmo
g


Testes de Parada
 |f(xk)|  ε
 |xk – xk-1|  ε



Algoritmo
g
x0 := x;
x1 := x1;
k :...
Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g


Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 =...
Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g


Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 =...
Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g


Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 =...
Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g


Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 =...
Método da Secante


Vantagens



Cálculos mais convenientes que do método de Newton





Rapidez processo de convergê...
Zeros Reais de Funções
Reais – Comparação entre os
métodos
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Comparação entre os métodos
p
ç


Critérios de Comparação


Garantias de Convergência



Rapidez de Convergência



Es...
Comparação entre os métodos
p
ç


Garantias de Convergência


Bisseção e Posição Falsa


Convergência garantida, desde ...
Comparação entre os métodos
p
ç


Rapidez de Convergência


Número de Iterações  Medida usualmente adotada
para a deter...
Comparação entre os métodos
p
ç


Esforço Computacional


Indicadores


Número de operações efetuadas a cada iteração

...
Comparação entre os métodos
p
ç


Esforço Computacional


Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de
um métod...
Comparação entre os métodos
p
ç


Critério de Parada


Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a
raiz  Biss...
Comparação entre os métodos
p
ç


Conclusão:


Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal


Convergência assegurad...
Comparação entre os métodos
p
ç


Conclusão:


Exemplo:


Caso seja fácil a verificação das condições de
convergência e...
Comparação entre os métodos
p
ç


Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
y
4
3
2
1

-4
4

-3
3

-2
2

-1
1

0

1

2

3

4

5

x

-1
-...
Comparação entre os métodos
p
ç


Exemplo: f(x) = x3 – x – 1

Observações:


Melhor desempenho: Método do Ponto Fixo


...
Comparação entre os métodos
p
ç


Exemplo: f(x) = 4 sen(x) – e2   [0, 1 ],  = 10 -5

Observações:


Melhor desempenho...
Exercícios
f ( x)  x 2  x  6, encontre
1) A partir do gráfico da função
a raiz   [1, 3] , d d a tolerância   10 4 ...
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  1. 1. Zeros Reais de Funções Reais Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  2. 2. Programa g 1. Introdução 2. Isolamento d raízes 2 I l das í 3. Refinamento a) Critério de parada b) Métodos iterativos c) Comparação entre os métodos
  3. 3. Zeros Reais de Funções Reais – Introdução Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  4. 4. Zeros de funções reais - Introdução ç ç  Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0 Estruturas F Circuitos i R +FV Em cada nó +FH : -FH -FV  FH = 0  FV = 0 + v = g(i) E E - Ri – g(i) = 0 (Lei de Kirchhoff)
  5. 5. Zeros de funções reais - Introdução ç ç   é um zero da função f(x) ou raiz da equação  Zeros podem ser reais ou complexos.  Este capítulo trata de zeros reais de f(x). f(x) f( ) = 0 se f() = 0 0.  Abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x p p f(x) 1 2 x
  6. 6. Zeros de funções reais - Introdução ç ç  Para uma equação de segundo grau na forma: ax 2  bx  c  0  Determinação das raízes em função de a, b e c: x  b  b 2  4ac 2a  Polinômios de grau mais elevado e funções com maior grau de complexidade   Impossibilidade de determinação exata dos zeros Uso de soluções aproximadas
  7. 7. Zeros de funções reais - Introdução ç ç  Etapas para a determinação de raízes a partir de métodos numéricos é d éi  FASE 1: Determinação de um inter alo (o menor possí el) 1 m intervalo possível) que contenha apenas uma raiz  FASE 2: Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até que a raiz esteja dentro uma precisão ε prefixada)
  8. 8. Zeros Reais de Funções Reais – Isolamento de Raízes Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  9. 9. Isolamento de raízes  Realização de uma análise teórica e gráfica da função f(x) f( )  Precisão das análises é relevante para o sucesso da fase posterior  Teorema 1 Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x =  entre a e b que é zero de f(x).
  10. 10. Isolamento de raízes – Análise Gráfica f(x) ( ) f(x) a  b a x 2 1 f(x) a 1 2 b x 3b x
  11. 11. Isolamento de raízes – Tabelamento  f ( x)  x 3  9 x  3 Exemplo: f(x) é contínua para  x   I1 = [-5, -3] I2 = [0, 1] I3 = [2, 3] Cada um dos intervalos acima contém pelo menos um zero de f(x).
  12. 12. Isolamento de raízes – Tabelamento  Exemplo: f ( x)  x  5e  x f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1 2] [1,2] Mas esse zero é único? Análise do sinal de f’(x) 1 f ' ( x)   5e  x  0,  x  0 2 x  f(x) admite um único zero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1,2]
  13. 13. Isolamento de raízes  A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal em ( b) então esse i (a,b), intervalo contém um ú i zero d l é único de f(x)
  14. 14. Isolamento de raízes  Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no intervalo [ b] i l [a, b].
  15. 15. Isolamento de raízes  A análise gráfica é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz i i  Suficiente utilizar um dos seguintes passos:  Esboçar o gráfico de f(x)  Localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x  Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) a partir da equação f(x) = 0  Construção dos gráficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema cartesiano e localização dos pontos x nos quais g(x) e h(x) se interceptam (f() = 0  g() = h() )  Uso de programas para traçar gráficos de funções
  16. 16. Isolamento de raízes  O esboço do gráfico de uma função requer um estudo detalhado de d lh d d seu comportamento, no qual d l devem ser considerados os itens abaixo:       Domínio da f nção função Pontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e decrescimento Pontos de máximo e mínimo Concavidade Pontos de inflexão, etc
  17. 17. Isolamento de raízes  f ( x)  x 3  9 x  3 Exemplo: 1  (4,  3) Solução utilizando o método 1: f ( x)  x 3  9 x  3  2  (0, 1) f(x)  3  (2, 3) f ' ( x)  3x 2  9 f ' ( x)  0  x   3 x f(x) -25 -4 4 25 -3 3 -  3 13,3923 -1 11 0 3 1 -5  3 -7,3923 2 -7 3 3 1 -4 -3 2 -2 -1 1 3 2 3 4 x
  18. 18. Isolamento de raízes  f ( x)  x 3  9 x  3  0 Exemplo: y Solução utilizando o método 2: Dada: Dada 1  (4,  3) x3  9 x  3  0  2  (0, 1) Equação Equivalente: h(x) g(x)  3  (2, 3) g ( x)  x 3 h( x )  9 x  3 1 -4 -3 -2 -1 2 1 2 3 3 4 x
  19. 19. Isolamento de raízes  f ( x)  x  5e  x  0 Exemplo: Solução utilizando o método 2: Dada: Dada x  5e x h(x) y   (1, 2) Equação Equivalente: g ( x)  x g(x) h( x)  5e  x 1  2 3 4 5 6 x
  20. 20. Isolamento de raízes  Exemplo: f ( x)  x log( x)  1  0 Solução utilizando o método 2: Dada: Dada y 1 log( x)  x   (2, 3) h(x) Equação Equivalente: g ( x)  l ( x) log( 1 h( x )  x g(x) 1 2  3 4 5 6 x
  21. 21. Zeros Reais de Funções Reais – Refinamento de Raízes Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  22. 22. Refinamento de raízes  Aplicação de métodos numéricos destinados ao refinamento d raízes fi de í I. II. II III. IV. IV V. Método da Bisseção Método da Posição Falsa Método do Ponto Fixo Método de Newton-Raphson Método da Secante  Diferenciação dos métodos  Modo de refinamento  Método Iterativo  Caracterizado por uma série de instruções executáveis seqüencialmente, algumas das quais repetidas em ciclos (iterações)
  23. 23. Refinamento de raízes Sequência de passos:
  24. 24. Critérios de Parada  Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata?  Como verificar tal questionamento?  Interpretações para raiz aproximada   x é raiz aproximada com precisão  se: ou f (x)   x    Como proceder se não se conhece  ?
  25. 25. Critérios de Parada  Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração  Obtenção de um intervalo [a,b] tal que:   a, b   e.  então  x  a, b  , x     ba     Logo  x  a, b  pode ser tomado como x
  26. 26. Critérios de Parada  Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
  27. 27. Critérios de Parada  Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos um dos critérios  Quando Q ando da utilização de programas comp tacionais tili ação computacionais, devemos utilizar:  Teste de Parada  Estipular o número máximo de iterações  Prevenção de loops por:  Erro no programa  Escolha de método inadequado
  28. 28. Zeros Reais de Funções Reais – Método da Bisseção Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  29. 29. Método da Bisseção ç  Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz ú i i i única, é possível d í l determinar tal raiz i l i subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém pelo ponto médio de a e b b.  Em E outras palavras, o objetivo d l bj i deste método é reduzir é d d i a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir precisão requerida, bk  ak   ou f (x)   , usando requerida para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio
  30. 30. Método da Bisseção ç  Definição do intervalo inicial  Atribui-se [a,b] como intervalo inicial    a0 = a b0 = b Condições de Aplicação  f(a) x f(b) < 0  Sinal da derivada constante
  31. 31. Método da Bisseção ç  Definição de novos intervalos  Calcula-se o ponto médio entre a e b, chamado de x0  Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] – contém a raiz  Calcula-se o produto f(a) * f(x0)  Verifica-se f(a) * f(x0) < 0   (a, x0 )  Se verdadeiro   Caso contrario   Logo a = a e b = x0   ( x0 , b) Logo a = x0 e b = b Repete se Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.
  32. 32. Método da Bisseção - Resumo ç a0  b0 2  f ( a0 )  0    f (b0 )  0    f ( x )  0 0     (a0 , x0 )   a1  a0 b  x 0 1 a1  b1 x1  2  f (a1 )  0    f (b1 )  0   f ( x )  0 1     ( x1 , b1 )   a2  x1 b  b  2 1 a2  b2 x2  2  f ( a2 )  0    f (b2 )  0    f ( x )  0 2     ( x2 , b2 )   a3  x2 b  b 2  3 x0   
  33. 33. Método da Bisseção - Graficamente ç y a3 || a2 || a || a1 x1 x2 x0 || || b3 b1=b2 b x
  34. 34. Método da Bisseção ç  Exemplo: f ( x)  x log( x)  1  0 Utilizando o método de Equações Equivalentes para Isolamento de Raí es Raízes: y h(x) 1 log( x)    (2,3) x Equação Equivalente: g ( x)  log( x) 1 h( x )  x g(x) 1 2  3 4 5 6 x
  35. 35. Método da Bisseção ç  Exemplo: f ( x)  x log( x)  1  0   (2.5, 3)  f (2)  0.3979  0  23    a  x  2,5  2.5  f (3)  0.4314  0 x0   1 0  2 b  b  3  f (2.5)  5.15  10 3  0 1 0     (2.5, 2.75)  f (2.5)  0  2,5  3    a  a  2,5 x1   2.75  f (3)  0  2 1  2 b  x  2,75  f (2,75)  0,2082  0 1  2    
  36. 36. Método da Bisseção - Algoritmo ç g k = 0; a0 = a; b0 = b; xk = (ak + bk)/2; while bk  ak   and f ( xk )   hile if f(ak)f(xk) < 0 then /*raiz em [ak , xk] */ ak+1 = ak; bk+1 = xk; else /* raiz em [xk, bk] */ / / ak+1 = xk; bk+1 = bk ; k 1 end if xk+1 = (ak+1 + bk+1)/2; k = k +1; end while
  37. 37. Método da Bisseção - Algoritmo ç g  Ao final da execução do algoritmo, teremos um intervalo [a [ k, bk] que contém a raiz e uma aproximação x para a é i i raiz exata (tal que bk  ak   ou f (x)   )  A convergência do método é intuitiva
  38. 38. Método da Bisseção – Execução Algoritmo ç ç g  3 Exemplo: f ( x)  x  9 x  3  0 Utilizando o método de Equações Equivalentes para Isolamento de Raí es Raízes 1  (4,  3) x3  9 x  3  0  2  (0, 1) Equação Equivalente  3  (2, 3) g ( x)  x 3 h( x )  9 x  3
  39. 39. Método da Bisseção – Execução Algoritmo ç ç g  3 f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   3 10 Exemplo: Cálculo da 1ª aproximação   x0 = (a0+b0)/2 = (0+1)/2 = x0 = 0 5 0,5 f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375 Teste de Parada  |b a| |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-1,375| = 1,375 > 10-3 | 1,375| Escolha do Novo Intervalo    f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0 f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0 f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375, logo f(x0) < 0  logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,5
  40. 40. Método da Bisseção – Execução Algoritmo ç ç g  3 f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   3 10 Exemplo:  Então x  0,337890625 em 9 iterações  f . (x)   foi atendida, enquanto bk  ak   , não foi
  41. 41. Método da Bisseção – Estimativa do número de iterações ú d i õ  Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo: bk 1  ak 1 b0  a0 bk  ak   2 2k  Deve-se obter o valor de k, tal que bk  ak   , ou seja: b0  a0  k 2  2   k k b0  a0   k log(2)  log(b0  a0 )  log( )  log(b0  a0 )  log( ) log(2)
  42. 42. Método da Bisseção – Estimativa do número de iterações ú d i õ  Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2, calcular o numero mínimo de iterações para que tenhamos bk  ak   (Critério de Parada). log(b0  a0 )  log( ) k log(2) log(3  2)  log(10 2 ) k log(2) 2 log(1)  2 log(10) k   6,64 log(2) g( 0,3010 k 7
  43. 43. Método da Bisseção ç  Vantagens:     Facilidade de implementação; Estabilidade e convergência para a solução procurada; Desempenho reg lar e pre isí el regular previsível. Desvantagens    Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um elevado número de iterações); b0  a0  3   k  24,8  k  25 7   10  Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (nem sempre é possível); Complexidade da extensão do método para problemas multivariáveis.
  44. 44. Método da Bisseção – Exercício ç a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da Bisseção para a f Bi função f ( x)  x 3  x  1 , tal que l   2 10 3 y b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita, calcule quantas iterações ainda seriam necessárias. 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
  45. 45. Método da Bisseção – Exercício ç a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da 3 Bisseção para a f Bi função f ( x)  x  x  1 , tal que l   2 10 3 Iter. a b f(a) f(b) x f(x ) 1 1,000000 2,000000 -1,000000 5,000000 1,500000 0,875000 2 1,000000 1,500000 -1,000000 0,875000 1,250000 -0,296875 3 1,250000 1,500000 -0,296875 0,875000 1,375000 0,224609 4 1,250000 1,375000 -0,296875 0,224609 1,312500 -0,051514 5 1,312500 1,375000 -0,051514 0,224609 1,343750 0,082611 Para a iteração 5 temos: b  a  1,375  1,3125  0,0625  2 10 3 e f ( x)  0,082611  2 10 3
  46. 46. Método da Bisseção – Exercício ç b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita, calcule quantas i l l iterações ainda seriam necessárias. i d i ái k log(b0  a0 )  log( ) g( g( log(2) log(2  1)  log(2 10 3 ) k log(2) log(1)  (log 2  3  log 10) log(2) log(1)  (log 2  3  log 10) 0  (0,30103  3) 2,69897  k   8,9658 log(2) 0,30103 0,30103 k k 9
  47. 47. Zeros Reais de Funções Reais – Método da Posição Falsa Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  48. 48. Método da Posição Falsa ç  Método da Bisseção   Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]) Método da Posição Falsa  Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b])
  49. 49. Método da Posição Falsa ç  Dada a função f ( x)  x 3  9 x  3  0 e, sendo o intervalo inicial a, b  0, 1 , temos que f (1)  5  0  3  f (0)    .f (0) está mais próximo de zero que f (1) Logo é provável que a raiz esteja mais próxima d x = 0 L á l i t j i ó i de que de x = 1 ( isso é sempre verdade quando f(x) é linear em a, b ) Assim, Assim ao invés de tomar a média aritmética o método aritmética, da posição falsa toma a média ponderada, com pesos de f (a) e f (b) x a f (b)  b f (a ) f (b)  f (a )  af (b)  bf (a ) f (b)  f (a )
  50. 50. Método da Posição Falsa - Graficamente ç  Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta que passa pelos pontos ( f( )) e (b f(b)): l (a, f(a)) (b, f(b))
  51. 51. Método da Posição Falsa - Graficamente ç x1 = a1f(b1) – b1f(a1) f(x) x0 = a0f(b0) - b0f(a0) f(x) f(b1) - f(a1) f(b0) - f(a0) a = a1  x1 a = a0  x0 b = b0 x b1 = x1 x
  52. 52. Método da Posição Falsa ç  Definição do intervalo inicial  Atribui-se [a,b] como intervalo inicial    a0 = a b0 = b Condições de Aplicação  f(a) x f(b) < 0  Sinal da derivada constante
  53. 53. Método da Posição Falsa ç  Definição dos Subintervalos  Subdivide-se o intervalo pelo ponto de interseção da reta que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas  Verifica-se se, através do teste de parada, se x0 é uma aproximação da raiz da equação ()  pelo tamanho do intervalo [a, b] ou o valor f(x0)  Se verdadeiro  x0 é a raiz procurada  Caso contrário  define-se um novo intervalo
  54. 54. Método da Posição Falsa ç  Definição do novo intervalo  Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] – contém a raiz  Calcula-se o produto f(a) * f(x0)  Verifica-se f(a) * f(x0) < 0  Se verdadeiro   Caso contrario   Logo a = a e b = x0   (a, x0 )   ( x0 , b) Logo a = x0 e b = b g Repete se Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.
  55. 55. Método da Posição Falsa ç  Exemplo: f ( x)  x log( x)  1, I  [2, 3] f (a0 )  0,3979  0  logo, existe ao menos 1 raiz no f (b0 )  0,4314  0  intervalo dado af (b)  bf (a) 2  0,4314  3  (0,3979) 2,0565 x0     2,4798 f (b)  f (a) 0,4314  (0,3979) 0,8293 f ( x0 )  0,0219  0 . Como f (a0 ) e f ( x0 ) têm o mesmo sinal, a1  x0  2,4798 f (a1 )  0    f (b1 )  0  b1  b0  3
  56. 56. Método da Posição Falsa ç  Exemplo: f ( x)  x log( x)  1, I  [2, 3] a1  x0  2,4798  b1  3 f (a1 )  0   f (b1 )  0  af (b)  bf (a) 2,4798  0,4314  3  (0,0219) 1,1354 x1    f (b)  f (a) 0,4314  (0,0219) 0,4533 x1  2,5049 Como f ( x1 )  0,0011  0 , temos: a2  x1  2,5049  b2  b1  3 f (a1 )  0   f (b1 )  0  
  57. 57. Método da Posição Falsa - Algoritmo ç g k = 0; a0 = a; b0 = b b; FA0 = f(a0); GB0 = f(b0); xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); while bk  ak   and f ( xk )   if f(ak)f(xk) ≤ 0 then / /* raiz em [ak , xk] */ / ak+1 = ak; bk+1 = xk; else /* raiz em [xk, bk] */ ak+1 = xk; bk+1 = bk ; end if xk+1 = (ak+1GBk+1 - bk+1FAk+1) / (GBk+1 - FAk+1); k = k +1; end while hile
  58. 58. Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo ç g  3 f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   2  10 Exemplo: Cálculo da Cál l d 1ª aproximação i af (b)  bf (a ) x0  f (b)  f (a )  0  (5)  1 (3) 3   0,375  5  (3) 8 f ( x0 )  (0,375) 3  9  (0,375)  3  -0,322265625 Teste de Parada  |b a| |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-0,322265625| > 10-3 | 0,322265625| Escolha do Novo Intervalo    f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0 f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0 f(x0) = 0,3753 – 9x0,375 + 3 = -0,32..., logo f(x0) < 0  logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,375
  59. 59. Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo ç g  3 f ( x)  x 3  9 x  3  0 I  0, 1   3  10 Exemplo: Então x  0,337635046 em 3 iterações .f (x)   foi atendida, enquanto bk  ak   , não foi No Método da Bisseção, o valor x  0,337890625 foi encontrado depois de 9 iterações
  60. 60. Método da Posição Falsa ç  Vantagens:     Estabilidade e convergência para a solução procurada; Desempenho regular e previsível; Cálculos Cálc los mais simples q e o método de Ne ton que Newton. Desvantagens:   Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um elevado número de iterações); Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível).
  61. 61. Zeros Reais de Funções Reais – Método do Ponto Fixo Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  62. 62. Método do Ponto Fixo  Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz ú i i i única, f( ) = 0, é possível transformar tal f(x) 0 í l f l equação em uma equação equivalente x = φ(x) e, a partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xk} de aproximações para  pela relação xk+1 = φ(xk) uma vez que φ(x) é tal que f() = 0 se e ), somente se φ() = .  Transformamos o problema de encontrar zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de φ(x)  Af função φ(x) é chamada d f ã ( ) h d de função d it ã de iteração ã
  63. 63. Método do Ponto Fixo  2 Exemplo: Dada a função f ( x)  x  x  6  0 São funções de iteração possíveis: 1 ( x)  6  x 2  2 ( x)  6  x 6 3 ( x)   1 x 6  4 ( x)  x 1  A forma geral das funções de iteração φ(x) é dada por  ( x)  x  A( x) f ( x) com a condição de que A()  0 em , ponto fixo de φ(x)
  64. 64. Método do Ponto Fixo  A partir da definição da forma de φ(x),  ( x)  x  A( x) f ( x) , podemos então mostrar que f ( )  0   ( )   d   seja  tal que f ( )  0  ( )    A( ) f ( )   ( )   ( porque f ( )  0)  se  ( )      A( ) f ( )    A( ) f ( )  0  f ( )  0 ( porque A( )  0)  Existem E istem infinitas eq ações de iteração φ( ) para a equações φ(x) equação f(x) = 0
  65. 65. Método do Ponto Fixo - Graficamente  Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissa do ponto de interseção d reta y=x com a curva y=φ(x) i da ( )
  66. 66. Método do Ponto Fixo - Graficamente  Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do Ponto Fi pode di P Fixo d divergir d valor  procurado i do l d
  67. 67. Método do Ponto Fixo  Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 :  As raízes são 1 = -3 e 2 = 2 (Não há necessidade de uso 2 de métodos numéricos para o calculo)  Objetivo: Mostrar a convergência ou divergência do processo iterativo  Seja a raiz 2 = 2 e φ1 (x) = 6 - x2,Tomando x0= 1,5 e φ (x) = φ1 (x)  Seja a raiz 2 = 2 e  2 ( x)  6  x ,Tomando x0= 1,5 e φ (x) = φ2 (x)
  68. 68. Método do Ponto Fixo  2 Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz 2 = 2 , φ1 ( ) = 6 - x2 e x0 = 1 (x) 1,5 x1 = φ(x0) = 6 – 1,52 = 3,75 x2 = φ(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625 x3 = φ(x2) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906 x4 = φ(x3) = 6 – (-59,003906)2 = -3475,4609 Conclui-se que {xk} não convergirá p q { g para 2 = 2
  69. 69. Método do Ponto Fixo  2 Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz 2 = 2 , φ1 ( ) = 6 - x2 e x0 = 1 (x) 1,5 y Análise Gráfica: y=x x2 x1 1 x0  x 2 {xk}   φ(x)
  70. 70. Método do Ponto Fixo  2 Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz 2 = 2 ,  2 ( x)  6  x e x0 = 1 1,5 x1 = φ(x0) = 6  1,5  2,121320343 x2 = φ(x1) = 6  2,121320343  1,969436380 x3 = φ(x2) = 6  1,969436380  2,007626364 x = φ(x ) = 6  2,007626364  1,998092499 4 3 x5 = φ(x4) = 6  1,998092499  2,000476818 Conclui-se que {xk} tende a convergir para 2 = 2
  71. 71. Método do Ponto Fixo  2 Exemplo: Dada a equação f ( x)  x  x  6  0 , com raiz 2 = 2 ,  2 ( x)  6  x e x0 = 1 1,5 y Análise Gráfica: y=x φ(x) {xk}  2 quando k  inf 2 x0 x2 x x1
  72. 72. Método do Ponto Fixo Teorema 2: Sendo  uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em  e φ(x) uma função de iteração para f(x) = 0. Se 1. φ(x) e φ’(x) são contínuas em I 2. |φ’(x)| < 1,  x  I e 3. x0  I então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1 = φ(xk) convergirá p φ( g para  . Além disso quanto menor for q o valor de |φ’(x)|, mais rápido o Método do Ponto Fixo convergirá.
  73. 73. Método do Ponto Fixo  Resgatando os exemplos anteriores, para a função f ( x)  x 2  x  6  0 temos que:   φ1( ) ( 1 ( x)  6  x )  geração de uma sequencia (x) ma seq encia divergente de 2 = 2 2 φ2(x) ( 2 ( x)  6  x )  geração de uma sequencia convergente para 2 = 2
  74. 74. Método do Ponto Fixo  Avaliando a divergência de φ1(x)  φ1(x) = 6 - x2 e φ’1(x) = - 2x  contínuas em I  |φ’1 (x)| < 1  |-2x| < 1  -½ < x < ½  Não existe um intervalo I centrado em 2=2, tal que |φ (x)| |φ’(x)| < 1,  x  I  φ1 (x) não satisfaz a condição 2 do Teorema 2 com relação a 2=2.
  75. 75. Método do Ponto Fixo  Avaliando a convergência de φ2(x)    e  2 ' ( x)  (1 / 2 6  x ) φ2 ( ) é contínua em S = {x  R | x  6} (x) tí {    2 ( x)  6  x φ φ’2 (x) é contínua em S’ = {x  R | x < 6} S . ' ( x)  1  1 / 2 6  x  1  x  5,75 2 É possível obter um intervalo I centrado em 2=2, tal que todas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas.
  76. 76. Método do Ponto Fixo - Algoritmo g  Critérios de Parada  |f(xk)|    |xk – xk-1|   k = 0; x0 = x; while xk  xk 1   and k = k +1; xk+1 = φ(xk); end while f ( xk )  
  77. 77. Método do Ponto Fixo – Verificando a Convergência C ê i  Exemplo: Dada a função f ( x)  x 2  x  6  0 , cujas raízes são 2 e -3, vamos avaliar a convergência d f 3 li ê i da função equivalente 3 ( x)  6  1 , dados 1 = -3 e x0= -2,5 x 6  ( x)   1,  x  , x  0 x 6  ' ( x)  2  0,  x  , x  0 x 6 6  ' ( x)  2  2 ,  x  , x  0 x x 6  ' ( x)  1  2  1  x 2  6  x   6 x ou x 6
  78. 78. Método do Ponto Fixo – Verificando a Convergência C ê i  Exemplo: Dada a função f ( x)  x 2  x  6  0 , cujas raízes são 2 e -3, vamos avaliar a convergência d f 3 li ê i da função equivalente 3 ( x)  6  1 , dados 1 = -3 e x0= -2,5 x Como o objetivo é obter a raiz negativa, temos: I1 tal que  ' ( x)  1, x  I1 , será : I1  (;  6 ) ( 6  2,4497897) Podemos então definir o intervalo I  (3.5,  2.5) que o processo convergirá visto que o intervalo I  I1 está centrado na raiz  = -3
  79. 79. Método do Ponto Fixo – Verificando a Convergência C ê i  Exemplo: Dada a função f ( x)  x 2  x  6  0 , cujas raízes são 2 e -3, vamos avaliar a convergência d f 3 li ê i da função equivalente 3 ( x)  6  1 , dados 1 = -3 e x0= -2,5 x Tomando x0= -2,5, temos: x1  2,5 x2  2,764706 x3  3,170213 x4  2,892617  Quando não se conhece a raiz, escolhe-se o intervalo I escolhe se aproximadamente centrado em   Quanto mais preciso isolamento de , maior exatidão na Q p escolha de I
  80. 80. Método do Ponto Fixo x3 1  Exemplo: Dados: f ( x )  x  9 x  3  0;  ( x )   ; 9 3 2 x0  0,5;   5  10 ;   (0, 1) , calcule a raiz de f(x) 3 utilizando o MPF: Assim, x  0,3376233 e f ( x)  0,12 10 3 , com o mesmo , número de iterações que o Método da Posição Falsa. Importante lembrar: Iteramos de modo que xk 1   ( xk ) , todavia avaliamos, a cada iteração, se f ( xk )   Desafio: Provar que  (x) satisfaz a condição 2 do Teorema 2 no intervalo (0, 1)
  81. 81. Método do Ponto Fixo  Vantagens    Rapidez processo de convergência; Desempenho regular e previsível. Desvantagens g  Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma função de iteração φ(x); ( )  Difícil sua implementação.
  82. 82. Método do Ponto Fixo – Exercício 3 1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1 1 1 utilizando a função de iteração  ( x)   2 e x0  1 , sendo x x   2 10 3 .Justifique sua resposta. y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
  83. 83. Método do Ponto Fixo – Exercício 3 1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1 1 1 utilizando a função de iteração  ( x)   2 e x0  1 , sendo x x   2 10 3 1 1 x1 = φ(x0) =  2  2 1 1 1 1 x2 = φ(x1) =  2  0,75 2 2 1 1   3,1111... x3 = φ(x2) = ( 2 0,75 0,75 1 1   0,4247... x4 = φ(x3) = 2 3,1111 3,1111 1 1   7,8973... x5 = φ(x4) = 2 0,4247 0,4247
  84. 84. Método do Ponto Fixo – Exercício 3 1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1 1 1 utilizando a função de iteração  ( x)   2 e x0  1 , sendo x x   2 10 3 1 1   0,1427... x6 = φ(x5) = 2 7,8973 7,8973 1 1   56,1461... x7 = φ(x6) = ( 2 0,1427 0,1427 Conclui-se que {xk} tende a divergir da raiz da equação f(x).
  85. 85. Método do Ponto Fixo – Exercício 3 1) Tente encontrar a raiz da função f ( x)  x  x  1 1 1 utilizando a função de iteração  ( x)   2 e x0  1 , sendo x x   2 10 3 Justificando a resposta: 1 2  x  , x  0  ' ( x)  2  3  x  , x  0 x x 1 2 x 2 x2  ' ( x)  1  2  3  1  3  3  1  1 3 x x x x x 1 1  ( x)   2 x x Como a condição  ' ( x)  1 x  I deve ser satisfeita, onde I é o intervalo centrado em  , é fácil perceber que isso não acontece, uma vez que x0  I e  ' ( x0 )   ' (1)  3  0
  86. 86. Zeros Reais de Funções Reais – Método de Newton-Raphson Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  87. 87. Método de Newton-Raphson p  Método do Ponto Fixo (MPF)    Uma das condições de convergência é que |φ’(x)| < 1,  x  I , onde I é um intervalo centrado na raiz A convergência será tanto mais rápida quanto menor for |φ’(x)| O método de Newton busca garantir e acelerar a convergência do MPF  Escolha de φ(x), tal que φ’() = 0, como função de iteração
  88. 88. Método de Newton-Raphson p  Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para φ(x) ( ) φ(x) = x + A(x)f(x)  Busca-se obter a função A(x) tal que φ’() = 0 φ( ) φ(x) = x + A(x)f(x)  ( )( ) φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x)  φ( φ’() = 1 + A’()f() + A()f’()  ( )( ( ) ( φ’() = 1 + A()f’()
  89. 89. Método de Newton-Raphson p  Assim 1  ' ( )  0  1  A( ) f ' ( )  0  A( )  f ' ( ) 1  donde se toma A( x )  f ' ( x)   Como φ(x) = x + A(x)f(x) Logo:  1   ( x)  x    f ' ( x)   f ( x)     f ( x)   ( x)  x    f ' ( x)    
  90. 90. Método de Newton-Raphson p  Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x - f(x)/f’(x) será tal que φ’() = 0, posto que á l ’( 0  [ f ' ( x)]2  f ( x) f ' ' ( x)    ' ( x)  1   2   [ f ' ( x)]   [ f ' ( x)]2 [ f ' ( x)]2  f ( x) f ' ' ( x)  ' ( x)   2 [ f ' ( x)] [ f ' ( x)]2 f ( x) f ' ' ( x)  ' ( x)  [ f ' ( x)]2 e, e como f() = 0 φ’() = 0 ( desde q e f’()  0 ) 0, que
  91. 91. Método de Newton-Raphson p  Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será determinada por d i d f ( xk ) xk 1  xk  f ' ( xk ) onde k = 0, 1, 2, ...
  92. 92. Método de Newton-Raphson – Graficamente G fi  Dado o ponto ( xk , f(xk) ) p (  Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto: Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x-xk)  Determinanos o zero de Lk(x), que é um modelo linear que aproxima f(x) em uma vizinhança xk f (xk ) (x Lk ( x)  0  x  xk  f ' ( xk )  Faz-se xk +1 = x
  93. 93. Método de Newton-Raphson – Graficamente G fi  Análise Gráfica f(x) 1a iteração 2a iteração 3a iteração  x0 x3 x2 x1 Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada. x
  94. 94. Método de Newton-Raphson - Convergência p g  Teorema 3: Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que contém uma raiz x =  de f(x) = 0 e supondo f’()  0, existirá um intervalo Ī  I contendo a raiz , tal que se x0  Ī a sequencia { k} gerada pela fó Ī, i {x d l fórmula recursiva l i f ( xk ) xk 1  xk  f ' ( xk ) convergirá para a raiz.
  95. 95. Método de Newton-Raphson p  Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5 Fórmula recursiva: f ( x) x2  x  6  x  ( x)  x  f ' ( x) 2x 1 x1 1,5   ( x )  1,5  x2 2,0625   ( x )  2,0625  0 1   1,5  6  2,0625 2 1,5  1 2   2,0625  6  2,000762195 2  2,0625  1 x3   ( x2 )  2,000000116 2
  96. 96. Método de Newton-Raphson p  Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5  Comentários:  A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116) caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais for satisfatória para o contexto do trabalho  Observe que, no Método do Ponto Fixo, com  ( x)  6  x o valor x = 2,000476818 foi encontrado somente na 5a iteração
  97. 97. Método de Newton-Raphson - Algoritmo p g  Teste de parada:  |f(xk)|  ε  |xk – xk-1|  ε  Algoritmo: g x0 := x; ; k := 0; while |f(xk)| > ε and |xk – xk-1| > ε |( | xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk) k := k +1; ; end while
  98. 98. Método de Newton-Raphson - Algoritmo p g  Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i 0,002 j intervalos: l 1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2) Seja: x0 = 1 f ( xk ) xk 1  xk  f ' ( xk ) x3  x 1  ( x)  x  3x 2  1
  99. 99. Método de Newton-Raphson - Algoritmo p g  Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i 0,002 j intervalos: l 1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)  Cálculo da 1ª aproximação 1 φ(x0) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,5 = x1 [ 3x(1)² – 1 ] 3 (1)²  Teste de Parada |f(x1)| = | (1,5)³ – 1,5 – 1 | = 0,875 >  |x1-x0| =| 1,5 - 1 | = 0,5 > 
  100. 100. Método de Newton-Raphson - Algoritmo p g  Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i 0,002 j intervalos: l 1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)  Cálculo da 2ª aproximação p ç φ(x1) = 1,5 – [ (1,5)³ – 1,5 – 1 ] = 1,3478261 = x2 [ 3x(1,5)² – 1 ] 3x(1 5)²  Teste de Parada |f(x2)| = | 0,100682 | = 0,100682 >  | |x2-x1| =| 1,3478261 - 1,5 | = 0,1521739 >  | , , ,
  101. 101. Método de Newton-Raphson - Algoritmo p g  Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i 0,002 j intervalos: l 1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)  Cálculo da 3ª aproximação p ç φ(x2) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ] [ 3x(1,3478261)² - 1 ] 3 (1 3478261)² φ(x2) = 1,3252004 = x3  Teste de Parada |( |f(x3)| =| 0,0020584 | = 0,0020584 >  | |x3-x2| =| 1,3252004 – 1,3478261 | = 0,0226257 > 
  102. 102. Método de Newton-Raphson - Algoritmo p g  Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i 0,002 j intervalos: l 1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2) A sequência {xk} gerada pelo método de Newton será: Iteração x |xk-xk-1| 1 1,5 0,5 2 1,3478261 0,1521739 0,1006822 3 1,3252004 1 3252004 0,0226257 0 0226257 0,0020584 0 0020584 4 1,3247182 0,0004822  = 0,002 F(x) 0,875 1,0352x10-6
  103. 103. Método de Newton-Raphson p  Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0  Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que possui três zeros: 1  I1 = (-4, -3), 2  I2 = (0, 1) e 3  I3 = (2 3) Seja x0 = 1,5: (2, 3).
  104. 104. Método de Newton-Raphson p  Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0  Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que possui três zeros: 1  I1 = (-4, -3), 2  I2 = (0, 1) e 3  I3 = (2 3) Seja x0 = 1,5: (2, 3).  No início há um divergência da região onde estão as raízes, mas depois de x7 os valores se aproximam cada vez mais d 3 i de  Causa:  x0 (1,5) é próximo de  Da mesma forma, x1 (-1,6666667) está próximo de  3 3 , outra raiz de f’(x) , que é raiz de f´(x)
  105. 105. Método de Newton-Raphson p  Vantagens: Rapidez processo de convergência  Desempenho elevado   Desvantagens: Necessidade d obtenção d f’( ) , o que pode ser N id d da bt ã de f’(x) d impossível em determinados casos  O cálculo do valor numérico de f’(x) a cada iteração f (x) 
  106. 106. Zeros Reais de Funções Reais – Método da Secante Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  107. 107. Método da Secante  Método de Newton-Raphson   Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração Forma de desvio do inconveniente  Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das diferenças f ( xk )  f ( xk 1 ) f ' ( xk )  xk  xk 1
  108. 108. Método da Secante  A função de iteração será: f ( xk )  ( x )  xk  f ( xk )  f ( xk 1 ) xk  xk 1 f ( xk ) xk  xk 1   ( x )  xk  f ( xk )  f ( xk 1 ) xk f ( xk )  xk f ( xk 1 ) xk f ( xk )  xk 1 f ( xk )  ( x)   f ( xk )  f ( xk 1 ) f ( xk )  f ( xk 1 ) xk 1 f ( xk )  xk f ( xk 1 )  ( x)  f ( xk )  f ( xk 1 )
  109. 109. Método da Secante - Geometricamente  A partir de duas aproximações xk-1 e xk obtém-se o ponto xk+1 como sendo a abscissa d ponto d d b i do de intersecção do eixo x e da reta que passa pelos pontos ( xk-1 , f(xk-1) ) e ( xk , f(xk) ) (secante à curva da função) f(x) 1a 2a 3a 4a x0 x1 x3 x4 x5  x2 iteração iteração iteração iteração x Repete-se Repete se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.
  110. 110. Método da Secante - Convergência g  Como o Método da Secante é uma aproximação do método d N é d de Newton, as condições d convergência são di de ê i praticamente as mesmas, ou seja basta que o Teorema 3 seja satisfeito  Todavia, o Método da Secante pode divergir para o seguinte caso f ( xk )  f ( xk 1 ) xk 1 f ( xk )  xk f ( xk 1 )  ( x)  f ( xk )  f ( xk 1 )
  111. 111. Método da Secante  Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, x0 = 1 e x1 = 1 1,5 1,7: Solução: x0  f ( x1 )  x1  f ( x0 ) 1,5  (1,41)  1,7  2,25  x2   1,41  2,25 f ( x1 )  f ( x0 ) x2  2 03571 2,03571 x1  f ( x2 )  x2  f ( x1 )  1 99774 1,99774 x3  f ( x2 )  f ( x1 ) x2  f ( x3 )  x3  f ( x2 ) x4   1,99999 f ( x3 )  f ( x2 )
  112. 112. Método da Secante  Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, x0 = 1 e x1 = 1 1,5 1,7:  Comentários:  A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 1,99999 ), caso a precisão do cálculo com 5 casas decimais for satisfatória para o contexto do trabalho  No método de Newton-Raphson o valor x = 2,000000116, foi encontrado também na 3a iteração
  113. 113. Método da Secante - Algoritmo g  Testes de Parada  |f(xk)|  ε  |xk – xk-1|  ε  Algoritmo g x0 := x; x1 := x1; k := 1; while |f(xk)| > ε and |xk – xk-1| > ε |( | xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1)); k := k +1; ; end while
  114. 114. Método da Secante – Execução Algoritmo ç g  Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,  = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7: xk 1 f ( xk )  xk f ( xk 1 )  ( x)  f ( xk )  f ( xk 1 )
  115. 115. Método da Secante – Execução Algoritmo ç g  Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,  = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:  Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,5 e x1 = 1,7 f(x0) = 0,875 > 0 f(x1) = 2,213 > 0 x2 = [1,5 x (2,213) – 1,7 x (0,875)] = 1,36921 [ , ( , ) , ( , )] , [2,213 – (0,875)]  Teste de Parada |f(x2)| = | (1,36921)³ – 1,36921 – 1 | = 0,19769 >  |x2 - x1| =|1,36921 – 1 7| = 0 33079 >  =|1 36921 1,7| 0,33079  Novo Intervalo: x1 = 1,7 e x2 = 1,36921
  116. 116. Método da Secante – Execução Algoritmo ç g  Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,  = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7: Cálculo da 2ª aproximação x1 = 1,7 e x2 = 1,36921 f(x1) = 2,213 > 0 f(x2) = 0,19769 > 0 x3 = [1,7 x (0,19769) - 1,36921x (2,213)] = 1,33676 [0,19769 - 2,213]  Teste de Parada  |f(x3)| = |0,05193| = 0,05193 >  | |x3 - x2| =|1,33676 – 1,36921| = 0,03245 >  | , , | ,  Novo Intervalo: x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676
  117. 117. Método da Secante – Execução Algoritmo ç g  Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,  = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7: Cálculo da 3ª aproximação x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676 f(x2) = 0,19769 > 0 f(x3) = 0,05193 > 0 x4 = [1,36921 x (0,05193) - 1,33676 x (0,19769)] = [(0,05193) - 0,19769] x4 = 1,3252  Teste de Parada  |f(x4)| = |0,00206| = 0,00206 <   cond. atendida |x4 – x3| =|1,3252 – 1,33676| = 0,01156 > 
  118. 118. Método da Secante  Vantagens   Cálculos mais convenientes que do método de Newton   Rapidez processo de convergência Desempenho elevado Desvantagens Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo será ( ) g substituído pelo de Newton-Raphson  Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o Método da Secante 
  119. 119. Zeros Reais de Funções Reais – Comparação entre os métodos Prof. Wellington Passos de Paula wpassos@ufsj.edu.br
  120. 120. Comparação entre os métodos p ç  Critérios de Comparação  Garantias de Convergência  Rapidez de Convergência  Esforço Computacional  Critério de Parada
  121. 121. Comparação entre os métodos p ç  Garantias de Convergência  Bisseção e Posição Falsa  Convergência garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b] , tal que f(a)f(b) < 0  Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante  Condições mais restritivas de convergência  Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois últimos métodos são mais rápidos do que os demais estudados
  122. 122. Comparação entre os métodos p ç  Rapidez de Convergência  Número de Iterações  Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergência de um método  Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de execução do programa  Tempo gasto na execução de uma iteração  Variável de método para método
  123. 123. Comparação entre os métodos p ç  Esforço Computacional  Indicadores  Número de operações efetuadas a cada iteração  Complexidade das operações  Número de decisões lógicas  Número de avaliações de função a cada iteração
  124. 124. Comparação entre os métodos p ç  Esforço Computacional  Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método.  Bisseção  Cálculos mais simples por iteração  Newton  Cálculos mais elaborados  Número de iterações da Bisseção é, na grande maioria das vezes, muito maior do que o número de iterações efetuadas por Newton
  125. 125. Comparação entre os métodos p ç  Critério de Parada  Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a raiz  Bisseção (não usar o Método da Posição Falsa)  Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz  Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com aproximações xk para a raiz exata)
  126. 126. Comparação entre os métodos p ç  Conclusão:  Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal  Convergência assegurada  Ordem de convergência alta  Cálculos por iteração simples  Atender aos objetivos quanto ao critério de parada  Não existe método perfeito para todos os casos  A escolha está diretamente relacionada com a equação cuja solução é desejada  Critérios vistos anteriormente  Comportamento da função na região da raiz exata, etc
  127. 127. Comparação entre os métodos p ç  Conclusão:  Exemplo:  Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f’(x)  Newton-Raphson  Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f’(x), uma vez que não é necessária a obtenção de f’(x)  Secante  Todavia, mesmo os métodos acima possuem restrições:  Tendência da curva ao paralelismo a qualquer um dos eixos  dificulta o uso do Método de Newton ( f’(x)  0 )  Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos  difi lt o uso d Mét d d S i t dificulta do Método da Secante t ( f (xk-1) ≈ f (xk) )
  128. 128. Comparação entre os métodos p ç  Exemplo: f(x) = x3 – x – 1 y 4 3 2 1 -4 4 -3 3 -2 2 -1 1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4   [1, 2 ],  = 10 -6
  129. 129. Comparação entre os métodos p ç  Exemplo: f(x) = x3 – x – 1 Observações:  Melhor desempenho: Método do Ponto Fixo  Métodos de Newton e Secante: muitas iterações pois houve divergência no inicio da execução ( denominador  0 )
  130. 130. Comparação entre os métodos p ç  Exemplo: f(x) = 4 sen(x) – e2   [0, 1 ],  = 10 -5 Observações:  Melhor desempenho: Método de Newton, devido à boa escolha de x0
  131. 131. Exercícios f ( x)  x 2  x  6, encontre 1) A partir do gráfico da função a raiz   [1, 3] , d d a tolerância   10 4 . i dada l â i Utilize x0  1,5 e x1  1,7. y 4 Resposta: 3 iterações para cada método. 3 f(x) 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 4 -5 -6 1 2 3 4 5 x

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