O documento discute sistemas lineares, definindo-os como um conjunto de equações lineares e apresentando sua representação matricial. Sistemas lineares podem ser classificados de acordo com seu posto e nulidade, que são determinados pelo escalonamento da matriz dos coeficientes. A solução de um sistema linear é o vetor que satisfaz todas as equações do sistema.

1. Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
16 de fevereiro de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

2. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

3. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

4. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares:









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
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5. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
Se considerarmos
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

6. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
Se considerarmos X =
[
x1 x2 . . . xn
]t
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

7. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
Se considerarmos X =
[
x1 x2 . . . xn
]t
, B =
[
b1 b2 . . . bm
]t
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

8. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
Se considerarmos X =
[
x1 x2 . . . xn
]t
, B =
[
b1 b2 . . . bm
]t
e
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 am2 . . . amn





,
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9. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
podemos representar o sistema por
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

10. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
podemos representar o sistema por
Am×nXn×1 = Bm×1.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

11. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Definição
podemos representar o sistema por
Am×nXn×1 = Bm×1.
A matriz A é chamada matriz dos coeficientes, a X matriz das variáveis e B a matriz
dos termos independentes.
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12. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Example
O sistema
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13. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Example
O sistema {
2x − 3y = −5
x + y = 5
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14. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Example
O sistema {
2x − 3y = −5
x + y = 5
é linear e pode ser escrito como:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

15. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
Example
O sistema {
2x − 3y = −5
x + y = 5
é linear e pode ser escrito como:
[
2 −3
1 1
]
·
[
x
y
]
=
[
−5
5
]
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16. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
São exemplos de sistemas não lineares:
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17. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
São exemplos de sistemas não lineares:
(a)



x2
1 −
√
x2 = 0
3x1 −
1
x2
= −1
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18. Sistemas Lineares
Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial
São exemplos de sistemas não lineares:
(a)



x2
1 −
√
x2 = 0
3x1 −
1
x2
= −1
(b)




∂f
∂x
(x0, y0)
∂f
∂y
(x0, y0)



 =

 2x
−1
2
√
y
3 2x−3


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19. Sistemas Lineares
Solução de um Sistema Linear
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20. Sistemas Lineares
Solução de um Sistema Linear
Definition
Um vetor X̄ é uma solução de um sistema linear quando satisfaz todas as equações que
compõem este sistema.
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21. Sistemas Lineares
Solução de um Sistema Linear
Definition
Um vetor X̄ é uma solução de um sistema linear quando satisfaz todas as equações que
compõem este sistema.
Example
O vetor
[
2 3
]t
é solução do sistema
{
2x − 3y = −5
x + y = 5
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22. Sistemas Lineares
Solução de um Sistema Linear
Definition
Um vetor X̄ é uma solução de um sistema linear quando satisfaz todas as equações que
compõem este sistema.
Example
O vetor
[
2 3
]t
é solução do sistema
{
2x − 3y = −5
x + y = 5
Verifique!
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23. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
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24. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Consideremos a aplicação
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25. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Consideremos a aplicação
S : Rn → Rm
X 7→ AX
, A ∈ Rm×n
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26. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Consideremos a aplicação
S : Rn → Rm
X 7→ AX
, A ∈ Rm×n
Definição de alguns conjuntos associados à aplicação S
O conjunto:
{B ∈ Rm; ∃ X ∈ Rn, B = AX} é chamado imagem da aplicação S e é denotado
por Im(S).
{X ∈ Rn; AX = 0} é chamado núcleo (ou espaço nulo) de S e é denotado por
N(S) ou ker(S);
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27. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Consideremos a aplicação
S : Rn → Rm
X 7→ AX
, A ∈ Rm×n
Definição de alguns conjuntos associados à aplicação S
O conjunto:
{B ∈ Rm; ∃ X ∈ Rn, B = AX} é chamado imagem da aplicação S e é denotado
por Im(S).
{X ∈ Rn; AX = 0} é chamado núcleo (ou espaço nulo) de S e é denotado por
N(S) ou ker(S);
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28. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Consideremos a aplicação
S : Rn → Rm
X 7→ AX
, A ∈ Rm×n
Definição de alguns conjuntos associados à aplicação S
O conjunto:
{B ∈ Rm; ∃ X ∈ Rn, B = AX} é chamado imagem da aplicação S e é denotado
por Im(S).
{X ∈ Rn; AX = 0} é chamado núcleo (ou espaço nulo) de S e é denotado por
N(S) ou ker(S);
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29. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual
a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que
gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que:
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30. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual
a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que
gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que:
O posto e a nulidade de S
o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))).
a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S.
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31. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual
a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que
gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que:
O posto e a nulidade de S
o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))).
a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S.
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32. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual
a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que
gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que:
O posto e a nulidade de S
o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))).
Esta dimensão pode ser determinada pela quantidade de linhas não nulas de A′, a
matriz obtida por um processo de escalonamento da matriz A;
a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S.
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33. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual
a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que
gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que:
O posto e a nulidade de S
o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))).
Esta dimensão pode ser determinada pela quantidade de linhas não nulas de A′, a
matriz obtida por um processo de escalonamento da matriz A;
a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

34. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual
a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que
gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que:
O posto e a nulidade de S
o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))).
Esta dimensão pode ser determinada pela quantidade de linhas não nulas de A′, a
matriz obtida por um processo de escalonamento da matriz A;
a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S.
Esta dimensão pode ser determinada pela quantidade de linhas nulas de A′, a
matriz obtida por um processo de escalonamento da matriz A.
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35. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Podemos entender um sistema linear
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36. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Podemos entender um sistema linear
Am×nXn×1 = Bm×1,
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

37. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Podemos entender um sistema linear
Am×nXn×1 = Bm×1,
de m equações lineares com n incógnitas, portanto, como sendo um conjunto de
equações que determinam o subconjunto do domínio de S, também conhecido como a
solução do sistema linear, que está associado a um vetor B ∈ Rm, B = AX.
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38. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Podemos entender um sistema linear
Am×nXn×1 = Bm×1,
de m equações lineares com n incógnitas, portanto, como sendo um conjunto de
equações que determinam o subconjunto do domínio de S, também conhecido como a
solução do sistema linear, que está associado a um vetor B ∈ Rm, B = AX.
Aqui, como o nosso objetivo é o de definir métodos para a obtenção deste conjunto
estaremos interessados em sistemas com solução única.
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39. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
Podemos entender um sistema linear
Am×nXn×1 = Bm×1,
de m equações lineares com n incógnitas, portanto, como sendo um conjunto de
equações que determinam o subconjunto do domínio de S, também conhecido como a
solução do sistema linear, que está associado a um vetor B ∈ Rm, B = AX.
Aqui, como o nosso objetivo é o de definir métodos para a obtenção deste conjunto
estaremos interessados em sistemas com solução única.
Portanto, devemos nos preocupar com a existência e a unicidade da solução deste
sistema. O resultado que trata dessa questão é Teorema de Rouche-Capelli.
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40. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
O sistema linear quando possui conjunto solução
unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado;
infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado;
vazio, dizemos que é um sistema impossível.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

41. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
O sistema linear quando possui conjunto solução
unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado;
infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado;
vazio, dizemos que é um sistema impossível.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

42. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
O sistema linear quando possui conjunto solução
unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado;
infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado;
vazio, dizemos que é um sistema impossível.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

43. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
O sistema linear quando possui conjunto solução
unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado;
infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado;
vazio, dizemos que é um sistema impossível.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

44. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
O sistema linear quando possui conjunto solução
unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado;
infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado;
vazio, dizemos que é um sistema impossível.
Seja Am×nX = B um sistema de equações lineares, dim(Im(A)) = δ e min{m, n} = ν.
A classificação do sistema linear segue conforme tabela abaixo:
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45. Sistemas Lineares
Classificação de um sistema linear
O sistema linear quando possui conjunto solução
unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado;
infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado;
vazio, dizemos que é um sistema impossível.
Seja Am×nX = B um sistema de equações lineares, dim(Im(A)) = δ e min{m, n} = ν.
A classificação do sistema linear segue conforme tabela abaixo:
Am×n m = n m < n m > n
B ∈ Im(A) e δ = ν det indet única
B 6∈ Im(A) e δ = ν det indet imp
B ∈ Im(A) e δ < ν indet indet indet
B 6∈ Im(A) e ν < ν imp imp imp
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46. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
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47. Sistemas Lineares
Exemplos
Daremos exemplos de sistemas lineares
Am×n · X = B,
relacionando a matriz dos coeficientes e os tipos de solução do sistema linear.
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
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48. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
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49. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
Example
Classifique o sistema {
2x1 − x2 = 3
3x1 + 4x2 = 10
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
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50. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
Example
Classifique o sistema {
2x1 − x2 = 3
3x1 + 4x2 = 10
Observe que o sistema possui número de equações lineares igual ao número de
incógnitas (m = n) e como a matriz A dos coeficientes possuem colunas que são
linearmente independentes, temos que dim(Im(A)) = 2, o que o torna um sistema
possível e determinado. De fato, o sistema possui como solução o vetor X = (2 1)t.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
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51. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
Example
Classifique o sistema {
2x1 − x2 = 3
3x1 + 4x2 = 10
Observe que o sistema possui número de equações lineares igual ao número de
incógnitas (m = n) e como a matriz A dos coeficientes possuem colunas que são
linearmente independentes, temos que dim(Im(A)) = 2, o que o torna um sistema
possível e determinado. De fato, o sistema possui como solução o vetor X = (2 1)t.
Observe que a solução neste caso é um único ponto intersecção entre o gráfico das
retas.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
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52. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

53. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
Example
Classifique o sistema: {
2x1 − 4x2 = 6
3x1 − 6x2 = 9
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

54. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
Example
Classifique o sistema: {
2x1 − 4x2 = 6
3x1 − 6x2 = 9
Observe que o sistema possui duas equações lineares e duas incógnitas (m = n),
porém, a matriz A dos coeficientes possuem colunas que são linearmente dependentes.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
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55. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
Example
Classifique o sistema: {
2x1 − 4x2 = 6
3x1 − 6x2 = 9
Observe que o sistema possui duas equações lineares e duas incógnitas (m = n),
porém, a matriz A dos coeficientes possuem colunas que são linearmente dependentes.
Assim, dim(Im(A)) = 1. Como B ∈ Im(A), o sistema é possível e indeterminado.
Observe que o gráfico das retas coincidem.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
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56. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

57. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
Example
Classifique o sistema {
2x1 − 4x2 = 3
3x1 − 6x2 = 5
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

58. Sistemas Lineares
Exemplos
1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é
possível determinado.
2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o
sistema é possível indeterminado.
3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o
sistema é impossível.
Example
Classifique o sistema {
2x1 − 4x2 = 3
3x1 − 6x2 = 5
Como visto anteriormente, o sistema possui duas equações lineares, duas incógnitas e
dim(Im(A)) = 1. Como B 6∈ Im(A), o sistema é incompatível.
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59. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
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60. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

61. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

62. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
AB = BA = I.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

63. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
AB = BA = I.
A matriz B é chamada de inversa de A e é denotada por A−1.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

64. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
AB = BA = I.
A matriz B é chamada de inversa de A e é denotada por A−1.
Theorem
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65. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
AB = BA = I.
A matriz B é chamada de inversa de A e é denotada por A−1.
Theorem
Seja AX = B um sistema linear com n equações e n variáveis. As seguintes afirmações
são equivalentes:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

66. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
AB = BA = I.
A matriz B é chamada de inversa de A e é denotada por A−1.
Theorem
Seja AX = B um sistema linear com n equações e n variáveis. As seguintes afirmações
são equivalentes:
A é inversível;
o sistema AX = B possui única solução, para toda matriz Bn×1.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

67. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
AB = BA = I.
A matriz B é chamada de inversa de A e é denotada por A−1.
Theorem
Seja AX = B um sistema linear com n equações e n variáveis. As seguintes afirmações
são equivalentes:
A é inversível;
o sistema AX = B possui única solução, para toda matriz Bn×1.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

68. Sistemas Lineares
Classificação de Sistemas Lineares Quadrados
Definition
Dizemos que uma matriz quadrada A é inversível ou não singular quando existe uma
matriz B tal que
AB = BA = I.
A matriz B é chamada de inversa de A e é denotada por A−1.
Theorem
Seja AX = B um sistema linear com n equações e n variáveis. As seguintes afirmações
são equivalentes:
A é inversível;
o sistema AX = B possui única solução, para toda matriz Bn×1.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

69. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

70. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

71. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
Consideremos o sistema linear:
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

72. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
Consideremos o sistema linear:
{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

73. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
Consideremos o sistema linear:
{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2.
constituído pelas retas r1 : a1x + b1y = c1 e r2 : a2x + b2y = c2.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

74. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
Consideremos o sistema linear:
{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2.
constituído pelas retas r1 : a1x + b1y = c1 e r2 : a2x + b2y = c2.
Resolver este sistema significa encontrar um vetor
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

75. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
Consideremos o sistema linear:
{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2.
constituído pelas retas r1 : a1x + b1y = c1 e r2 : a2x + b2y = c2.
Resolver este sistema significa encontrar um vetor
[
x̄ ȳ
]t
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

76. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
Consideremos o sistema linear:
{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2.
constituído pelas retas r1 : a1x + b1y = c1 e r2 : a2x + b2y = c2.
Resolver este sistema significa encontrar um vetor
[
x̄ ȳ
]t
satisfazendo simultaneamente suas equações.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

77. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Uma reta no plano é um conjunto {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c} onde a, b e c são
constantes reais.
Consideremos o sistema linear:
{
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2.
constituído pelas retas r1 : a1x + b1y = c1 e r2 : a2x + b2y = c2.
Resolver este sistema significa encontrar um vetor
[
x̄ ȳ
]t
satisfazendo simultaneamente suas equações.
Geometricamente, isto significa determinar, caso exista, o ponto de interseção entre as
retas r1 e r2, ou seja, P = r1 ∩ r2 = (x̄, ȳ).
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

78. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

79. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

80. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

81. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

82. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
Observe que
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

83. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
Observe que
det
([
a1 b1
a2 b2
])
= 0
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

84. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
Observe que
det
([
a1 b1
a2 b2
])
= 0 ⇔
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

85. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
Observe que
det
([
a1 b1
a2 b2
])
= 0 ⇔ det
([
a1 b1
0 b2 − a2
a1
b1
])
= 0
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

86. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
Observe que
det
([
a1 b1
a2 b2
])
= 0 ⇔ det
([
a1 b1
0 b2 − a2
a1
b1
])
= 0 ⇔
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

87. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
Observe que
det
([
a1 b1
a2 b2
])
= 0 ⇔ det
([
a1 b1
0 b2 − a2
a1
b1
])
= 0 ⇔ a1b2 − a2b1 = 0.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

88. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 2 × 2
Observe que:
Se r1 e r2 são duas retas que não se intersectam, o sistema não tem solução;
Se r1 e r2 são coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.
Se r1||r2 ou r1 ≡ r2, as retas r1 e r2 possuem o mesmo coeficiente angular:
a1
b1
=
a2
b2
,
ou seja, a1b2 − a2b1 = 0.
Observe que
det
([
a1 b1
a2 b2
])
= 0 ⇔ det
([
a1 b1
0 b2 − a2
a1
b1
])
= 0 ⇔ a1b2 − a2b1 = 0.
Assim, a singularidade da matriz dos coeficientes A, reflete geometricamente em um
paralelismo ou em uma coincidência das retas r1 e r2.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

89. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

90. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Planos no R3 são conjuntos de pontos do tipo {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d} onde
a, b, c e d são constantes reais.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

91. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Planos no R3 são conjuntos de pontos do tipo {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d} onde
a, b, c e d são constantes reais.
Considere os planos π1 : a1x + b1y + c1z = d1, π2 : a2x + b2y + c2z = d2 e
π3 : a3x + b3y + c3z = d3.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

92. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Planos no R3 são conjuntos de pontos do tipo {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d} onde
a, b, c e d são constantes reais.
Considere os planos π1 : a1x + b1y + c1z = d1, π2 : a2x + b2y + c2z = d2 e
π3 : a3x + b3y + c3z = d3.
Seja o sistema constituído pelas equações destes planos:
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

93. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Planos no R3 são conjuntos de pontos do tipo {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d} onde
a, b, c e d são constantes reais.
Considere os planos π1 : a1x + b1y + c1z = d1, π2 : a2x + b2y + c2z = d2 e
π3 : a3x + b3y + c3z = d3.
Seja o sistema constituído pelas equações destes planos:



a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

94. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Planos no R3 são conjuntos de pontos do tipo {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d} onde
a, b, c e d são constantes reais.
Considere os planos π1 : a1x + b1y + c1z = d1, π2 : a2x + b2y + c2z = d2 e
π3 : a3x + b3y + c3z = d3.
Seja o sistema constituído pelas equações destes planos:



a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Note que se a matriz dos coeficientes A possui vetores LI, a interseção de dois planos
quaisquer deste sistema, digamos
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

95. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Planos no R3 são conjuntos de pontos do tipo {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d} onde
a, b, c e d são constantes reais.
Considere os planos π1 : a1x + b1y + c1z = d1, π2 : a2x + b2y + c2z = d2 e
π3 : a3x + b3y + c3z = d3.
Seja o sistema constituído pelas equações destes planos:



a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Note que se a matriz dos coeficientes A possui vetores LI, a interseção de dois planos
quaisquer deste sistema, digamos
r = π1 ∩ π2 = {(x, y, z) ∈ R3
: a1x + b1y + c1z = d1 e a2x + b2y + c2z = d2}
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

96. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Planos no R3 são conjuntos de pontos do tipo {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d} onde
a, b, c e d são constantes reais.
Considere os planos π1 : a1x + b1y + c1z = d1, π2 : a2x + b2y + c2z = d2 e
π3 : a3x + b3y + c3z = d3.
Seja o sistema constituído pelas equações destes planos:



a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Note que se a matriz dos coeficientes A possui vetores LI, a interseção de dois planos
quaisquer deste sistema, digamos
r = π1 ∩ π2 = {(x, y, z) ∈ R3
: a1x + b1y + c1z = d1 e a2x + b2y + c2z = d2}
representa uma reta em R3.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

97. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Assim, a solução
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

98. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Assim, a solução X̄ =
[
x̄ ȳ z̄
]t
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

99. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Assim, a solução X̄ =
[
x̄ ȳ z̄
]t
do sistema é dada pela intersecção da reta r com o
plano π3.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

100. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Assim, a solução X̄ =
[
x̄ ȳ z̄
]t
do sistema é dada pela intersecção da reta r com o
plano π3.
Observe que, se
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

101. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Assim, a solução X̄ =
[
x̄ ȳ z̄
]t
do sistema é dada pela intersecção da reta r com o
plano π3.
Observe que, se
det(A) = det




a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3



 = 0
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

102. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Assim, a solução X̄ =
[
x̄ ȳ z̄
]t
do sistema é dada pela intersecção da reta r com o
plano π3.
Observe que, se
det(A) = det




a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3



 = 0
geometricamente, teremos que r||π3 ou r ⊂ π3.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

103. Sistemas Lineares
Interpretação Geométrica de Sistemas 3 × 3
Assim, a solução X̄ =
[
x̄ ȳ z̄
]t
do sistema é dada pela intersecção da reta r com o
plano π3.
Observe que, se
det(A) = det




a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3



 = 0
geometricamente, teremos que r||π3 ou r ⊂ π3.
Se det(A) 6= 0, então existe uma única solução P = (x̄; ȳ; z̄) para o sistema linear e
P = r ∩ π3.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

104. Sistemas Lineares
Métodos para a Solução de Sistemas Lineares
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

105. Sistemas Lineares
Métodos para a Solução de Sistemas Lineares
Vimos, no estudo de zeros de funções, que métodos numéricos são ferramentas
utilizadas para a determinação de uma solução aproximada para o problema em
questão.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

106. Sistemas Lineares
Métodos para a Solução de Sistemas Lineares
Vimos, no estudo de zeros de funções, que métodos numéricos são ferramentas
utilizadas para a determinação de uma solução aproximada para o problema em
questão.
Geralmente, estes são apropriados para determinarmos a solução aproximada de
problemas que tenham uma única solução.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

107. Sistemas Lineares
Métodos para a Solução de Sistemas Lineares
Vimos, no estudo de zeros de funções, que métodos numéricos são ferramentas
utilizadas para a determinação de uma solução aproximada para o problema em
questão.
Geralmente, estes são apropriados para determinarmos a solução aproximada de
problemas que tenham uma única solução.
De modo análogo, nos concentraremos, portanto, em sistemas lineares onde a
quantidade de variáveis é igual a de equações e cuja solução é única, ou seja, aqueles
para os quais temos o determinante de A não nulo.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

108. Sistemas Lineares
Métodos para a Solução de Sistemas Lineares
Vimos, no estudo de zeros de funções, que métodos numéricos são ferramentas
utilizadas para a determinação de uma solução aproximada para o problema em
questão.
Geralmente, estes são apropriados para determinarmos a solução aproximada de
problemas que tenham uma única solução.
De modo análogo, nos concentraremos, portanto, em sistemas lineares onde a
quantidade de variáveis é igual a de equações e cuja solução é única, ou seja, aqueles
para os quais temos o determinante de A não nulo.
Os métodos de resolução de um sistema linear são classificados em dois grandes
grupos:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

109. Sistemas Lineares
Métodos para a Solução de Sistemas Lineares
Vimos, no estudo de zeros de funções, que métodos numéricos são ferramentas
utilizadas para a determinação de uma solução aproximada para o problema em
questão.
Geralmente, estes são apropriados para determinarmos a solução aproximada de
problemas que tenham uma única solução.
De modo análogo, nos concentraremos, portanto, em sistemas lineares onde a
quantidade de variáveis é igual a de equações e cuja solução é única, ou seja, aqueles
para os quais temos o determinante de A não nulo.
Os métodos de resolução de um sistema linear são classificados em dois grandes
grupos:
— Métodos diretos: são aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem os erros
de arredondamento, com um número finito de operações.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

110. Sistemas Lineares
Métodos para a Solução de Sistemas Lineares
Vimos, no estudo de zeros de funções, que métodos numéricos são ferramentas
utilizadas para a determinação de uma solução aproximada para o problema em
questão.
Geralmente, estes são apropriados para determinarmos a solução aproximada de
problemas que tenham uma única solução.
De modo análogo, nos concentraremos, portanto, em sistemas lineares onde a
quantidade de variáveis é igual a de equações e cuja solução é única, ou seja, aqueles
para os quais temos o determinante de A não nulo.
Os métodos de resolução de um sistema linear são classificados em dois grandes
grupos:
— Métodos diretos: são aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem os erros
de arredondamento, com um número finito de operações.
— Métodos iterativos: são aqueles que permitem obter a solução aproximada de um
sistema com uma dada precisão através de um processo infinito convergente.
Estudaremos neste capítulo os métodos exatos e os iterativos.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

111. Sistemas Lineares
REFERÊNCIAS
1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas:
UFRB, 2021.
2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos
Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997.
3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo
Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

112. Sistemas Lineares
FIM
Votos e agradecimentos
Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde
mais!
Sucesso!
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021