Profª Débora Bastos
Recapitulação P (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe. Para funções contínuas e deriváveis temos pontos...
Traçando um esboço do gráfico de umafunçãoTemo até agora como determinar: Pontos extremos Intervalos onde a função é cre...
Exemplos                                     Assíntota                                     oblíquaAssíntotahorizontal     ...
 Definição 11: A reta x = a será uma assíntota vertical do   gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas   aba...
 Definição 12: A reta y = b é denominada uma assíntota       1  horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das  ...
 Definição 13: Se lim [f(x) – (mx + b)] = 0                   x ∞então a reta y = mx + b é chamada assíntota oblíqua, po...
Exemplo Ache as assíntotas do gráfico da função h definida por:                             x2 + 3                      h...
Exemplolim h(x) = −∞            lim h(x) = +∞x −∞                    x+∞h não possui assíntotas horizontais.Assíntota ob...
Procedimentos para obter o gráfico de umafunção bem detalhado.h   Determine o domínio de f;n   Ache a intersecção com o ei...
1. Obtenha os valores de x em que f ”(x) não existe   ou f ”(x)= 0;2. Determine os intervalos em que o gráfico de f é cônc...
Exemplo                             1.    Domínio: Faça o esboço do gráfico                             2.    Intersecçõe...
Exemplo                             1.    Domínio: Faça o esboço do gráfico                             2.    Intersecçõe...
Exercícios Faça o mesmo para:               3    2 f x) = (x − 1) x  (          x  f x) = e x   (
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Aula 3 da disciplina de matemática 2 para os cursos Tecnólogo em Refrigeração e Climatização e Tecnólogo em Construção de Edifícios. Conteúdo: Esboço do gráfico de uma função.

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  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Recapitulação P (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe. Para funções contínuas e deriváveis temos pontos extremos nos pontos críticos. Para funções contínuas e deriváveis temos:f crescente para valores de x em que f ’(x) > 0f decrescente para valores de x em que f ’(x) < 0f côncava para cima para valores de x em f ”(x) > 0f côncava para baixo para valores de x em f ”(x) < 0 Ponto de inflexão é o ponto em que há mudança de concavidade. Ocorre entre os valores c tais que f ”(c) não existe ou f ”(c) = 0.
  3. 3. Traçando um esboço do gráfico de umafunçãoTemo até agora como determinar: Pontos extremos Intervalos onde a função é crescente ou decrescente Intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo Pontos de Inflexão.Falta ⇒ Estudo das assíntotas.
  4. 4. Exemplos Assíntota oblíquaAssíntotahorizontal Assíntota Assíntota vertical vertical
  5. 5.  Definição 11: A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas abaixo for verdadeira:(i) lim f(x) = + ∞ x  a+(ii) lim f(x) = + ∞ x  a-(iii) lim f(x) = − ∞ x  a+(iv) lim f(x) = − ∞ x  a−
  6. 6.  Definição 12: A reta y = b é denominada uma assíntota 1 horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida:(i) lim f(x) = b e para um nº N, se x > N, então f(x) ≠ b. x  +∞(ii) lim f(x) = b e para um nº N, se x < N, então f(x) ≠ b. x  −∞
  7. 7.  Definição 13: Se lim [f(x) – (mx + b)] = 0 x ∞então a reta y = mx + b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva y = mx + b e y = f(x) tende a zero.Nota: Se f(x) for uma função racional as assíntotas obliquas ocorrem quando a diferença entre o grau do numerador e do denominador é 1.
  8. 8. Exemplo Ache as assíntotas do gráfico da função h definida por: x2 + 3 h x) = ( x − 1e faça um esboço do gráfico.Solução:D(h) = lR – {1}Investigar o que ocorre à esquerda e à direita de x = 1.lim h(x) = − ∞x1-lim h(x) = + ∞x1+A reta x = 1 é uma assíntota vertical de h.
  9. 9. Exemplolim h(x) = −∞ lim h(x) = +∞x −∞ x+∞h não possui assíntotas horizontais.Assíntota obliqua. x2 + 3 4h x) = ( = x + 1 + x − 1 x − 1y=x+1 4Pontos extremos: h(x) = 1 − ( x − 1) 2h’ existe em D(h)h’(x) = 0 ⇔ x = − 1 ou x = 3
  10. 10. Procedimentos para obter o gráfico de umafunção bem detalhado.h Determine o domínio de f;n Ache a intersecção com o eixo oy se houver e se a equação de f for fácil ache as raízes da função; Teste a simetria em relação ao eixo oy (f(−x)=f(x)) e a simetria em relação a origem (f(−x)= − f(x));ç Calcule f ’(x) e f ”(x); Determine os números críticos de f (f ’(x) não existe ou f ’(x) = 0);ú Verifique se os valores críticos são extremos (teste da segunda derivada);) Determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente (estudo do sinal de f ’);
  11. 11. 1. Obtenha os valores de x em que f ”(x) não existe ou f ”(x)= 0;2. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo (estudo do sinal de f ”). Verifique se os valores críticos obtidos no passo anterior são de inflexão;3. Verifique a existência de possíveis assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
  12. 12. Exemplo 1. Domínio: Faça o esboço do gráfico 2. Intersecções: da função f abaixo: f x) = ( x 3. Simetrias: x2 − 4 4. f’ e f”: 5. Pontos críticos: 6. Pontos extremos: 7. Estudo do sinal de f’: 8. Valores críticos de f”: 9. Estudo do sinal de f”: 10. Assíntotas:
  13. 13. Exemplo 1. Domínio: Faça o esboço do gráfico 2. Intersecções: da função f abaixo: 6 6 3. Simetrias: f x) = ( − x 2 x 4. f’ e f”: 5. Pontos críticos: 6. Pontos extremos: 7. Estudo do sinal de f’: 8. Valores críticos de f”: 9. Estudo do sinal de f”: 10. Assíntotas:
  14. 14. Exercícios Faça o mesmo para: 3 2 f x) = (x − 1) x ( x f x) = e x (

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