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Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Introdução ao Cálculo Numérico
Métodos Iterativos para Sistemas Lineares
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
02 de Maio de 2020
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Concepção de um Método Iterativo
Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado
em um sistema equivalente x = Cx + d.
Para isso, devemos ter det(A) = 0, com aii = 0, para i = {1, 2, . . . , n}.
Ax = b ⇒ x = Cx + d
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.



a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn
(1)
com aii = 0, ∀i.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
• explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
• adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
• adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j = i;
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Obtendo, assim:



x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
...
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k)
1 − an2x
(k)
2 − . . . − an(n−1)x
(k)
n−1)
(2)
com aii = 0, ∀i.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
• o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações
x(1)
, x(2)
, . . . , x(k)
,
partindo da aproximação inicial x(0);
• utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ǫ, em que ǫ é a
precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x
(k+1)
i − x
(k)
i |}, ∀i = {1, 2, . . . , n}.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Exemplo: Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o
sistema ß
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
partindo do vetor x(0) = 0, 9 0, 9
t
, com uma precisão ǫ = 0, 04.
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência
são: 


x
(k+1)
1 =
1
2
(1 + x
(k)
2 )
x
(k+1)
2 =
1
2
(3 − x
(k)
1 )
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 0, temos:



x
(1)
1 =
1
2
(1 + x
(0)
2 ) =
1
2
(1 + 0, 9) = 0, 95
x
(1)
2 =
1
2
(3 − x
(0)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 9) = 1, 05
Sendo assim,
|x(1)
− x(0)
| = max{|0, 95 − 0, 9|, |1, 05 − 0, 9|} = 0, 15 > 0, 04.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 1, temos:



x
(2)
1 =
1
2
(1 + x
(1)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 05) = 1, 025
x
(2)
2 =
1
2
(3 − x
(1)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 95) = 1, 025
Sendo assim,
|x(2)
− x(1)
| = max{|1, 025 − 0, 95|, |1, 025 − 1, 05|} = 0, 075 > 0, 04.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 2, temos:



x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
|x(3)
− x(2)
| = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04.
Portanto, o vetor solução é
1, 0125 0, 09875
t
.
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Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde:
• explicitamos a variável xi na i-ésima equação;
• adotamos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
• já utilizamos os valores x
(k+1)
i obtidos no cálculo das linhas seguintes.
Assim, teremos:
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Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel



x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k+1)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
3 =
1
a33
(b3 − a31x
(k+1)
1 − a32x
(k+1)
2 − a33x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
...
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k+1)
1 − an2x
(k+1)
2 − . . . − an(n−1)x
(k+1)
n−1 )
(3)
com aii = 0, ∀i.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Seidel
Exemplo: Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Seidel, para o
sistema: 


5x1 + 2x2 + x3 = 8
3x1 + 6x2 − 2x3 = 7
2x1 − 4x2 + 10x3 = 8
partindo do vetor x(0) = 0 0 0
t
, com uma precisão ǫ = 0, 001.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Seidel
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência
são: 


x
(k+1)
1 =
1
5
(8 − 2x
(k)
2 − x
(k)
3 )
x
(k+1)
2 =
1
6
(7 − 3x
(k+1)
1 + 2x
(k)
3 )
x
(k+1)
3 =
1
10
(8 − 2x
(k+1)
1 + 4x
(k+1)
2 )
(4)
A seguir, uma tabela com a sequência de valor encontrados em cada iteração utilizando
o sistema gerador (4).
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares
Método Gauss-Seidel
k x
(k+1)
1 x
(k+1)
2 x
(k+1)
3 max
0 0 0 0
1 1, 6 0, 3667 0, 6267 1, 6
2 1, 328 0, 7116 0, 819 0, 3449
3 1, 1516 0, 8639 0, 9152 0, 1764
4 1, 0714 0, 936 0, 9601 0, 0802
5 1, 0336 0, 9699 0, 9812 0, 0378
6 1, 0158 0, 9858 0, 9912 0, 0178
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8 1, 0035 0, 9969 0, 9981 0, 0039
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Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
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Referências
• CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo Numé-
rico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
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Referências
Final!
Bons Estudos!
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
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  • 1. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Introdução ao Cálculo Numérico Métodos Iterativos para Sistemas Lineares Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB 02 de Maio de 2020 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 2. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado em um sistema equivalente x = Cx + d. Para isso, devemos ter det(A) = 0, com aii = 0, para i = {1, 2, . . . , n}. Ax = b ⇒ x = Cx + d Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 3. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.    a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2 ... an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn (1) com aii = 0, ∀i. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 4. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: • explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja, • adotarmos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; • adotarmos x (k) j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada j = i; Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 5. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Obtendo, assim:    x (k+1) 1 = 1 a11 (b1 − a12x (k) 2 − a13x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 2 = 1 a22 (b2 − a21x (k) 1 − a23x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) ... x (k+1) n = 1 ann (bn − an1x (k) 1 − an2x (k) 2 − . . . − an(n−1)x (k) n−1) (2) com aii = 0, ∀i. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 6. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi • o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações x(1) , x(2) , . . . , x(k) , partindo da aproximação inicial x(0); • utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ǫ, em que ǫ é a precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x (k+1) i − x (k) i |}, ∀i = {1, 2, . . . , n}. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 7. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Exemplo: Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema ß 2x1 − x2 = 1 x1 + 2x2 = 3 partindo do vetor x(0) = 0, 9 0, 9 t , com uma precisão ǫ = 0, 04. Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:    x (k+1) 1 = 1 2 (1 + x (k) 2 ) x (k+1) 2 = 1 2 (3 − x (k) 1 ) Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 8. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos:    x (1) 1 = 1 2 (1 + x (0) 2 ) = 1 2 (1 + 0, 9) = 0, 95 x (1) 2 = 1 2 (3 − x (0) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 9) = 1, 05 Sendo assim, |x(1) − x(0) | = max{|0, 95 − 0, 9|, |1, 05 − 0, 9|} = 0, 15 > 0, 04. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 9. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 1, temos:    x (2) 1 = 1 2 (1 + x (1) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 05) = 1, 025 x (2) 2 = 1 2 (3 − x (1) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 95) = 1, 025 Sendo assim, |x(2) − x(1) | = max{|1, 025 − 0, 95|, |1, 025 − 1, 05|} = 0, 075 > 0, 04. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 10. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:    x (3) 1 = 1 2 (1 + x (2) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 025) = 1, 0125 x (3) 2 = 1 2 (3 − x (2) 1 ) = 1 2 (3 − 1, 025) = 0, 09875 Sendo assim, |x(3) − x(2) | = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04. Portanto, o vetor solução é 1, 0125 0, 09875 t . Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 11. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde: • explicitamos a variável xi na i-ésima equação; • adotamos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; • já utilizamos os valores x (k+1) i obtidos no cálculo das linhas seguintes. Assim, teremos: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 12. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel    x (k+1) 1 = 1 a11 (b1 − a12x (k) 2 − a13x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 2 = 1 a22 (b2 − a21x (k+1) 1 − a23x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 3 = 1 a33 (b3 − a31x (k+1) 1 − a32x (k+1) 2 − a33x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) ... x (k+1) n = 1 ann (bn − an1x (k+1) 1 − an2x (k+1) 2 − . . . − an(n−1)x (k+1) n−1 ) (3) com aii = 0, ∀i. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 13. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Seidel Exemplo: Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Seidel, para o sistema:    5x1 + 2x2 + x3 = 8 3x1 + 6x2 − 2x3 = 7 2x1 − 4x2 + 10x3 = 8 partindo do vetor x(0) = 0 0 0 t , com uma precisão ǫ = 0, 001. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 14. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Seidel Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:    x (k+1) 1 = 1 5 (8 − 2x (k) 2 − x (k) 3 ) x (k+1) 2 = 1 6 (7 − 3x (k+1) 1 + 2x (k) 3 ) x (k+1) 3 = 1 10 (8 − 2x (k+1) 1 + 4x (k+1) 2 ) (4) A seguir, uma tabela com a sequência de valor encontrados em cada iteração utilizando o sistema gerador (4). Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 15. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Método Gauss-Seidel k x (k+1) 1 x (k+1) 2 x (k+1) 3 max 0 0 0 0 1 1, 6 0, 3667 0, 6267 1, 6 2 1, 328 0, 7116 0, 819 0, 3449 3 1, 1516 0, 8639 0, 9152 0, 1764 4 1, 0714 0, 936 0, 9601 0, 0802 5 1, 0336 0, 9699 0, 9812 0, 0378 6 1, 0158 0, 9858 0, 9912 0, 0178 7 1, 0074 0, 9934 0, 9959 0, 0084 8 1, 0035 0, 9969 0, 9981 0, 0039 9 1, 0016 0, 9986 0, 9991 0, 0019 10 1, 0007 0, 9994 0, 9996 0, 0009 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 16. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Referências • CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo Numé- rico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 17. Métodos Iterativos para a resolução de sistemas Lineares Referências Final! Bons Estudos! Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD