1) O documento apresenta um teste de cálculo com 7 questões sobre integrais, funções e áreas. 2) A primeira questão pede que se mostre uma igualdade envolvendo integrais de funções. A segunda pede o cálculo de dois integrais definidos. A terceira pede o cálculo de um integral e a aplicação do Teorema do Valor Médio. 3) A quarta questão pede o cálculo da área delimitada pelos gráficos de duas funções. A quinta mostra que o integral de uma função ímpar sobre um intervalo

1. Teste de Avalia¸c˜ao de C´alculo - Janeiro 2020
Nome do aluno:
Aprecia¸c˜ao:
Responda de forma clara e justificada a todas as quest˜oes que constituem este teste.
Miguel Fernandes
1. Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1
em [a, b]. Mostre que
2
b
a
f (x)f(x) dx = f(b)2
− f(a)2
.
2. Calcule o valor dos seguintes integrais definidos.
2.1.
π
−π
cos x + 1 dx
2.2.
π
0
x2
sin x dx
3. Calcule o valor do integral
1
−2
x2
+2x−1 dx e justifique que ´e poss´ıvel aplicar o Teorema do Valor M´edio
para Integrais, identificando a constante a que se refere esse teorema.
4. Calcule a ´area da zona do plano delimitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por f(x) = e−x
+ 1 e
g(x) = ex
no intervalo [−1, 1].
5. Seja f uma fun¸c˜ao ´ımpar e cont´ınua. Mostre que
a
−a
f(x) dx = 0
onde a ∈ Df .
6. Considere a fun¸c˜ao g : R −→ R+
0 de classe C1
e crescente e a fun¸c˜ao f definida por
f(x) =
g(x)
0
g (t) dt
6.1. Indique o dom´ınio de f e justifique que a mesma ´e cont´ınua nesse dom´ınio.
6.2. Justifique que f ´e deriv´avel e escreva a express˜ao da sua derivada.
6.3. Conclua que f ´e crescente. Como poderia chegar a essa conclus˜ao sem recorrer `a express˜ao da
derivada de f?
7. Determine a fun¸c˜ao f de classe C1
que verifica



f(x2
− 1) +
x2
−1
0
f (t) dt = x, x > 1
f(0) = 3
Fim da Prova
Cota¸c˜ao (por ordem das quest˜oes):
1,5val - 2 val - 2,5 val - 2,5 val - 2,5 val - 1,5 val - 1,5 val - 2 val - 1,5 val - 2,5 val

2. Corre¸c˜ao do teste de C´alculo - Janeiro 2020
1. Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1
em [a, b]. Queremos mostrar que:
2
b
a
f (x)f(x) dx = f(b)2
− f(a)2
(1)
Ora, usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por partes, resulta
b
a
f (x)f(x) dx = f2
(x)
x=b
x=a
−
b
a
f (x)f(x) dx
o que ´e, de facto, equivalente a
2
b
a
f (x)f(x) dx = f(b)2
− f(a)2
2. Dada a continuidade das fun¸c˜oes envolvidas, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, obt´em-se, em ambos
os casos:
2.1.
π
−π
cos x + 1 dx = sin x + x
x=π
x=−π
= π − (−π) = 2π.
2.2.
π
0
x2
sin x dx = −x2
cos x
x=π
x=0
+2
π
0
x cos x = π2
+2 x sin x
x=π
x=0
−
π
0
sin x = π2
+2 cos x
x=π
x=0
=
π2
+ 2 (cos π − cos 0) = π2
− 4, usando t´ecnica de integra¸c˜ao por partes.
3. Pretendemos calcular o valor do integral definido:
1
−2
x2
+ 2x − 1 dx (2)
Usando a linearidade do operador de integra¸c˜ao, temos
1
−2
x2
+ 2x − 1 dx =
x3
3
+ x2
− x
x=1
x=−2
=
1
3
+ 1 − 1 −
(−2)3
3
+ (−2)2
+ 2 =
1
3
+
8
3
− 4 − 2 = −3.
Agora, o Teorema do Valor M´edio para Integrais, aplica-se quando a fun¸c˜ao integranda ´e cont´ınua (que ´e
notoriamente o caso, pois os polin´omios s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas) e garante a existˆencia de uma constante
c ∈ [a, b] tal que:
1
−2
x2
+ 2x − 1 dx = c2
+ 2c − 1 (1 − (−2)) = 3c2
+ 6c − 3
e, portanto, tendo em conta o resultado obtido para o integral, resta resolver a equa¸c˜ao abaixo de forma
a obter tal constante
3c2
+ 6c − 3 = −3 ⇔ 3c2
+ 6c = 0 ⇔ 3c (c + 2) = 0 ⇔ c = 0 ∨ c = −2
e ambos os valores obtidos s˜ao v´alidos para a escolha de tal constante.
4. Comecemos por analisar graficamente a situa¸c˜ao descrita. Pretendemos obter a ´area da zona do plano
limitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes f(x) = e−x
+ 1 e g(x) = ex
e pelas retas verticais de equa¸c˜oes x = −1
e x = 1, isto ´e, a ´area delimitada pelas linhas azul e vermelha da figura abaixo.

3. −1 −0.5 0 0.5 1
1
2
3
x
e−x
+1(vermelho)ex
(azul)
Para isso, come¸camos por determinar a abcissa, p, do ponto de interse¸c˜ao dos dois gr´aficos:
e−x
+ 1 = ex
⇔ e2x
− ex
− 1 = 0 ⇔ x = log
1 +
√
5
2
.
Assim, a ´area que procuramos pode ser obtida atrav´es do integral:
p
−1
e−x
+ 1 − ex
dx +
1
p
ex
− e−x
− 1
que ´e numericamente igual a (−e−x
+ x − ex
)
x=p
x=−1
+(ex
+ e−x
− x)
x=1
x=p
= −e
− log



1 +
√
5
2



+log
1 +
√
5
2
−
e
log



1 +
√
5
2



+ e1
+ 1 + e−1
+ e1
+ e−1
− 1 − e
log



1 +
√
5
2



− e
− log



1 +
√
5
2



+ log
1 +
√
5
2
=
−2e
− log



1 +
√
5
2



+ 2 log
1 +
√
5
2
+ 2e + 2e−1
=
−4
1 +
√
5
+ 2 log
1 +
√
5
2
+ 2e + 2e−1
.
5. Pretende-se mostrar que, sendo f uma fun¸c˜ao ´ımpar e cont´ınua, se tem, para todo a ∈ Df :
a
−a
f(x) dx = 0 (3)
Ora, tendo em conta que f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, temos, para todo x do seu dom´ınio, a rela¸c˜ao −f(x) =
f(−x). Por outro lado, usando integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao, segue de (3):
a
−a
f(x) dx =
a
−a
f(−x) dx =
−
a
−a
f(x) dx, onde a ´ultima igualdade adv´em do facto de f ser´ımpar. Portanto,
a
−a
f(x) dx = −
a
−a
f(x) dx
e a conclus˜ao segue.
6. 6.1. O dom´ınio de f ´e o conjunto x ∈ Dg :
g(x)
0
g (t) dt < +∞ , porque g : R −→ R+
0 (isto ´e, g ´e n˜ao
negativa) e ´e crescente (isto ´e g (t) ≥ 0).
Ora, tal conjunto ´e, de facto, R, pois Dg = R e, como g ´e de classe C1
, g ´e integr´avel em [0, g(x)].
Por outro lado, f ´e cont´ınua nesse dom´ınio, pois ´e a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes cont´ınuas: g e a
fun¸c˜ao h definida por h(x) =
x
0
g (t) dt.
6.2. f ´e deriv´avel, pois g ´e de classe C1
, e a express˜ao da sua derivada ´e dada por (f ´e composi¸c˜ao das
fun¸c˜oes mencionadas na al´ınea anterior):
Page 2

4. f (x) = g (x)g (g(x)),
usando o Teorema Fundamental do C´alculo.
6.3. f ´e crescente, pois f (x) ≥ 0. Poder-se-ia chegar a essa conclus˜ao tendo em conta que g (t) ≥ 0 e
g ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa, donde resulta que o integral
g(x)
0
g (t) dt (interpretado como ´area) ´e
crescente em x.
7. Derivando ambos os membros de f(x2
− 1) +
x2
−1
0
f (t) dt = x, obt´em-se 2xf (x2
− 1) + 2xf (x2
− 1) =
1 ⇔ 4xf (x2
− 1) = 1 ⇔ f (x2
− 1) =
1
4x
⇔ f(x2
− 1) =
1
4
log 4x + K ⇔ f(x) =
1
4
log 4
√
x + 1 + K, pois
x > 1. Usando a condi¸c˜ao inicial f(0) = 3, resulta 3 =
1
4
log 4 + K ⇔ K = 3 −
1
4
log 4. Logo, a solu¸c˜ao
do problema ´e f(x) =
1
4
log
√
x + 1 + 3.
Page 3