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  1. 1. C´alculo 1 sa x θ θQ Pb Q t Qγ QQ Q l lQ lQ lQ y lQ lQ lQ s = a + ∆x xa θ θQ ∆x Pf(a) γ : y = f(x) f(a + ∆x) − f(a) l t = f(a + ∆x) Q y lQ por Jos´e Adonai Pereira Seixas Macei´o-2010
  2. 2. Conte´udo 1 Func¸˜oes e Gr´aficos 1 1.1 Func¸˜oes Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Sugest˜oes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Limite e Continuidade 11 2.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . 18 2.4 Func¸˜oes Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Operac¸˜oes com Func¸˜oes Cont´ınuas . . . . . . 22 2.6 Limites Trigonom´etricos Fundamentais . . . . 23 2.8 Sugest˜oes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Derivadas 26 3.1 A Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 A Func¸˜ao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Regras de Derivac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Derivadas de Func¸˜oes Elementares . . . . . . 31 3.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . 37 3.7 Derivac¸˜ao Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.9 Sugest˜oes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Aplicac¸˜oes da Derivada 41 4.1 Taxa de Variac¸˜ao – Cinem´atica . . . . . . . . . 42 4.2 Variac¸˜ao das Func¸˜oes . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.1 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . 43 4.2.2 Func¸˜oes Mon´otonas . . . . . . . . . . . 45 4.3 M´aximos e M´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.6 Sugest˜oes & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 54 Referˆencias Bibliogr´aficas 55
  3. 3. UFAL – EAD – C´alculo 1 J. Adonai Parte 1: Func¸˜oes e Gr´aficos Objetivos Espec´ıficos • Definir Func¸˜ao Real de Uma Vari´avel Real • • Visualizar o Gr´afico de uma Func¸˜ao • • Construir as Func¸˜oes Trigonom´etricas • Objetivo Geral •• Construir as Bases para o Estudo do C´alculo Diferencial •• Macei´o-2010
  4. 4. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 2 Um dos mais importantes conceitos matem´aticos do ensino b´asico ´e o conceito de fun¸c˜ao, pois, praticamente, todos os demais temas do Ensino M´edio podem ser tratados a partir desse conceito. ´E frequente encontrarmos na natureza duas grandezas uma dependendo da outra: uma dela ´e a vari´avel independente e a outra ´e a vari´avel dependente. Sempre que isto ocorre, estamos diante de fatos que podem ser repre- sentados por uma fun¸c˜ao. Se indicamos por x a vari´avel independente e por y, a dependente, dizemos que y ´e fun¸c˜ao de x, o que ser´a posto assim: y = f(x). O que falta, agora, ´e determinar onde, e como, x e y variam, isto ´e, devemos definir o dom´ınio e contradom´ınio da fun¸c˜ao f. A t´ıtulo de exemplo, vejamos algumas situa¸c˜oes: • O espa¸co y percorrido por um autom´ovel (ou part´ıcula) depende do tempo t decorrido. Esta dependˆencia ´e indicada por y = S(t), e ´e dada por: y = S (t) = S0 + v0t + 1 2 at2 , onde a posi¸c˜ao inicial S0 e a velocidade inicial v0 s˜ao conhecidas. Neste caso, a vari´avel independente ´e o tempo t, pode ser medido em segundos e pode assumir valores maiores ou iguais a zero. • A diagonal d de um quadrado depende do lado l desse quadrado: d (l) = l √ 2. • A altura h de um triˆangulo equil´atero depende do seu lado l: h (l) = l √ 3 2 . • O Volume V de um cubo depende de sua aresta a: V (a) = a3 . Formalizando, temos a seguinte defini¸c˜ao. Definic¸˜ao 1.1. Sejam A e B dois conjuntos n˜ao vazios. Uma lei de correspondˆencia que a cada elemento de A associa um ´unico elemento de B determina uma fun¸c˜ao f. O conjunto A ´e chamado de dom´ınio de fun¸c˜ao f. O conjunto B ´e chamado de contra-dom´ınio de fun¸c˜ao f. Se um elemento y de B est´a associada a um elemento x de A, dizemos que y ´e o valor da fun¸c˜ao f no ponto x e indicamos y = f(x). O subconjunto de B dado por I(f) = {y ∈ B : y = f(x), x ∈ A} ´e a imagem de f. Usaremos o diagrama f : A −−−−−→ B x −−−−−→ y = f(x) para indicar uma fun¸c˜ao f com dom´ınio A e contra-dom´ınio B. Ligado a uma fun¸c˜ao f est´a um subconjunto muito especial do pro- duto cartesiano A × B, que chamamos de gr´afico de f, e que definido por G(f) = {(x, y) ∈ A × B; y = f(x)}. A importˆancia deste conjunto reside no fato de que o seu conhecimento determina completamente f. No caso em que A e B s˜ao subconjuntos de R, Figura 1: Curva y = f(x), x ∈ [a, b] ba xx x0 f(x) y (em geral, intervalos) G(f) ´e, tamb´em, chamado curva y = f(x). Note que a proje¸c˜ao desta curva sobre o eixo-x coincide com o dom´ınio de f, e sua proje¸c˜ao sobre eixo-y ´e exatamente a imagem da fun¸c˜ao. Deve ser observado, tamb´em, que as retas perpendiculares ao dom´ınio de f tocam a curva em um ponto apenas: isto ´e a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao. Em muitos caso, ´e importante saber se a fun¸c˜ao cresce ou decresce, e isto ´e facilmente obtido a partir do conhecimento da curva y = f(x).
  5. 5. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 3 Por exemplo, na figura 1, vemos que f ´e crescente no intervalo [x0, b]. ´E poss´ıvel desenvolver ferramentas que permitem esbo¸car G(f) com precis˜ao. Uma delas ´e a derivada de uma fun¸c˜ao, que estudaremos em aulas futuras. Por enquanto, nos limitaremos a esbo¸car, em alguns casos grosseiramente, alguns gr´aficos de fun¸c˜oes relativamente simples. Exemplo 1.2. [Fun¸c˜ao Afim] Dadas as constantes a, b ∈ R, consi- dere a fun¸c˜ao f (x) = ax + b, x variando em R. Em outras palavras, f : R −−−−−→ R x −−−−−→ y = f(x) = ax + b . Fun¸c˜oes deste tipo s˜ao chamadas fun¸c˜oes afins. No caso, b = 0, ficamos com f(x) = ax, que s˜ao as fun¸c˜oes lineares de R em R. Assim G(f) = {(x, y) ∈ R2 ; y = ax + b}. Portanto, esbo¸car o gr´afico de f, significa desenhar todas as duplas da forma (x, y), onde y = ax + b e x percorrendo os n´umeros reais. Vimos, em Geometria Anal´ıtica, que as solu¸c˜oes de y − ax − b = 0 ´e uma reta. Portanto, o gr´afico procurado ´e esta reta. Posto isto, basta dois pontos para desenhar o gr´afico de f. Um modo simples de fazer isto ´e fazer x = 0, que d´a y = b e x = 1, que produz y = a + b. Assim, tra¸cando a reta que passa por P = (0, b) e Q = (1, a+b), temos a figura desejada. Abaixo vemos o gr´afico de f, representando o caso geral, e o caso particular, linear, y = x, x variando em todo R. Figura 2: O gr´afco de y = ax + b 1 x b a + b Q y Figura 3: O gr´afco de y = x 1 x 1 y Vale observar que uma lei do tipo y = c, onde c ´e uma constante, tamb´em representa uma fun¸c˜ao afim. Seu gr´afico ´e uma reta horizontal, paralela ao eixo-x e passando por y = c. A imagem dessa fun¸c˜ao ´e o conjunto {c}. Uma equa¸c˜ao do tipo x = c representa uma reta vertical, passando por x = c, mas n˜ao representa uma fun¸c˜ao (y = f(x)). Por quˆe? 1-1 Exerc´ıcio Resposta Esboce os gr´aficos das fun¸c˜oes afins abaixo, des- tacando os pontos onde elas furam os eixos co- ordenados. (a) y = x + 1, x ∈ R. (b) y = −x, x ∈ R. (c) y = 2x, x ∈ R. (d) y = −2x + 2, x ∈ [−2, 2]. Exemplo 1.3. [Fun¸c˜ao quadr´atica] Seja f (x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c ∈ R, a = 0, s˜ao constantes. No nosso curso de Geometria Anal´ıtica, vimos que y = ax2 + bx + c descreve uma par´abola com reta diretriz paralela ao eixo-x e eixo para- lelo ao eixo-y. Assim, podemos esbo¸car o gr´afico de f a partir de trˆes pontos escolhidos com certo cuidado. A escolha destes pontos depende essencialmente do discriminante, = b2 −4ac. Inicialmente, calculamos o ponto do gr´afico que ´e o v´ertice da par´abola, que ´e dado por V = ( −b 2a , f( −b 2a )) = ( −b 2a , − 4a ). Os outros dois pontos, digamos Q1 e Q2, podem ser escolhidos com abscissas x1 e x2 sim´etricas com rela¸c˜ao `a abscisa de V . Quando ∆ > 0,
  6. 6. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 4 x1 e x2 podem ser as ra´ızes de f, isto ´e, Q1 = (x1, 0) e Q2 = (x2, 0), onde x1 = −b − √ 2a e x2 = −b + √ 2a . Figura 4: y = ax2 + bx + c, a > 0 − ∆ 4a x1 x2x xx0 x0 − ∆ 4a ∆ > 0 ∆ < 0 yy Figura 5: y = x2 1 2 x−1 1 4 y Observe que, quando a > 0, a fun¸c˜ao quadr´atica ´e decrescente antes de −b 2a e cresce a partir da´ı. Em outras palavras, se a > 0, f(x) = ax2 +bx+c decresce no intervalo (−∞, −b 2a ] e cresce no intervalo [−b 2a , ∞). Vocˆe seria capaz de descrever o que acontece se a < 0? A figura 5 mostra o caso f(x) = x2 . 1-2 Exerc´ıcio Resposta Esboce os gr´aficos e descreva as imagens das se- guintes fun¸c˜oes quadr´aticas. Indique os inter- valos onde as fun¸c˜oes crescem e decrescem. (Atente para o dom´ınio, em cada caso.) (a) y = x2 , 1 ≤ x ≤ 2. (b) y = −x2 + 1, −2 ≤ x ≤ 2. (c) y = x2 + 3x, x ∈ R. (d) y = x2 − 3x + 2, x ∈ R. Para o esbo¸co dos gr´aficos, nos exemplos acima, tivemos o aux´ılio de alguns conhecimentos obtidos em Geometria Anal´ıtica quando estu- damos retas e cˆonicas. O que fazer quando n˜ao temos um conhecimento pr´evio da forma do gr´afico de uma fun¸c˜ao? Bem, o que fazemos ´e esco- lher alguns valores para a vari´avel x, calcular o valor de f nestes pontos, marcar as duplas (x, f(x)) obtidas e a seguir construir uma poligonal ligando tais duplas, obtendo assim uma grosseira aproxima¸c˜ao para a curva y = f(x). `A medida que escolhemos mais pontos melhoramos a aproxima¸c˜ao poligonal e, portanto, nos aproximamos cada vez mais da forma correta da curva. Figura 6: Aproxima¸c˜ao Poligonal para y = f(x), x ∈ [a, b] xa x5 x8x6 x7x3x2 bx4 y Exemplo 1.4. Considere a fun¸c˜ao f : R −→ R, dada por f(x) = x3 . Como n˜ao co- nhecemos esta fun¸c˜ao, para desenhar o seu gr´afico tabelamos alguns valores e, a partir deles, obtemos um primeiro esbo¸co. Depois, deixamos a intui¸c˜ao trabalhar. x −1 −2 3 −1 3 0 1 3 2 3 1 y −1 − 8 27 − 1 27 0 1 27 8 27 1 Ao lado, vemos parte da curva y = x3 , que corresponde ao intervalo [−1, 1]. x y
  7. 7. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 5 Observe que a imagem desta fun¸c˜ao coincidem com conjunto dos n´umeros reais, isto ´e, I(f) = R. Outra observa¸c˜ao que podemos fazer ´e que f as- sume valores negativos para x negativo, valores positivos para x positivo e, finalmente, que ela ´e uma fun¸c˜ao crescente. Exemplo 1.5. Indicando por R∗ o conjunto dos n´umeros reais dife- rentes de zero, definimos a fun¸c˜ao rec´ıproco, f : R∗ −→ R∗ , dada por y = f(x) = 1 x . Tabelando alguns valores e em seguida localizando os pontos no plano cartesiano, obtemos um esbo¸co do gr´afico de f. x y −5 −1 5 −4 −1 4 −3 −1 3 −2 −1 2 −1 −1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 x y Conv´em observar neste ponto que a curva acima ´e uma hip´erbole. De fato, os argumento que usamos ao girar uma cˆonica (veja o exerc´ıcio 4.12 do curso de Geometria Anal´ıtica), mostram facilmente que a rota¸c˜ao de 45o no sentido anti-hor´ario em torno da origem da hip´erbole equil´atera x2 2 − y2 2 = 1 produz a hip´erbole xy = 1, que ´e exatamente a curva y = 1 x . Exemplo 1.6. [Valor Absoluto] Considere f : R −→ [0, +∞), defi- nida por f(x) = |x|, onde |x| ´e o valor absoluto de x |x| = x, se x ≥ 0 −x, se x < 0. Este ´e outro exemplo que podemos desenhar a curva y = f(x) a partir do nosso conhecimento de retas, pois para x ≥ 0, temos y = x e para x < 0, temos y = −x. A seguir vemos a curva y = |x| e uma tabela com alguns valores de f. x |x| −4 4 −3 3 −2 2 −1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 x y Exemplo 1.7. Podemos construir novas fun¸c˜oes a partir da colagem de outras fun¸c˜oes conhecidas. No que segue, usaremos uma fun¸c˜ao quadr´atica e uma afim para construir uma nova, cujo gr´afico ´e um arco de par´abola colado a um segmento de reta. De fato, defina f : R −→ R por f(x) = −x2 + 2x, se x ≤ 2 x − 1, se x > 2. Portanto, para x abaixo de 2, temos y = f(x) ´e um arco da par´abola y = −x2 + 2x e para x maior do que 2, obtemos a reta y = x − 1. Como sabemos esbo¸car par´abolas e re- tas, fica f´acil desenhar y = f(x). x y
  8. 8. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 6 Exemplo 1.8. A fun¸c˜ao maior inteiro, indicada por [ ] : R −→ R, ´e definida por [x] = maior inteiro ≤ x. Vejamos alguns valores desta fun¸c˜ao. Se x = 1/2, ent˜ao [x] = 0, pois o zero ´e o maior inteiro menor ou igual a 1/2. De modo an´alogo, vemos que [x] = 0, se x ∈ [0, 1) e, claro, [1] = 1. Mais geralmente, se m ∈ Z, ent˜ao [x] = m, para x ∈ [m, m + 1) e [m + 1] = m + 1. Note que o seu gr´afico ´e constitu´ıdo por segmentos de retas formando uma escada. Por esta raz˜ao, muitas vezes, chamamos [ ] de fun¸c˜ao escada. x y 1-3 Exerc´ıcio Resposta Esboce os gr´aficos das fun¸c˜oes abaixo, desta- cando os pontos onde elas furam os eixos coor- denados. (a) y = 1 1−x , x = 1. (b) f(x) = x2 , se x ≤ 0 x + 1, se x > 0. Uma fam´ılia de fun¸c˜oes que desempenha papel de grande re- levˆancia no C´alculo ´e a das fun¸c˜oes trigonom´etricas que introduziremos agora. 1.1 Func¸˜oes Trigonom´etricas Na figura ao lado, temos o c´ırculo unit´ario S1 , cuja equa¸c˜ao carte- siana ´e x2 + y2 = 1 e, como sabemos, tem comprimento 2π. As fun¸c˜oes trigonom´etricas b´asicas, a saber, o seno, indicada por sen e a fun¸c˜ao cos- seno, cos, ser˜ao definidas usando este c´ırculo. O dom´ınio destas fun¸c˜oes ser´a R. Vejamos suas constru¸c˜oes. Seja t ∈ R um n´umero real do intervalo [0, 2π], isto ´e, 0 ≤ t ≤ 2π. Agora constru´ımos, a partir do ponto A = (1, 0), um arco de compri- mento t, tra¸cado no sentido anti-hor´ario, se t > 0 ou no sentido hor´ario, Figura 12: C´ırculo Trigonm´etrico t < 0 O A = (1, 0) xcos t sen t t > 0 B y se t < 0. O arco termina no ponto B cujas coordenadas, por sua vez, determinam o que chamaremos de cos t e sen t, como vemos na figura. Portanto, a abscissa de B ´e o cos t e a ordenada de B ´e o sen t. Em outras palavras, cos t = proje¸c˜ao de OB no eixo-x, sen t = proje¸c˜ao de OB no eixo y, o que pode ser reescrito como B = (cos t, sen t). Note que cos t ≥ 0, para t ∈ [0, π 2 ] ∪ [3π 2 , 2π] e cos t < 0, para t ∈ (π 2 , 3π 2 ). Observe, tamb´em, que se t = π/2, o arco correspondente a
  9. 9. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 7 t tem comprimento π/2, que ´e um quarto do comprimento de S1 . Logo, B = (0, 1) e, portanto, cos π 2 = 0 e sen π 2 = 1. Discuss˜ao semelhante pode ser feita para o sen, obtendo sen t ≥ 0, para t ∈ [0, π] e sen t < 0, para t ∈ (π, 2π). Agora, dado t ∈ R, t > 0, contamos quantas vezes 2π cabe em t, no caso t > 0, ou quantas vezes −2π cabe em t, se t < 0, isto ´e, procuramos o inteiro m tal que t = 2mπ + t0, onde t0 ∈ [−2π, 2π] e definimos cos t = cos t0 e sen t = sen t0. Conv´em observar que isto equivale a pensar num cord˜ao de comprimento t, prendˆe-lo por uma extremidade ao ponto A e enrol´a-lo sobre S1 , no sentido anti-hor´ario, se t > 0 ou no sentido hor´ario, no caso em que t < 0. No final deste processo a outra extremidade atingir´a o final do arco AB que mede t0. t cos t sen t 0 1 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 2 0 1 π −1 0 3π 2 0 −1 2π 1 0 √ 2 2 BO xA = (1, 0) 45◦ √ 2 2 t = π 4 B y A seguir, mostraremos como calcular o seno e o cosseno de π/4 e π/6. Na figura acima, vemos desenhado o arco de comprimento π/4, que divide o primeiro quadrante do c´ırculo S1 em dois arcos de comprimento π/4. Portanto, o ˆangulo BOB deve medir 45◦ . Donde conclu´ımos que o triˆangulo OB B ´e retˆangulo e is´osceles, e seus catetos s˜ao cos t e sen t, com cos t = sen t. Como a hipotenusa mede 1, segue-se que 2 cos2 t = 1 e, portanto, cos π 4 = sen π 4 = √ 2/2. Na figura a seguir, vemos desenhado o arco de comprimento π/6, que divide o primeiro quadrante do c´ırculo S1 em trˆes arcos de com- primento π/6. Portanto, o ˆangulo BOB deve medir 30◦ . Donde con- √ 3 2 BO A = (1, 0) x 30◦ 1 2 t = π 6 B y clu´ımos que o triˆangulo OB B ´e retˆangulo e o ˆangulo OBB mede 60◦ . Logo, cos π 6 e sen π 6 s˜ao, respectivamente, a altura e a metade o lado de um triˆangulo equil´atero de aresta 1. Portanto, cos π 6 = √ 3 2 e sen π 6 = 1 2 . O leitor atento, agora, deve observar que, da mesma figura, decorre que cos π 3 = 1 2 e sen π 3 = √ 3 2 . A partir da defini¸c˜ao, obtemos a seguinte identidade fundamental. Proposic¸˜ao 1.9. Dado t ∈ R, ent˜ao (cos t)2 + (sen t)2 = 1. Demonstra¸c˜ao. De fato, temos que B = (cos t, sen t) e B ∈ S1 , que tem equa¸c˜ao x2 + y2 = 1. Logo, cos2 t + sen2 t = 1. Agora enunciamos algumas propriedades not´aveis das fun¸c˜oes sen e cos. Proposic¸˜ao 1.10. Dados s, t ∈ R e m ∈ Z, valem as seguintes propri- edades.
  10. 10. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 8 (i) cos(−s) = cos s. (ii) cos(s + 2mπ) = cos s. (iii) cos(s + t) = cos s cos t − sen s sen t. (iv) cos(s − t) = cos s cos t + sen s sen t. (v) cos 2s = cos2 s − sen2 s. (vi) cos(π 2 − s) = sen s. (vii) sen(−s) = − sen s. (viii) sen(s + 2mπ) = sen s. (ix) sen(π 2 − s) = cos s. (x) sen(s + t) = sen s cos t + sen t cos s. (xi) sen(s − t) = sen s cos t − sen t cos s. (xii) sen 2s = 2 sen s cos s. Demonstra¸c˜ao. Come¸camos observando que (i), (ii), (vii) e (viii) seguem da defini¸c˜ao de sen e cos. Vamos admitir por um instante que (iii) ´e verdadeira, e veremos que, a partir dela obtemos todas as outras. Com efeito, cos(s − t) = cos(s + (−t)) = cos s cos(−t) − sen s sen(−t) = cos s cos t − sen s sen t, onde usamos (i), (vii) e (iii). Portanto, temos (iv). Agora, cos(2s) = cos(s + s) = cos s cos s − sen s sen s = cos2 s − sen2 s, o que d´a (v). Para (vi), usamos (iv) juntamente com cos(π 2 ) = 0 e sen(π 2 ) = 1: cos( π 2 − s) = cos( π 2 ) cos s + sen( π 2 ) sen s = sen s. Para (ix), simplesmente escrevemos cos s = cos((s − π 2 ) + π 2 ) = cos(s − π 2 ) cos( π 2 ) − sen(s − π 2 ) sen( π 2 ) = sen( π 2 − s). Com o mesmo tipo de id´eia, obtemos (x). As identidades (xi) e (xii), ser˜ao deixadas como exerc´ıcio para o leitor. Provaremos, agora, (iii). A figura abaixo mostra os arcos s, t e −t, juntamente com os pontos A = (1, 0), B = (cos s, sen s), C = (cos(s + t), sen(s + t)), D = (cos(−t), sen(−t)) = (cos t, − sen t). D = (cos t, − sen t) −t O A = (1, 0)x s B = (cos t, sen t) t C = (cos(s + t), sen(s + t)) y A distˆancia de A a C, que indicamos por d(A, C), obtemos d(A, C) = (cos(s + t) − 1)2 + sen2(s + t) = 2 − 2 cos(s + t).
  11. 11. Func¸˜oes e Gr´aficos (J. Adonai) - 9 Donde, (d(A, C))2 = 2 − 2 cos(s + t). Agora, a distˆancia de B a D ´e d(B, D) = (cos s − cos t)2 + (sen s + sen t)2 = √ 2 − 2 cos s cos t + 2 sen s sen t. Portanto, d(B, D)2 = 2 − 2 cos s cos t + 2 sen s sen t. De d(A, B) = d(B, D), segue-se que cos(s + t) = cos s cos t − sen s sen t, o que prova (iii) e termina a demonstra¸c˜ao. Vejamos, agora, os gr´aficos do sen e do cos. Notamos que o sen cresce no intervalo [0, π 2 ], onde seus valores variam de sen 0 = 0 at´e sen π 2 = 1. Ent˜ao come¸ca a decrescer em [π 2 , 3π 2 ], onde atinge 0 em π e come¸ca a atingir valores negativos no intervalo aberto (π, 2π). Final- Figura 16-(a): y = sen x Figura 16-(b): y = cos x xx y y mente, atinge 0 em 2π. Para fazer o esbo¸co total de y = sen x, usa- mos a propriedade sen(x + 2mπ) = sen x, conhecida como periodici- dade da fun¸c˜ao sen (tamb´em dizemos que sen tem per´ıodo 2π), que permite repetir o esbo¸co em [0, 2π] nos intervalos da [2π, 4π], [4π, 6π], [6π, 8π], [8π, 10π], . . .. O mesmo fato vale para os intervalos [−2π, −4π], [−4π, −6π], [−6π, −8π], [−8π, −10π]. . . A propriedade cos x = sen(x + π 2 ) mostra que a curva y = cos x pode ser obtida a partir de y = sen x por uma transla¸c˜ao de −π 2 ao longo do eixo OX. Conv´em observar que a fun¸c˜ao cos tamb´em ´e peri´odica de per´ıodo 2π. 1-4 Exerc´ıcio Resposta Verifique as seguintes identidades trigonom´etri- cas. (a) (cos x + sen x)2 = 1 + sen 2x. (b) (cos x − sen x)2 = 1 − sen 2x. (c) (cos x)4 − (sen x)4 = cos 2x. 1-5 Exerc´ıcio Resposta Sabendo que cos a + sen a = 1 e cos b + sen b = 0, determine todos os valores poss´ıveis para a e b. 1-6 Exerc´ıcio Resposta Dado x ∈ (−π 2 , π 2 ), definimos a tangente de x por tg x = sen x cos x e a secante de x por sec x = 1 cos x . (a) Mostre que 1 + (tg x)2 = (sec x)2 . (b) Se x ∈ (−π 4 , π 4 ), mostre que tg 2x = 2 tg x 1−(tg x)2
  12. 12. Sugest˜oes & Respostas (J. Adonai) - 10 Parte 1 Sugest˜oes & Respostas 1-1 Voltar (a) ´E a reta que passa por P = (0, 1) e Q = (1, 2). (b) ´E a reta que passa por P = (0, 0) e Q = (1, −1). Ela ´e perpendicular `a reta y = x. (d) Deve ser considerado, apenas, o segmento da reta y = −2x+2 que se projeta sobre o intervalo [−2, 2] . 1-2 Voltar (a) O dom´ınio ´e o intervalo [1, 2]. Portanto, o gr´afico de f ´e o arco da par´abola y = x2 que se projeta sobre este intervalo. A imagem ´e o intervalo [1, 4] e a fun¸c˜ao ´e crescente. 1-3 Voltar (a) Hip´erbole. Fa¸ca u = x − 1 e v = y − 1. Assim, v = 1/u. Por- tanto, nos novos eixos, de coordenadas u e v, temos a mesma hip´erbole do exemplo 1.5 . x x − 1 u y − 1 y v (b) Observe que, em x = 0, f d´a um salto ao mudar da par´abola para a reta. 1-4 Voltar (a) Use (xii) da proposi¸c˜ao 1.10 . 1-5 Voltar Use o exerc´ıcio 1-4 -(a) para concluir que sen 2a = 0. Logo 2a = 2kπ, onde k ∈ Z. 1-6 Voltar (a) Divida a rela¸c˜ao fundamental (cos x)2 +(sen x)2 = 1 por (cos x)2 . (b) Use (v) e (xii) da proposi¸c˜ao 1.10 .
  13. 13. UFAL – EAD – C´alculo 1 J. Adonai Parte 2: Limite e Continuidade Objetivos Espec´ıficos • Estabelecer da Noc¸˜ao de Limite, a Partir de Exemplos • • Visualizar o Limite no Gr´afico • • Calcular de Limites • Objetivo Geral •• Estabelecer Condic¸˜oes para o C´alculo de um Limite Especial: a Derivada •• Macei´o-2010
  14. 14. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 12 A no¸c˜ao de limite de fun¸c˜oes constitui a base do C´alculo Diferen- cial. Neste parte, estudaremos este conceito, aproveitando, inicialmente, o lado intuitivo e culminando com uma defini¸c˜ao de limite mais elabo- rada. J´a que falamos em intui¸c˜ao, considere um objeto m´ovel que se desloca, ao longo de uma reta, no sentido de um ponto P fixado `a sua frente, distante, digamos 1.000 metros. Suponha que, por alguma raz˜ao, a cada segundo, contado a partir de agora, o objeto percorre a metade da distˆancia entre ele e o ponto P. Para ser mais claro, por exemplo, no primeiro segundo ele percorre 500 metros, no segundo segundo ele percorre 250 metros, no terceiro segundo ele percorre mais 125 metros, 1000 m 500 m 250 m Pt = 2 st = 0 s t = 1 s e assim sucessivamente. O leitor atento certamente j´a deduziu que no n-´esimo segundo, a distˆancia entre o objeto e o ponto P ´e D = 1.000 2n metros. Em que tempo o objeto m´ovel atingir´a o ponto P? A resposta ´e simples: nunca! Sempre haver´a entre o objeto e P, pelo menos a metade da distˆancia entre eles, atingida no segundo anterior. Mais formalmente, D = 1.000 2n > 0, para todo valor de n. Entretanto, algo not´avel deve ser dito: qualquer ponto X = P situado entre o objeto m´ovel e o ponto P ser´a deixado para tr´as pelo nosso objeto. Portanto, mesmo n˜ao atingindo P, com o passar do tempo, o objeto estar´a cada vez mais pr´oximo deste ponto. Em outras palavras, o limite do ponto m´ovel ´e P. Em se tratando de fun¸c˜oes reais, estaremos interessados em estu- dar o comportamento de seus valores, quando estes se aproximam de um certo valor limite, desde que sua vari´avel independente x esteja su- ficientemente pr´oxima de um n´umero real a, mesmo que a fun¸c˜ao n˜ao esteja definida a´ı. Em outras palavras, iremos estudar o limite de uma fun¸c˜ao f, que depende de x, quando x se aproxima de a. A distˆancia entre dois n´umeros reais ´e medida usando o valor absoluto da diferen¸ca entre eles, isto ´e, dados s, t ∈ R, a distˆancia entre eles ´e d(s, t) = |s−t|. Portanto, antes de estudarmo limite, ´e conveniente estalecermos logo as propriedades b´asicas do valor absoluto. Proposic¸˜ao 2.1. Dados s, t, u ∈ R e > 0, temos que (i) |s| ≥ 0, e |s| = 0 se, e somente se, s = 0; (ii) |st| = |s||t|; (iii) |s + t| ≤ |s| + |t|; (iv) ||s| − |t|| ≤ |s − t|; (v) |s−t| < ⇔ t− < s < t+ ⇔ s ∈ (t− , t+ ), onde (t− , t+ ) ´e o intervalo aberto centrado em t de raio ; (vi) d(s, t) ≤ d(s, u) + d(u, t). t Demonstra¸c˜ao. Vejamos a prova de (iii), onde usaremos (ii).Temos que (s + t)2 = s2 + 2st + t2 ≤ s2 + 2|st| + t2 = s2 + 2|s||t| + t2 . Logo, (s + t)2 ≤ (|s| + |t|)2 . Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, a desigualdade segue-se. Assim, fica provado (iii). Para (vi) observe que d(s, t) = |s−t| = |(s−u)+(u−s)| ≤ |s−u|+|u−s| = d(s, u)+d(u, t), onde usamos (iii).
  15. 15. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 13 Exemplo 2.2. Vamos considerar a fun¸c˜ao f : R −→ R definida por y = f(x) = 2x − 1. Podemos obter valores de y t˜ao pr´oximos de 3 quanto quisermos, bas- tando para isso tomarmos valores de x suficientemente pr´oximos de 2. Vamos descobrir para que valores de x, perto de 2, vale: 2, 9 < y < 3, 1. Temos: x y 2, 9 < y < 3, 1 ⇒ 2, 9 < 2x − 1 < 3, 1 ⇒ 1, 95 < x < 2, 05. Logo, 3 − 0, 1 < y < 3 + 0, 1 para 2 − 0, 05 < x < 2 + 0, 05, ou seja, −0, 1 < f(x) − 3 < 0, 1 quando − 0, 05 < x − 2 < 2 + 0, 05. Usando o valor absoluto, isto ´e o mesmo que, |f(x) − 3| < 0, 1 quando |x − 2| < 0, 05. Portanto, a distˆancia de f(x) a 3 fica menor do que 0, 1, se consideramos os x que distam de 2 menos de 0.05. Agora vamos ver se ´e poss´ıvel tornar os valores de f um pouco mais pr´oximos de 3. Vamos fazer suas distˆancias a 3 menores do que 0.001, isto ´e, |(2x − 1) − 3| < 0.001, ou 2, 99 < 2x − 1 < 3, 01. Um c´alculo simples mostra que isto ´e poss´ıvel, se 2 − 0, 005 < x < 2 + 0, 005, ou |x − 2| < 0, 005. Portanto, |x − 2| < 0, 005 ⇒ |f(x) − 3| < 0, 01. ´E claro que se x = 2, f(x) = 3, mas isto n˜ao importa agora. O que importa, isto sim, ´e que valores pr´oximos de 2 produzem para f valores pr´oximos de 3. Generalizando os argumentos acima, imagine que quere- mos fazer as distˆancias dos valores de f(x) a 3 bem pequenas. J´a fizemos menores do que 0.1 e 0.001, considerando x em um intervalo adequado. Agora vamos fazˆe-las menores que > 0, uma distˆacia arbitr´aria, que imaginamos bem pequena. O problema ´e ent˜ao: determinar um n´umero real δ > 0 tal que |x − 2| < δ ⇒ |f(x) − 3| < . ou 2 − δ < x < 2 + δ ⇒ 3 − < f(x) = 2x − 1 < 3 + . Partindo de 3 − < 2x − 1 < 3 + , deduzimos que 2 − /2 < x < 2 + /2. Podemos, portanto, escolher δ = /2. De fato, 2 − /2 < x < 2 + /2 ⇒ 4 − < 2x < 4 + ⇒ 3 − < f(x) < 3 + . Logo, para cada > 0 dado, existe por exemplo δ = 2 de modo que: 2 − δ < x < 2 + δ =⇒ 3 − < f(x) < 3 + . ou, usando o valor absoluto, |x − 2| < δ =⇒ |f(x) − 3| < . Este resultado pode ser escrito assim: limx→2 f(x) = 3, o limite de f quando x tende a 1 ´e 3.
  16. 16. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 14 2-1 Exerc´ıcio Resposta Considere f como no exemplo anterior. Ache δ > 0 de modo que |x − 1| < δ =⇒ |f(x) − 1| < . Qual o limite de f quando x tende a 1? Exemplo 2.3. Considere a fun¸c˜ao g definida em R − {2} por g(x) = (2x − 1)(x − 2) x − 2 . Como x−2 x−2 = 1, sempre que x = 2, vemos que g coincide com f, do exemplo anterior, em seu dom´ınio R − {2}. Portanto, seu limte em x = 2 existe e deve ser 3, isto ´e: limx→2 g(x) = 3. x y Note, agora, que, lim x→0 g(x) = −1, lim x→1 g(x) = 1, e lim x→ 1 2 g(x) = 0. E quando x se aproxima de 2, o que ocorre com os correspondentes valores de f(x)? Quando x se aproxima de 2, ou por valores menores que 2 (pela esquerda) ou por valores maiores que 2 (pela direita), mantendo- se diferente de 2, notamos que f(x) toma valores t˜ao pr´oximos de 3 quanto quisermos. Ent˜ao, limx→2 f(x) = 3 embora n˜ao exista f(2). Exemplo 2.4. Consideremos h : R −→ R definida por h(x) =    (2x − 1)(x − 2) x − 2 , se x = 2 5, se x = 2 Note que a diferen¸ca entre h e g, do exemplo anterior, ´e que conhecemos o valor de h em x = 2. Temos limx→2 h(x) = 3, mas h(2) = 5, e, portanto, limx→2 h(x) = f(2). x y Observando os exemplos anteriores, notamos que a frase “x tende a a”, x → a, quer dizer: x se aproxima de a por valores maiores que a ou por valores menores que a, mantendo-se diferente de a. Portanto, quando calculamos limx→a f(x) n˜ao precisamos considerar o valor que f possa atingir em x = x0, caso este exista.
  17. 17. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 15 2.1 Limite Agora, vamos formalizar a no¸c˜ao de limite. Definic¸˜ao 2.5. Dada a fun¸c˜ao f definida num intervalo I ⊂ R, ex- ceto possivelmente, em a, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a ´e L, e escreveremos lim x→a f(x) = L, se para cada n´umero real > 0 dado arbitrariamente, existe um n´umero δ > 0, que pode depender de , tal que para x ∈ I com (a − δ < x < a + δ e x = a) =⇒ L − < f(x) < L + . Em outras palavras, ∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ I e 0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − L| < . Conv´em observar que a defini¸c˜ao de limite permite provar que limx→a f(x) = L, mas n˜ao indica como obter L. Al´em disso, s˜ao grandes as dificuldades que surgem ao aplic´a-la para fun¸c˜oes um pouco mais elaboradas. Veremos agora algumas propriedades que eliminam parte dessas dificuldades. Teorema 2.6. [Propriedades dos Limites] Consideremos duas fun- ¸c˜oes f, g : I −→ R tendo limite em um certo ponto a ∈ I, digamos limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = S. Ent˜ao, valem os seguintes resulta- dos: (i) [Limite da soma] Quando x tende a a, a fun¸c˜ao soma de f com g,f(x) + g(x), tende a L + S, ou seja, lim x→a (f(x) + g(x)) = L + S, isto ´e, o limite da soma ´e a soma dos limites, desde que as parcelas tenham limite. (ii) [Limite do produto] Quando x tende a a, a fun¸c˜ao produto de f por g, f(x)g(x) tende a LS, ou seja, lim x→a (f(x)g(x)) = LS, isto ´e, o limite do produto ´e o produto dos limites, desde que os fatores tenham limite. (iii) [Limite do quociente] Quando x tende a a, se S = 0, a fun¸c˜ao quociente de f por g f g tende a L S , ou seja, lim x→a f(x) g(x) = L S , isto ´e, o limite do quociente ´e o quociente dos limites, desde que o numerador e o denominador tenham limite, e este ´ultimo seja n˜ao-nulo. Demonstra¸c˜ao. Vejamos a prova de (i). Seja > 0. Temos que existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x ∈ I, 0 < |x − a| < δ1 =⇒ |f(x) − L| < 2 , e x ∈ I, 0 < |x − a| < δ2 =⇒ |g(x) − S| < 2 . (Note que aplicamos simplesmente a defini¸c˜ao de limite para f e g, obtendo δ1 e δ2, a partir de /2.) Tomando δ = min{δ1, δ2} as duas implica¸c˜oes obtidas ocorrem simultaneamente, isto ´e, x ∈ I, 0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − L| < 2 e |g(x) − S| < 2 . Logo, se x ∈ I, 0 < |x − a| < δ, ent˜ao |f(x) + g(x) − (L + S)| ≤ |f(x) − L| + |g(x) − S| < 2 + 2 = . Isto significa que limx→a(f(x) + g(x)) = L + S.
  18. 18. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 16 Exemplo 2.7. lim x→−2 (3x) = lim x→−2 3 · lim x→−2 x = 3 · (−2) = −6. Exemplo 2.8. lim x→2 x3 = lim x→2 (x · x · x) = lim x→2 x · lim x→2 x · lim x→2 x = 23 = 8. Exemplo 2.9. lim x→1 (2x2 − 3x + 3) = lim x→1 2x2 + lim x→1 (−3x) + lim x→1 3 = 2 + (−3) + 3 = 2. Exemplo 2.10. Se m e b s˜ao constantes quaisquer, ent˜ao lim x→a (mx + b) = ma + b. Exemplo 2.11. Se f ´e dada pelo polinˆomio f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, temos limx→a f(x) = f(a). Exemplo 2.12. limx→5 x + 1 x − 1 = lim x→5 (x + 1) lim x→5 (x − 1) = 6 4 = 3 2 . Exemplo 2.13. lim x→1 x2 − 1 x − 1 = lim x→1 (x − 1)(x + 1) (x − 1) = lim x→1 (x + 1) = 2. 2-2 Exerc´ıcio Resposta Calcule os seguintes limites. (a) limx→0 x2+x−1 x2+1 . (b) limx→2 x2−4 x−2 . (c) limx→2 x3−8 x−2 . (d) limx→10 x30−1030 x−10 . (e) limx→a xn−an x−a , onde n ∈ N. Exemplo 2.14. Dada f(x) = x2 − 1, se x < 1 x 2 , se x ≥ 1, temos que lim x→0 f(x) = lim x→0 (x2 − 1) = −1 e lim x→2 f(x) = lim x→0 x 2 = 1 Exemplo 2.15. Consideremos f(x) = x2 − 1, , se x < 1 x 2 , se x ≥ 1 Temos que: lim x→0 f(x) = lim x→0 (x2 − 1) = −1 e lim x→2 f(x) = lim x→2 x 2 = 1. x y Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se apro- xima de 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se aproxima de zero. Neste caso, dizemos que n˜ao existe limx→1 f(x). Entretanto, podemos falar nos limites laterais:
  19. 19. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 17 (i) limx→1+ f(x) = 1 2 , onde x → 1+, e diremos que o limite `a direita de f em x = 1 ´e 1/2; (ii) limx→1− f(x) = 0, e diremos que o limite `a esquerda de f em x = 1 ´e 0. Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se aproxima de 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se aproxima de zero, dizemos que n˜ao existe limx→1 f(x). 2.2 Limites Laterais Nesta se¸c˜ao, abordaremos as no¸c˜ao de limite lateral com um pouco mais de rigor. Definic¸˜ao 2.16. Seja f definida em um intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que L ∈ R ´e o limite `a direita de f em x = a, o que ser´a denotado por, limx→a+ f(x) = L, se ∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a + δ =⇒ |f(x) − L| < . Definic¸˜ao 2.17. Seja f definida em um intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que L ∈ R ´e o limite `a esquerda de f em x = a, o que ser´a denotado por, limx→a− f(x) = L, se ∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que a − δ < x < a =⇒ |f(x) − L| < . Exemplo 2.18. Defina f(x) = √ x − 4 que, claro, est´a definida para x ≥ 4. Temos que limx→4+ f(x) = 0. Entretanto, n˜ao faz sentido se falar no limite `a esquerda em a = 4, posto que f n˜ao est´a definida para valores de x menores do que 4, e pr´oximos a 4. O gr´afico de f vem a seguir. x y = √ x − 4 y Exemplo 2.19. Se f(x) =    −1, se x > 0 0, se x = 0 1, se x < 0, ent˜ao limx→0− f(x) = −1, limx→0+ f(x) = 1. Em particular, observe que f n˜ao tem limite em a = 0. x y O seguinte teorema relaciona as no¸c˜oes de limite e limites laterais, e sua prova ser´a deixada como exerc´ıcio. Teorema 2.20. lim x→a f(x) = L ⇔ lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x) = L.
  20. 20. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 18 2.3 Limites Infinitos e no Infinito Consideremos f(x) = 1 x (x = 0), x = 0, cujo gr´afico mostramos abaixo. x y Observamos que `a medida que x cresce, atingindo cada vez mais valores positivos, os valores de f se aproximam, e se mantˆem pr´oximos de zero. Este fato ser´a indicado por lim x→+∞ f(x) = 0, o que leremos: o limite de f(x) quando x tende a mais infinito ´e zero. Analogamente, `a medida que x decresce, assumindo valores negativos, os valores de f se aproximam, e se mantˆem pr´oximos de zero. Este fato ser´a indicado por lim x→−∞ f(x) = 0, o que leremos: o limite de f(x) quando x tende a menos infinito ´e zero. Ainda olhando para o gr´afico de f, agora para valores de x perto de zero com x > 0, notamos que f atinge valores cada vez maiores. Representaremos isto, escrevendo: lim x→0+ f(x) = +∞. De modo an´alogo, podemos tamb´em escrever: lim x→0− f(x) = −∞. Vejamos agora outro exemplo. Vamos estudar g(x) = 1 (x − 1)(x − 2)2 , que, claro, est´a bem definida para x = 1 e x = 2. O seu gr´afico ´e y = 1 (x−1)(x−2) x y Observe que (i) limx→+∞ g(x) = 0. (ii) limx→−∞ g(x) = 0. (iii) limx→1− g(x) = +∞. (iv) limx→1+ g(x) = −∞. (v) limx→2− g(x) = +∞. (vi) limx→2+ g(x) = +∞.
  21. 21. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 19 Os resultados em (v) e (vi) permitem escrever limx→2 g(x) = +∞, sig- nificando que os limites laterais s˜ao infinitos e iguais a +∞. Agora, formalizaremos as no¸c˜oes de limites infinitos. Definic¸˜ao 2.21. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o limite `a direita de f em x = a ´e mais infinito, o que ser´a denotado por, limx→a+ f(x) = +∞, se ∀ M > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a + δ =⇒ f(x) > M. Definic¸˜ao 2.22. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o limite `a esquerda de f em x = a ´e mais infinito, o que ser´a denotado por, limx→a+ f(x) = +∞, se ∀ M > 0, ∃ δ > 0 tal que a − δ < x < a =⇒ f(x) > M. Definic¸˜ao 2.23. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o limite `a direita de f em x = a ´e menos infinito, o que ser´a denotado por, limx→a+ f(x) = −∞, se ∀ M > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a + δ =⇒ f(x) < −M. Definic¸˜ao 2.24. Seja f definida em algum conjunto D contendo um intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o limite `a esquerda de f em x = a ´e menos infinito, o que ser´a denotado por, limx→a+ f(x) = +∞, se ∀ M > 0, ∃ δ > 0 tal que a − δ < x < a =⇒ f(x) < −M. Definic¸˜ao 2.25. Dada a fun¸c˜ao f, definida num conjunto D con- tendo intervalos (b, a) e (a, b) , para alguns b < a < c, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a ´e +∞, e escreveremos lim x→a f(x) = +∞, se para cada n´umero real M > 0 dado arbitrariamente, existe um n´umero δ > 0, que pode depender de M, tal que para x ∈ I com a − δ < x < a + δ e x = a =⇒ f(x) > M. Em outras palavras ∀ M > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ I e 0 < |x − a| < δ =⇒ f(x) > M. Para os limites no infinito, n´os temos as defini¸c˜oes. Definic¸˜ao 2.26. Dada a fun¸c˜ao f definida num conjunto D con- tendo um intervalo do tipo [a, +∞) dizemos que o limite de f(x) quando x tende a +∞ ´e L, e escreveremos lim x→+∞ f(x) = L, se para cada n´umero real > 0 dado arbitrariamente, existe um n´umero N > 0, que pode depender de , tal que para x ∈ D com N < x =⇒ L − < f(x) < L + . Em outras palavras ∀ > 0, ∃ N > 0 tal que x ∈ D e N < x =⇒ |f(x) − L| < .
  22. 22. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 20 Definic¸˜ao 2.27. Dada a fun¸c˜ao f definida num conjunto D con- tendo um intervalo do tipo (−∞, a] dizemos que o limite de f(x) quando x tende a −∞ ´e L, e escreveremos lim x→−∞ f(x) = L, se para cada n´umero real > 0 dado arbitrariamente, existe um n´umero N > 0, que pode depender de , tal que para x ∈ D com x < −N =⇒ L − < f(x) < L + . Em outras palavras ∀ > 0, ∃ N > 0 tal que x ∈ D e x < −N =⇒ |f(x) − L| < . Agora, convidamos o leitor para definir limx→±+∞ f(x) = ±∞. Exemplo 2.28. Para a fun¸c˜ao f(x) = 1 − x2 , se x < 1 x, se x > 1 , temos lim x→−∞ f(x) = −∞ e lim x→+∞ f(x) = +∞ . x y 2-3 Exerc´ıcio Resposta Calcule os seguintes limites no infinito. (a) limx→+∞ x3+x−1 x2+1 . (b) limx→+∞ x2−4 2x2+2 . (c) limx→+∞ p(x) q(x) , onde p(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + · · · + a0 e q(x) = bnxn + bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + · · · + b0 s˜ao dois polinˆomios de grau n. 2.4 Func¸˜oes Cont´ınuas Comecemos examinando os dois gr´aficos abaixo. Inicialmente, consideremos o gr´afico de f(x) = x3 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 2 4x + 1, se 2 < x ≤ 4 x y
  23. 23. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 21 Agora vejamos o gr´afico de g(x) = x3 − 2. x y Podemos observar que a curva y = f(x) d´a um “salto”em x = 2. Em geral, se o gr´afico de uma fun¸c˜ao ´e uma curva que n˜ao apresenta “saltos” ou “furos”, como no caso da curva y = g(x), dizemos que a fun¸c˜ao ´e cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio. Definic¸˜ao 2.29. Uma fun¸c˜ao f : I −→ R definida no intervalo I ´e dita cont´ınua em x = a ∈ I, se existe limx→a f(x) e este limite coincide com o valor da fun¸c˜ao em a, ou seja: limx→a f(x) = f(a). f ´e cont´ınua em I, ou simplesmente cont´ınua, se ela ´e cont´ınua em todos pontos de I. Isto significa que f ´e cont´ınua num ponto a somente quando se verificam as trˆes condi¸c˜oes seguintes: (i) Existe f(a). (ii) Existe limx→a f(x). (iii) limx→a f(x) = f(a). Exemplo 2.30. S˜ao cont´ınuas as seguintes fun¸c˜oes: (i) f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, x ∈ R. (ii) g(x) = |x|, x ∈ R. (iii) r(x) = √ x, x ≥ 0. (iv) h(x) = 2x , x ∈ R. (v) l(x) = cos x, x ∈ R. (vi) s(x) = sen x, x ∈ R. Vejamos os gr´aficos de r e h. x x y = √ x y = 2x y y Exemplo 2.31. A fun¸c˜ao f(x) = |x| x , x ∈ R∗ , ´e cont´ınua. Entretanto, se quisermos estendˆe-la a todo R, deveremos defini-la em x = 0. A nova fun¸c˜ao obtida assim nunca ser´a cont´ınua em x = 0. Por quˆe? x y
  24. 24. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 22 2-4 Exerc´ıcio Resposta Em cada caso, determine o valor da constante a para que f seja uma fun¸c˜ao cont´ınua. Feito isto, esboce o gr´afico de f. (a) f(x) = x2 , se x ≤ 1 x + a, se x > 1. (b) f(x) = sen x, se x ≤ π 2 π 2 − x + a, se x > π 2 . 2.5 Operac¸˜oes com Func¸˜oes Cont´ınuas Enunciaremos, agora, alguns resultados sobre as opera¸c˜oes com fun¸c˜oes cont´ınuas. Teorema 2.32. Seja I ⊂ R, um intervalo. Se f, g : I −→ R s˜ao fun- ¸c˜oes cont´ınuas no ponto a ∈ I, ent˜ao as seguintes aplica¸c˜oes s˜ao cont´ınuas em a. (i) [Soma] f + g : D −−−−−→ R x −−−−−→ (f + g)(x) = f(x) + g(x); (ii) [Produto] fg : D −−−−−→ R x −−−−−→ (fg)(x) = f(x)g(x); (iii) 1 f : D −−−−−→ R x −−−−−→ 1 f (x) = 1 f(x) , se f(x) = 0, para todo x ∈ I. Demonstra¸c˜ao. Vejamos a prova de (i). Como f e g s˜ao cont´ınuas em a, vem que limx→a f(x) = f(a) e limx→a g(x) = g(a). Usando o item (i) do teorema 2.6, obtemos que lim x→a (f + g)(x) = lim x→a f(x) + lim x→a g(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a). Logo, obtemos a continuidade de f + g em a. Vejamos mais uma pe¸ca ´util para a verifica¸c˜ao da continuidade de certas fun¸c˜oes, a partir do conhecimento da continuidade de outras. Teorema 2.33. Considere f : I ⊂ R −→ R, g : J ⊂ R −→ R, com f(I) ⊂ J, a ∈ I e b = f(a) ∈ J. Se f ´e cont´ınua em a e g ´e cont´ınua em b, ent˜ao g ◦ f ´e cont´ınua em a. Demonstra¸c˜ao. Seja > 0. Como g ´e cont´ınua em b = f(a), existe δ1 > 0 tal que y ∈ E, y − b < δ1 =⇒ g(y) − g(b) < . J´a a continuidade de f em a produz δ > 0 tal que x ∈ D, x − a < δ =⇒ f(x) − f(a) = f(x) − b < δ1. Logo, se y = f(x), para x ∈ D e x − a < δ, vale y − b = f(x) − f(a) < δ1, a qual implica que g(y) − g(b) = g(f(x)) − g(f(a)) = (g ◦ f)(x) − (g ◦ f)(a) < . Em resumo, temos que x ∈ D, x − a < δ =⇒ (g ◦ f)(x) − (g ◦ f)(a) < , isto ´e, g ◦ f ´e cont´ınua em a.
  25. 25. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 23 Exemplo 2.34. A fun¸c˜ao h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 2cos x ´e con- tinua porque ´e a composta de g(x) = 2x com f(x) = cos x que s˜ao cont´ınuas. Em particular, limx→0 h(x) = 2. De fato, lim x→0 h(x) = h(0) = 2cos 0 = 2. Tamb´em temos lim x→ π 2 h(x) = h( π 2 ) = 2cos π 2 = 20 = 1. 2-5 Exerc´ıcio Sugest˜ao Em cada caso, ache D, o maior dom´ınio de h e justifique sua continuidade a´ı. (a) h(x) = √ x2 − 1. (b) h(x) = √ 1 − x2. 2.6 Limites Trigonom´etricos Fundamentais Nesta se¸c˜ao, estudaremos dois limites especiais que desempenha- ram papel importante nos cap´ıtulos seguintes. Vamos considerar a fun¸c˜ao f(x) = sen x x , definida em R − {0}. N˜ao chegaria a ser um problema o c´alculo de limites como: lim x→ π 2 f(x) = lim x→ π 2 sen x x = 1 π 2 = 2 π , lim x→π f(x) = lim x→π sen x x = 0, lim x→ π 4 f(x) = lim x→ π 4 sen x x = √ 2 2 π 4 = 2 √ 2 π , lim x→1 f(x) = lim x→1 sen x x = sen 1, posto que f ´e o quociente de fun¸c˜oes cont´ınuas, e, nos pontos onde os limites foram avaliados,o denominador x n˜ao se anula. Mas, e em x = 0, sen x x tem limite? Consideremos a seguinte a tabela. x sen x sen x x 0, 10 0, 0998333 0, 99833 0, 09 0, 0898785 0, 99865 0, 08 0, 0799147 0, 99893 0, 07 0, 0699428 0, 99917 0, 06 0, 0599640 0, 99940 0, 05 0, 0499792 0, 99958 0, 04 0, 0399893 0, 99973 0, 03 0, 0299955 0, 99985 0, 02 0, 0199987 0, 99993 0, 01 0, 0099998 0, 99998 x y = 1 x y = sen x x y ´E isso mesmo que ocorre, ou seja, temos o seguinte teorema. Teorema 2.35. lim x→0 sen x x = 1.
  26. 26. Limite e Continuidade (J. Adonai) - 24 Demonstra¸c˜ao. Na figura ao lado, vemos o arco x, seu seno e sua tangente. Notamos inicialmente que para 0 < x < π 2 , temos sen x < x < tan x. Dividindo por sen x (sen x > 0), obte- mos 1 < x sen x < 1 cos x . Como limx→0 1 = 1 e lim x→0 1 cos x = 1, xsen x tg x conclu´ımos que lim x→0+ x sen x = 1 e, portanto, lim x→0+ sen x x = 1. Para concluir, observe que para x < 0, temos sen x x = − sen −x x = sen −x −x . Portanto, pondo u = −x, lim x→0− sen x x = lim u→0+ sen u u = 1, o que prova o teorema. Outro limite importante, e que pode ser obtido do limite anterior, aparece no teorema abaixo. Teorema 2.36. lim x→0 cos x − 1 x = 0. Demonstra¸c˜ao. Come¸camos observando que cos x − 1 x = cos(x 2 + x 2 ) − 1 x = cos2 (x 2 ) − sen2 (x 2 ) − 1 x = −2 sen2 (x 2 ) x = − sen2 (x 2 ) x 2 Logo, podemos escrever cos x − 1 x = − sen u sen u u , onde u = x 2 . Portanto, lim x→0 cos x − 1 x = − lim u→0 sen u sen u u = lim u→0 sen u lim u→0 sen u u = 0 · 1 = 0. x y = 1 x y = cos x−1 x y 2-6 Exerc´ıcio Sugest˜ao Use os resultados desta se¸c˜ao para verificar os seguintes limites. (a) limx→0 tg x x = 1. (b) limx→0 (cos x−1) sen x x2 = 0.
  27. 27. Sugest˜oes & Respostas (J. Adonai) - 25 Parte 2 Sugest˜oes & Respostas 2-1 Voltar δ = /2 e limx→2 f(x) = 1. 2-2 Voltar (a) −1. (b) 4. Use o fato que x2 −4 = (x−2)(x+2), e que, para o c´alculo do limite, deve-se supor que x = 2. (c) 12. Use o fato que x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4), e que, para o c´alculo do limite, deve-se supor que x = 2. (d) 1029 30. Use o fato que x30 − 1030 = (x − 10)(x29 + x28 10 + x27 102 + · · · + 1029 ), e que, para o c´alculo do limite, deve-se supor que x = 10. (e) nan−1 . Fatore xn − an . 2-3 Voltar (a) +∞. Escreva x3+x−1 x2+1 = x 1+ 1 x2 − 1 x3 1+ 1 x2 e passe ao limite obser- vando que limx→+∞ 1 xk = 0, se k ∈ N. (b) 1/2. Escreva x2−2 2x2+1 = 1− 2 x2 2+ 1 x2 e passe ao limite observando que limx→+∞ 1 xk = 0, se k ∈ N. (c) an bn . Ponha xn em evidˆencia no numerador e no denominador de p(x) q(x) . 2-4 Voltar (a) a = 0. (b) a = 1. 2-5 Voltar (a) Observe que D ´e determinado por x2 − 1 ≥ 0. Logo, D = (−∞, −1]∪[1, −∞). h = g◦f, onde f(x) = x2 −1 e g(x) = √ x. (b) D = [−1, 1]. h = g ◦ f, onde f(x) = 1 − x2 e g(x) = √ x. 2-6 Voltar (a) Escreva tg x x = 1 cos x sen x x .
  28. 28. UFAL – EAD – C´alculo 1 J. Adonai Parte 3: Derivadas Objetivos Espec´ıficos • Interpretar Reta Tangente a uma Curva como Limite se Retas Secantes • • Introduzir Derivada de uma Func¸˜ao como Inclinac¸˜ao da Reta Tangente ao seu Gr´afico • • Calcular Derivadas • • Calcular M´aximo e M´ınimo de Func¸˜oes Reais • Objetivo Geral • Identificar Func¸˜oes Deriv´aveis • Macei´o-2010
  29. 29. Derivadas (J. Adonai) - 27 A derivada ´e um conceito matem´atico, que teve origem nos pro- blemas geom´etricos cl´assicos de tangˆencia, que se aplica sempre que queremos medir a rapidez com que um certo fenˆomeno acontece. Por- tanto, ele ´e aplic´avel na F´ısica, quando queremos medir a velocidade de um part´ıcula; na Biologia, quando queremos medir o crescimento de uma determinada popula¸c˜ao; na Qu´ımica, quando queremos medir a velocidade numa rea¸c˜ao qu´ımica; em Engenharia, quando queremos es- tudar deforma¸c˜oes; em Economia e Finan¸cas, ela aparece como o custo marginal. Podemos motivar a constru¸c˜ao da derivada, a partir da no¸c˜ao intuitiva que temos de reta tangente a uma curva em um ponto. ´E exatamente isto que faremos. Dada uma curva γ e um ponto P nela, a reta tangente em P ´e a reta que cont´em P sobre a qual a curva tende a deitar-se. Claro que esta ´e uma forma carinhosa de se falar da tangente. A formaliza¸c˜ao desta reta pode ser feita assim: considere um ponto m´ovel Q, ao longo de γ, aproximando-se cada vez mais de P. Agora olhe para as retas secantes lQ, que passam por P e Q. Estas retas, quando Q se aproxima de P, se aproximam do que chamamos reta tangente `a curva γ em P. Portanto, s´o nos resta achar uma maneira sa x θ θQ Pb Q t Qγ QQ Q l lQ lQ lQ y lQ lQ lQ de obter o limite destas secantes. A estrat´egia ser´a usar as inclina¸c˜oes (coeficientes angulares, declividades) das retas secantes. Se P = (a, b) e Q = (s, t), a inclina¸c˜ao de lQ, que indicaremos por iQ, ´e a tangente do ˆangulo θQ que ela faz com o eixo-x, isto ´e, iQ = tg θQ = t − b s − a . Agora ´e s´o fazer Q caminhar para P, ou, equivalentemente, fazer s tender para a e t tender para b, e esperar que o limite lim t→b s→a in = lim t→b s→a tg θQ = lim t→b s→a t − b s − a exista, caso no qual deve coincindir com a inclina¸c˜ao da tangente l, a saber tg θ, onde θ ´e o ˆangulo que l faz com eixo-x. Agora, vamos adaptar tudo isto ao caso em que γ ´e um gr´afico, isto ´e, uma curva y = f(x), para x variando em um intervalo I. Neste s = a + ∆x xa θ θQ ∆x Pf(a) γ : y = f(x) f(a + ∆x) − f(a) l t = f(a + ∆x) Q y lQ caso, P = (a, b) = (a, f(a)) e o ponto m´ovel Q ´e dado por Q = (s, t) = (a + ∆x, f(a + ∆x)), onde ∆x, que chamaremos de acr´escimo, tende para zero, o que faz com que Q tenda para P. Portanto, a declividade da reta tangente l, tg θ, deve ser o limite, caso exista, tg θ = lim Q→P tg θQ = lim ∆x→0 f(s) − f(a) s − a = lim ∆x→0 f(a + ∆x) − f(a) ∆x . (E1)
  30. 30. Derivadas (J. Adonai) - 28 Vejamos alguns exemplos de retas tangentes. Exemplo 3.1. Consideremos a par´abola y = x2 , x ∈ R. Vamos obter a reta tangente a esta curva no ponto P = (1, 1). Neste caso, a = 1 e x 1 + ∆x f(1 + ∆x) Q l : y = 2x − 1 lQ y b = f(a) = 1. Logo, a inclina¸c˜ao da reta procurada ´e dada por tg θ = lim ∆x→0 f(1 + ∆x) − f(1) ∆x = lim ∆x→0 (1 + ∆x)2 − f(1) ∆x = lim ∆x→0 2∆x + (∆x)2 ∆x = lim ∆x→0 (2 + ∆x) = 2 e, portanto, y − 1 = 2(x − 1), ou y = 2x − 1 ´e a equa¸c˜ao da reta tangente procurada. Note que a inclina¸c˜ao 2 da reta tangente em (1, 1) mostra que a fun¸c˜ao f(x) = x2 ´e crescente perto de x = 1. Em outras palavras, f herda, para pontos pr´oximos de 1, a propriedade de ser crescente de y = 2x − 1. Mais geralmente, num ponto arbitr´ario da par´abola, P = (a, a2 ), a inclina¸c˜ao da reta tangente a´ı, ´e dada por lim ∆x→0 (a + ∆x)2 − f(a) ∆x = lim ∆x→0 2a∆x + (∆x)2 ∆x = lim ∆x→0 (2a + ∆x) = 2a. Isto implica que a reta tangente tem equa¸c˜ao y − a2 = 2a(x − a). 3-1 Exerc´ıcio Resposta Considere f(x) = x3 + 1, x ∈ R. Esboce o gr´afico de f, isto ´e, a curva y = x3 +1 e calcule a sua reta tangente no ponto P = (−1, 0). 3.1 A Derivada Bem, agora chegou o momento mais esperado: vamos definir deri- vada de f(x) no ponto a. ´E simples. Ela ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente `a curva y = f(x) no ponto (a, f(a)), isto ´e, ela ´e o limite dado na equa¸c˜ao (E1) , p´agina 27. Mais precisamente, temos a seguinte de- fini¸c˜ao. Definic¸˜ao 3.2. Seja f : I −→ R uma fun¸c˜ao definida no intervalo I. Seja a um ponto de I. A derivada de f em a, indicada por f (a), ou dy dx (a), ´e definida por f (a) = dy dx (a) = lim ∆x→0 f(a + ∆x) − f(a) ∆x = lim x→a f(x) − f(a) x − a , caso o limite exista. Quando a derivada de f em a existe, dizemos que f ´e deriv´avel em a. Quando a derivada de f existe em todo ponto de I, dizemos que f ´e deriv´avel em I, ou, simplesmente, que f ´e deriv´avel. Observac¸˜ao 3.3. Na defini¸c˜ao acima, se o ponto a ´e uma extremidade de I, o limite ´e computado como o limite lateral que faz sentido. Por exemplo, se I = [a, b] ou I = [a, b), ent˜ao f (a) = dy dx (a) = lim ∆x→0+ f(a + ∆x) − f(a) ∆x = lim x→a+ f(x) − f(a) x − a , que em alguns textos ´e indicada por f (a+ ), e ´e chamada derivada `a direita de f em a.
  31. 31. Derivadas (J. Adonai) - 29 Observac¸˜ao 3.4. Escrevendo ∆y = f(a + ∆x) − f(a), podemos es- crever f (a) = dy dx (a) = lim ∆x→0 ∆y ∆x . Observac¸˜ao 3.5. Devido `a sua importˆancia dentro do C´alculo, o quo- ciente usado na defini¸c˜ao de derivada ∆y ∆x = f(a + ∆x) − f(a) ∆x = f(x) − f(a) x − a , definido para ∆x = 0 (ou para x = a), recebe um nome especial: quo- ciente de Newton de f em torno de x = a. Exemplo 3.6. Retomemos f(x) = x2 , como no exemplo 3.1 . Naquele exemplo vimos que lim ∆x→0 f(a + ∆x) − f(a) ∆x = lim x→a f(x) − f(a) x − a = 2a. Portanto, f (a) = 2a, em qualquer a. Portanto, podemos dizer que f(x) = x2 ´e uma fun¸c˜ao deriv´avel em R. Observe que, em particular, f (1) = 2, f (−1) = −2, f (3) = 6, f (5) = 10 e f ( √ 2) = 2 √ 2. Exemplo 3.7. Seja y = f(x) = |x| = x, se x ≥ 0 −x, se x < 0, cujo gr´afico, vemos ao lado. Como vemos na figura, o ponto P = (0, 0) da curva y = |x|, n˜ao pode admitir uma reta tangente bem definida. Isto x y revela que a derivada de |x| n˜ao existe em x = 0. De fato, o quociente de Newton de |x| em torno de x = 0 ´e dado por f(x) − f(0) x − 0 = |x| x = 1, se x > 0 −1, se x < 0. Este quociente n˜ao tem limite quando x tende a zero, porque o seu limite `a direita ´e 1, e o seu limite `a esquerda ´e −1. Logo, a fun¸c˜ao y = |x| x n˜ao tem derivada no ponto a = 0, como j´a hav´ıamos previsto. Tudo se passa como se tiv´essemos duas tangentes em (0, 0): uma pela direita, a reta y = x, e a outra pela direita, a rteta y = −x. Entretanto, em todo ponto x = a = 0, a derivada de y = |x| existe e e dada por f (a) = 1, se a > 0 −1, se a < 0, como o leitor pode verificar facilmente. Observac¸˜ao 3.8. Se uma fun¸c˜ao admite derivada num ponto a, ent˜ao seu gr´afico admite uma reta tangente no ponto (a, f(a)) e, portanto, deve ser “suave” pr´oximo desse ponto, Um gr´afico “anguloso” em um ponto implica a n˜ao existˆencia da reta tangente e, portanto, da deri- vada da fun¸c˜ao na abscissa do ponto correspondente. A existˆencia da reta tangente em um ponto da curva tamb´em mostra que a curva n˜ao pode ter salto a´ı: ela deve ser cont´ınua. Este ´e o conte´udo do pr´oximo teorema. Teorema 3.9. Se f : I −→ R tem derivada em x = a, ent˜ao ela ´e cont´ınua a´ı. Demonstra¸c˜ao. Temos que f (a) = lim x→a f(x) − f(a) x − a . Mostremos, agora, que limx→a (f(x) − f(a)) = 0. Com efeito, de f(x) − f(a) = f(x) − f(a) x − a · (x − a) vem que lim x→a (f(x) − f(a)) = f (a) · 0 = 0, como quer´ıamos.
  32. 32. Derivadas (J. Adonai) - 30 Observac¸˜ao 3.10. A rec´ıproca dessa proposi¸c˜ao ´e falsa. No exem- plo 3.7 , vimos que a fun¸c˜ao f(x) = |x| n˜ao tem derivada em x = 0. Entretanto, f ´e continua em todos os pontos. 3.2 A Func¸˜ao Derivada Seja y = f(x) uma fun¸c˜ao definida num intervalo aberto I. Se a derivada existe para todo x ∈ I, dizemos que f ´e deriv´avel em I, e denotamos por f (x) ´e a fun¸c˜ao derivada da fun¸c˜ao f(x). Assim, f : I −−−−−→ R x −−−−−→ y = f (x) = lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x) ∆x . Exemplo 3.11. Seja a fun¸c˜ao f(x) = x2 , definida em R. Como vimos no exemplo 3.6 , para cada a, f (a) = 2a. Logo, podemos escrever f (x) = 2x que ´e a fun¸c˜ao derivada de f(x) = x2 . Exemplo 3.12. Seja a fun¸c˜ao f(x) = x3 , definida em R. Calculemos a derivada de f(x) num ponto qualquer x. Temos f (x) = lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x) ∆x = lim ∆x→0 (x + ∆x)3 − x3 ∆x = lim ∆x→0 x3 + 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3 ∆x = lim ∆x→0 [3x2 + 3x∆x + (∆x)2 ] = 3x2 . Portanto, f (x) = 3x2 , x ∈ R, ´e a fun¸c˜ao derivada de f(x) = x3 . Em particular, se queremos obter a reta tangente da curva y = x3 no ponto A = (2, 8), basta calcular f (2) = 3(2)2 = 12, e escrever y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16, que ´e a equa¸c˜ao da reta procurada. y = x3 x y = 12x − 16 y 3.3 Regras de Derivac¸˜ao Esta se¸c˜ao compor´a um teorema que estabelece as propriedades operat´orias da derivada. Teorema 3.13. [Opera¸c˜oes com Derivadas] Se f, g : I ⊂ R −→ Rn s˜ao fun¸c˜oes deriv´aveis em x ∈ I, enta valem as seguintes propriedades: (iv) (f + g) (x) = f (x) + g (x). (v) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). (vi) ( f g ) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (g(x))2 . Demonstra¸c˜ao. Vejamos a prova de (i). Notemos, inicialmente, que existem os limites f (x) = lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x) ∆x e g (x) = lim ∆x→0 g(x + ∆x) − g(x) ∆x .
  33. 33. Derivadas (J. Adonai) - 31 Logo, lim ∆x→0 (f + g)(x + ∆x) − (f + g)(x) ∆x = lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x) ∆x + + lim ∆x→0 g(x + ∆x) − g(x) ∆x = f (x) + g (x). Para (ii), escrevemos o quociente de Newton (fg)(x + ∆x) − (fg)(x) ∆x = f(x + ∆x)g(x + ∆x) − f(x)g(x) ∆x ao qual adicionamos e subtraimos f(x + ∆x)g(x) e obtemos (fg)(x + ∆x) − (fg)(x) ∆x = f(x + ∆x) − f(x) ∆x g(x) + + f(x + ∆x) g(x + ∆x) − g(x) ∆x . Portanto, (fg) (x) = lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x) ∆x g(x) + + lim ∆x→0 f(x + ∆x) g(x + ∆x) − g(x) ∆x = f (x)g(x) + f(x)g (x), j´a que lim∆x→0 f(x+∆x) = f(x) e lim∆x→0 g(x+∆x) = g(x), pois f e g s˜ao cont´ınuas em x. Para finalizar, vejamos (iii). Vamos, inicialmente, estudar a fun¸c˜ao 1 g . Temos que (1 g )(x + ∆x) − (1 g )(x) ∆x = 1 g(x+∆x) − 1 g(x) ∆x = − 1 g(x + ∆x) 1 g(x) g(x + ∆x) − g(x) ∆x . Portanto, 1 g (x) = − lim ∆x→0 1 g(x + ∆x) 1 g(x) g(x + ∆x) − g(x) ∆x = − g (x) (g(x))2 . A passagem para o caso geral segue-se agora de (ii). De fato, f g (x) = f · 1 g (x) = f (x) 1 g(x) + f(x) 1 g (x) = f (x) g(x) − f(x) g (x) (g(x))2 = ( f g ) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (g(x))2 , e est´a conclu´ıdo o teorema. 3.4 Derivadas de Func¸˜oes Elementares Inicialmente, veremos algumas identidades alg´ebricas que ser˜ao ´uteis nesta se¸c˜ao. Lema 3.14. Sejam r, a, b ∈ R. Dado n ∈ N, valem: (i) 1 − rn = (1 − r)(1 + r + r2 + · · · + rn−1 ). (ii) bn − an = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + bn−1 a2 + · · · + ban−2 + an−1 ). (iii) n √ b − n √ a = b−a ( n√ b) n−1 +( n√ b) n−2 n√ a+( n√ b) n−3 ( n√ b) 2 +···+( n√ a) n−1 . Aqui, estamos supondo a, b > 0.
  34. 34. Derivadas (J. Adonai) - 32 Demonstra¸c˜ao. Seja Sn = 1 + r + r2 + · · · + rn−1 . Logo, rSn = r + r2 + r3 + · · · + rn e, portanto, Sn − rSn = 1 + r + r2 + · · · + rn−1 − r − r2 − r3 − · · · − rn = 1 − rn . Donde, 1 − rn = (1 − r)Sn = (1 − r)(1 + r + r2 + · · · + rn−1 ), o que prova (i). Para provar (ii), vamos supor b = 0, definir r = a/b e usar (i). Assim (1 − a b n ) = (1 − a b )(1 + a b + a b 2 + · · · + a b n−1 ). Multiplicando ambos os membros por bn , segue-se (ii). Agora, usando (ii), vem que b − a = n √ b n − n √ a n = n √ b − n √ a n √ b n−1 + + n √ b n−2 n √ a · · · + n √ a n−1 , o que prova (iii) e termina o lema. Proposic¸˜ao 3.15. [Derivada de uma fun¸c˜ao constante] Dado um n´umero real c, a fun¸c˜ao constante y = f(x) = c, x ∈ R, tem derivada nula em todo x ∈ R. Demonstra¸c˜ao. Temos que o numerador do quociente de Newton ´e ∆y = f(x + ∆x) − f(x) = c − c = 0. Logo, ∆y ∆x = 0, e isto implica que f (x) = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 0 = 0, como quer´ıamos. Proposic¸˜ao 3.16. [Derivadas de xn e n √ x] (i) Se n ∈ N, ent˜ao dxn dx = nxn−1 , x ∈ R. (ii) Se n ∈ N, ent˜ao dx−n dx = −nx−n−1 , x = 0. (iii) d n√ x dx = 1 n( n√ x) n−1 ou, equivalentemente, dx 1 n dx = 1 n x 1 n −1 . Demonstra¸c˜ao. Escrevendo f(x) = xn , temos que f(x + ∆x) − f(x) = (x + ∆x)n − xn = ∆x((x + ∆x)n + (x + ∆x)n−1 x + · · · + xn−1 ), onde usamos o item (ii) do lema 3.14 . Logo, ∆y ∆x = (x + ∆x)n + (x + ∆x)n−1 x + · · · + xn−1 . Da´ı vem que f (x) = lim ∆x→0 ∆y ∆x = nxn−1 , ou, dxn dx = nxn−1 , o que prova (i). Para (ii), notamos que x−n = 1 xn . Logo, usando o item (iii) do teorema 3.13 , dx−n dx = d 1 xn dx = − nxn−1 (xn)2 = −nxn−1 x−2n = −nx−n−1 . Agora, escrevendo r(x) = n √ x, tomando x > 0 e ∆x de modo que x + ∆x > 0, temos que, usando o item (iii) do lema 3.14 ,
  35. 35. Derivadas (J. Adonai) - 33 r(x + ∆x) − r(x) = ∆x n √ x + ∆x n−1 + n √ x + ∆x n−2 n √ x + · · · + ( n √ x) n−1 e, portanto, r (x) = lim ∆x→0 1 n √ x + ∆x n−1 + n √ x + ∆x n−2 n √ x + · · · + ( n √ x) n−1 = 1 n ( n √ x) n−1 , e est´a terminada a proposi¸c˜ao. Observac¸˜ao 3.17. Quando n ´e um n´umero ´ımpar, a fun¸c˜ao n √ x est´a definida, tamb´em, para x < 0: n √ x = − n √ −x. Portanto, a f´ormula que obtivemos na proposi¸c˜ao anterior funciona para x < 0, tamb´em, isto ´e: se n ´e ´ımpar e x = 0, ent˜ao d n√ x dx = 1 n( n√ x) n−1 . Observac¸˜ao 3.18. Os itens (i), (ii) e (iii) da proposi¸c˜ao 3.16 mos- tram que para derivar uma potˆencia de x, basta “baixar” esta potˆencia e substitu´ı-la por ela menos um: dxr dx = rxr−1 , onde r ´e um inteiro ou uma fra¸c˜ao do tipo 1/n. Veremos oportunamente que esta regra se es- tende para qualquer potˆencia racional (proposi¸c˜ao 3.30 ), ou mesmo irracional. Exemplo 3.19. (i) f(x) = 7 =⇒ f (x) = 0. (ii) f(x) = x2 =⇒ f (x) = 2x. (iii) f(x) = x5 =⇒ f (x) = 5x4 . (iv) f(x) = 4 √ x =⇒ f (x) = dx 1 4 dx = 1 4 x 1 4 −1 = 1 4 x−3 4 = 1 4 1 x 3 4 = 1 4 1 ( 4√ x) 3 . (v) f(x) = x5 + 2x2 − x + 7 =⇒ f (x) = 5x4 + 2x − 1. (vi) f(x) = x−4 =⇒ f (x) = −4x−4−1 = 4x−5 . 3-2 Exerc´ıcio Resposta Calcular derivada de y = 3 √ x em x = 8. Ache, tamb´em, a reta tangente da curva em (8, 2). Fa¸ca figuras. 3-3 Exerc´ıcio Sugest˜ao Considere y = f(x) = 2x3 + 5x2 − 4x + 4. (a) Calcule f (0) e f (2). (b) Determine a onde a reta tangente de y = f(x) em (a, f(a)) ´e paralela ao eixo-x. Proposic¸˜ao 3.20. [Derivada da fun¸c˜ao e seno] d sen x dx = cos x. Demonstra¸c˜ao. Seja y = f(x) = sen x. Temos que f(x + ∆x) − f(x) = sen(x + ∆x) − sen x = sen x cos ∆x + sen ∆x cos x − sen x = sen x(cos(∆x) − 1) + sen(∆x) cos(x). Logo, ∆y ∆x = sen x(cos ∆x − 1) + sen ∆x cos x ∆x = sen x cos ∆x − 1 ∆x + sen ∆x ∆x cos x. Como lim ∆x→0 sen ∆x ∆x = 1 e lim ∆x→0 cos ∆x − 1 ∆x = 0 (veja os teoremas 2.35 e 2.36 ), segue-se que f (x) = lim ∆x→0 ∆y ∆x = cos x.
  36. 36. Derivadas (J. Adonai) - 34 3-4 Exerc´ıcio Soluc¸˜ao Mostre que d cos x dx = − sen x. 3.5 A Regra da Cadeia Na se¸c˜ao 3.3 , estudamos as derivadas de uma soma de um pro- duto de fun¸c˜oes deriv´aveis. Agora estudaremos a derivada de mais uma opera¸c˜ao com o fun¸c˜oes, a saber, a composi¸c˜ao. Definic¸˜ao 3.21. [Fun¸c˜ao Composta] Consideremos duas fun¸c˜oes f : A −→ B e g : C −→ D tais que a imagem da primeira, f(A), es- teja contida no dom´ınio da segunda, isto ´e, f(A) ⊂ C. Neste caso, podemos calcular g(f(x)), para todo x ∈ A. Isto d´a origem a uma nova fun¸c˜ao, com o mesmo dom´ınio de f, e o mesmo contra-dom´ınio de g, que chamaremos de composta de g com f, que indicaremos por g ◦ f, e que funciona assim: g ◦ f : A −−−−−→ D x −−−−−→ (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Exemplo 3.22. Seja g(y) = sen(y) e f(x) = 3x + 1, ent˜ao (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = sen(3x + 1). Como obter a derivada de g ◦ f? A quest˜ao rec´em-formulada no exemplo 3.22 ser´a respondida pelo teorema abaixo. Teorema 3.23. [Regra da Cadeia] Dada as fun¸c˜oes f : I ⊂ R −→ R e g : J ⊂ R −→ R com f(I) ⊂ J, considere a ∈ I e b = f(a) ∈ J. Se f ´e deriv´avel em a e g ´e deriv´avel em b, ent˜ao g ◦ f ´e deriv´avel em a e vale (g ◦ f) (a) = g (f(a))f (a). I R f - f (a) - g - g (b) - J R R R ? a - b 6 g ◦ f (g ◦ f) (a) = g (b)f (a) Demonstra¸c˜ao. Vamos, inicialmente, supor que existe δ > 0 tal que f(a + ∆x) − f(a) = 0, sempre que |∆x| < δ. Agora, notando que f(a + ∆x) = f(a) + ∆y = b + ∆y, onde ∆y = 0,sempre que |∆x| < δ e, como f ´e cont´ınua em a, ∆y → 0, quando ∆x → 0. Neste caso, podemos escrever (g ◦ f)(a + ∆x) − (g ◦ f)(a) ∆x = g(f(a + ∆x)) − g(f(a)) ∆x = g(f(a + ∆x)) − g(f(a)) f(a + ∆x) − f(a) f(a + ∆x) − f(a) ∆x = g(b + ∆y) − g(b) ∆y f(a + ∆x) − f(a) ∆x . Logo, (g ◦ f) (a) = lim ∆x→0 (g ◦ f)(a + ∆x) − (g ◦ f)(a) ∆x = lim ∆y→0 g(b + ∆y) − g(b) ∆y lim ∆x→0 f(a + ∆x) − f(a) ∆x = g (b)f (a).
  37. 37. Derivadas (J. Adonai) - 35 Portanto, (g ◦ f) (a) = g (f(a))f (a) = g (b)f (a). O caso onde f(a+∆x)−f(a) sempre se anula em toda proximidade de a, ´e tratado assim. Sejam (∆x)1, (∆x)2, . . . (∆x)n, . . . uma seq¨uˆencia de n´umeros reais que tendem a zero e tal que f(a+(∆x)n)−f(a) = 0. Usando esta seq¨uˆencia, devemos ter f(a + (∆x)n) − f(a) (∆x)n → f (a), porque lim∆x→0 f(a+∆x)−f(a) ∆x = f (a). Mas f(a + (∆x)n) − f(a) = 0. Logo, f (a) = 0. Ao longo desta seq¨uˆencia, tamb´em temos que (g ◦ f)(a + (∆x)n) − (g ◦ f)(a) (∆x)n = g(f(a + (∆x)n) − g(f(a)) (∆x)n = 0. Logo, (g ◦ f)(a + (∆x)n) − (g ◦ f)(a) (∆x)n → 0. Ficamos, ent˜ao diante do seguinte quadro: (g ◦ f)(a + (∆x)n) − (g ◦ f)(a) (∆x)n → g (b)f (a) = g (b)0 = 0, se, ao longo da sequˆencia (∆x)n, f(a + (∆x)n) − f(a) = 0 e (g ◦ f)(a + (∆x)n) − (g ◦ f)(a) (∆x)n → 0, se ao longo da sequˆencia (∆x)n, f(a + (∆x)n) − f(a) = 0. Portanto, podemos afirmar que lim ∆x→0 (g ◦ f)(a + ∆x) − (g ◦ f)(a) ∆x = 0 = g (b)f (a), o que termina o teorema. Observac¸˜ao 3.24. A segunda parte da demonstra¸c˜ao acima pode ser omitida numa primeira leitura. Observac¸˜ao 3.25. Fixando aten¸c˜ao no teorema acima, vamos colocar y = f(x), nota¸c˜ao que permite escrever f (a) = dy dx (a). Analogamente, se indicamos por z a fun¸c˜ao g(y), isto ´e z = g(y), escrevemos g (b) = dz dy (b). Note agora que como o contra-dom´ınio da composta g ◦ f ´e o mesmo de g somos obrigados a indicar, tamb´em, com z os seus valores, isto ´e, z = (g ◦ f)(x). Isto posto, temos (g ◦ f) (a) = dz dx (a). Com estas nota¸c˜oes a regra da cadeia fica: dz dx (a) = dz dy (b) dy dx (a), ou, mais simplesmente, dz dx = dz dy dy dx , a qual ´e chamada forma cl´assica da regra da cadeia, e que pode ser olhada (s´o olhada!) como um produto de “fra¸c˜oes”, onde simplificamos o dy. Note que isto ajuda a memorizar o teorema, al´em de justificar o seu nome: regra da cadeia, cadeia de fra¸c˜oes. Vejamos o caso que temos trˆes fun¸c˜oes deriv´aveis, f : I −→ J, g : J −→ L e h : L −→ R e queremos derivar a composta F : I −→ R, que ´e definida por F(t) = (h ◦ g ◦ f)(t) = h(g(f(t))), num ponto t ∈ I. A regra da cadeia, aplicada duas vezes, d´a que F (t) = h (g(f(t)))(g ◦ f) (t) = h (g(f(t)))g (f(t))f (t). (E2) Sob a forma cl´assica, nomeamos trˆes vari´aveis: x = f(t) ∈ J, y = g(x) ∈ L e z = h(y). Portanto, z = F(t). O que queremos ´e calcular F (t) = dz dt . Apelando para o “produto de fra¸c˜oes” temos dz dt = dz dy dy dx dx dt , onde dz dy ´e calculada em y = g(x), dy dx ´e calculada em x = f(t), e dx dt ´e calculada em t. Note que (∗∗), traduzida com cuidado, reproduz a equa¸c˜ao (E2) .
  38. 38. Derivadas (J. Adonai) - 36 Exemplo 3.26. Considere h(x) = (x5 + 1)50 . Vamos calcular h (1). Uma solu¸c˜ao, bem trabalhosa, seria expandir h, obtendo um polinˆomio de grau 250, e depois calcular sua derivada. N˜ao faremos assim: usare- mos a regra da cadeia. Para isto sejam y = f(x) = x5 + 1 e z = g(y) = y50 . Logo, o que queremos devemos calcular dz dx (1). Para x = 1, obtemos y = f(1) = 2, Agora, a regra da cadeia d´a: dz dx = dz dy dy dx = 50y49 5x4 . Portanto, dz dx (1) = 50 · 249 · 5 · 14 = 250 · 249 . Mais geralmente, h (x) = 250(x5 +1)49 x4 , como o leitor pode facilmente verificar. Retomemos, agora, o exemplo 3.22 . Exemplo 3.27. Seja g(y) = sen(y) e f(x) = 3x + 1, ent˜ao (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = sen(3x + 1). A derivada de g ◦ f em um ponto x ´e dada por (g ◦ f) (x) = sen (3x + 1)(3x + 1) = 3 cos(3x + 1). Podemos reobter (veja o exerc´ıcio 3-4 ) a derivada do cosseno a partir da derivada do seno junto com a regra da cadeia. Proposic¸˜ao 3.28. [Derivada da fun¸c˜ao cosseno] d cos x dx = − sen x. Demonstra¸c˜ao. Seja f(x) = cos x. Temos que f(x) = sen(x + π 2 ). Logo, usando a regra da cadeia (teorema 3.23 ), temos que f (x) = sen (x + π 2 )(x + π 2 ) = cos(x + π 2 ) = − sen x. Exemplo 3.29. (i) Se f(x) = x2 sen x, ent˜ao f (x) = 2x sen x + x2 cos x. (ii) Se f(x) = tg(x) = sen x cos x , ent˜ao f (x) = cos x cos x − sen x (− sen x) cos2 x = 1 cos x 1 cos x = sec2 x. 3-5 Exerc´ıcio Resposta Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes fun¸c˜oes. (a) h(t) = (1 − t2 )250 . (b) h(t) = tg(1 + t2 ). (c) h(x) = sen(cos(x2 )). Agora podemos estender, para uma potˆencia racional qualquer, a regra de deriva¸c˜ao de uma potˆencia de x, conforme observa¸c˜ao 3.18 . Proposic¸˜ao 3.30. Se r ∈ Q, e y = xr , x > 0, ent˜ao dy dx = dx dx r = rxr−1 . Demonstra¸c˜ao. Considere r = p q > 0, p, q ∈ Z, q = 0, e escreva h(x) = xr . Temos que h(x) = (xp ) 1 q = (x 1 q )p . Logo, h = g ◦ f, onde g(y) = y 1 q , y > 0 e f(x) = xp , x > 0. ´E claro que g e f s˜ao deriv´aveis. Usando a regra da cadeia (teorema 3.23 ), vem que h ´e deriv´avel e h (x) = g (f(x))f (x) = 1 q (xp ) 1 q −1 pxp−1 = p q x p q −1 .
  39. 39. Derivadas (J. Adonai) - 37 3-6 Exerc´ıcio Soluc¸˜ao Derive as seguintes potˆencias. (a) f(x) = ( √ x)3 . (b) f(t) = tg(1 + t 3 2 ). 3-7 Exerc´ıcio Sugest˜ao Demonstre a proposi¸c˜ao anterior para o caso r < 0. 3.6 Derivadas de Ordem Superior Seja f : I −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo I, e seja I1 o conjunto dos pontos de I onde f ´e deriv´avel. Em I1, j´a definimos a fun¸c˜ao f , chamada derivada de f, ou primeira derivada de f. Seja, agora, I2 o conjunto dos pontos de I1 em que f ´e deriv´avel. Definimos, ent˜ao, em I2, a fun¸c˜ao derivada de f , que chamaremos de segunda derivada de f, e representaremos por f , ou por d2y dx2 , no caso em que estamos usando y = f(x). Assim: f (x) = (f ) (x). Fun¸c˜ao 1a derivada 2a derivada f : I −−−−−→ R x −−−−−→ f(x) f : I1 −−−−−→ R x −−−−−→ f (x) f : I2 −−−−−→ R x −−−−−→ f (x) Procedendo de modo an´alogo, teremos, ent˜ao, a terceira, a quarta, a quinta derivadas, etc. de f. A derivada de ordem n de f ser´a indicada por f(n) , ou por dny dxn . Temos, portanto, que f(n) (x) = f(n−1) (x), definida, claro, onde a derivada de ordem n − 1 for deriv´avel. Exemplo 3.31. Se f(x) = 5x3 − 2x2 − 1, ent˜ao f (x) = 15x2 − 4x, f (x) = 30x − 4, f (x) = 30 e f(n) (x) = 0 se n ≥ 4. Exemplo 3.32. Se y = p(x) ´e um polinˆomio de grau m, ent˜ao dny dxn = 0, para n > m e dmy dxm = m!. Exemplo 3.33. Se y = sen x, ent˜ao d2y dx2 = − sen x = −y. Tamb´em, se z = cos x, ent˜ao d2z dx2 = − cos x = −z. Logo, as fun¸c˜oes sen x e cos x s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao d2y dx2 + y = 0. (Uma equa¸c˜ao que envolve fun¸c˜oes e suas derivadas ´e chamada de equa¸c˜ao diferencial.) 3-8 Exerc´ıcio Resposta Calcule a segunda derivada das seguintes fun- ¸c˜oes. (a) h(t) = (1 − t2 )250 . (b) h(t) = tg(1 + t2 ). (c) h(x) = sen(cos(x2 )). 3.7 Derivac¸˜ao Impl´ıcita As fun¸c˜oes que estudamos at´e aqui foram descritas expressando-se uma vari´ave, a dependente, explicitamente em termos de outra, a inde- pendente. Neste caso, dizemos que a fun¸c˜ao ´e definida explicitamente. Por exemplo, y = √ x3 + 1 ou y = x sen x ou, em geral, y = f(x). Algumas fun¸c˜oes, entretanto, s˜ao definidas implicitamente por uma rela¸c˜ao envolvendo x e y, tal como x2 + y2 = 25 (E3) ou mesmo x3 + y3 = 6xy. (E4) Em alguns casos ´e poss´ıvel resolver uma equa¸c˜ao para y como uma fun¸c˜ao explicita (ou v´arias fun¸c˜oes) de x. Por exemplo, se resolvermos
  40. 40. Derivadas (J. Adonai) - 38 a equa¸c˜ao ( (E3) ) para y, poderemos explicitar y como fun¸c˜ao de x de duas formas: y = f(x) = √ 25 − x2, x ∈ [−5, 5], ou y = g(x) = − √ 25 − x2, x ∈ [−5, 5]. Portanto, f g s˜ao fun¸c˜oes definidas implicitamente pela equa¸c˜ao ( (E3) ). Os gr´aficos de f e g s˜ao os semic´ırculos superior e inferior do c´ırculo x2 + y2 = 25. y = g(x) = 5 − x2x2 + y2 = 25 y = g(x) = − 5 − x2 xx x−5 5 −5 5 5 y = f(x) y y y Felizmente n˜ao precisamos resolver uma equa¸c˜ao para y em ter- mos de x para encontrar a derivada de y. Em vez disso, podemos usar o m´etodo de diferencia¸c˜ao impl´ıcita, o qual consiste em diferenciar ambos os lados da equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a x, admitindo que y ´e uma fun¸c˜ao de- riv´avel de x, e a seguir resolver a equa¸c˜ao resultante para y . O teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita, estudado em cursos mais avan¸cados, garante, medi- ante certas condi¸c˜oes sobre a equa¸c˜ao, a existˆencia da fun¸c˜ao impl´ıcita e de sua derivabilidade. Nos exemplos e exerc´ıcios desta se¸c˜ao admi- tiremos sempre que a equa¸c˜ao dada determina y implicitamente como uma fun¸c˜ao deriv´avel de x, de forma tal que o m´etodo da diferencia¸c˜ao impl´ıcita possa ser aplicado. Exemplo 3.34. Se x2 +y2 = 25, vamos calcular dy dx no ponto (3, 4) e, a partir da´ı, determinar a reta tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4). Temos, diferenciando ambos os lados da equa¸c˜ao x2 + y2 = 25, e admitindo y como fun¸c˜ao de x, que d dx x2 + d dx y2 = d dx 25 = 0 Lembrando que y ´e uma fun¸c˜ao de x e usando a regra da cadeia, ou a regra da deriva¸c˜ao de um produto, temos d dx y2 = 2y dy dx . Assim, 2x + 2ydy dx = 0 e, portanto, dy dx = −x y . No ponto (3, 4), temos x = 3 e y = 4. Logo, dy dx = −3 4 . A reta tangente ao c´ırculo em (3, 4) ´e portanto: y − 4 = − 3 4 (x − 3) ou 3x + 4y = 25. Exemplo 3.35. Se x3 + y3 − 6xy = 0, vamos encontrar dy dx para x = 3, supondo que y ´e fun¸c˜ao de x e que vale 3 em x = 3. Depois, va- mos encontrar a reta tangente ao f´olio de Descartes x3 + y3 − 6xy = 0 Figura 41: F´olio de Descartes x3 + y3 = 6xy −2 3−2 x 3 y x + y = 6 no ponto (3, 3). Derivando ambos os membros de x3 + y3 − 6xy = 0 em rela¸c˜ao a x, obtemos 3x2 + 3y2 dy dx − 6y − 6x dy dx ou x2 + y2 dy dx − 2y − 2x dy dx .
  41. 41. Sugest˜oes & Respostas 39 Donde, dy dx = 2y − x2 y2 − 2x Para x = 3 e y = 3, temos dy dx = 2 · 3 − 32 32 − 2 · 3 = −1 e uma observa¸c˜ao da figura 41 confirma que este ´e um valor razo´avel pra a inclina¸c˜ao em (3, 3). Logo, uma equa¸c˜ao da tangente ao f´olio de Descartes em (3, 3) ´e y − 3 = −1 (x − 3) ou x + y = 6. 3-9 Exerc´ıcio Sugest˜ao Se xy3 + y2 x5 + xy + x2 + y2 − x + sen y = 0 define y = f(x) com f(0) = 0, calcule f (0) e f (0). 3-10 Exerc´ıcio Sugest˜ao Considere o f´olio de Descartes x3 + y3 − 6xy = 0, que estudamos no exemplo 3.35 . (a) Mostre que o ponto P = (3, 3 (−1− √ 5) 2 ) ´e um ponto do f´olio. (b) Suponha que x3 + y3 − 6xy = 0 define implicitamente y como fun¸c˜ao de x em torno do ponto P. Calcule dy dx para x = 3 e y = 3 (−1− √ 5) 2 . (c) Qual a inclina¸c˜ao da reta tangente ao f´olio de Descartes em P? Parte 3 Sugest˜oes & Respostas 3-1 Voltar A inclina¸c˜ao da reta ´e lim ∆x→0 (−1 + ∆x)3 − f(−1) ∆x = lim ∆x→0 3∆x − 3(∆x)2 + (∆x)3 ∆x = lim ∆x→0 (3 − 3∆x + ∆x)2 ) = 3. Logo, a reta procurada ´e y = 3x + 3. 3-2 Voltar A derivada ´e dy dx = 1 3( 3√ x) 2 . Em particular, dy dx (8) = 1 12 . Logo, a reta procurada ´e y − 8 = 1 12 (x − 2). 3-3 Voltar (a) f (0) = −4 e f (2) = 40. (b) A inclina¸c˜ao da reta deve ser nula. Logo, f (a) = 0 e, por- tanto, a = −2 ou a = 1/3. 3-4 Voltar ∆y ∆x = cos x(cos ∆x − 1) − sen x sen ∆x ∆x = cos x cos ∆x − 1 ∆x −sen x sen ∆x ∆x . Como lim ∆x→0 sen ∆x ∆x = 1 e lim ∆x→0 cos ∆x − 1 ∆x = 0 (veja os teoremas 2.35 e 2.36 ), segue-se que f (x) = lim ∆x→0 ∆y ∆x = − sen x.
  42. 42. Sugest˜oes & Respostas (J. Adonai) - 40 3-5 Voltar (a) h (t) = −500t(1 − t2 )249 . (b) h (t) = 2t sec2 (1 + t2 ). (c) h (x) = −2x sen(x2 ) cos(cos(x2 )). 3-6 Voltar (a) Temos que f(x) = x 3 2 . Logo, f (x) = 3 2 x 3 2 −1 = 3 2 x 1 2 = 3 2 √ x. (b) Usando a regra da cadeia, f (t) = tg (1 + t 3 2 )(1 + t 3 2 ) = 3 √ t sec(1 + t 3 2 ) 2 2 . 3-7 Voltar Se r < 0, escreva y = xr = 1 x−r e agora derive usando a regra de deriva¸c˜ao para um quociente junto como o caso r > 0, j´a provado. 3-8 Voltar (a) h (t) = 249000 t2 (1 − t2 ) 248 − 500 (1 − t2 ) 249 . (b) h (t) = 2 sec(1 + t2 ) 2 + 8 t2 sec(1 + t2 ) 2 tg(1 + t2 ). (c) h (x) = −4 x2 cos(x2 ) cos(cos(x2 )) − 2 cos(cos(x2 )) sen(x2 ) − 4 x2 sen(x2 ) 2 sen(cos(x2 )). 3-9 Voltar Derivando os dois membros da equa¸c˜ao, obtemos −1+2 x+ dy dx x+y +2 dy dx y +2 dy dx x5 y +3 dy dx x y2 +5 x4 y2 +y3 + dy dx cos y = 0. (E5) Substituindo x = 0 e y = 0, vem que dy dx (0) = f (0) = 1. Para calcular a segunda derivada, derive (E5) , fa¸ca x = 0, y = 0 e y = 1 e obtenha f (0) = −6. 3-10 Voltar (a) Se x = 3 e y = 3 (−1− √ 5) 2 , verifique que x3 + y3 − 6xy = 0. (b) dy dx = 5−7 √ 5 10 . (c) A inclina¸c˜ao ´e 5−7 √ 5 10 .
  43. 43. UFAL – EAD – C´alculo 1 J. Adonai Parte 4: Aplicac¸˜oes da Derivada Objetivos Espec´ıficos • Definir Velocidade e Acelerac¸˜ao • • Identificar uma Func¸˜ao Mon´otona a Partir do Sinal de sua Derivada • • Calcular M´aximo e M´ınimo de Func¸˜oes Reais • • Calcular Limites via a Regra de L’Hospital • Objetivo Geral • Aplicar o Conceito de Derivada em Situac¸˜oes Te´oricas e Pr´aticas • Macei´o-2010
  44. 44. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 42 Um aplica¸c˜ao not´avel da derivada ´e o c´alculo das retas tangentes de um gr´afico. Afinal, ela foi introduzida assim. Nesta parte do curso abordaremos outras aplica¸c˜oes importantes deste conceito. 4.1 Taxa de Variac¸˜ao – Cinem´atica Classicamente, o quociente de Newton (Parte 3, observa¸c˜ao 3.5) ∆y ∆x = f(a + ∆x) − f(a) ∆x ´e, tamb´em, chamado taxa de varia¸c˜ao m´edia de f no intervalo entre a e a + ∆x. O seu limite, quando ∆x tende a zero, que ´e a derivada de f em x = a, sob este ponto de vista ´e chamado taxa de varia¸c˜ao ou taxa de crescimento de f no ponto x = a. Em F´ısica, quando a fun¸c˜ao, que depende do tempo t, descreve a posi¸c˜ao de uma particula, estas taxas recebem nomes especiais, como veremos a seguir. Consideremos um part´ıcula se movendo ao longo de uma linha reta, que identificaremos com R, t0 um instante fixado e t = t0 +∆t um instante posterior a t0 no movimento da part´ıcula. Se S(t), a fun¸c˜ao hor´aria da part´ıcula, d´a o deslocamento da part´ıcula em um instante t, a velocidade m´edia entre t0 e t, vm, ´e definida por vm = ∆S ∆t = S(t) − S(t0) t − t0 = S(t0 + ∆t) − S(t0) ∆t . Em outras palavras, a velocidade m´edia ´e a taxa de varia¸c˜ao m´edia da deslocamento S em rela¸c˜ao ao tempo t no intervalo de tempo ∆t. A velocidade da part´ıcula no instante t0, indicada por v(t0), ´e definida como sendo a derivada de S em t0. Portanto, v(t0) = S (t0) = dS dt = lim ∆t→0 vm = lim t→t0 S(t) − S(t0) t − t0 = lim ∆t→0 ∆S ∆t . Portanto, a velocidade vt0 exprime a velocidade instantˆanea do deslo- camento S em rela¸c˜ao ao tempo t no instante t0. A acelera¸c˜ao da part´ıcula no tempo t0, a(t0), ´e definida como sendo a segunda derivada de S neste tempo, isto ´e, a(t0) = S (t0) = v (t0) = dv dt (s0) = d2 S dt2 (t0). Exemplo 4.1. Uma part´ıcula em movimento obedece `a equa¸c˜ao hor´aria S(t) = t2 + t (t medido segundos (s) e S em metros (m)). Vamos de- terminar a sua velocidade no instante t = 1 s. A velocidade em um instante t qualquer ´e v(t) = S (t) = dS dt = 2t + 1. Em particular, no instante t = 1 s, ela ser´a igual v(1) = 3 m/s. A acelera¸c˜ao da part´ıcula ´e constante e vale d2S dt2 = 2 m/s2 . 4-1 Exerc´ıcio Resposta Calcule a velocidade e a acelera¸c˜ao da part´ıcula com fun¸c˜ao hor´aria S no tempo t0, onde S e t0 s˜ao como abaixo. (a) S(t) = 1 + t + 3t3 , t0 = 0 s. (b) S(t) = 1 + t2 + sen(t − 1), t0 = 1 s. (c) S(t) = 1 + t2 + sen(t − 1), t0 = 1 s. (d) S(t) = 1 + t2 + cos(t − 1), t0 = 1 s. 4-2 Exerc´ıcio Soluc¸˜ao Se uma bola ´e lan¸cada verticalmente para cima de uma altura de 2 m com uma velocidade ini- cial de 10 m/s, sua fun¸c˜ao hor´aria ´e dada por y = S(t) = −g t2 2 + 10t + 2, onde g, a acelara¸c˜ao da gravidade, vale aproximadamente 9, 8 m/s2 . Calcule a altura m´axima que ser´a atingida pela bola.
  45. 45. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 43 Exemplo 4.2. Suponha que uma bola esf´erica, de volume inicial 0, 1 m3 ´e inflada a uma raz˜ao constante de 0, 01 m3 /s. Vamos obter a veloci- dade com que est´a variando o raio desta bola quando ele medir 1 m. Indicando por V (t) o volume da bola no tempo t, e por R(t) o respectivo raio, temos que V (t) = 4π(R(t))3 /3. Logo, 0, 01 = dV dt = 4π(R(t))2 dR dt (t). Portanto, a velocidade com que varia o raio R no instante t1 s em que ele mede 1 m ´e dR dt (t1) = 0, 01 4π m/s 0.000785398 m/s. Um problema interessante ´e determinar o tempo t1, que vale t1 = 4π − 0, 3 0, 03 s 408, 879 s. S´o como observa¸c˜ao, a obten¸c˜ao de t1 come¸ca resolvendo-se a equa¸c˜ao diferencial 0, 01 = dV dt = 4π(R(t))2 dR dt (t), com inc´ognita R(t) e condi¸c˜ao inicial R(0) = 3 0,3 4π (raio da esfera no instante em que seu volume ´e 0, 1 m3 ). A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao ´e R(t) = 3 3 4π (0, 01 t + 0, 1). Bem, agora vocˆe pode calcular t1. Concorda? 4-3 Exerc´ıcio Sugest˜ao Calcule a taxa de varia¸c˜ao da ´area da superf´ıcie da bola infl´avel do exemplo 4.2 no instante em que o seu raio mede 1 m. 4-4 Exerc´ıcio Sugest˜ao Considere uma escada de 8 m de comprimento, apoiada em uma parede vertical. Num dado instante, digamos t0 s, o p´e da escada est´a a 3 m da base da parede, da qual se afasta com uma velocidade de 1 m/s. Calcule a velocidade com que o topo da escada se move ao longo da parede. 4-5 Exerc´ıcio Sugest˜ao Uma torneira de vaz˜ao constante 2 litros por segundo enche um reser- vat´orio cˆonico como na figura ao lado. Calcule a velocidade com que sobe o n´ıvel da ´agua quanto este se encontra a 2 metros do fundo. y 3 m x 1, 5 m 4.2 Variac¸˜ao das Func¸˜oes As derivadas de uma fun¸c˜ao f fornecem informa¸c˜oes importantes sobre o seu comportamento, no que se refere ao seu crescimento e aos seus valores extremos (m´aximos e m´ınimos). Estes tema ser˜ao aborda- dos logo ap´os obtermos alguns teoremas essenciais que dizem respeito `as fun¸c˜oes deriv´aveis. 4.2.1 Teoremas Fundamentais Neste ponto estudaremos os principais teoremas envolvendo fun- ¸c˜oes deriv´aveis em um intervalo. O primeiro deles ´e o famoso teorema do valor m´edio, para o qual apresentaremos uma prova geom´etrica. Teorema 4.3. [Teorema do Valor M´edio] Se f : [a, b] −→ R ´e con- t´ınua e deriv´avel no intervalo(a, b), ent˜ao, existe c ∈ (a, b) tal que f(b) − f(a) = f (c)(b − a).
  46. 46. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 44 Demonstra¸c˜ao. Na figura a seguir, mostramos o gr´afico de y = f(x), x ∈ [a, b] e a reta l que passa pelos pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b), cuja declividade, claro, ´e dada por xa bc α A P B l s y tg α = f(b) − f(a) b − a , onde α ´e o ˆangulo que l faz com o eixo OX. Agora imaginamos dentre as retas paralelas a l, uma reta, digamos s, que seja tangente `a curva y = f(x), e indiquemos por P = (c, f(c)) o ponto de tangˆencia. Logo, s tem declividade igual a f (c), como vimos na subse¸c˜ao 3.1 . Por outro lado, como s ´e paralela a l suas declividades devem coincidir, isto ´e, f (c) = tg α = f(b) − f(a) b − a , e, portanto, f(b) − f(a) = f (c)(b − a), o que prova o teorema. Observac¸˜ao 4.4. Nos textos mais avan¸cados de An´alise Real, obt´em- se inicialmente o conhecido teorema de Rolle e, a partir dele, prova-se o teorema do valor m´edio. O ponto de vista geom´etrico que adotamos permite obter o teorema do valor m´edio sem fazer referˆencia `aquele teorema. O que faremos a seguir ´e obter o teorema de Rolle como conseq¨uˆencia do teorema do valor m´edio. Vejamos. Corol´ario 4.5. [Teorema de Rolle] Seja f : [a, b] −→ R uma fun- ¸c˜ao cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriv´avel no intervalo aberto (a, b). Se f(a) = f(b), ent˜ao, existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Demonstra¸c˜ao. Temos que f(b) − f(a) = f (c)(b − a), para algum c ∈ (a, b). Agora, como f(a) − f(b) = 0, vem que f (c)(b − a) = 0 e, portanto, devemos ter f (c) = 0. Exemplo 4.6. Neste exemplo, vamos determinar o valor de c do teo- rema do valor m´edio, para f(x) = x2 , x ∈ [−1, 2]. Neste caso, A = (−1, 1) e B = (2, 4). Portanto, a reta l, que passa por A e B, tem declividade 1 e sua equa¸c˜ao ´e y = x + 2. Portanto, c deve satisfazer a equa¸c˜ao f (c) = 2c = 1, x s l y cuja solu¸c˜ao ´e c = 1 2 . A reta tangente s tem equa¸c˜ao y = x − 1 4 . 4-6 Exerc´ıcio Resposta Considere y = f(x) = x3 , x ∈ R. (a) Determine os valores de c determinados pelo teorema do valor m´edio para f entre −1 e 1. (b) Determine os pontos da curva y = x3 onde as tangentes s˜ao para- lelas ao segmento de reta que liga (−1, −1) a (1, 1). Vimos anteriormente que as fun¸c˜oes constantes tˆem derivada nula. Agora podemos provar a rec´ıproca deste fato, para fun¸c˜oes definidas em intervalos. Corol´ario 4.7. Seja f : I −→ R uma fun¸c˜ao deriv´avel no intervalo aberto I. Se f (x) = 0, para todo x ∈ I, ent˜ao f ´e constante.
  47. 47. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 45 Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ I um ponto que fixaremos. Se b ∈ I ´e um ponto qualquer tal que b > a, podemos achar um ponto c, a < c < b, tal que f(b) − f(a) = f (c)(b − a). Como f ´e nula em I, temos, em particular, que f (c) = 0 e, portanto, f(b) − f(a). De modo an´alogo, se tomamos b < a em I, conclu´ımos que f(b) = f(a). Portanto, f(x) = f(a), para todo x ∈ I, o que mostra que f ´e constante. Exemplo 4.8. Defina f : A −→ R, onde A ´e a uni˜ao de intervalos aber- tos A = (0, 1)∪(2, 3), por f(x) = 1, se x ∈ (0, 1) e f(x) = 1, se x ∈ (2, 3). Logo f n˜ao ´e constante, mas sua derivada ´e identicamente nula em A. Claro que isto s´o acontece, porque A n˜ao ´e um intervalo. 4-7 Exerc´ıcio Sugest˜ao Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que para alguns M ∈ R e n > 1, n ∈ N, vale f(x) − f(y) = M(x − y)n , ∀x, y ∈ R. Mostre que f ´e constante. 4-8 Exerc´ıcio Sugest˜ao [Teorema do Valor M´edio Generalizado] Sejam f, g : [a, b] −→ R diferenci´aveis. Defina h em [a, b] por h(x) = (f(b) − f(a))g(x) − (g(b) − g(a))f(x). (a) Verifique que h(a) = h(b). (b) Conclua que existe c ∈ (a, b) tal que h (c) = 0. Portanto, para este c, vale: (f(b) − f(a))g (c) = (g(b) − g(a))f (c). 4-9 Exerc´ıcio Sugest˜ao Considere f, g : R −→ R duas fun¸c˜oes deriv´a- veis com as seguintes propriedades: f = g, g = f, f(0) = 10 e g(0) = −10. Calcule (f(25))2 − (g(25))2 . 4.2.2 Func¸˜oes Mon´otonas Seja f : I −→ R uma fun¸c˜ao definida em I ⊂ R e fixemos A um subconjunto de I. Definic¸˜ao 4.9. Dizemos que (i) f ´e crescente em A se f(x1) ≤ f(x2), ∀ x1 < x2 em A. (ii) f ´e estritamente crescente em A se f(x1) < f(x2), ∀ x1 < x2 em A. (iii) f ´e decrescente em A se f(x1) ≥ f(x2), ∀ x1 < x2 em A. (iv) f ´e estritamente decrescente em A se f(x1) > f(x2), ∀ x1 < x2 em A. Uma fun¸c˜ao que satisfaz uma das condi¸c˜oes acima ´e chamada mon´o- tona. Exemplo 4.10. A fun¸c˜ao f(x) = 3x − 1 ´e estritamente crescente em R. A fun¸c˜ao g(x) = x2 ´e estritamente crescente em [0, ∞) e decrescente em (−∞, 0]. Olhando atentamente para a par´abola y = x2 , vemos que suas tangentes ao longo do intervalo (0, +∞), onde ela cresce, tˆem inclina¸c˜oes positivas, enquanto que ao longo de (−∞, 0), onde decresce, suas tangentes tˆem inclina¸c˜oes negativas. Isto equivale dizer que g > 0 em (0, +∞), onde g ´e crescente, e que g < 0 em (−∞, 0), ode g ´e
  48. 48. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 46 decrescente. Isto motiva o seguinte resultado. y = x2 y = 3x − 1 x x y y Proposic¸˜ao 4.11. Seja f : I −→ R deriv´avel no intervalo I. Temos que (i) Se f ´e crescente, ent˜ao f (x) ≥ 0, para todo x ∈ I. (ii) Se f ´e decrescente, ent˜ao f (x) ≤ 0, para todo x ∈ I. Demonstra¸c˜ao. Provaremos (i). Seja a ∈ I. Temos que f (a) = lim x→a f(x) − f(a) x − a , que deve coincidir com f (a+ ) (veja observa¸c˜ao 3.3 ). Mas, para x > a, temos que f(x)−f(a) ≥ 0, pois f ´e crescente. Logo, f (a+) ≥ 0 e, portanto, f (a) ≥ 0, o que prova (i). Observac¸˜ao 4.12. O leitor atento poderia esperar que se na pro- posi¸c˜ao acima tiv´essemos f estritamente crescente, ent˜ao sua derivada seria estritamente positiva. Entretanto, mesmo meste caso, s´o podemos afirmar que f ´e n˜ao-negativa. Com efeito, para considere f(x) = x3 , x ∈ R (veja figura do exemplo 3.12 ). Temos que f ´e estritamente crescente, mas sua derivada f (x) = 3x2 ≥ 0, pois se anula em x = 0. Usando o teorema do valor m´edio, podemos provar a rec´ıproca da proposi¸c˜ao anterior. Mais precisamente, temos o seguinte resultado. Proposic¸˜ao 4.13. Seja f : I −→ R deriv´avel no intervalo I. Temos que (i) Se f > 0 em I, ent˜ao f ´e estritamente crescente. (ii) Se f ≥ 0 em I, ent˜ao f ´e crescente. (iii) Se f < 0 em I, ent˜ao f ´e estritamente decrescente. (iv) Se f ≤ 0 em I, ent˜ao f ´e decrescente. Demonstra¸c˜ao. Vejamos a prova de (i). Sejam a < b em I. Temos que existe a < c < b tal que f(b) − f(a) = f (c)(b − a) > 0, pois f (c) > 0 e b − a > 0. Logo, f(a) < f(b), o que prova que f ´e estritamente crescente. Exemplo 4.14. Neste ponto, retomamos a fun¸c˜ao f(x) = x3 , definida em R e observamos que sua derivada 3x2 > 0 em R − {0}. Portanto, f ´e estritamente crescente a´ı. H´a uma diferen¸ca not´avel na forma entre os peda¸cos da curva que se encontram `a esquerda e `a direita da origem. Esta diferen¸ca ´e o que chamamos de concavidade da curva: no peda¸co da esquerda (x ∈ (−∞, 0]) ela est´a volta- x y = x3 y da para baixo; no peda¸co da direita (x ∈ [0, +∞)), voltada para cima. Portanto, apenas o conhecimento do sinal de f n˜ao permite um esbo¸co preciso da curva y = f(x). Precisamos conhecer um pouco mais de f para realizar esta tarefa. O que faremos aqui ´e observar o sinal de que f = 6x, o qual ´e negativo em x < 0, o que implica que f ´e decrescente, e ´e positivo em x > 0, o que implica que f ´e crescente. ´E exatamente isto que faz a diferen¸ca, e que vale para qualquer fun¸c˜ao deriv´avel duas vezes, e que ser´a provado a seguir. Proposic¸˜ao 4.15. Seja f : I −→ R duas vezes deriv´avel no intervalo I.
  49. 49. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 47 (i) Se f ≥ 0 em I, ent˜ao a curva y = f(x) tem concavidade voltada para cima. (ii) Se f ≤ 0 em I, ent˜ao a curva y = f(x) tem concavidade voltada para baixo. Demonstra¸c˜ao. Para (i), basta observar que f ´e crescente, e, para o caso (ii), que f ´e decrescente. (Veja figuras que seguem.) (i) O Caso f > 0: f crescente (ii) O Caso f < 0: f decrescente x2x1 xxx1 x2 f (x1) < f (x2) f < 0 f (x1) > f (x2) yf > 0y Exemplo 4.16. Neste exemplo vamos esbo¸car o gr´afico de f(x) = x3 − 2x2 −x+2, x ∈ R. Para isto, vamos estudar os sinais de f e f . Temos que f (x) = 3x2 − 4x − 1 e f (x) = 6x − 4. Vamos coletar algumas informa¸c˜oes b´asicas. (i) limx→−∞ = −∞. (ii) limx→+∞ = +∞. (iii) f(0) = 2. (Um estudo mais apurado de f determina que suas ra´ızes s˜ao −1, 1 e 2.) (iv) f (x) ≥ 0, para x ∈ [2 3 , +∞). Concavidade voltada para cima ao longo de [2 3 , +∞), ou f ´e crescente em [2 3 , +∞). (v) f (x) < 0, para x ∈ (−∞, 2 3 ). Concavidade voltada para baixo aol longo de (−∞, 2 3 ), ou ou f ´e decrescente em (−∞, 2 3 ). (vi) f (2/3) = −7/3 < 0 e f (x) > 0 para x grande. Logo, ao longo de [2 3 , +∞), f se comporta como na situ¸c˜ao (i) da pro- posi¸c˜ao 4.15 . (vii) f (2/3) = −7/3 < 0 e f (x) < 0 para x perto do −∞. Logo, ao longo de (−∞, 2 3 ), f se comporta como na situa¸c˜ao (ii) da proposi¸c˜ao 4.15 . (viii) As ra´ızes de f s˜ao x1 = 2− √ 7 3 , que ´e negativa e maior do que −1, e x2 = 2+ √ 7 3 , que est´a entre 1 e 2. (ix) f ´e crescente antes de x1 e depois de x2, posto que a´ı f > 0. (x) f ´e decrescente entre x1 e x2, porque f < 0 a´ı. Finalmente, podemos esbo¸car y = x3 − 2x2 − x + 2. y = x3 − 2x2 − x + 2 y < 0 x x2x1 y > 0 y 4-10 Exerc´ıcio Resposta Considere f(x) = 2+12x−9x2 +2x3 , x ∈ R. (a) Mostre que as ra´ızes de f s˜ao x1 = 1 e x2 = 2. (b) Deduza que f ´e crescente em (−∞, 1] ∪ [2, +∞) e decrescente no intervalo [1, 2]. (c) Agora estude o sinal de f e esboce a curva.
  50. 50. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 48 4.3 M´aximos e M´ınimos Seja f : I −→ R uma fun¸c˜ao definida em I, e seja x0 um ponto de I. Chamamos de vizinha¸ca de x0 em I a um intervalo aberto J = (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ I, onde δ ´e um n´umero real positivo. Definic¸˜ao 4.17. Dizemos que x0 ´e um ponto de m´aximo local de f se existir uma vizinha¸ca J de x0 em I tal que: x ∈ J ⇒ f(x) ≤ f(x0) Neste caso, o valor de f(x0) ´e chamado de m´aximo local de f. Quando J = I, diremos que x0 ´e ponto de m´aximo glo- bal de f, e que f(x0) ´e o valor m´aximo de f. x0 − δ x0 xx0 + δ f(x0) y Definic¸˜ao 4.18. Dizemos que x0 ´e um ponto de m´ınimo local de f se existir uma vizinha¸ca J de x0 em I tal que: x ∈ J ⇒ f(x) ≥ f(x0) Neste caso, o valor de f(x0) ´e chamado de m´ınimo local de f. Quando J = I, diremos que x0 ´e ponto de m´ınimo glo- bal de f, e que f(x0) ´e o valor m´ınimo de f. x0 − δ x0 x0 + δ x f(x0) y Exemplo 4.19. x0 = 0 ´e ponto de m´ınimo global de f(x) = x2 , x ∈ R. O valor m´ınimo de f ´e f(0) = 0. De fato, 0 = f(0) ≤ x2 , para todo x ∈ R. Exemplo 4.20. Visando generalizar a situa¸c˜ao do exemplo anterior, vamos estudar um polinˆomio da forma p(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c s˜ao constantes com a > 0. Neste caso, veremos que x0 = − b 2a ´e ponto de m´ınimo global de p, com valor m´ınimo global dado por f(x0) = − δ 4a , onde ∆ = b2 − 4ac ´e o conhecido discriminante de p. Temos que p(x) = ax2 + bx + c = a(x2 + 2 b 2a x + c a ) = a(x2 + 2 b 2a x + b2 4a2 − b2 4a2 + c a ) = a((x + b 2a )2 − b2 4a2 − c a ) = a(x + b 2a )2 − b2 − 4ac 4a = a(x + b 2a )2 − ∆ 4a . Note que na passagem da primeira para a segunda igualdades, simples- mente completamos quadrados, como fazemos para obter as ra´ızes de um polinˆomio do segundo grau, lembra? Assim, ficamos com p(x) = a(x + b 2a )2 − ∆ 4a ≤ − ∆ 4a = p(x0), (E1) onde, x0 = − b 2a , porque (x + b 2a )2 se anula em x0. Em particular, podemos reobter as ra´ızes de p. De p(x) = a(x + b 2a )2 − ∆ 4a , segue-se que p(x) = 0 se, e somente se, x = x1, ou x = x2, onde x1 = −b + √ ∆ 2a e x2 = −b − √ ∆ 2a . ´E claro que se ∆ < 0, teremos recorrer aos n´umeros complexos. A figura a seguir ilustra a situa¸c˜ao. Figura 51: y = ax2 + bx + c, a > 0 − ∆ 4a x xx1 x2x0 x0 − ∆ 4a ∆ > 0 ∆ < 0 yy
  51. 51. Aplicac¸˜oes da Derivada (J. Adonai) - 49 Como caso particular, p(x) = x2 − 6x + 10 tem valor m´ınimo global 1, atingido em x0 = −6 2 = 3. Neste ponto, ´e conveniente observar que a derivada de p, p (x) = 2ax + b, se anula em x0 = −b/2a, como era de se esperar, a partir da figura 51 acima, posto que em (x0, p(x0)) a reta tangente ´e paralela ao eixo OX. Este fato n˜ao ´e mera coincidˆencia deste exemplo, como veremos na proposi¸c˜ao 4.22 , a seguir. 4-11 Exerc´ıcio Sugest˜ao (a) Estudar p(x) = ax2 + bx + c, para o caso a < 0, e mostrar que x0 = − b 2a ´e o ponto de m´aximo global de p com valor m´aximo correspondente dado por f(x0) = − ∆ 4a . (b) Determine dois n´umeros reais x e y tais que x+y = 2 e o produto p = xy seja o maior poss´ıvel. (c) Um fazendeiro deseja construir um pasto na forma retangular, cuja cerca deve medir 4 Km. Determine os lados da cerca para que o pasto envolva a maior ´area poss´ıvel. Definic¸˜ao 4.21. Seja f : I −→ R definida no intervalo I e deriv´avel em x0 ∈ I. Diremos que x0 ´e um ponto critico de f, se f (x0) = 0. 4-12 Exerc´ıcio Resposta Determine os pontos cr´ıticos de (a) f(x) = 2 + 12x − 9x2 + 2x3 , x ∈ R. (b) f(x) = x − sen x, x ∈ R. (c) f(x) = x − cos x, x ∈ R. Proposic¸˜ao 4.22. Seja f : I −→ R definida no intervalo I e deriv´avel em x0 ∈ I. Se x0 ´e um ponto extremo de f, isto ´e, x0 ´e um ponto de m´aximo ou de m´ınimo (local ou global), e x0 n˜ao ´e uma das extremidades de I, ent˜ao x0 ´e um ponto cr´ıtico de f. Demonstra¸c˜ao. Vamos supor que x0 ´e um ponto de m´ınimo local. Ent˜ao, existe δ > 0 tal que f(x0) ≤ f(x), ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Logo,    f(x) − f(x0) x − x0 ≥ 0, se x0 < x < x0 + δ f(x) − f(x0) x − x0 ≤ 0, se x0 − δ < x < x0. Portanto, f (x0) = lim x → a (x > x0) f(x) − f(x0) x − a ≥ 0 e f (x0) = lim x → a (x < x0) f(x) − f(x0) x − a ≤ 0, e, portanto, f (x0) = 0. Observac¸˜ao 4.23. A rec´ıproca da proposi¸c˜ao acima n˜ao ´e verdadeira, como mostra o exemplof(x) = x3 , que tem x0 = 0 como ponto cr´ıtico, mas este ponto n˜ao de m´aximo nem de m´ınimo. Exemplo 4.24. Consideremos o polinˆomio f(x) = x3 − 3x + 4, x ∈ R. De limx→+∞ f(x) = +∞ e limx→−∞ f(x) = −∞, vem que f n˜ao pode ter valores extremos globais: nenhum valor de f pode ser maior nem menor que todos os outros. Portanto, se f tem pontos extremos, estes

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