SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 55
Baixar para ler offline
Univali - Matemática para jogos 
Relações, Funções e Gráficos de Funções
Conjunto dos números Naturais – N 
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Conjuntos Numéricos 
Conjunto dos números Inteiros – Z 
Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto 
dos números inteiros relativos, isto é: 
N Ì Z 
NN ZZ
Conjunto dos números Racionais – Q 
● Composto pelas razões ou frações entre números inteiros, dízimas 
finitas, e dízimas infinitas periódicas. 
4,55 = 455 
1,3 = 13 
0,77777777... = 7 
● Números “com vírgula” que podem ser escritos a partir da divisão de 
dois inteiros. 
● Qualquer fração representa sempre uma dízima finita ou uma dízima 
infinita periódica,- logo, uma fração é um número racional. 
Z ÌQ 
QQ 
Conjuntos Numéricos 
NN ZZ 
100 
10 
9
Conjunto dos números Reais – 
ℜ 
● Composto pelos números racionais mais as dízimas infinitas não 
periódicas, isto é, números racionais + números irracionais. 
● Exemplo de Números Irracionais: 
Conjuntos Numéricos 
● Todas as raízes de números naturais que não sejam quadrados 
perfeitos (não inteira)... 2 55 30 
p=3,1415926535897932384626433832795......... 
e=2,718281828459045235360287.
Conjuntos Numéricos 
ℜ QQ NN ZZ
Alguns Números Interessantes 
Conjuntos Numéricos 
● O Neperiano pode ser obtido pela seguinte relação: 
● p  -  pode ser obtido pela seguinte relação: 
● Razão áurea e o equilíbrio das proporções.
Funções e o Plano Cartesiano 
● O plano cartesiano é feito através da junção de 
dois eixos, perpendiculares entre si que se 
cruzam no ponto 0, o qual é a origem de ambos 
os eixos. 
● O eixo horizontal é chamado de eixo das 
abscissas ou x. O eixo vertical é chamado de 
eixo das ordenadas ou y.
Funções e o Plano Cartesiano 
● Os eixos dividem o espaço quatro quadrantes 
enumerados no sentido anti-horário 
Quadrante 1: x>0 e y>0 
Quadrante 2: x<0 e y>0 
Quadrante 3: x<0 e y<0 
Quadrante 4: x>0 e y<0
Funções e o Plano Cartesiano 
● Cada ponto do plano cartesiano é identificado 
por um par de números chamados de 
coordenadas. 
● Para obter um ponto P, basta traçar as 
perpendiculares ao eixo x e y.
● Para dizer que P possui 
abscissa a e ordenadas b, 
escrevemos: 
Funções e o Plano Cartesiano 
● P ↔(a; b) ou P = (a; b) 
● Sempre que representar o plano 
cartesiano em conjuntos, o 
primeiro número é sempre a 
abscissa e o segundo é sempre 
a ordenada.
● Produto Cartesiano 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Considere dois conjuntos não vazios A e B: 
● A = {1,2,3} e B = {4,5} 
● Chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os 
pares ordenados | que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B. 
A x B = {(x; y)│x A e y B}. 
● A x B = { (1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5) } 
● B x A = { (4;1), (4;2), (4;3), (5;1), (5;2), (5;3) } 
● A x A = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1), (3;2), (3;3) } 
● B x B = { (4;4), (4;5), (5;4), (5;5) }
● Representação do Produto Cartesiano. 
● Há duas maneiras de produtos 
cartesianos 
● Por diagrama de flechas 
ou por diagrama cartesiano. 
● Considerando 
A = (1,2,3) e B = (4,5). 
Funções e o Plano Cartesiano 
1 
2 
3 
4 
5
● Domínio, Imagem e Gráficos 
● Chama-se domínio o conjunto de todos os 
elementos de A que está associado à pelo 
menos um elemento de B. 
● Chama-se imagem o conjunto de todos os 
elementos de B relacionados de pelo 
menos a um elemento de A. 
● AxB = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } 
● D = { -2,-1, 0, 1, 2} 
● Im = { 0, 1, 4 }. 
Funções e o Plano Cartesiano 
-2 
-1 
0 
1 
2 
0 
1 
4
Funções e o Plano Cartesiano 
R = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } 
D = { -2,-1, 0, 1, 2 } 
Im = { 0, 1, 4 }. 
CD = B
Funções e o Plano Cartesiano 
● Dada a relação h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} 
definida pela lei h(x) = x2 – 3x 
● Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função. 
● Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8} 
● Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40} 
● Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio. 
● Para x=-3 y=? 
● Para x=0 y=? 
● Para x=3 y=? 
● Para x=8 y=? 
● Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto 
Imagem da função. 
● Im = ?
Funções e o Plano Cartesiano 
● Função 
Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada 
variável x em A, um único y em B. 
● Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: 
f : A → B 
Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: 
● 1) domínio A da relação e 2) contradomínio B da relação. 
● 3) Todo elemento de A deve ter correspondente em B. 
● 4) Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente 
no contradomínio B. 
● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB
● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB 
… 
● Estamos interessados em funções com D e CD contidos no conjunto dos 
números reais, as chamadas funções reais de variável real. 
Ex.1: 
f(x) = 3x - 20 
D(f)=? 
Im(f)=? 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 
50 ?
Funções e o Plano Cartesiano 
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função 
f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. 
f(x)= -3x 
f(x)= 2x 
f(x)= x/2 
O gráfico da função linear é uma reta 
que sempre passa pela origem p(0,0).
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função 
f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. 
f(x)= -3x 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
o eixo das abscissas ? 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
y = 50 ? 
● D(f)=? Im(f)=? 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções e o Plano Cartesiano 
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. 
Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa 
f(x)=ax+b 
f(x)= -3x + 1 
f(x)= 2x + 7 
f(x)= x/2 + 4 
Se b != 0, o gráfico da função linear é 
uma reta que não passa pela origem p(0,0).
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. 
Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa 
f(x)=ax+b 
f(x)= x/2 + 4 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
o eixo das abscissas ? 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
y = 50 ? 
● D(f)=? Im(f)=? 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções e o Plano Cartesiano 
● Tipos de Funções 
2) Função Identidade 
Uma função identidade é uma função f: R → R onde f(x)=x ou f(x)=-x 
3) Função Constante 
Seja b um número real. A função constante associa a cada x em R o 
valor f(x)=b
● Tipos de Funções 
4) Função Quadrática 
Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é 
uma função f: R → R que para cada x em R, f(x) = ax²+bx+c 
● f(x)= x² 
● f(x)= -4x² 
● f(x)= -x²+2x+7 
● f(x)= x²-4x+3 
● f(x)= 2x²-3x 
Funções e o Plano Cartesiano
● Tipos de Funções 
4) Função Quadrática 
f(x)= x²-4x+3 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
o eixo das abscissas ? 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
y = 50 ? 
● D(f)=R Im(f)= usar as equações (-b/2a, -Delta/4a) 
tal que Delta= b2 – 4.a.c 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções e o Plano Cartesiano 
4) Função Quadrática 
f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40) 
D(f)= ? 
Im(f)=? 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = -3 ?
4) Função Quadrática 
Funções e o Plano Cartesiano 
● A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do 
valor obtido para o radicando, chamado discriminante: 
● quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
● quando Δ é zero, há só uma raiz real; 
● quando Δ é negativo, não há raiz real.
● Tipos de Funções 
5) Função cúbica 
Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função 
cúbica é uma função f : R → R que para cada x em R, associa 
f(x) = ax³+bx²+cx+d 
f(x)= x³ 
f(x)= -4x³ 
f(x)= 2x³ + x² – 4x + 3 
f(x)= -7x³ + x² + 2x + 7 
Funções e o Plano Cartesiano
Delimitando o domínio e Imagem de uma função 
● Alguns elementos não possuem correspondente associado para todo R. 
● Ou seja... nem toda relação é uma função. 
● Logo, costuma-se definir D(f) em função do conjunto onde f(x) infere. 
● Exemplo 1: Considere a seguinte função real, que calcula a raiz de um 
número real. 
● f(x)= 
● x=-1; não possui raiz real, logo sqrt(x<0) não possuem raízes reais. 
● D(f) = [ 0, +inf ) 
Funções e o Plano Cartesiano 
 x 
Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
Delimitando o domínio e Imagem de uma função 
● Exemplo 2: considere as funções f(x) e g(x) abaixo: 
● f(x) = 3x + 5 onde f : [ 0, +inf ) → R 
● g(x) = 3x + 5 
D(f) = [ 0, +inf ) 
Im(f) = [ 5, +inf ) 
D(g) = R 
Im(g) = R 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções e o Plano Cartesiano 
Delimitando o domínio e Imagem de uma função 
● Cada função abaixo, tem características distintas 
● 1) f : R → R definida por f(x)=x² 
Dom(f)=R Im(f)= [ 0, +inf ) 
● 2) f : [0, 2] → R definida por f(x)=x² 
Dom(f)=[0,2] Im(f)=[ 0,4 ] 
● 3) A função modular é definida por f : R → R tal que f(x)= |x| 
Dom(f)=? Im(f)= ? 
e seu gráfico ?
Exercícios 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R: 
f  x=4−x2 
x2 f  x= x22 
f  x= 1 
2) 7) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Funções e o Plano Cartesiano 
f  x= 3 
x−3 
f  x= x 
3x−9 
f  x=1−x 
12 
f  x= 3x2 
2x6−3x15 
x2−2x−8
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
● Uma função f : A → B é injetora se quaisquer dois elementos distintos 
de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: 
● Ou senão para f(x1)=f(x2) implica que x1=x2. 
● Exemplo 1) A função f : R → R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois 
sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois 
valores diferentes para f(x). 
● Exemplo 2) A função f : R → R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois 
para x=1 temos f(1)=6 e 
para x=-1 temos f(-1)=6.
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
Injetora somente o gráfico da função g
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
● Uma função f: A → B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem 
de pelo menos um elemento de A. 
● Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente 
igual a B que é o contradomínio da função, ou seja: 
para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). 
● Exemplo 1) A função f: R → R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois 
todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. 
● Exemplo 2) A função f: R → [0, +inf) definida por f(x)=x² é sobrejetora, 
pois todo elemento pertencente a [0, +inf) é imagem de pelo menos um 
elemento de R pela função.
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
● Exemplo 3) A função f: R → R definida por f(x)=x² não é sobrejetora, 
pois f(-2) = 4 = f(2), e … 
se x²>0, não existe y < 0 em Im(f). 
Exemplo 4) A função f : R → R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, 
pois o número -1 é elemento do contradomínio R, e não é imagem de 
qualquer elemento do domínio, ou seja, y sempre é maior que 0.
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
● Uma função f : A → B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e 
sobrejetora. 
● Exemplo 1: A função f : R → R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é 
injetora e sobrejetora. 
● Exemplo 2: A função g : [0,+inf] → [0,+inf] dada por g(x)=x2 é bijetora 
pois para que tenhamos g(x) = y 
basta que tenhamos x2 = y, logo x = y1/2
Funções Pares e Ímpares 
● Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, 
tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em 
relação ao eixo vertical OY. 
Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois 
f(-x)=x²=f(x). 
Outra função par é 
g(x)=cos(x) 
pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x) 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções Pares e Ímpares 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, 
tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em 
relação à origem do sistema cartesiano. 
Exemplo: 
f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: 
f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) 
g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x).
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Crescente e Decrescente 
● Função decrescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que 
sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). 
Seja a função f : R → R definida por f(x)=-8x+2. Para os valores: a=1 e 
b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e 
f(a)>f(b) então a função é decrescente.
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Crescente e Decrescente 
● Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x 
e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). 
Seja a função f : R → R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e 
b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e 
f(a)<f(b) então a função é crescente..
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Crescente e Decrescente
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Explícitas, Implícitas e Paramétricas 
A função pode ser escrita de três formas diferentes: 
● Paramétrica (parametrizável) 
r = [x(t) y(t)], ou seja 
x=x(t) e y=y(t), onde t é um parâmetro variável t1< t < t2 
● Exemplo: 
Uma reta: 
● r(t)=(1-t)r(0) + r(1); onde r(0) é a posição inicial do segmento dos 
segmento e r(1)= posição final do segmento de reta 
● Uma curva qualquer 
● r(t)=[t^3-0.5*t^2+1 -0.2*t^3-0.4*t^2+t ]
Funções Inversas 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Dada uma função bijetora f : A → B, denomina-se função inversa de f à 
função g : B → A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a 
em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1 
● Exemplo: sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f: A → B 
definida por f(x)=2x e g: B → A definida por g(x)=x/2. Observemos nos 
gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
Funções Inversas 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções Inversas 
● Obtenção da inversa: 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Seja f: R → R, f(x)=x+3. 
Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. 
Isolando x obteremos x=y-3 
● Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Trocando x por y e y por 
x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. 
Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.
Funções Inversas 
● f(x) = 4x-5 (linha azul) 
Funções e o Plano Cartesiano 
● g(x) = (y+5) / 4 (linha verde) 
● [0, 5] 
● f(x) = x2 (linha azul) 
● g(x) = x1/2 (linha verde)
Funções Inversas 
Funções e o Plano Cartesiano 
x (3y – 5) = 2y +3 
3xy – 5x = 2y + 3 
3xy – 2y = 3 + 5x 
y (3x – 2) = 3 + 5x 
f  x=2x3 
3x−5 
y=2x3 
3x−5 
f  x=5x3 
3x−2 
x=2y3 
3y−5
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Contínuas e Discretas 
Algumas das funções que vimos até o momento são contínuas 
a b
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Contínuas e Discretas 
Outras das funções que vimos até o momento não são contínuas 
a b 
x in R, [0, 10] 
f(x) = x – 1 
x in R, x > 12 
f(x) = 12
Funções e o Plano Cartesiano 
Sinal Discreto – Discretizado 
1. Uma variável discreta pode assumir um número finito (e geralmente 
pequeno) de valores. 
2. Uma variável discreta pode ser usada para realizar uma representação 
simplificada de uma grandeza física que é contínua no tempo. 
Exemplo: funções em matlab realizadas até o momento (“step”) 
3. Variáveis discretas sempre serão funções não-contínuas. 
(ou seja, são representadas por) 
4. Em computadores os sinais são representados por variáveis discretas por 
causa da forma que os números são representados : 
sistema de numeração binário 
sistema de numeração hexadecimal

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Ft 8 FunçõEs Racionais
Ft 8 FunçõEs RacionaisFt 8 FunçõEs Racionais
Ft 8 FunçõEs Racionaisdynysfernandes
 
Relacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostilaRelacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostilaThalles Anderson
 
CfSd 2016 matematica - 2 v1
CfSd 2016   matematica - 2 v1CfSd 2016   matematica - 2 v1
CfSd 2016 matematica - 2 v1profNICODEMOS
 
Funcao Polinomial Do 1 Grau
Funcao Polinomial Do 1 GrauFuncao Polinomial Do 1 Grau
Funcao Polinomial Do 1 GrauAntonio Carneiro
 
Funções - Exercícios
Funções - ExercíciosFunções - Exercícios
Funções - ExercíciosEverton Moraes
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Função Afim
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Função Afimwww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Função Afim
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Função AfimAulas De Matemática Apoio
 
funçoes
funçoesfunçoes
funçoestagma33
 
Conjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoesConjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoesFelipe Bugov
 
Aula funcoes 1° e 2° graus
Aula   funcoes 1° e 2° grausAula   funcoes 1° e 2° graus
Aula funcoes 1° e 2° grausDaniel Muniz
 
Funções de 1º e 2º grau
Funções de 1º e 2º grauFunções de 1º e 2º grau
Funções de 1º e 2º grauGustavo Mercado
 
Projeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
Projeto final Informática educativa I - Michele ZachariasProjeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
Projeto final Informática educativa I - Michele ZachariasMichele Zacharias Dos Santos
 
Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.silvia_lfr
 
Funções do 1º e 2º grau
Funções do 1º e 2º grauFunções do 1º e 2º grau
Funções do 1º e 2º grauZaqueu Oliveira
 
matematica e midias
matematica e midiasmatematica e midias
matematica e midiasiraciva
 

Mais procurados (20)

Ft 8 FunçõEs Racionais
Ft 8 FunçõEs RacionaisFt 8 FunçõEs Racionais
Ft 8 FunçõEs Racionais
 
Relacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostilaRelacoes e funcoes_apostila
Relacoes e funcoes_apostila
 
Funções.saa
Funções.saaFunções.saa
Funções.saa
 
CfSd 2016 matematica - 2 v1
CfSd 2016   matematica - 2 v1CfSd 2016   matematica - 2 v1
CfSd 2016 matematica - 2 v1
 
Funcao Polinomial Do 1 Grau
Funcao Polinomial Do 1 GrauFuncao Polinomial Do 1 Grau
Funcao Polinomial Do 1 Grau
 
Função algébrica
Função algébricaFunção algébrica
Função algébrica
 
Funções - Exercícios
Funções - ExercíciosFunções - Exercícios
Funções - Exercícios
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Função Afim
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Função Afimwww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Função Afim
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Função Afim
 
funçoes
funçoesfunçoes
funçoes
 
Conjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoesConjuntos relacoes funcoes
Conjuntos relacoes funcoes
 
Aula funcoes 1° e 2° graus
Aula   funcoes 1° e 2° grausAula   funcoes 1° e 2° graus
Aula funcoes 1° e 2° graus
 
Funções de 1º e 2º grau
Funções de 1º e 2º grauFunções de 1º e 2º grau
Funções de 1º e 2º grau
 
Matematica2 3
Matematica2 3Matematica2 3
Matematica2 3
 
Projeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
Projeto final Informática educativa I - Michele ZachariasProjeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
Projeto final Informática educativa I - Michele Zacharias
 
Calcúlo 1 2º termo de papel e celulose
Calcúlo 1   2º termo de papel e celuloseCalcúlo 1   2º termo de papel e celulose
Calcúlo 1 2º termo de papel e celulose
 
Funcoes Resumao
Funcoes ResumaoFuncoes Resumao
Funcoes Resumao
 
Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.Funções racionais. hipérbole.
Funções racionais. hipérbole.
 
Funções do 1º e 2º grau
Funções do 1º e 2º grauFunções do 1º e 2º grau
Funções do 1º e 2º grau
 
matematica e midias
matematica e midiasmatematica e midias
matematica e midias
 
Resumo função afim pdf
Resumo função afim pdfResumo função afim pdf
Resumo função afim pdf
 

Destaque

Funcões Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Funcões Injetora, Sobrejetora e BijetoraFuncões Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Funcões Injetora, Sobrejetora e BijetoraCleiton Cunha
 
Função sobrejetora, injetora e injetora
Função sobrejetora, injetora e injetoraFunção sobrejetora, injetora e injetora
Função sobrejetora, injetora e injetoraPéricles Penuel
 
FunçOes Injetoras, Sobrejetoras E Sobrejetoras
FunçOes Injetoras, Sobrejetoras E SobrejetorasFunçOes Injetoras, Sobrejetoras E Sobrejetoras
FunçOes Injetoras, Sobrejetoras E Sobrejetorasandreabelchol
 
Lista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversas
Lista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversasLista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversas
Lista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversasquimicabare
 
Aquilo que era mulher
Aquilo que era mulherAquilo que era mulher
Aquilo que era mulherLuciane Lira
 
Macroeconomia
MacroeconomiaMacroeconomia
Macroeconomiabevevino
 
9.2. conceitos necessários à contabilidade nacional
9.2. conceitos necessários à contabilidade nacional9.2. conceitos necessários à contabilidade nacional
9.2. conceitos necessários à contabilidade nacionalDavid Ribeiro
 
Produto cartesiano e função definição
Produto cartesiano e função  definiçãoProduto cartesiano e função  definição
Produto cartesiano e função definiçãoMeire de Fatima
 
2º Ano - Matrizes - Operações
2º Ano - Matrizes - Operações2º Ano - Matrizes - Operações
2º Ano - Matrizes - OperaçõesAnselmo Guerra Jr
 
Introdução ao estudo de Matrizes
Introdução ao estudo de MatrizesIntrodução ao estudo de Matrizes
Introdução ao estudo de MatrizesAnselmo Guerra Jr
 

Destaque (20)

Funcões Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Funcões Injetora, Sobrejetora e BijetoraFuncões Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Funcões Injetora, Sobrejetora e Bijetora
 
Função sobrejetora, injetora e injetora
Função sobrejetora, injetora e injetoraFunção sobrejetora, injetora e injetora
Função sobrejetora, injetora e injetora
 
FunçOes Injetoras, Sobrejetoras E Sobrejetoras
FunçOes Injetoras, Sobrejetoras E SobrejetorasFunçOes Injetoras, Sobrejetoras E Sobrejetoras
FunçOes Injetoras, Sobrejetoras E Sobrejetoras
 
Lista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversas
Lista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversasLista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversas
Lista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversas
 
Relações
RelaçõesRelações
Relações
 
Aquilo que era mulher
Aquilo que era mulherAquilo que era mulher
Aquilo que era mulher
 
Ec6
Ec6Ec6
Ec6
 
Quao bom
Quao bomQuao bom
Quao bom
 
Macroeconomia
MacroeconomiaMacroeconomia
Macroeconomia
 
Função injectiva
Função injectivaFunção injectiva
Função injectiva
 
Sql junções
Sql junçõesSql junções
Sql junções
 
9.2. conceitos necessários à contabilidade nacional
9.2. conceitos necessários à contabilidade nacional9.2. conceitos necessários à contabilidade nacional
9.2. conceitos necessários à contabilidade nacional
 
Notas De Aula
Notas De AulaNotas De Aula
Notas De Aula
 
Produto cartesiano e função definição
Produto cartesiano e função  definiçãoProduto cartesiano e função  definição
Produto cartesiano e função definição
 
Contabilidade nacional
Contabilidade nacionalContabilidade nacional
Contabilidade nacional
 
2º Ano - Matrizes - Operações
2º Ano - Matrizes - Operações2º Ano - Matrizes - Operações
2º Ano - Matrizes - Operações
 
Introdução ao estudo de Matrizes
Introdução ao estudo de MatrizesIntrodução ao estudo de Matrizes
Introdução ao estudo de Matrizes
 
Funcoes
FuncoesFuncoes
Funcoes
 
Matrizes - CONCEITOS INICIAIS
Matrizes - CONCEITOS INICIAISMatrizes - CONCEITOS INICIAIS
Matrizes - CONCEITOS INICIAIS
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 

Semelhante a Aula no

02 função quadrática - parte II (raízes)
02   função quadrática - parte II (raízes)02   função quadrática - parte II (raízes)
02 função quadrática - parte II (raízes)Angelo Moreira Dos Reis
 
CáLculo NuméRico I
CáLculo NuméRico ICáLculo NuméRico I
CáLculo NuméRico Ieducacao f
 
Funcoes
FuncoesFuncoes
Funcoeslopes
 
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função   1º ano do ensino medioProduto cartesiano e função   1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medioSimone Smaniotto
 
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função   1º ano do ensino medioProduto cartesiano e função   1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medioSimone Smaniotto
 
Doc matematica _286849913
Doc matematica _286849913Doc matematica _286849913
Doc matematica _286849913Robson1992
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficosmarmorei
 
Funções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptxFunções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptxCristianoTaty
 
Revisão em -funções - calculo 1
Revisão   em -funções - calculo 1Revisão   em -funções - calculo 1
Revisão em -funções - calculo 1Eduardo Soares
 
Funções polinomiais do 1ºgrau
Funções polinomiais do 1ºgrauFunções polinomiais do 1ºgrau
Funções polinomiais do 1ºgraurachidcury
 
Produto cartesiano - Relação - Função
Produto cartesiano - Relação - FunçãoProduto cartesiano - Relação - Função
Produto cartesiano - Relação - Funçãosralkmim
 
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
 
Informatica Da EducaçãO[1]
Informatica Da EducaçãO[1]Informatica Da EducaçãO[1]
Informatica Da EducaçãO[1]guest519fd1
 

Semelhante a Aula no (20)

áLgebra i
áLgebra iáLgebra i
áLgebra i
 
02 função quadrática - parte II (raízes)
02   função quadrática - parte II (raízes)02   função quadrática - parte II (raízes)
02 função quadrática - parte II (raízes)
 
CáLculo NuméRico I
CáLculo NuméRico ICáLculo NuméRico I
CáLculo NuméRico I
 
Funcoes
FuncoesFuncoes
Funcoes
 
Funcoes
FuncoesFuncoes
Funcoes
 
Explorando a ideia da função
Explorando a ideia da funçãoExplorando a ideia da função
Explorando a ideia da função
 
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função   1º ano do ensino medioProduto cartesiano e função   1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio
 
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função   1º ano do ensino medioProduto cartesiano e função   1º ano do ensino medio
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio
 
Doc matematica _286849913
Doc matematica _286849913Doc matematica _286849913
Doc matematica _286849913
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficos
 
Funções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptxFunções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptx
 
Revisão em -funções - calculo 1
Revisão   em -funções - calculo 1Revisão   em -funções - calculo 1
Revisão em -funções - calculo 1
 
Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1
 
Funções polinomiais do 1ºgrau
Funções polinomiais do 1ºgrauFunções polinomiais do 1ºgrau
Funções polinomiais do 1ºgrau
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
 
Produto cartesiano - Relação - Função
Produto cartesiano - Relação - FunçãoProduto cartesiano - Relação - Função
Produto cartesiano - Relação - Função
 
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...
 
Slide Função Afim.pptx
Slide Função Afim.pptxSlide Função Afim.pptx
Slide Função Afim.pptx
 
Informatica Da EducaçãO[1]
Informatica Da EducaçãO[1]Informatica Da EducaçãO[1]
Informatica Da EducaçãO[1]
 
Função.quadratica
Função.quadraticaFunção.quadratica
Função.quadratica
 

Mais de Jean Heisenberg (12)

Sistemas numericos
Sistemas numericosSistemas numericos
Sistemas numericos
 
Logisim
LogisimLogisim
Logisim
 
Lista m3
Lista m3Lista m3
Lista m3
 
Lista exerc
Lista exercLista exerc
Lista exerc
 
Exercicios m1(b)
Exercicios m1(b)Exercicios m1(b)
Exercicios m1(b)
 
Exercicios m1(a)
Exercicios m1(a)Exercicios m1(a)
Exercicios m1(a)
 
Exercícios de fixação gabarito
Exercícios de fixação   gabaritoExercícios de fixação   gabarito
Exercícios de fixação gabarito
 
Aula09 angcircpol
Aula09 angcircpolAula09 angcircpol
Aula09 angcircpol
 
Aula08 angcircpol
Aula08 angcircpolAula08 angcircpol
Aula08 angcircpol
 
Aula03 mathlogic
Aula03 mathlogicAula03 mathlogic
Aula03 mathlogic
 
Aula02 mathlogic
Aula02 mathlogicAula02 mathlogic
Aula02 mathlogic
 
Aula01 mathlogic
Aula01 mathlogic Aula01 mathlogic
Aula01 mathlogic
 

Último

MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAMMODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAMCassio Rodrigo
 
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docxAE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docxConsultoria Acadêmica
 
AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024
AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024
AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024Consultoria Acadêmica
 
Aulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdf
Aulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdfAulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdf
Aulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdfMateusSerraRodrigues1
 
Resistencias dos materiais I - Tensao.pptx
Resistencias dos materiais I - Tensao.pptxResistencias dos materiais I - Tensao.pptx
Resistencias dos materiais I - Tensao.pptxjuliocameloUFC
 
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais PrivadosGestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais PrivadosGuilhermeLucio9
 
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024Consultoria Acadêmica
 

Último (7)

MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAMMODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS  EQUIPAM
MODELO LAUDO AVALIAÇÃO MÁQUINAS EQUIPAM
 
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docxAE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
AE03 - VIBRACOES MECANICAS E ACUSTICAS.docx
 
AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024
AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024
AE03 - INFORMATICA INDUSTRIAL UNICESUMAR 51/2024
 
Aulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdf
Aulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdfAulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdf
Aulas Práticas da Disciplina de Desenho Técnico Projetivo _ Passei Direto.pdf
 
Resistencias dos materiais I - Tensao.pptx
Resistencias dos materiais I - Tensao.pptxResistencias dos materiais I - Tensao.pptx
Resistencias dos materiais I - Tensao.pptx
 
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais PrivadosGestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
Gestão de obras e projetos - Associação Nacional de Hospitais Privados
 
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
AE03 - TEORIAS DA ADMINISTRACAO UNICESUMAR 51/2024
 

Aula no

  • 1. Univali - Matemática para jogos Relações, Funções e Gráficos de Funções
  • 2. Conjunto dos números Naturais – N N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Conjuntos Numéricos Conjunto dos números Inteiros – Z Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros relativos, isto é: N Ì Z NN ZZ
  • 3. Conjunto dos números Racionais – Q ● Composto pelas razões ou frações entre números inteiros, dízimas finitas, e dízimas infinitas periódicas. 4,55 = 455 1,3 = 13 0,77777777... = 7 ● Números “com vírgula” que podem ser escritos a partir da divisão de dois inteiros. ● Qualquer fração representa sempre uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica,- logo, uma fração é um número racional. Z ÌQ QQ Conjuntos Numéricos NN ZZ 100 10 9
  • 4. Conjunto dos números Reais – ℜ ● Composto pelos números racionais mais as dízimas infinitas não periódicas, isto é, números racionais + números irracionais. ● Exemplo de Números Irracionais: Conjuntos Numéricos ● Todas as raízes de números naturais que não sejam quadrados perfeitos (não inteira)... 2 55 30 p=3,1415926535897932384626433832795......... e=2,718281828459045235360287.
  • 6. Alguns Números Interessantes Conjuntos Numéricos ● O Neperiano pode ser obtido pela seguinte relação: ● p - pode ser obtido pela seguinte relação: ● Razão áurea e o equilíbrio das proporções.
  • 7. Funções e o Plano Cartesiano ● O plano cartesiano é feito através da junção de dois eixos, perpendiculares entre si que se cruzam no ponto 0, o qual é a origem de ambos os eixos. ● O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou x. O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou y.
  • 8. Funções e o Plano Cartesiano ● Os eixos dividem o espaço quatro quadrantes enumerados no sentido anti-horário Quadrante 1: x>0 e y>0 Quadrante 2: x<0 e y>0 Quadrante 3: x<0 e y<0 Quadrante 4: x>0 e y<0
  • 9. Funções e o Plano Cartesiano ● Cada ponto do plano cartesiano é identificado por um par de números chamados de coordenadas. ● Para obter um ponto P, basta traçar as perpendiculares ao eixo x e y.
  • 10. ● Para dizer que P possui abscissa a e ordenadas b, escrevemos: Funções e o Plano Cartesiano ● P ↔(a; b) ou P = (a; b) ● Sempre que representar o plano cartesiano em conjuntos, o primeiro número é sempre a abscissa e o segundo é sempre a ordenada.
  • 11. ● Produto Cartesiano Funções e o Plano Cartesiano ● Considere dois conjuntos não vazios A e B: ● A = {1,2,3} e B = {4,5} ● Chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados | que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B. A x B = {(x; y)│x A e y B}. ● A x B = { (1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5) } ● B x A = { (4;1), (4;2), (4;3), (5;1), (5;2), (5;3) } ● A x A = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1), (3;2), (3;3) } ● B x B = { (4;4), (4;5), (5;4), (5;5) }
  • 12. ● Representação do Produto Cartesiano. ● Há duas maneiras de produtos cartesianos ● Por diagrama de flechas ou por diagrama cartesiano. ● Considerando A = (1,2,3) e B = (4,5). Funções e o Plano Cartesiano 1 2 3 4 5
  • 13. ● Domínio, Imagem e Gráficos ● Chama-se domínio o conjunto de todos os elementos de A que está associado à pelo menos um elemento de B. ● Chama-se imagem o conjunto de todos os elementos de B relacionados de pelo menos a um elemento de A. ● AxB = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } ● D = { -2,-1, 0, 1, 2} ● Im = { 0, 1, 4 }. Funções e o Plano Cartesiano -2 -1 0 1 2 0 1 4
  • 14. Funções e o Plano Cartesiano R = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } D = { -2,-1, 0, 1, 2 } Im = { 0, 1, 4 }. CD = B
  • 15. Funções e o Plano Cartesiano ● Dada a relação h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei h(x) = x2 – 3x ● Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função. ● Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8} ● Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40} ● Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio. ● Para x=-3 y=? ● Para x=0 y=? ● Para x=3 y=? ● Para x=8 y=? ● Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da função. ● Im = ?
  • 16. Funções e o Plano Cartesiano ● Função Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. ● Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f : A → B Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: ● 1) domínio A da relação e 2) contradomínio B da relação. ● 3) Todo elemento de A deve ter correspondente em B. ● 4) Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B. ● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB
  • 17. ● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB … ● Estamos interessados em funções com D e CD contidos no conjunto dos números reais, as chamadas funções reais de variável real. Ex.1: f(x) = 3x - 20 D(f)=? Im(f)=? Funções e o Plano Cartesiano ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ?
  • 18. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. f(x)= -3x f(x)= 2x f(x)= x/2 O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem p(0,0).
  • 19. ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. f(x)= -3x ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● D(f)=? Im(f)=? Funções e o Plano Cartesiano
  • 20. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b f(x)= -3x + 1 f(x)= 2x + 7 f(x)= x/2 + 4 Se b != 0, o gráfico da função linear é uma reta que não passa pela origem p(0,0).
  • 21. ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b f(x)= x/2 + 4 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● D(f)=? Im(f)=? Funções e o Plano Cartesiano
  • 22. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 2) Função Identidade Uma função identidade é uma função f: R → R onde f(x)=x ou f(x)=-x 3) Função Constante Seja b um número real. A função constante associa a cada x em R o valor f(x)=b
  • 23. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f: R → R que para cada x em R, f(x) = ax²+bx+c ● f(x)= x² ● f(x)= -4x² ● f(x)= -x²+2x+7 ● f(x)= x²-4x+3 ● f(x)= 2x²-3x Funções e o Plano Cartesiano
  • 24. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática f(x)= x²-4x+3 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● D(f)=R Im(f)= usar as equações (-b/2a, -Delta/4a) tal que Delta= b2 – 4.a.c Funções e o Plano Cartesiano
  • 25. Funções e o Plano Cartesiano 4) Função Quadrática f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40) D(f)= ? Im(f)=? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = -3 ?
  • 26. 4) Função Quadrática Funções e o Plano Cartesiano ● A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante: ● quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; ● quando Δ é zero, há só uma raiz real; ● quando Δ é negativo, não há raiz real.
  • 27. ● Tipos de Funções 5) Função cúbica Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax³+bx²+cx+d f(x)= x³ f(x)= -4x³ f(x)= 2x³ + x² – 4x + 3 f(x)= -7x³ + x² + 2x + 7 Funções e o Plano Cartesiano
  • 28. Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Alguns elementos não possuem correspondente associado para todo R. ● Ou seja... nem toda relação é uma função. ● Logo, costuma-se definir D(f) em função do conjunto onde f(x) infere. ● Exemplo 1: Considere a seguinte função real, que calcula a raiz de um número real. ● f(x)= ● x=-1; não possui raiz real, logo sqrt(x<0) não possuem raízes reais. ● D(f) = [ 0, +inf ) Funções e o Plano Cartesiano  x Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
  • 29. Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Exemplo 2: considere as funções f(x) e g(x) abaixo: ● f(x) = 3x + 5 onde f : [ 0, +inf ) → R ● g(x) = 3x + 5 D(f) = [ 0, +inf ) Im(f) = [ 5, +inf ) D(g) = R Im(g) = R Funções e o Plano Cartesiano
  • 30. Funções e o Plano Cartesiano Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Cada função abaixo, tem características distintas ● 1) f : R → R definida por f(x)=x² Dom(f)=R Im(f)= [ 0, +inf ) ● 2) f : [0, 2] → R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2] Im(f)=[ 0,4 ] ● 3) A função modular é definida por f : R → R tal que f(x)= |x| Dom(f)=? Im(f)= ? e seu gráfico ?
  • 31. Exercícios Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R: f  x=4−x2 x2 f  x= x22 f  x= 1 2) 7) 3) 4) 5) 6) Funções e o Plano Cartesiano f  x= 3 x−3 f  x= x 3x−9 f  x=1−x 12 f  x= 3x2 2x6−3x15 x2−2x−8
  • 32. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f : A → B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: ● Ou senão para f(x1)=f(x2) implica que x1=x2. ● Exemplo 1) A função f : R → R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). ● Exemplo 2) A função f : R → R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.
  • 33. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 34. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras Injetora somente o gráfico da função g
  • 35. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f: A → B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. ● Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja: para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). ● Exemplo 1) A função f: R → R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. ● Exemplo 2) A função f: R → [0, +inf) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertencente a [0, +inf) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.
  • 36. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Exemplo 3) A função f: R → R definida por f(x)=x² não é sobrejetora, pois f(-2) = 4 = f(2), e … se x²>0, não existe y < 0 em Im(f). Exemplo 4) A função f : R → R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R, e não é imagem de qualquer elemento do domínio, ou seja, y sempre é maior que 0.
  • 37. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 38. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 39. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 40. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 41. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f : A → B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. ● Exemplo 1: A função f : R → R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora. ● Exemplo 2: A função g : [0,+inf] → [0,+inf] dada por g(x)=x2 é bijetora pois para que tenhamos g(x) = y basta que tenhamos x2 = y, logo x = y1/2
  • 42. Funções Pares e Ímpares ● Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY. Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x) Funções e o Plano Cartesiano
  • 43. Funções Pares e Ímpares Funções e o Plano Cartesiano ● Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo: f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x).
  • 44. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente ● Função decrescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). Seja a função f : R → R definida por f(x)=-8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b) então a função é decrescente.
  • 45. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente ● Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). Seja a função f : R → R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente..
  • 46. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente
  • 47. Funções e o Plano Cartesiano Funções Explícitas, Implícitas e Paramétricas A função pode ser escrita de três formas diferentes: ● Paramétrica (parametrizável) r = [x(t) y(t)], ou seja x=x(t) e y=y(t), onde t é um parâmetro variável t1< t < t2 ● Exemplo: Uma reta: ● r(t)=(1-t)r(0) + r(1); onde r(0) é a posição inicial do segmento dos segmento e r(1)= posição final do segmento de reta ● Uma curva qualquer ● r(t)=[t^3-0.5*t^2+1 -0.2*t^3-0.4*t^2+t ]
  • 48. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano ● Dada uma função bijetora f : A → B, denomina-se função inversa de f à função g : B → A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1 ● Exemplo: sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f: A → B definida por f(x)=2x e g: B → A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
  • 49. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano
  • 50. Funções Inversas ● Obtenção da inversa: Funções e o Plano Cartesiano ● Seja f: R → R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Isolando x obteremos x=y-3 ● Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.
  • 51. Funções Inversas ● f(x) = 4x-5 (linha azul) Funções e o Plano Cartesiano ● g(x) = (y+5) / 4 (linha verde) ● [0, 5] ● f(x) = x2 (linha azul) ● g(x) = x1/2 (linha verde)
  • 52. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano x (3y – 5) = 2y +3 3xy – 5x = 2y + 3 3xy – 2y = 3 + 5x y (3x – 2) = 3 + 5x f  x=2x3 3x−5 y=2x3 3x−5 f  x=5x3 3x−2 x=2y3 3y−5
  • 53. Funções e o Plano Cartesiano Funções Contínuas e Discretas Algumas das funções que vimos até o momento são contínuas a b
  • 54. Funções e o Plano Cartesiano Funções Contínuas e Discretas Outras das funções que vimos até o momento não são contínuas a b x in R, [0, 10] f(x) = x – 1 x in R, x > 12 f(x) = 12
  • 55. Funções e o Plano Cartesiano Sinal Discreto – Discretizado 1. Uma variável discreta pode assumir um número finito (e geralmente pequeno) de valores. 2. Uma variável discreta pode ser usada para realizar uma representação simplificada de uma grandeza física que é contínua no tempo. Exemplo: funções em matlab realizadas até o momento (“step”) 3. Variáveis discretas sempre serão funções não-contínuas. (ou seja, são representadas por) 4. Em computadores os sinais são representados por variáveis discretas por causa da forma que os números são representados : sistema de numeração binário sistema de numeração hexadecimal