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  1. 1. Univali - Matemática para jogos Relações, Funções e Gráficos de Funções
  2. 2. Conjunto dos números Naturais – N N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Conjuntos Numéricos Conjunto dos números Inteiros – Z Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros relativos, isto é: N Ì Z NN ZZ
  3. 3. Conjunto dos números Racionais – Q ● Composto pelas razões ou frações entre números inteiros, dízimas finitas, e dízimas infinitas periódicas. 4,55 = 455 1,3 = 13 0,77777777... = 7 ● Números “com vírgula” que podem ser escritos a partir da divisão de dois inteiros. ● Qualquer fração representa sempre uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica,- logo, uma fração é um número racional. Z ÌQ QQ Conjuntos Numéricos NN ZZ 100 10 9
  4. 4. Conjunto dos números Reais – ℜ ● Composto pelos números racionais mais as dízimas infinitas não periódicas, isto é, números racionais + números irracionais. ● Exemplo de Números Irracionais: Conjuntos Numéricos ● Todas as raízes de números naturais que não sejam quadrados perfeitos (não inteira)... 2 55 30 p=3,1415926535897932384626433832795......... e=2,718281828459045235360287.
  5. 5. Conjuntos Numéricos ℜ QQ NN ZZ
  6. 6. Alguns Números Interessantes Conjuntos Numéricos ● O Neperiano pode ser obtido pela seguinte relação: ● p - pode ser obtido pela seguinte relação: ● Razão áurea e o equilíbrio das proporções.
  7. 7. Funções e o Plano Cartesiano ● O plano cartesiano é feito através da junção de dois eixos, perpendiculares entre si que se cruzam no ponto 0, o qual é a origem de ambos os eixos. ● O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou x. O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou y.
  8. 8. Funções e o Plano Cartesiano ● Os eixos dividem o espaço quatro quadrantes enumerados no sentido anti-horário Quadrante 1: x>0 e y>0 Quadrante 2: x<0 e y>0 Quadrante 3: x<0 e y<0 Quadrante 4: x>0 e y<0
  9. 9. Funções e o Plano Cartesiano ● Cada ponto do plano cartesiano é identificado por um par de números chamados de coordenadas. ● Para obter um ponto P, basta traçar as perpendiculares ao eixo x e y.
  10. 10. ● Para dizer que P possui abscissa a e ordenadas b, escrevemos: Funções e o Plano Cartesiano ● P ↔(a; b) ou P = (a; b) ● Sempre que representar o plano cartesiano em conjuntos, o primeiro número é sempre a abscissa e o segundo é sempre a ordenada.
  11. 11. ● Produto Cartesiano Funções e o Plano Cartesiano ● Considere dois conjuntos não vazios A e B: ● A = {1,2,3} e B = {4,5} ● Chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados | que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B. A x B = {(x; y)│x A e y B}. ● A x B = { (1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5) } ● B x A = { (4;1), (4;2), (4;3), (5;1), (5;2), (5;3) } ● A x A = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1), (3;2), (3;3) } ● B x B = { (4;4), (4;5), (5;4), (5;5) }
  12. 12. ● Representação do Produto Cartesiano. ● Há duas maneiras de produtos cartesianos ● Por diagrama de flechas ou por diagrama cartesiano. ● Considerando A = (1,2,3) e B = (4,5). Funções e o Plano Cartesiano 1 2 3 4 5
  13. 13. ● Domínio, Imagem e Gráficos ● Chama-se domínio o conjunto de todos os elementos de A que está associado à pelo menos um elemento de B. ● Chama-se imagem o conjunto de todos os elementos de B relacionados de pelo menos a um elemento de A. ● AxB = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } ● D = { -2,-1, 0, 1, 2} ● Im = { 0, 1, 4 }. Funções e o Plano Cartesiano -2 -1 0 1 2 0 1 4
  14. 14. Funções e o Plano Cartesiano R = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } D = { -2,-1, 0, 1, 2 } Im = { 0, 1, 4 }. CD = B
  15. 15. Funções e o Plano Cartesiano ● Dada a relação h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei h(x) = x2 – 3x ● Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função. ● Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8} ● Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40} ● Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio. ● Para x=-3 y=? ● Para x=0 y=? ● Para x=3 y=? ● Para x=8 y=? ● Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da função. ● Im = ?
  16. 16. Funções e o Plano Cartesiano ● Função Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. ● Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f : A → B Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: ● 1) domínio A da relação e 2) contradomínio B da relação. ● 3) Todo elemento de A deve ter correspondente em B. ● 4) Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B. ● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB
  17. 17. ● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB … ● Estamos interessados em funções com D e CD contidos no conjunto dos números reais, as chamadas funções reais de variável real. Ex.1: f(x) = 3x - 20 D(f)=? Im(f)=? Funções e o Plano Cartesiano ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ?
  18. 18. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. f(x)= -3x f(x)= 2x f(x)= x/2 O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem p(0,0).
  19. 19. ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. f(x)= -3x ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● D(f)=? Im(f)=? Funções e o Plano Cartesiano
  20. 20. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b f(x)= -3x + 1 f(x)= 2x + 7 f(x)= x/2 + 4 Se b != 0, o gráfico da função linear é uma reta que não passa pela origem p(0,0).
  21. 21. ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b f(x)= x/2 + 4 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● D(f)=? Im(f)=? Funções e o Plano Cartesiano
  22. 22. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 2) Função Identidade Uma função identidade é uma função f: R → R onde f(x)=x ou f(x)=-x 3) Função Constante Seja b um número real. A função constante associa a cada x em R o valor f(x)=b
  23. 23. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f: R → R que para cada x em R, f(x) = ax²+bx+c ● f(x)= x² ● f(x)= -4x² ● f(x)= -x²+2x+7 ● f(x)= x²-4x+3 ● f(x)= 2x²-3x Funções e o Plano Cartesiano
  24. 24. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática f(x)= x²-4x+3 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● D(f)=R Im(f)= usar as equações (-b/2a, -Delta/4a) tal que Delta= b2 – 4.a.c Funções e o Plano Cartesiano
  25. 25. Funções e o Plano Cartesiano 4) Função Quadrática f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40) D(f)= ? Im(f)=? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = -3 ?
  26. 26. 4) Função Quadrática Funções e o Plano Cartesiano ● A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante: ● quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; ● quando Δ é zero, há só uma raiz real; ● quando Δ é negativo, não há raiz real.
  27. 27. ● Tipos de Funções 5) Função cúbica Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax³+bx²+cx+d f(x)= x³ f(x)= -4x³ f(x)= 2x³ + x² – 4x + 3 f(x)= -7x³ + x² + 2x + 7 Funções e o Plano Cartesiano
  28. 28. Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Alguns elementos não possuem correspondente associado para todo R. ● Ou seja... nem toda relação é uma função. ● Logo, costuma-se definir D(f) em função do conjunto onde f(x) infere. ● Exemplo 1: Considere a seguinte função real, que calcula a raiz de um número real. ● f(x)= ● x=-1; não possui raiz real, logo sqrt(x<0) não possuem raízes reais. ● D(f) = [ 0, +inf ) Funções e o Plano Cartesiano  x Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
  29. 29. Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Exemplo 2: considere as funções f(x) e g(x) abaixo: ● f(x) = 3x + 5 onde f : [ 0, +inf ) → R ● g(x) = 3x + 5 D(f) = [ 0, +inf ) Im(f) = [ 5, +inf ) D(g) = R Im(g) = R Funções e o Plano Cartesiano
  30. 30. Funções e o Plano Cartesiano Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Cada função abaixo, tem características distintas ● 1) f : R → R definida por f(x)=x² Dom(f)=R Im(f)= [ 0, +inf ) ● 2) f : [0, 2] → R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2] Im(f)=[ 0,4 ] ● 3) A função modular é definida por f : R → R tal que f(x)= |x| Dom(f)=? Im(f)= ? e seu gráfico ?
  31. 31. Exercícios Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R: f  x=4−x2 x2 f  x= x22 f  x= 1 2) 7) 3) 4) 5) 6) Funções e o Plano Cartesiano f  x= 3 x−3 f  x= x 3x−9 f  x=1−x 12 f  x= 3x2 2x6−3x15 x2−2x−8
  32. 32. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f : A → B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: ● Ou senão para f(x1)=f(x2) implica que x1=x2. ● Exemplo 1) A função f : R → R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). ● Exemplo 2) A função f : R → R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.
  33. 33. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  34. 34. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras Injetora somente o gráfico da função g
  35. 35. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f: A → B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. ● Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja: para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). ● Exemplo 1) A função f: R → R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. ● Exemplo 2) A função f: R → [0, +inf) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertencente a [0, +inf) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.
  36. 36. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Exemplo 3) A função f: R → R definida por f(x)=x² não é sobrejetora, pois f(-2) = 4 = f(2), e … se x²>0, não existe y < 0 em Im(f). Exemplo 4) A função f : R → R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R, e não é imagem de qualquer elemento do domínio, ou seja, y sempre é maior que 0.
  37. 37. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  38. 38. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  39. 39. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  40. 40. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  41. 41. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f : A → B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. ● Exemplo 1: A função f : R → R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora. ● Exemplo 2: A função g : [0,+inf] → [0,+inf] dada por g(x)=x2 é bijetora pois para que tenhamos g(x) = y basta que tenhamos x2 = y, logo x = y1/2
  42. 42. Funções Pares e Ímpares ● Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY. Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x) Funções e o Plano Cartesiano
  43. 43. Funções Pares e Ímpares Funções e o Plano Cartesiano ● Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo: f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x).
  44. 44. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente ● Função decrescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). Seja a função f : R → R definida por f(x)=-8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b) então a função é decrescente.
  45. 45. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente ● Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). Seja a função f : R → R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente..
  46. 46. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente
  47. 47. Funções e o Plano Cartesiano Funções Explícitas, Implícitas e Paramétricas A função pode ser escrita de três formas diferentes: ● Paramétrica (parametrizável) r = [x(t) y(t)], ou seja x=x(t) e y=y(t), onde t é um parâmetro variável t1< t < t2 ● Exemplo: Uma reta: ● r(t)=(1-t)r(0) + r(1); onde r(0) é a posição inicial do segmento dos segmento e r(1)= posição final do segmento de reta ● Uma curva qualquer ● r(t)=[t^3-0.5*t^2+1 -0.2*t^3-0.4*t^2+t ]
  48. 48. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano ● Dada uma função bijetora f : A → B, denomina-se função inversa de f à função g : B → A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1 ● Exemplo: sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f: A → B definida por f(x)=2x e g: B → A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
  49. 49. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano
  50. 50. Funções Inversas ● Obtenção da inversa: Funções e o Plano Cartesiano ● Seja f: R → R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Isolando x obteremos x=y-3 ● Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.
  51. 51. Funções Inversas ● f(x) = 4x-5 (linha azul) Funções e o Plano Cartesiano ● g(x) = (y+5) / 4 (linha verde) ● [0, 5] ● f(x) = x2 (linha azul) ● g(x) = x1/2 (linha verde)
  52. 52. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano x (3y – 5) = 2y +3 3xy – 5x = 2y + 3 3xy – 2y = 3 + 5x y (3x – 2) = 3 + 5x f  x=2x3 3x−5 y=2x3 3x−5 f  x=5x3 3x−2 x=2y3 3y−5
  53. 53. Funções e o Plano Cartesiano Funções Contínuas e Discretas Algumas das funções que vimos até o momento são contínuas a b
  54. 54. Funções e o Plano Cartesiano Funções Contínuas e Discretas Outras das funções que vimos até o momento não são contínuas a b x in R, [0, 10] f(x) = x – 1 x in R, x > 12 f(x) = 12
  55. 55. Funções e o Plano Cartesiano Sinal Discreto – Discretizado 1. Uma variável discreta pode assumir um número finito (e geralmente pequeno) de valores. 2. Uma variável discreta pode ser usada para realizar uma representação simplificada de uma grandeza física que é contínua no tempo. Exemplo: funções em matlab realizadas até o momento (“step”) 3. Variáveis discretas sempre serão funções não-contínuas. (ou seja, são representadas por) 4. Em computadores os sinais são representados por variáveis discretas por causa da forma que os números são representados : sistema de numeração binário sistema de numeração hexadecimal

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