Profª Débora Bastos
Programa <ul><li>EMENTA </li></ul><ul><li>Aplicações da derivada: determinação de máximos e mínimos, concavidade e pontos ...
Bibliografia <ul><li>1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. Editora LTC, 4...
Avaliação <ul><li>Provas:  </li></ul><ul><li>1º Bimestre: 25/04/2012 </li></ul><ul><li>2º Bimestre: 27/06/2012 </li></ul><...
Atendimento <ul><li>Sala 726 </li></ul><ul><li>Tel: 3233 8670 </li></ul><ul><li>E-mail:  [email_address] </li></ul><ul><li...
Aplicações da Derivada <ul><li>Estudo do Gráfico de funções . </li></ul><ul><li>Poderemos: </li></ul><ul><li>Verificar a e...
Pontos extremos <ul><li>Pontos de máximo relativo (local): A e C. </li></ul><ul><li>Pontos de mínimo relativo (local): B e...
Definições <ul><li>Definição 1: Uma função f tem um máximo local (relativo) em c, se existir um intervalo aberto I, conten...
Exemplo <ul><li>f(x) = 3x 4     12x 2   x    (    2, 2) </li></ul><ul><li>Pontos de mínimo local </li></ul><ul><li>A </...
Mais definições <ul><li>Definição 3: Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f, se c    D(f) e f(c)  >  f(x) para ...
Interpretação Geométrica da Derivada. <ul><li>Por definição f ’(x) =  </li></ul><ul><li>P é um ponto qualquer da </li></ul...
Interpretação geométrica da derivada <ul><li>f ’(x) =  </li></ul><ul><li>A derivada da função em </li></ul><ul><li>um pont...
O que isso tem a ver com os extremos de uma função? <ul><li>Se um ponto for extremo (máximo ou mínimo), como serão as reta...
Afinal... <ul><li>Se P(x p , f(x p )) é um ponto extremo, então f ’(x p ) =  0 </li></ul><ul><li>Teorema 1: Se f(x) foi de...
Se f’(x) = 0 não necessariamente temos P(c, f(c)) um ponto extremo. <ul><li>Exemplos: f(x) = (x – 2) 3  + 4 </li></ul><ul>...
Pode ocorrer ainda que exista um ponto extremo, mas f’(x)    0. <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>f ’(3) não existe, poi...
Existência de pontos extremos. <ul><li>Teorema 2: (Teorema do valor extremo) Se a função f for contínua no intervalo fecha...
Exemplo <ul><li>Ache os extremos absolutos de f em  se  </li></ul><ul><li>f(x) =  x 3  + x 2  – x + 1. </li></ul><ul><li>S...
Problema de máximo: Um exemplo. <ul><li>Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços...
Solução <ul><li>Volume = área da base x altura </li></ul><ul><li>V(x)= (12-2x) 2 x </li></ul><ul><li>V(x)= 144x – 48x 2  +...
Solução <ul><li>144 – 96x + 12x 2  = 0    x = 2 ou x =6 </li></ul><ul><li>Ambos pertencem ao intervalo [0,6] </li></ul><u...
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  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Programa <ul><li>EMENTA </li></ul><ul><li>Aplicações da derivada: determinação de máximos e mínimos, concavidade e pontos de Inflexão de funções, esboço do gráfico de funções, problemas de otimização. </li></ul><ul><li>Integração indefinida: método de substituição, integrais de produtos e potências de funções trigonométricas, método de integração por partes, método de substituição trigonométrica, método para integração de funções racionais. </li></ul><ul><li>Integração definida: definição e cálculo da integral definida, métodos para calcular integrais definidas, aplicações da integral definida, cálculo de áreas, volume de sólidos de revolução, cálculo do comprimento de arco. </li></ul>
  3. 3. Bibliografia <ul><li>1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. Editora LTC, 4. Ed. </li></ul><ul><li>2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso moderno e suas aplicações. Editora LTC, 6. Ed. </li></ul><ul><li>3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil,1982. (Campus Cidade) </li></ul>
  4. 4. Avaliação <ul><li>Provas: </li></ul><ul><li>1º Bimestre: 25/04/2012 </li></ul><ul><li>2º Bimestre: 27/06/2012 </li></ul><ul><li>Exame: ? </li></ul><ul><li>Sem Vade Mecum (orientação apenas para os estudos) </li></ul><ul><li>Sem calculadora </li></ul><ul><li>Formulário de derivadas e/ou integrais </li></ul>
  5. 5. Atendimento <ul><li>Sala 726 </li></ul><ul><li>Tel: 3233 8670 </li></ul><ul><li>E-mail: [email_address] </li></ul><ul><li>Site: http://pertenceamatematica.pbworks.com </li></ul><ul><li>Horário: ? </li></ul>1
  6. 6. Aplicações da Derivada <ul><li>Estudo do Gráfico de funções . </li></ul><ul><li>Poderemos: </li></ul><ul><li>Verificar a existência e encontrar pontos extremos (máximos e mínimos) e críticos (inflexão); </li></ul><ul><li>Determinar intervalos em que a função é crescente ou decrescente; </li></ul><ul><li>Determinar intervalos em que a função tem concavidade para cima ou para baixo; </li></ul><ul><li>Esboçar gráficos sabendo a lei de formação da função. </li></ul>
  7. 7. Pontos extremos <ul><li>Pontos de máximo relativo (local): A e C. </li></ul><ul><li>Pontos de mínimo relativo (local): B e D. </li></ul><ul><li>Ponto de máximo absoluto: C. </li></ul><ul><li>Ponto de mínimo local:  </li></ul>2 A B C D x y
  8. 8. Definições <ul><li>Definição 1: Uma função f tem um máximo local (relativo) em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) > f(x) para todo x  I. </li></ul><ul><li>Definição 2: Uma função f tem um mínimo local (relativo) em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) < f(x) para todo x  I. </li></ul>3 x y c f(c) I x 1 f(x 1 ) x y c f(c) I x 1 f(x 1 )
  9. 9. Exemplo <ul><li>f(x) = 3x 4  12x 2 x  (  2, 2) </li></ul><ul><li>Pontos de mínimo local </li></ul><ul><li>A </li></ul><ul><li>B </li></ul><ul><li>Ponto de máximo absoluto </li></ul><ul><li>C ( 0, 0 ) </li></ul>4 2  2 x y A B C   12
  10. 10. Mais definições <ul><li>Definição 3: Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f, se c  D(f) e f(c) > f(x) para todo x  D(f). </li></ul><ul><li>Definição 4: Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f, se c  D(f) e f(c) < f(x) para todo x  D(f). </li></ul>5 6
  11. 11. Interpretação Geométrica da Derivada. <ul><li>Por definição f ’(x) = </li></ul><ul><li>P é um ponto qualquer da </li></ul><ul><li>função. </li></ul><ul><li>s é a reta secante à função </li></ul><ul><li>passando por P e Q. </li></ul><ul><li> é o ângulo da secante com </li></ul><ul><li>o eixo x. </li></ul><ul><li>tg  = </li></ul><ul><li>O que acontece com a reta s se  x  0 ? </li></ul>7
  12. 12. Interpretação geométrica da derivada <ul><li>f ’(x) = </li></ul><ul><li>A derivada da função em </li></ul><ul><li>um ponto é a inclinação </li></ul><ul><li>(coeficiente angular) </li></ul><ul><li>da reta tangente à função </li></ul><ul><li>no ponto P. </li></ul>t 
  13. 13. O que isso tem a ver com os extremos de uma função? <ul><li>Se um ponto for extremo (máximo ou mínimo), como serão as retas tangentes à função nesses pontos? </li></ul><ul><li>Qual o ângulo entre a reta tangente t e o eixo ox? </li></ul><ul><li>Qual o valor da tangente desse ângulo? </li></ul>
  14. 14. Afinal... <ul><li>Se P(x p , f(x p )) é um ponto extremo, então f ’(x p ) = 0 </li></ul><ul><li>Teorema 1: Se f(x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a,b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde a < c < b, então f ’(c)=0, se f ’(c) existir. </li></ul><ul><li>Exemplo: f(x) = 2x 2 – 8x + 6 </li></ul><ul><li>O vértice é um ponto de mínimo. V(2,  2) </li></ul><ul><li>f ’(x) = 4x – 8 </li></ul><ul><li>f ’(2) = 4.2 – 8 = 0 </li></ul>8
  15. 15. Se f’(x) = 0 não necessariamente temos P(c, f(c)) um ponto extremo. <ul><li>Exemplos: f(x) = (x – 2) 3 + 4 </li></ul><ul><li>f ’(x) = 3(x – 2) 2 </li></ul><ul><li>3(x – 2) 2 = 0 </li></ul><ul><li>x = 2 </li></ul><ul><li>P (2, 4) não é um ponto extremo, nem máximo, nem mínimo. </li></ul>9
  16. 16. Pode ocorrer ainda que exista um ponto extremo, mas f’(x)  0. <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>f ’(3) não existe, pois f’ + (3)  f’ - (3). </li></ul><ul><li>Gráficos com “bicos” não são deriváveis nesses pontos. </li></ul><ul><li>Definição 5: Se c  D(f) e se f ’(c) = 0, ou f ’(c) não existir , então c será chamado de número crítico de f e P (c, f(c)) ponto crítico de f. </li></ul>10
  17. 17. Existência de pontos extremos. <ul><li>Teorema 2: (Teorema do valor extremo) Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [a,b]. </li></ul><ul><li>Os pontos críticos de uma função que satisfaz o Teorema do valor extremo podem ser determinados pelo seguinte processo: </li></ul><ul><li>1- Achar os valores da função nos números críticos de f em (a,b). </li></ul><ul><li>2-Ache os valores de f(a) e f(b). </li></ul><ul><li>3- O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 será o valor máximo absoluto e o menor será o valor mínimo absoluto. </li></ul>11
  18. 18. Exemplo <ul><li>Ache os extremos absolutos de f em se </li></ul><ul><li>f(x) = x 3 + x 2 – x + 1. </li></ul><ul><li>Solução: f é uma função polinomial, então é contínua em lR, logo também é em . </li></ul><ul><li>Pontos críticos : </li></ul><ul><li>f’(x) = 3x 2 +2x – 1 </li></ul><ul><li>f’(x) = 0  x = 1/3 ou x = -1 </li></ul><ul><li>Ambos estão em . </li></ul><ul><li>Cálculo das ordenadas : </li></ul><ul><li>Resposta : A é mínimo absoluto, B é máximo absoluto, C é mínimo local e D é máximo local. </li></ul>X - 2 -1 1/3 ½ f(x) -1 2 22/27 7/8
  19. 19. Problema de máximo: Um exemplo. <ul><li>Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços quadrados de papelão com 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Queremos encontrar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume possível. </li></ul><ul><li>Solução : </li></ul>
  20. 20. Solução <ul><li>Volume = área da base x altura </li></ul><ul><li>V(x)= (12-2x) 2 x </li></ul><ul><li>V(x)= 144x – 48x 2 + 4x 3 x  [0,6] </li></ul><ul><li>V é contínua em [0,6] </li></ul><ul><li>Pontos críticos </li></ul><ul><li>V’(x) = 144 – 96x + 12x 2 </li></ul><ul><li>V’(x) existe para qualquer valor real. </li></ul>12
  21. 21. Solução <ul><li>144 – 96x + 12x 2 = 0  x = 2 ou x =6 </li></ul><ul><li>Ambos pertencem ao intervalo [0,6] </li></ul><ul><li>Ponto de máximo P (2, 128) </li></ul><ul><li>Resposta : O volume máximo possível é de 128 cm 3 , quando é cortado nos cantos um quadrado de 2 cm de lado. </li></ul>13 X 0 2 6 V(x) 0 128 0

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