Introdução ao Cálculo Numérico S06

Introdução Introdução Introdução Introdução Introdução Forma de Newton
Introdução ao Cálculo Numérico
Interpolação Polinomial - Método de Lagrange e de Newton
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
UFRB/CETEC
31 de Maio de 2020
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento UFRB/CETEC
LMATEAD

Introdução
Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra
g que não necessita estar nesta mesma classe.
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Introdução
Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função
exponencial.
LMATEAD

Introdução
exponencial.
Devido à razoável facilidade com a qual os polinômios podem ter as suas raízes, deriva-
das e integrais calculadas por métodos computacionais, estudaremos aqui o método da
interpolação polinomial.
LMATEAD

Introdução
exponencial.
Portanto, existe uma vantagem considerável na substituição de uma função, de expressão
altamente complicada, por um polinômio, considerando uma margem de erro pequena e
aceitável.
LMATEAD

Introdução
exponencial.
Portanto, existe uma vantagem considerável na substituição de uma função, de expressão
altamente complicada, por um polinômio, considerando uma margem de erro pequena e
aceitável.
A garantia da existência de um polinômio que aproxime uma determinada função é dada
pelo Teorema de Weirstrass.
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Introdução
Utilizamos a interpolação, principalmente, quando:
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Introdução
• queremos determinar a imagem da função em um ponto cuja imagem não fora
estabelecida, ou seja, não conhecemos a expressão analítica de f(x) e, a partir
dos pontos (x0; f(x0)), (x1; f(x1)), . . ., (xn; f(xn)), obtemos o polinômio. Esta
situação ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais e ne-
cessitamos manipular f(x).
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Introdução
• a função possui expressão extremamente complicada, de difícil ou impossível deter-
minação. Visto isso, às vezes, se torna interessante sacriﬁcar a precisão dos valores
obtidos na imagem em prol do benefício da simpliﬁcação dos cálculos.
LMATEAD

Conceito
Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função:
f : X → R
xi → f(xi).
Devemos encontrar uma função g(x), tal que
g(xk) = f(xk), k ∈ {0, 1, . . . , n}.
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Conceito
Neste tipo de interpolação, dados os n+1 pontos (xi; f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, devemos
aproximar f(x) por um polinômio pn(x) de grau no máximo igual a n tal que
pn(xi) = f(xi), ∀ i ∈ {0, 1, . . . , n}.
Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre
um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}.
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Conceito
Como um polinômio de grau n possui n+1 coeﬁcientes, estes coeﬁcientes são elementos
do conjunto solução do sistema de equações
pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n,
ou seja, 


a0 + a1x0 + a2x2
0 + . . . + anxn
0 = f(x0)
a0 + a1x1 + a2x2
1 + . . . + anxn
1 = f(x1)
a0 + a1x2 + a2x2
2 + . . . + anxn
2 = f(x2)
...
a0 + a1xn + a2x2
n + . . . + anxn
n = f(xn)
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Conceito
O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeﬁcientes
X =







1 x0 x2
0 . . . xn
0
1 x1 x2
1 . . . xn
1
1 x2 x2
2 . . . xn
2
...
...
...
...
...
1 xn x2
n . . . xn
n







é uma matriz de Vandermond e seu determinante é obtido por
det(X) =
j>i
(xj − xi).
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Conceito
Como xi = xj, ∀ i = j, temos que det(X) = 0 e, portanto, o sistema linear admite
única solução. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema:
Theorem
Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que:
pn(xi) = f(xi), i = {0, 1, . . . , n; xi = xj, i = j.}
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Exercício
Encontre um polinômio que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
LMATEAD

Estudo do Erro
Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor
de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f
possui algumas propriedades.
Consideremos os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n, xi ∈ (a, b) e a função
ω(t) = f(t) − pn(t) − (f(x) − pn(x)) ·
(t − x0) · . . . · (t − xn)
(x − x0) · . . . · (x − xn)
(1)
em que f é n + 1 vezes derivável e pn é um polinômio de grau n. Segue, claramente,
que ω é n + 1 derivável.
Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes
reais distintas em (a, b).
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Estudo do Erro
O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que
∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1)
(ξ) = 0.
Como ϕ(t) = (t − x0) · . . . · (t − xn) é um polinômio de grau n + 1 com coeﬁciente do
termo de maior grau com valor unitário, temos que ϕ(n+1)(t) = (n + 1)!.
Derivando-se n + 1 vezes a expressão (1) e considerando as duas aﬁrmações anteriores,
temos que
ω(n+1)
(t) = f(n+1)
(t) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
.
LMATEAD

Estudo do Erro
Portanto,
0 = ω(n+1)
(ξ) = f(n+1)
(ξ) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
,
ou seja,
f(x) = pn(x) + (x − x0) · . . . · (x − xn) ·
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
.
Logo, o erro obtido ao utilizar um polinômio interpolador é dado por:
En(x) = f(x) − pn(x) =
n
i=0
(x − xi)
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
.
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Estudo do Erro
Theorem
Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)),
i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j.
Seja pn(x) o polinômio interpolador nestes n + 1 pontos distintos. Então, para
x ∈ [a, b], ∃ ξ ∈ (a, b), tal que o erro é dado por:
En(x) =
n
i=0
(x − xi)
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
. (2)
Uma consequência imediata deste teorema é que, apesar de se saber da existência de um
valor x = ξ que determina este erro e não conseguir encontrá-lo, podemos estimar o erro
no cálculo da aproximação para o valor da função pelo polinômio interpolador.Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento UFRB/CETEC
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Cota para o erro na Interpolação Polinomial
Theorem
A cota para o erro En(¯x) obtido numa interpolação polinomial é
Emax(¯x) =
n
i=0
|¯x − xi| · max
x∈[a,b]
®
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
´
. (3)
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Exercício
Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1.35 e calcule
uma cota para o erro cometido
x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6
ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953
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Forma de Lagrange
Além de ser muito trabalhosa a determinação do polinômio interpolador por meio da
solução de um sistema de equações lineares, esta pode acarretar erros de arredonda-
mento, fazendo com que a solução obtida seja irreal. Por isso, veja outros métodos que
determinam o polinômio pn(x).
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é dada por:
pn(x) =
n
i=0
f(xi) · Li(x), em que Li(x) =
n
j=0
j=i
(x − xj)
(xi − xj)
.
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Exercício:
Encontre, pela forma de Lagrange, o polinômio que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 (observe aqui que temos três
pontos) é:
p2(x) = f(x0) · L0(x) + f(x1) · L1(x) + f(x2) · L2(x).
LMATEAD

Exercício:
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
pontos) é:
p2(x) = f(x0) · L0(x) + f(x1) · L1(x) + f(x2) · L2(x).
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são:
L0(x) =
(x − x1) · (x − x2)
(x0 − x1) · (x0 − x2)
=
(x − 0) · (x − 2)
(−1 + 0) · (0 − 2)
=
x2 − 2x
3
LMATEAD

Exercício:
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
pontos) é:
p2(x) = f(x0) · L0(x) + f(x1) · L1(x) + f(x2) · L2(x).
L1(x) =
(x − x0) · (x − x2)
(x1 − x0) · (x1 − x2)
=
(x + 1) · (x − 2)
(0 + 1) · (0 − 2)
=
−x2 + x + 2
2
LMATEAD

Exercício:
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
pontos) é:
p2(x) = f(x0) · L0(x) + f(x1) · L1(x) + f(x2) · L2(x).
L2(x) =
(x − x0) · (x − x1)
(x2 − x0) · (x2 − x1)
=
(x + 1) · (x − 0)
(2 + 1) · (2 − 0)
=
x2 + x
6
LMATEAD

Exercício:
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
pontos) é:
p2(x) = f(x0) · L0(x) + f(x1) · L1(x) + f(x2) · L2(x).
Assim,
p2(x) = 4 ·
x2 − 2x
3
+ 1 ·
−x2 + x + 2
2
+ (−1) ·
x2 + x
6
= 1 −
7
3
x +
2
3
x2
.
Observe que o polinômio obtido é o mesmo que o da resolução do sistema.
LMATEAD

Exercício
Determine p3(0, 5) sabendo que o gráﬁco de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3), (1; 1),
(2; 1).
Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é:
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, 3, avaliados em x = 0, 5 são:
LMATEAD

Exercício
(2; 1).
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
L0(0, 5) =
(0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3)
=
(0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2)
=
1
16
LMATEAD

Exercício
(2; 1).
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
L1(0, 5) =
(0, 5 − x0) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(x1 − x0) · (x1 − x2) · (x1 − x3)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(0 + 1) · (0 − 1) · (0 − 2)
=
9
16
LMATEAD

Exercício
(2; 1).
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
L2(0, 5) =
(x − x0) · (x − x1) · (x − x3)
(x2 − x0) · (x2 − x1) · (x2 − x3)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 2)
(1 + 1) · (1 − 0) · (1 − 2)
=
1
16
LMATEAD

Exercício
(2; 1).
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
L3(0, 5) =
(x − x0) · (x − x1) · (x − x2)
(x3 − x0) · (x3 − x1) · (x3 − x2)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 1)
(2 + 1) · (2 − 0) · (2 − 1)
=
−1
16
LMATEAD

Exercício
(2; 1).
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
Assim,
p3(0, 5) = 1 ·
1
16
+ 3 ·
9
16
+ 1 ·
1
16
+ 1 ·
−1
16
=
7
4
.
LMATEAD

Exercício
(2; 1).
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
Observe que não foi necessário determinar a expressão do polinômio.
LMATEAD

Atividade Básica
Determine, em cada caso, p3(1, 5), sabendo que o gráﬁco de p3 passa pelos pontos:
(a) (0; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 0);
(b) (−1; 1), (0; 5), (2; −1), (3; 4).
LMATEAD

Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Para que possamos utilizar os mesmos cálculos tanto na interpolação quanto na deter-
minação do erro, introduzo aqui algumas notações para reescrevermos, de forma conve-
niente, as funções de Lagrange Li(x).
LMATEAD

Para que possamos utilizar os mesmos cálculos tanto na interpolação quanto na deter-
minação do erro, introduzo aqui algumas notações para reescrevermos, de forma conve-
niente, as funções de Lagrange Li(x).
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por:
pn(x) =
n
i=0
f(xi) · Li(x),
em que
Li(x) =
n
j=0
j=i
(x − xj)
(xi − xj)
=
(x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
(xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
.
LMATEAD

Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi),
temos que:
Li(x) =
(x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
(xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
.
LMATEAD

Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi),
temos que:
Li(x) =
(x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
(xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
.
Denotando o numerador por N(x) e o denominador por Di(x), isto é,
ß
N(x) = (x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
Di(x) = (xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
LMATEAD

Tem-se, então
Li(x) =
N(x)
Di(x)
.
LMATEAD

Tem-se, então
Li(x) =
N(x)
Di(x)
.
Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a
cota para o erro, da seguinte forma:
pn(x) =
n
i=0
f(xi) · Li(x) =
n
i=0
f(xi) ·
N(x)
Di(x)
= N(x) ·
n
i=0
f(xi)
Di(x)
,
LMATEAD

Tem-se, então
Li(x) =
N(x)
Di(x)
.
Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a
cota para o erro, da seguinte forma:
pn(x) =
n
i=0
f(xi) · Li(x) =
n
i=0
f(xi) ·
N(x)
Di(x)
= N(x) ·
n
i=0
f(xi)
Di(x)
,
Emax(x) =
|N|
(n + 1)!
· max
x∈[a,b]
{|f(n+1)
(x)|}.
LMATEAD

Com o intuito de determinar o valor de um polinômio de interpolação num ponto não
tabelado, sem determinar sua expressão, a seguinte tabela pode ser utilizada
LMATEAD

Com o intuito de determinar o valor de um polinômio de interpolação num ponto não
tabelado, sem determinar sua expressão, a seguinte tabela pode ser utilizada
i Di(x) f(xi) f(xi)/Di(x)
0 (x − x0) (x0 − x1) · · · (x0 − xn)
1 (x1 − x0) (x − x1) · · · (x1 − xn)
...
...
... · · ·
...
n (xn − x0) (xn − x1) · · · (x − xn)
f(xi)/Di(x)
LMATEAD

Exercício
Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e calcule
uma cota para o erro cometido
x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6
ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953
LMATEAD

Exercício
Solução:
LMATEAD

Exercício
Solução:
0 1, 35 − 1, 00 1, 00 − 1, 20 1, 00 − 1, 40 1, 00 − 1, 60
1 1, 20 − 1, 00 1, 35 − 1, 20 1, 20 − 1, 40 1, 20 − 1, 60
2 1, 40 − 1, 00 1, 40 − 1, 20 1, 35 − 1, 40 1, 40 − 1, 60
3 1, 60 − 1, 00 1, 60 − 1, 20 1, 60 − 1, 40 1, 35 − 1, 60
f(xi)/Di(
LMATEAD

Exercício
Solução:
0 0, 35 −0, 20 −0, 40 −0, 60 −0, 0168 2, 718 −161, 786
1 0, 20 0, 15 −0, 20 −0, 40 0, 0024 3, 320 1383, 333
2 0, 40 0, 20 −0, 05 −0, 20 0, 0008 4, 055 5068, 750
3 0, 60 0, 40 0, 20 −0, 25 −0, 0120 4, 953 −412, 750
5877, 547
LMATEAD

Exercício
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
LMATEAD

Exercício
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
LMATEAD

Exercício
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
f(x) = ex
=⇒ f(4)
(x) = ex
LMATEAD

Exercício
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
f(x) = ex
=⇒ f(4)
(x) = ex
Como, f(4)(x) = ex é uma função crescente no intervalo [1, 0; 1, 6],
|f(4)
(x)| ≤ e1,6
≈ 4, 953, ∀ x ∈ [1, 0; 1, 6].
LMATEAD

Exercício
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
f(x) = ex
=⇒ f(4)
(x) = ex
Como, f(4)(x) = ex é uma função crescente no intervalo [1, 0; 1, 6],
|f(4)
(x)| ≤ e1,6
≈ 4, 953, ∀ x ∈ [1, 0; 1, 6].
Logo,
Emax =
|N|
· 4, 953 ≈ 0, 000136.Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento UFRB/CETEC
LMATEAD

Introdução
A forma de Lagrange para a determinação do polinômio de interpolação de uma função
y = f(x) sobre um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n possui um inconveni-
ente: sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n sobre n+1 pontos para um
polinômio de grau n + 1 sobre n + 2 pontos, todo o trabalho tem que ser praticamente
refeito.
Seria interessante se houvesse a possibilidade de, conhecido o polinômio de grau n,
passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um termo ao de grau
n. Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton do polinômio de interpolação,
porém, para a construção do polinômio de interpolação por este método, precisamos do
operador de diferenças divididas de uma função.
LMATEAD

O Operador de Diferenças Divididas
Um operador é uma aplicação cujo domínio é um espaço vetorial e tem como contra-
domínio R.
Deﬁnition
Seja f(x) uma função tabelada em n + 1 valores distintos x0, x1, . . . e xn. O operador
de diferença dividida de ordem
LMATEAD

domínio R.
Deﬁnition
— zero, em xk:
f[xk] = f(xk)
LMATEAD

domínio R.
Deﬁnition
— um, em xk e xk+1:
f[xk, xk+1] =
f[xk+1] − f[xk]
xk+1 − xk
1
1
Este valor é uma aproximação para a primeira derivada de f(x) em xk.
LMATEAD

domínio R.
Deﬁnition
— dois, em xk, xk+1 e xk+2:
f[xk, xk+1, xk+2] =
f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1]
xk+2 − xk
LMATEAD

domínio R.
Deﬁnition
— três, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3:
f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] =
f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2]
xk+3 − xk
LMATEAD

domínio R.
Deﬁnition
— n, em xk, xk+1 . . . xk+n:
f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =
f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1]
xk+n − xk
.
LMATEAD

As diferenças divididas da função y = f(x) é um operador simétrico, isto é, independe
da ordem de seus argumentos. Assim, a ordem com a qual arrumamos a sequencia deste
operador não modiﬁca o seu valor, ou seja,
f[x0, x1, . . . , xk] = f[xj0 , xj1 , . . . , xjk
],
em que (j0, j1, . . . , jk) é uma permutação qualquer da sequencia (0, 1, . . . , k).
LMATEAD

Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
Note que a forma de cálculo desses operadores é construtiva, ou seja, para obter a
diferença dividida de ordem n é necessário as diferenças divididas de ordem n − 1, n −
2, . . . 1, 0.
LMATEAD

Note que a forma de cálculo desses operadores é construtiva, ou seja, para obter a
diferença dividida de ordem n é necessário as diferenças divididas de ordem n − 1, n −
2, . . . 1, 0.
Um esquema prático para o cálculo desses operadores é dado pela tabela
LMATEAD

x f[xk] f[xk, xk+1] f[xk, xk+1, xk+2] · · · f[xk, . . . , xk+n]
x0 f[x0]
f[x0, x1]
x1 f[x1] f[x0, x1, x2]
f[x1, x2]
x2 f[x2] f[x1, x2, x3]
...
...
f[xk, . . . , xk+n]
...
...
xn−2 f[xn−2] f[xn−3, xn−2, xn−1]
f[xn−2, xn−1]Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento UFRB/CETEC
LMATEAD

Exercício
Para a função
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
construa a tabela de diferenças divididas.
Solução:
LMATEAD

Exercício
Solução: Usando a tabela do dispositivo prático para o método de Newton, temos:
LMATEAD

Exercício
Solução: Usando a tabela do dispositivo prático para o método de Newton, temos:
xk f[xk] f[xk, xk+1] f[xk, xk+1, xk+2] f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] f[xk, xk+1, xk+2, xk+3, xk+4]
−2 −2
29 − (−2)
−1 − (−2)
= 31
−1 29
1 − (−31)
0 − (−2)
= −15
30 − 29
0 − (−1)
= 1
0 − (−15)
1 − (−2)
= 5
0 30
1 − 1
1 − (−1)
= 0
5 − 5
2 − (−2)
= 0
31 − 30
1 − 0
= 1
15 − 0
2 − (−1)
= 5
1 31
31 − 1
2 − 0
= 15
62 − 31
2 − 1
= 31
2 62
LMATEAD

O Polinômio Interpolador de Newton
Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para
a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna
desta tabela.
LMATEAD

Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para
a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna
desta tabela.
A forma de Newton do polinômio interpolador é baseada nos operadores de diferenças
divididas e, ao contrário da forma de Lagrange, ela permite aumentar o grau do polinômio
sem termos que refazer os cálculos já efetuados.
Consequentemente, esta forma de interpolar é bastante importante na prática, pois,
podemos aumentar o grau do polinômio interpolador sem o aumento expressivo do esforço
computacional.
LMATEAD

Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
LMATEAD

A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é:
f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
LMATEAD

f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
Isolando a diferença de ordem um que depende de x, temos:
f[x, x0] = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
LMATEAD

f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
f[x, x0] = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
Aplicamos a deﬁnição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim,
f(x0) − f(x)
x0 − x
= f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
LMATEAD

f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
f[x, x0] = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
f(x0) − f(x)
x0 − x
= f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
e isto implica que
LMATEAD

f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
f[x, x0] = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
f(x0) − f(x)
x0 − x
= f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
e isto implica que
f(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1].
LMATEAD

Se ﬁzermos
LMATEAD

Se ﬁzermos
p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1],
LMATEAD

Se ﬁzermos
a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que
depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1. Desta forma, podemos dizer
que o polinômio p1(x) interpola valores de x entre x0 e x1, com erro de E1(x), pois,
LMATEAD

Se ﬁzermos
a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que
depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1. Desta forma, podemos dizer
que o polinômio p1(x) interpola valores de x entre x0 e x1, com erro de E1(x), pois,
p1(x0) = f(x0) + (x0 − x0) · f[x0, x1] = f(x0)
p1(x1) = f(x0) + (x1 − x0) · f[x0, x1] = f(x1)
LMATEAD

De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos x,
x0, x1, . . . e xn, obtendo:
LMATEAD

f(x) = pn(x) + En(x),
em que
LMATEAD

f(x) = pn(x) + En(x),
em que
pn(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]
+ . . . + (x − x0) · . . . · (x − xn−1) · f[x0, . . . , xn]
= f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] +
n
i=2
(x − x0) · . . . · (x − xi−1)f[x1, . . . , xi],
LMATEAD

f(x) = pn(x) + En(x),
em que
pn(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]
+ . . . + (x − x0) · . . . · (x − xn−1) · f[x0, . . . , xn]
= f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] +
n
i=2
(x − x0) · . . . · (x − xi−1)f[x1, . . . , xi],
e
En(x) =
n
i=0
(x − xi) · f[x, x0, x1, . . . , xn].
LMATEAD

Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 . . . e
xn.
LMATEAD

xn.
Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ).
LMATEAD

xn.
Porém, este depende da diferença dividida f[ξ, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende
do valor de f(ξ).
LMATEAD

xn.
do valor de f(ξ).
Como a função f(x) é tabelada, não temos como calcular este valor.
LMATEAD

xn.
do valor de f(ξ).
Como a função f(x) é tabelada, não temos como calcular este valor.
Portanto, para esta forma, trabalhamos com a mesma estimativa feita para a forma de
Lagrange.
LMATEAD

Exercícios
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
LMATEAD

Exercícios
Solução:
LMATEAD

Exercícios
Solução:
Pela forma de Newton, temos que:
p2(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2].
LMATEAD

Exercícios
Solução:
Calculemos os valores dos operadores diferenças divididas.
f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1
f[x0, x1] =
f[x1] − f[x0]
x1 − x0
=
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
=
1 − 4
0 − (−1)
= −3
f[x1, x2] =
f[x2] − f[x1]
x2 − x1
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
=
−1 − 1
2 − 0
= −1
f[x0, x1, x2] =
f[x1, x2] − f[x0, x1]
x2 − x0
=
−1 − (−3)
2 − (−1)
=
2
3
LMATEAD

Exercícios
Solução:
Assim,
p2(x) = 4 + (x + 1) · (−3) + (x + 1) · x ·
2
3
= 1 −
7
3
x +
2
3
x2
.
LMATEAD

Exercícios
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 −1 −2
LMATEAD

Exercícios
Solução: Pela forma de Newton, temos que:
p4(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]
+ (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · f[x0, x1, x2, x3]
+ (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · (x − x3)f[x0, x1, x2, x3, x4].
LMATEAD

Exercícios
Solução: Calculemos os valores dos operadores diferenças divididas.
LMATEAD

Exercícios
Solução: Calculemos os valores dos operadores diferenças divididas.
Apliquemos o dispositivo prático:
LMATEAD

Exercícios
Solução:
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4
−1 1
0
0 1 −1/2
−1 1/6
1 0 0 −1/24
−1 0
2 −1 0
−1
3 −2
LMATEAD

Exercícios
Solução:
Logo, p4(x) = 1 + (x + 1)0 + (x + 1)x(−1/2) + (x + 1)x(x − 1)(1/6) + (x + 1)x(x −
1)(x − 2)(−1/24).
LMATEAD

Exercícios
Considere a função f(x) = atan(x).
(a) A partir dos valores f(0.3), f(0.5), f(0.7) e f(0.9), determine o valor de f(0.8)
utilizando um polinômio interpolador de Newton de grau 3;
(b) Usando a deﬁnição formal de f(x), determine o valor exato e o erro cometido no
ítem anterior.
LMATEAD

Critério de escolha dos pontos
Uma das características da interpolação é que esta pode fornecer uma aproximação local,
sem a necessidade de usar todos os dados disponíveis.
LMATEAD

Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois.
x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
LMATEAD

Solução: Como a interpolação é através de um polinômio de grau dois, necessitamos
de três pontos. O critério de escolha destes valores deve ser feito de maneira que mini-
mizemos o erro. Geralmente, tomamos aqueles valores que estão mais próximos do valor
que desejamos aproximar.
LMATEAD

Solução:
Se escolhermos os valores x0 = 0.34, x1 = 0.40 e x2 = 0.52, o erro esta limitado por
LMATEAD

Solução:
Se escolhermos os valores x0 = 0.34, x1 = 0.40 e x2 = 0.52, o erro esta limitado por
Emax(0.44) = |(0.44 − 0.34)(0.44 − 0.40)(0.44 − 0.52)| · max
x∈[a,b]
®
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
´
= 0, 00032 · max
x∈[a,b]
®
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
´
LMATEAD

Solução:
Para x0 = 0, 40, x1 = 0, 52 e x2 = 0, 60, o erro esta limitado por
LMATEAD

Solução:
Para x0 = 0, 40, x1 = 0, 52 e x2 = 0, 60, o erro esta limitado por
Emax(0, 44) = |(0, 44 − 0, 40)(0, 44 − 0, 52)(0, 44 − 0, 60)| · max
x∈[a,b]
®
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
´
= 0, 000512 · max
x∈[a,b]
®
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
´
LMATEAD

Solução:
Portanto, devemos utilizar os valores x0 = 0, 34, x1 = 0, 40 e x2 = 0, 52.
LMATEAD

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