Slides numerico c02

Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
9 de fevereiro de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

Zero de funções e os Métodos Numéricos
Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função
Zero de uma função
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

Definição
Dada uma função f : Ξ ⊂ R → R, denominamos de zero ou raiz de f o valor ξ ∈ Ξ tal
que f(ξ) = 0.

Definição
que f(ξ) = 0.
x
y
ξ1 ξ2 ξ3

Definição
que f(ξ) = 0.
x
y
ξ1 ξ2 ξ3
A figura acima ilustra o gráfico de uma função real de uma variável real com três zeros.

Método analítico versus Método numérico

Método analítico

Método analítico
Um método para encontrar a solução de um problema é analítico se ele apresenta uma
forma para determiná-la de maneira exata. Por exemplo, o mais famoso caso é o da
fórmula de Baskhara para encontrar zeros de uma função quadrática.

Método numérico

Método numérico
Se determina uma sequência que converge para a solução do problema. Este será o
método que empregaremos, na maioria dos casos, nesta disciplina, para encontrar a
solução de alguns problemas.

Método numérico
Aplicando um método numérico para encontrar o zero aproximado do problema
f(x) = 0, obteremos uma sequência {x1, x2, . . .} convergente para o zero da função f.

Método numérico
Existem duas fases na utilização de métodos numéricos de zero de funções:

Método numérico
Fase 1: Isolamento ou localização dos zeros;

Método numérico
Fase 1: Isolamento ou localização dos zeros;
Fase 2: Refinamento.

Isolamento dos zeros

De onde partir?
Nos métodos numéricos empregados para resolver o problema f(x) = 0, em geral,
devemos iniciar obtendo:

De onde partir?
intervalos fechados [a, b] ⊂ Dom(f) que contenha apenas um zero; ou

De onde partir?
um valor aproximado do zero da função f do problema.

De onde partir?
Para obter o intervalo [a, b] que contenha apenas um zero da função, estudaremos o
comportamento da função utilizando:

De onde partir?
Para obter o intervalo [a, b] que contenha apenas um zero da função, estudaremos o
comportamento da função utilizando:
o tabelamento da função e analisar as mudanças de sinal e, caso a função seja
derivável no intervalo determinado, verificar se ele não muda de sinal;

Teorema de Bolzano
Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo
menos um zero no intervalo (a, b).

Teorema de Bolzano
Este é o resultado utilizado para encontrarmos intervalos fechados onde a função está
definida e existe pelo menos um zero da função.

Teorema de Bolzano
Este é o resultado utilizado para encontrarmos intervalos fechados onde a função está
definida e existe pelo menos um zero da função.
O Teorema de Bolzano é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário, pois,
para o produto de f(a) por f(b) ser negativo, esses valores têm sinais opostos. Assim, o
zero de f se encontra entre a e b, uma vez que existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Bolzano
Examples
A função
f(x) = cos(x) + sin(x),
possui pelo menos um zero no intervalo (−π, 2π), uma vez que
f(−π) = cos(−π) + sin(−π) = −1;
f(2π) = cos(2π) + sin(2π) = 1 e
f(−π) · f(2π) = −1 < 0.

Teorema de Bolzano
Observação Importante
Podemos acrescentar ao Teorema de Bolzano a seguinte hipótese: Se f é derivável em
(a, b) e f′ não muda de sinal neste intervalo (f é monótona em (a, b)). Como
consequência, podemos garantir que o zero é único.

Teorema de Bolzano
Observação Importante
Podemos acrescentar ao Teorema de Bolzano a seguinte hipótese: Se f é derivável em
(a, b) e f′ não muda de sinal neste intervalo (f é monótona em (a, b)). Como
consequência, podemos garantir que o zero é único.
Examples
A função f(x) = x3 − 3x + 1 possui pelo menos um zero no intervalo [0, 1]. De fato, f é
contínua (função polinomial) e f(0) · f(1) = 1 · (−1) = −1 < 0.
Como f′(x) = 3x2 − 3 é negativa para valores de x ∈ [0, 1], então só existe um zero
nesse intervalo.

Teorema de Bolzano
Construção do gráfico
Este processo pode ser executado com os conhecimento sobre funções adquiridos até
agora ou, ainda, pela utilização de softwares. Sugestão: Revise os conteúdos de
Cálculo Diferencial I ou utilize o Python.

Examples
Observamos que o gráfico da função f(x) = e−x2
− x3, exibido através da figura a
seguir, possui uma raiz no intervalo [0, 1].
x
y
ξ 1
0

Nessa etapa, quando estamos isolando um zero, é crucial que a análise seja bem feita,
pois a próxima depende dessa! A função contínua f pode ter mais de um zero, ou até
mesmo nenhum, em [a, b] e para determinarmos um zero aproximado, utilizando um
processo numérico, é necessário garantir a existência de apenas um zero da função.

Refinamento

Refinamento
Nesta etapa, devemos utilizar um processo iterativo para a construção de uma
sequência convergente para o zero da função. Claro que aqui, consideraremos algumas
hipóteses para a função f de modo a garantir o sucesso do processo.

Refinamento
Aspectos comuns a qualquer processo iterativo

Refinamento
Estimativa inicial - aproximação inicial do resultado do problema que pode ser
obtida de diferentes formas (depende do problema);

Refinamento
Convergência - Para obter um resultado satisfatório é necessário que a cada
iteração o resultado esteja mais próximo do valor esperado;

Refinamento
Convergência - Para obter um resultado satisfatório é necessário que a cada
iteração o resultado esteja mais próximo do valor esperado;
Critério de parada - Obviamente não se pode repetir um processo numérico
indefinidamente. É necessário que ele seja interrompido e depende do problema e
da precisão numérica desejada para a sua solução.

Refinamento
Início
Dados iniciais
Cálculos iniciais
k = 1 Cálculo da nova aproximação
Aproximação
suficiente próxima
do zero exato?
k = k + 1
Cálculos intermediários
Cálculos finais Término
N
S
Aplicando a função de iteração Critério de parada
Fase 1
Fase 2

Refinamento
Critérios de Parada
Utilizamos dois critérios para obter uma raiz aproximada (geralmente não levam ao
mesmo resultado).

Refinamento
mesmo resultado).
Um zero aproximado x̄ do problema f(x) = 0, com precisão ϵ, é um valor que satisfaz a
pelo menos um dos seguintes critérios:

Refinamento
mesmo resultado).
|ξ − x̄| < ϵ;

Refinamento
mesmo resultado).
|ξ − x̄| < ϵ;
|f(ξ)| < ϵ.

Refinamento
mesmo resultado).
|ξ − x̄| < ϵ;
|f(ξ)| < ϵ.
O primeiro destes testes é falho, uma vez que, geralmente, não conhecemos o valor do
zero da função ξ.
Para contornar essa situação, podemos substituir pelo valor absoluto entre duas
aproximações sucessivas, ou seja, |x̄i − x̄i−1| < ϵ, para um determinado i e, portanto,
fazemos x̄i = x̄.

Método da Bisseção

O método
Seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(a) · f(b) < 0 e exista uma única raiz
ξ ∈ (a, b). O método da bisseção consiste da sequência:

Algoritmo

Algoritmo
1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ;

Algoritmo
2 Se b − a < ϵ, tomamos qualquer valor de (a, b) para ser o zero aproximado x̄

Algoritmo
3 Se b − a > ϵ, Calculamos o ponto x1 =
a + b
2
;

Algoritmo
a + b
2
;
4 Estabelecemos que xk =
ak + bk
2
, k ∈ N;

Algoritmo
a + b
2
;
ak + bk
2
, k ∈ N;
5 Calculamos f(x1);

Algoritmo
a + b
2
;
ak + bk
2
, k ∈ N;
5 Calculamos f(x1);
6 Se f(ak) · f(xk) < 0, então tomamos bk = xk e voltamos ao passo 3; Caso
contrário, tomamos ak = xk e voltamos ao passo 3.

Algoritmo
a + b
2
;
ak + bk
2
, k ∈ N;
5 Calculamos f(x1);
6 Se f(ak) · f(xk) < 0, então tomamos bk = xk e voltamos ao passo 3; Caso
contrário, tomamos ak = xk e voltamos ao passo 3.
7 Repetimos essa estratégia até obter a precisão desejada, ou seja, até quando
|ak − bk| < ϵ ou |f(xk)| < ϵ, onde ϵ é um número pequeno e positivo dado.

Examples
Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1
que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2.

Examples
Solução:

Examples
Solução: Observe que f(4) = −5, 8298094, f(5) = 4, 6975073 e que a hipótese
f(4) · f(5) < 0 está satisfeita.

Examples
O valor x1 = 4, 5 e f(x1) = f(4, 5) = −3, 5680186. De acordo com o algoritmo da
bisseção, devemos trocar o valor de a pelo de x1, ou seja, a = 4, 5.

Examples
Na segunda iteração, encontramos o valor x2 = 4, 75 e f(x2) = −0, 4118033 e,
novamente, a deve ser trocado por x2.

Examples
Na terceira iteração, o valor de x3 = 4, 875 e f(x3) = 1, 8696634 e, agora, o valor de b
deve ser trocado por x3.

Examples
Na terceira iteração, o valor de x3 = 4, 875 e f(x3) = 1, 8696634 e, agora, o valor de b
deve ser trocado por x3.
A tabela abaixo apresenta o resultado das 8 primeiras iterações. Observe que a
convergência do método da bisseção é lenta.

Examples
Solução:
k 0 1 2 3 4 5 6 7
ak 4, 000 4, 500 4, 750 4, 750 4, 750 4, 750 4, 766 4, 773
bk 5, 000 5, 000 5, 000 4, 875 4, 813 4, 781 4, 781 4, 781
f(ak) −5, 830 −3, 568 −0, 412 −0, 412 −0, 412 −0, 412 −0, 155 −0, 023
f(bk) 4, 698 4, 698 4, 698 1, 870 0, 664 0, 110 0, 110 0, 110
xk 4, 500 4, 750 4, 875 4, 813 4, 781 4, 766 4, 773 4, 777
f(xk) −3, 568 −0, 412 1, 870 0, 664 0, 110 −0, 155 −0, 023 0, 043
|ak − bk| 1, 000 0, 500 0, 250 0, 125 0, 063 0, 031 0, 016 0, 008

Estimativa do Número de Iterações

Observa-se que o método da bisseção é um processo que sempre converge para a
solução.

solução. A estimativa do número de iterações pode ser calculada da seguinte forma
visto que os intervalos são reduzidos à metade a cada iteração:

bk − ak =
b0 − a0
2k
< ϵ,
ou seja,

bk − ak =
b0 − a0
2k
< ϵ,
ou seja,
2k
>
b0 − a0
ϵ
.

bk − ak =
b0 − a0
2k
< ϵ,
ou seja,
2k
>
b0 − a0
ϵ
.
Segue que,
k > log2
b0 − a0
ϵ
.

Método da Posição Falsa

O método
x0 ∈ (a, b).

O método
x0 ∈ (a, b).
No método da bisseção, xk é determinado pela média aritmética entre ak e bk. O
método da posição falsa consiste em tomarmos a média ponderada entre ake bk com
pesos em |f(bk)| e |f(ak)|, ou seja,

O método
x0 ∈ (a, b).
xk =
ak|f(bk)| + bk|f(ak)|
|f(bk)| + |f(ak)|
.

O método
x0 ∈ (a, b).
xk =
ak|f(bk)| + bk|f(ak)|
|f(bk)| + |f(ak)|
.
Uma vez que f(ak) e f(bk) têm sinais opostos, temos:
xk =
akf(bk) − bkf(ak)
f(bk) − f(ak)
.

Calculamos o ponto x1 =
af(b) − bf(a)
b − a
;

af(b) − bf(a)
b − a
;
Estabelecemos que xk =
akf(bk) − bkf(ak)
f(bk) − f(ak)
, k ∈ N;

af(b) − bf(a)
b − a
;
akf(bk) − bkf(ak)
f(bk) − f(ak)
, k ∈ N;
Calculamos f(x1);

af(b) − bf(a)
b − a
;
akf(bk) − bkf(ak)
f(bk) − f(ak)
, k ∈ N;
Calculamos f(x1);
Se f(ak) · f(xk) > 0, então tomamos ak = xk e voltamos ao passo 2; Caso
contrário, tomamos bk = xk e voltamos ao passo 2.

af(b) − bf(a)
b − a
;
akf(bk) − bkf(ak)
f(bk) − f(ak)
, k ∈ N;
Calculamos f(x1);
Se f(ak) · f(xk) > 0, então tomamos ak = xk e voltamos ao passo 2; Caso
contrário, tomamos bk = xk e voltamos ao passo 2.
Repetimos essa estratégia até obter a precisão desejada, ou seja, até quando
|ak − bk| < ϵ ou |f(xk)| < ϵ, onde ϵ é um número pequeno e positivo dado.

Observamos que o estudo da convergência deste método é análogo ao da convergência
no método da bisseção e, portanto, este método sempre convergirá.

Examples
Encontrar, pelo método da posição falsa, um zero de f(x) = x3 − 9x2 + 3 no intervalo
[0, 1] com precisão ϵ = 0, 0005.

Examples
[0, 1] com precisão ϵ = 0, 0005.
Solução: Construiremos uma tabela com os valores de ak, bk, xk, f(ak), f(bk), f(xk) e
|bk − ak|.

Examples
[0, 1] com precisão ϵ = 0, 0005.
Solução: Construiremos uma tabela com os valores de ak, bk, xk, f(ak), f(bk), f(xk) e
|bk − ak|.
k 0 1 2
ak 0, 00000 0, 00000 0, 00000
bk 1, 00000 0, 37500 0, 33862
f(ak) 3, 00000 3, 00000 3, 00000
f(bk) −5, 00000 −0, 32227 −0, 00879
xk 0, 37500 0, 33862 0, 33763
f(xk) −0, 32227 −0, 008790 −0, 00023
|bk − ak| 1, 00000 0, 37500 0, 33862

Método da Iteração Linear

O Método
O Método da Iteração Linear consiste em transformar o problema f(x) = 0 em outro
equivalente x = φ(x) que é denominado Problema de Ponto Fixo, em que φ(x) é
chamada de função de iteração.

O Método
Apesar de existir diferença entre estes problemas, uma vez que o primeiro tem
como solução a interseção do gráfico da função f com o eixo das abscissas e o
outro a interseção do gráfico de φ(x) com a reta y = x, essa transformação não
altera nem a posição e nem o valor de ξ.

O Método
Outra preocupação que se deve ter é com a determinação da função de iteração
φ, pois ela deve gerar uma sequência xk = φ(xk−1) convergente para uma solução
ξ, a partir de um valor inicial x0 dado numa vizinhança de ξ.

O Método
Outra preocupação que se deve ter é com a determinação da função de iteração
φ, pois ela deve gerar uma sequência xk = φ(xk−1) convergente para uma solução
ξ, a partir de um valor inicial x0 dado numa vizinhança de ξ.
A importância deste método se deve mais aos conceitos que ele introduz do que
sua eficiência computacional.

O teorema a seguir nos dá as condições as quais uma função de iteração deve
satisfazer para que exista a garantia de convergência para a solução de um problema
que envolve o zero de funções.

Theorem
Seja x = φ(x) o problema de ponto fixo, com φ(x) uma função contínua cujas
derivadas parciais até segunda ordem são contínuas num intervalo I da forma
(ξ − h, ξ + h).

Theorem
(ξ − h, ξ + h).
Sejam ainda x0 ∈ I e M um limitante tal que |φ′(x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ I. Então:

Theorem
(ξ − h, ξ + h).
1 xk = φ(xk−1) está em I, para k ∈ {1, 2, 3, . . .};

Theorem
(ξ − h, ξ + h).
2 lim
k→∞
|xk − ξ| = 0;

Theorem
(ξ − h, ξ + h).
2 lim
k→∞
|xk − ξ| = 0;
3 se φ′(ξ) ̸= 0, então a sequência (xk)k∈N) será monótona ou oscilatória,
dependendo do sinal de φ′(ξ).

Theorem
(ξ − h, ξ + h).
2 lim
k→∞
|xk − ξ| = 0;
3 se φ′(ξ) ̸= 0, então a sequência (xk)k∈N) será monótona ou oscilatória,
dependendo do sinal de φ′(ξ).
4 se φ′(ξ) = 0 e φ′′(x) ̸= 0, então a sequência (xk)k∈N) será oscilatória.
Demonstração: Ver nas notas de aula do professor.

Examples
Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear.

Examples
Solução: Sabemos que o problema x2 − x − 2 = 0 possui raízes em x = −1 e x = 2.

Examples
Para determinarmos uma raiz próxima de x = 2 utilizando a iteração linear, devemos
transformar o problema num problema de ponto fixo equivalente como, por exemplo:

Examples
Para determinarmos uma raiz próxima de x = 2 utilizando a iteração linear, devemos
transformar o problema num problema de ponto fixo equivalente como, por exemplo:
x = x2
− 2, x = ±
√
2 + x, x = 1 +
2
x
, x = x −
x2 − x − 2
x2 + 1
.

Examples
Se tomarmos o problema de ponto fixo equivalente φ(x) = x2 − 2 temos que
φ′(x) = 2x. Sendo assim, |φ′(x)| < 1 se x ∈

−
1
2
,
1
2

, ou seja, tanto x = −1 quanto
x = 2 estão fora do intervalo onde a convergência do método estaria garantida. No
entanto, pelo fato de existir uma região onde essa derivada é menor que um é que a
sequência apresenta comportamento oscilatório observado na primeira coluna da tabela
a seguir .

Examples
Se escolhermos o problema de ponto fixo equivalente φ(x) =
√
2 + x temos que
φ′(x) =
1
2
√
2 + x
. Sendo assim, |φ′(x)| 1 se x ∈

−
7
4
, +∞

, ou seja, o processo
nos dá um sequencia convergente na vizinhança de x = 2. Observe novamente a tabela
??. Note no entanto que não seria possível determinar uma raiz aproximada do valor
x = −1 utilizando esse problema de ponto fixo, pois o resultado da iteração nesse caso
é sempre positivo e, portanto, não pode convergir para um valor negativo. Para
determinar essa raiz aproximada seria necessário considerar o outro ramo da função ou
seja o problema de ponto fixo φ(x) = −
√
2 + x.

Examples
k xk = x2
k−1 − 2 xk =
√
2 + xk−1
0 0, 500000000 0, 500000000
1 −1, 750000000 1, 581138830
2 1, 062500000 1, 892389714
3 −0, 871093750 1, 972914016
4 −1, 241195679 1, 993217002
5 −0, 459433287 1, 998303531
6 −1, 788921055 1, 999575838
7 1, 200238540 1, 999893957
8 −0, 559427448 1, 999973489
9 −1, 687040931 1, 999993372
10 0, 846107103 1, 999998343
11 −1, 284102771 1, 999999586
12 −0, 351080073 1, 999999896
13 −1, 876742782 1, 999999974
14 1, 522163470 1, 999999994
15 0, 316981629 1, 999999998

Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear

A ordem de convergência de um método mede a velocidade com que as iterações
produzidas por esse método se aproximam da solução exata. Quanto maior a ordem de
convergência tanto melhor será o método numérico, pois tão mais rápida será sua
convergência.

convergência.
Sejam xk o resultado da k-ésima iteração de um método numérico e ek = xk − ξ o seu
erro.

convergência.
Sejam xk o resultado da k-ésima iteração de um método numérico e ek = xk − ξ o seu
erro.
Se lim
k→∞
|ek|
|ek−1|p
= c ̸= 0, p ∈ N e p ≥ 1, onde c 0 é uma constante arbitrária, então
p é chamado ordem de convergência desse método.

Para a iteração linear, provamos no Teorema ?? que |xk − ξ| = |φ′(ξk−1)| · |xk−1 − ξ| e,
portanto, podemos escrever:
|xk − ξ|
|xk−1 − ξ|
= |φ′
(ξk−1)| ≤ M.

|xk − ξ|
|xk−1 − ξ|
= |φ′
(ξk−1)| ≤ M.
Assim, a definição acima está satisfeita com p = 1 e c = M, ou seja, a iteração linear
tem ordem de convergência p = 1.

|xk − ξ|
|xk−1 − ξ|
= |φ′
(ξk−1)| ≤ M.
Assim, a definição acima está satisfeita com p = 1 e c = M, ou seja, a iteração linear
tem ordem de convergência p = 1.
Retomando a tabela ?? podemos confirmar que de fato que p = 1.

Da definição acima podemos afirmar que para k suficientemente grande temos:

|ek| ≈ c · |ek−1|p e |ek−1| ≈ c · |ek−2|p.

|ek| ≈ c · |ek−1|p e |ek−1| ≈ c · |ek−2|p.
Dividindo uma equação pela outra eliminamos a constante c e obtemos:

.

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