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Vamos olhar a função f(x) = x n, onde n é um inteiro po...
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Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) ...
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  1. 1. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 24 Aula 05 Derivadas das Funções Elementares Objetivos da Aula • Apresentar as técnicas de derivação elementares, cuja utilização direta otimiza e simplifica o cálculo da derivada de uma função. • Aplicar o cálculo de derivadas na resolução de problemas. Vimos na aula anterior que as derivadas são interpretadas como as inclinações e as taxas de variação, vimos também como estimar derivadas de funções dadas pelas tabelas de valores. Desta forma, faremos a seguinte definição. Definição de Derivada de uma Função A derivada de uma função f é a função f‘ (lê-se f linha de x), tal que seu valor em todo x do domínio de f se dado por se este limite existe. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y’ , dy/dx ou f ‘ (x). x xfxxf xf x ∆ −∆+ = ∆ )()( )(' lim 0
  2. 2. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 25 Usamos a definição de uma só derivada para calcular as derivadas de funções definidas pelas fórmulas, mas seria tedioso se sempre usássemos a definição; então, mostraremos regras para encontrar derivadas sem ter que usar diretamente a definição. 1. Derivada de uma Função Constante Vamos iniciar com a função constante f(x) = c. O gráfico dessa função é a reta horizontal y = c, cuja inclinação é 0 (zero); logo, devemos ter f’(x) = 0, como mostra a figura abaixo. Veja uma prova formal da definição de uma derivada: y x0 c inclinação = 0 y = c O gráfico de f(x) = c é a reta y = c; assim f’(x) = 0. Vamos agora escrever essa regra na notação de Leibniz. d/dx(c) = 0 (sendo ”c”, uma constante). Exemplos: ( ) ( ) ( ) = − = −+ = →→ h cc h xfhxf xf hh 00 limlim' 00lim 0 = →h 1º) Se f(x) = 32, então ( ) == )32(' dx d xf 0 2º) Se f(x) = -7, então ( ) =−= )7(' dx d xf 0
  3. 3. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 26 Função Potência Vamos olhar a função f(x) = x n, onde n é um inteiro positivo. Se n = 1, o gráfico f(x) = x é a reta y = x, cuja inclinação é 1 (veja a figura abaixo). y x c y = x inclinação = 1 0 O gráfico de f(x) = x é a reta y = x; assim f’(x) = 1. Logo d/dc (c) = 0 ou f’(x) = 1 Derivada da Função Potência ou Regra da Potência Se n é qualquer número real, e se f(x) = xn, então . PRIMEIRA PROVA: x n – an = (x - a) . (x n-1 + xn – 2 + ... + xan – 2 + a n - 1) pode ser simplesmente verificada multiplicando-se o lado direito (ou somando-se o segundo fator como uma séria geométrica).
  4. 4. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 27 SEGUNDA PROVA (usaremos h = Dx para facilitar a compreensão do cálculo) Para achar a derivada de x 4 desenvolvemos (x + h) 4 . Aqui precisamos desenvolver (x +h)n , usamos o teorema Binomial para fazer isto: ( ) ( ) ( ) ax ax ax afxf af − − = − − = →→ nn axax limlim' ( ) ( )1-n2-n2-n1-n ax lim' axaaxxaf ++++= →  ( ) 1-n2-n2-n1-n ' aaaaaaaf ++++=  ( ) 1-n ' naaf = ( ) ( ) ( ) ( ) h xhx h xfhxf xf nn 0h0h limlim' −+ = −+ = →→ ( ) ( ) h xhnxhhx nn hnxx xf nn1-n22-n1-nn 0h 2 1 lim' −      +++ − ++ = →  ( ) ( ) h hnxhhx nn hnx xf       +++ − + = → n1-n22-n1-n 0h 2 1 lim'  ( ) ( ) h hnxhhx nn hnx xf       +++ − + = → 1-n2-n2-n1-n 0h 2 1 lim'  ( ) 1-n ' nxxf =
  5. 5. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 28 porque todo o termo, exceto o primeiro, tem h como um fator, conseqüentemente tende a 0 (zero). Vamos analisar a regra da potência para o caso especial n = 2. Se f(x) = x 2 , então: Exemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) h xfhxf x dx d xf −+ == →0h 2 lim' ( ) ( ) h xhx xf 22 0h lim' −+ = → ( ) h xhxhx xf 222 0h 2 lim' −++ = → ( ) ( )=+= + = →→ 2 0h 2 0h 2lim 2 lim' hxh h hxh xf x2 1º) a) Se f(x) = x, então ( ) ( ) ==⋅== − 011 1' xxx dx d xf 1 b) Se f(x) = x 8 , então ( ) ( )== 8 ' x dx d xf 7 8x c) Se f(x) = x 5/2 , então ( ) ( )== 2/5 ' x dx d xf 2/3 2 5 x
  6. 6. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 29 2º) Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto (1,1). Ilustre fazendo o gráfico da curva e sua reta tangente. Solução d) f(x) = x Reescrevendo x na forma x 1/2 , obtemos ( ) ( ) ==== 1/2 1/2-1/2 2 1 2 1 ' x xx dx d xf x2 1 e) g(x) = 3 x 1 R eescrevendo 3 x 1 na forma x -1/3 , obtemos ( ) ( ) ==== 4/3 4/3-1/3- 3 1 3 1 ' x xx dx d xg 3 4 3 1 x ou 3 4 3 1 x xxy = A derivada de ( ) 3/21/2 xxxxxxf === é ( ) ( ) xxxxf 2 3 2 3 2 3 ' 1/213/2 === − Logo a inclinação da reta tangente em (1,1) é ( ) 2 3 ' =xf . Portanto, uma equação da reta tangente é ( )1 2 3 1 −=− xy ou 2 1 2 3 −= xy .
  7. 7. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 30 Este é o gráfico da curva e sua reta tangente. y = 3 x - 1 22 y = x 3 -1 3-1 x 3. Regra do Múltiplo Constante Quando novas funções são formadas a partir das antigas funções por adição, subtração, multiplicação ou divisão, suas derivadas podem ser calculadas em termos das derivadas das antigas funções. Em particular, a fórmula a seguir nos diz que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Seja uma função diferenciável ou derivável, onde n é qualquer número real e c for uma constante, então Representação Geométrica da Regra do Múltiplo Constante A multiplicação por c = 2 estica o gráfico verticalmente por um fator de 2. ( ) ( ) 11 )(][)(' −− ==== nn cnxnxcxf dx d cxcf dx d xf
  8. 8. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 31 Todas as subidas têm de ser dobradas, mas a corrida continua a mesma. Logo as inclinações ficam dobradas também. x y y = f(x) y = 2 f(x) 0 PROVA: Se g(x) = cf(x), então EXEMPLOS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xcfhxcf h xghxg xg −+ = −+ = →→ 0h0h limlim' ( ) ( ) ( ) ( )= −+ =      −+ = →→ xfhxf c h xfhxf c 0h0h limlim ( )xcf ' 1º) Se f(x) = - x, então ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )=⋅−=−=⋅−=−= 1111' x dx d x dx d x dx d xf 1− 2º) Se f(x) = 5x 3 , então ( ) ( ) ( ) ( )=⋅=== 233 3555' xx dx d x dx d xf x15 3º) Se ( ) x xf 3 = , então ( ) ( ) =      −⋅== − 2/32/1 2 1 33' xx dx d xf 2/3 2 3 x −
  9. 9. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 32 4. Regra da Soma Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x) + g(x), e se f’(x) e g’(x) existem, ou seja são diferenciáveis, então ou A derivada da soma (diferença) de duas funções diferenciáveis é igual à soma (diferença) de duas derivadas. Este resultado pode ser estendido para soma e diferença de um número finito qualquer de funções diferenciáveis. Vamos verificar a regra para a soma de duas funções. PROVA: Seja s(x) = f(x) + g(x), então A regra da soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções. Por exemplo, usando este teorema duas vezes, obtemos (f + g + h)’ = [(f + g) + h]’ = (f + g)’ = h´= f’ + g’ + h’ )(')(')(' xgxfxh += ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xg dx d xf dx d xgxf dx d +=+ ( ) ( ) ( ) h xshxs xs h −+ = →0 lim' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h xgxfhxghxf xs h ][][ lim' 0 +−+++ = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h xghxgxfhxf xs h ][][ lim' 0 −++−+ = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = −+ + −+ = →→ h xghxg h xfhxf xs hh ][ lim ][ lim' 00 ( ) ( )xgxf '' +
  10. 10. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 33 Escrevendo f – g como f + (- 1)g e aplicando a Regra da Soma e a Regra do Múltiplo Constante, obtemos a seguinte fórmula 5·Regra da Diferença Se f e g forem ambas diferenciáveis, então ou As três regras podem ser combinadas com a Regra da Potência para diferenciar qualquer polinômio. Exemplos: 1º) 2º) ( ) 3 2 5 5 t t tg += ( )       += −32 5 5 1 ' tt dx d tg (Reescrevendo 3 1 t como t -3 ) 4 15 5 2 )(' − −= tttg 4 5 5 752 )(' t t tg − = (Reescrevendo t -4 como 4 1 t e simplificando) 0)1(6)3(10)4(4)5(128)(' 0)1(6)3(10)4(4)5(128)(' 5610412)( 2447 1113141518 3458 +−+−+= +−+−+= +−+−+= −−−−− xxxxxf xxxxxxf xxxxxxf 63016608)(' 2347 −+−+= xxxxxf
  11. 11. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 34 3º) Seja f(x) = 3x² + 2x. Determine: (a) f ’(-2) e (b) f ’(4) a) f’(- 2) = 6(- 2) + 2 = -10 b) f’(4) = 6(4) + 2 = 26 4º) Ache os pontos sobre a curva y = x 4 – 6x 2 + 4 onde a reta tangente é horizontal. Solução As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada é zero. Temos Assim dy/dx = 0 se x = 0 ou x 2 – 3 = 0, isto é, x = ± . Logo, a curva dada tem tangentes horizontais quando x = 0, e - . Os pontos correspondentes são (0,4), ( ,-5) e (- ,-5). Veja a figura abaixo x - 5,-( )3 - 5,3( ) (0,4) y =+= − 2)2(3)(' 12 xxf 26 +x ( ) ( ) ( ) =+−=+−= 012446 324 xx dx d x dx d x dx d dx dy ( )34 2 −⋅ xx 3 3 3 3 3
  12. 12. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB 35 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2001. FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992 LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra,1988. STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

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