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Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
16 de fevereiro de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Concepção de um Método Iterativo
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Concepção de um Método Iterativo
Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é
transformado em um sistema equivalente x = Cx + d.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Concepção de um Método Iterativo
Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é
transformado em um sistema equivalente x = Cx + d.
Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii ̸= 0, para i = {1, 2, . . . , n}.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Concepção de um Método Iterativo
Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é
transformado em um sistema equivalente x = Cx + d.
Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii ̸= 0, para i = {1, 2, . . . , n}.
Ax = b ⇒ x = Cx + d
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.









a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn
(1)
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.









a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn
(1)
com aii ̸= 0, ∀ i.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j ̸= i;
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j ̸= i;
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Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j ̸= i;
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Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j ̸= i;
Obtendo, assim:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j ̸= i;
Obtendo, assim: 


























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k)
1 − an2x
(k)
2 − . . . − an(n−1)x
(k)
n−1)
(1)
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Método Gauss-Jacobi
O método de Jacobi consiste em:
explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j ̸= i;
Obtendo, assim: 


























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k)
1 − an2x
(k)
2 − . . . − an(n−1)x
(k)
n−1)
(1)
com aii ̸= 0, ∀i.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações
x(1)
, x(2)
, . . . , x(k)
,
partindo da aproximação inicial x(0);
utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ϵ, em que ϵ é a
precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x
(k+1)
i − x
(k)
i |}, ∀ i = {1, 2, . . . , n}.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações
x(1)
, x(2)
, . . . , x(k)
,
partindo da aproximação inicial x(0);
utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ϵ, em que ϵ é a
precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x
(k+1)
i − x
(k)
i |}, ∀ i = {1, 2, . . . , n}.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações
x(1)
, x(2)
, . . . , x(k)
,
partindo da aproximação inicial x(0);
utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ϵ, em que ϵ é a
precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x
(k+1)
i − x
(k)
i |}, ∀ i = {1, 2, . . . , n}.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Example
Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
partindo do vetor x(0) =
[
0, 9 0, 9
]t
, com uma precisão ϵ = 0, 04.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Example
Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
partindo do vetor x(0) =
[
0, 9 0, 9
]t
, com uma precisão ϵ = 0, 04.
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da
sequência são:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Example
Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
partindo do vetor x(0) =
[
0, 9 0, 9
]t
, com uma precisão ϵ = 0, 04.
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da
sequência são: 




x
(k+1)
1 =
1
2
(1 + x
(k)
2 )
x
(k+1)
2 =
1
2
(3 − x
(k)
1 )
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 0, temos:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 0, temos:





x
(1)
1 =
1
2
(1 + x
(0)
2 ) =
1
2
(1 + 0, 9) = 0, 95
x
(1)
2 =
1
2
(3 − x
(0)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 9) = 1, 05
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 0, temos:





x
(1)
1 =
1
2
(1 + x
(0)
2 ) =
1
2
(1 + 0, 9) = 0, 95
x
(1)
2 =
1
2
(3 − x
(0)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 9) = 1, 05
Sendo assim,
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 0, temos:





x
(1)
1 =
1
2
(1 + x
(0)
2 ) =
1
2
(1 + 0, 9) = 0, 95
x
(1)
2 =
1
2
(3 − x
(0)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 9) = 1, 05
Sendo assim,
|x(1)
− x(0)
| = max{|0, 95 − 0, 9|, |1, 05 − 0, 9|} = 0, 15 > 0, 04.
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Método Gauss-Jacobi
Para k = 1, temos:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 1, temos:





x
(2)
1 =
1
2
(1 + x
(1)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 05) = 1, 025
x
(2)
2 =
1
2
(3 − x
(1)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 95) = 1, 025
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 1, temos:





x
(2)
1 =
1
2
(1 + x
(1)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 05) = 1, 025
x
(2)
2 =
1
2
(3 − x
(1)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 95) = 1, 025
Sendo assim,
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 1, temos:





x
(2)
1 =
1
2
(1 + x
(1)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 05) = 1, 025
x
(2)
2 =
1
2
(3 − x
(1)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 95) = 1, 025
Sendo assim,
|x(2)
− x(1)
| = max{|1, 025 − 0, 95|, |1, 025 − 1, 05|} = 0, 075 > 0, 04.
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Método Gauss-Jacobi
Para k = 2, temos:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
|x(3)
− x(2)
| = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
|x(3)
− x(2)
| = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04.
Portanto, o vetor solução é
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método Gauss-Jacobi
Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
|x(3)
− x(2)
| = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04.
Portanto, o vetor solução é
[
1, 0125 0, 09875
]t
.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde:
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde:
explicitamos a variável xi na i-ésima equação;
adotamos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
já utilizamos os valores x
(k+1)
i obtidos no cálculo das linhas seguintes.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde:
explicitamos a variável xi na i-ésima equação;
adotamos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
já utilizamos os valores x
(k+1)
i obtidos no cálculo das linhas seguintes.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde:
explicitamos a variável xi na i-ésima equação;
adotamos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
já utilizamos os valores x
(k+1)
i obtidos no cálculo das linhas seguintes.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
Assim, teremos:
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
Assim, teremos:



























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k+1)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
3 =
1
a33
(b3 − a31x
(k+1)
1 − a32x
(k+1)
2 − a33x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k+1)
1 − an2x
(k+1)
2 − . . . − an(n−1)x
(k+1)
n−1 )
(1)
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
Assim, teremos:



























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k+1)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
3 =
1
a33
(b3 − a31x
(k+1)
1 − a32x
(k+1)
2 − a33x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k+1)
1 − an2x
(k+1)
2 − . . . − an(n−1)x
(k+1)
n−1 )
(1)
com aii ̸= 0, ∀ i.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
Example
Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Seidel, para o sistema:



5x1 + 2x2 + x3 = 8
3x1 + 6x2 − 2x3 = 7
2x1 − 4x2 + 10x3 = 8
partindo do vetor x(0) =
[
0 0 0
]t
, com uma precisão ϵ = 0, 001.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da
sequência são:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da
sequência são:















x
(k+1)
1 =
1
5
(8 − 2x
(k)
2 − x
(k)
3 )
x
(k+1)
2 =
1
6
(7 − 3x
(k+1)
1 + 2x
(k)
3 )
x
(k+1)
3 =
1
10
(8 − 2x
(k+1)
1 + 4x
(k+1)
2 )
(1)
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss-Seidel
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da
sequência são:















x
(k+1)
1 =
1
5
(8 − 2x
(k)
2 − x
(k)
3 )
x
(k+1)
2 =
1
6
(7 − 3x
(k+1)
1 + 2x
(k)
3 )
x
(k+1)
3 =
1
10
(8 − 2x
(k+1)
1 + 4x
(k+1)
2 )
(1)
A seguir, uma tabela com a sequência de valor encontrados em cada iteração
utilizando o sistema gerador.
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Método de Gauss-Seidel
k x
(k+1)
1 x
(k+1)
2 x
(k+1)
3 max
0 0 0 0
1 1, 6 0, 3667 0, 6267 1, 6
2 1, 328 0, 7116 0, 819 0, 3449
3 1, 1516 0, 8639 0, 9152 0, 1764
4 1, 0714 0, 936 0, 9601 0, 0802
5 1, 0336 0, 9699 0, 9812 0, 0378
6 1, 0158 0, 9858 0, 9912 0, 0178
7 1, 0074 0, 9934 0, 9959 0, 0084
8 1, 0035 0, 9969 0, 9981 0, 0039
9 1, 0016 0, 9986 0, 9991 0, 0019
10 1, 0007 0, 9994 0, 9996 0, 0009
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e
b ∈ Rn é um vetor.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e
b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e
b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações:
x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e
b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações:
x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b
Fica fácil verificar que esta sequência irá convergir se:
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Convergência dos Métodos
Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e
b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações:
x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b
Fica fácil verificar que esta sequência irá convergir se:
lim
k→∞
||x(k)
− x|| = 0,
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Convergência dos Métodos
Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e
b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações:
x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b
Fica fácil verificar que esta sequência irá convergir se:
lim
k→∞
||x(k)
− x|| = 0,
(com a norma definida no problema dado), pois, neste caso, a k-ésima aproximação
vai estar tão próxima do valor exato do vetor x quanto se queira. Caso contrário
diverge.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a
aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com
matrizes, essas condições se tornam mais complicadas.
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Convergência dos Métodos
Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a
aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com
matrizes, essas condições se tornam mais complicadas.
Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos.
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Convergência dos Métodos
Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a
aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com
matrizes, essas condições se tornam mais complicadas.
Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos.
Seja u solução exata do sistema dado. Claramente u = Hu + b. Sendo assim, o erro no
passo k é dado por:
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Convergência dos Métodos
Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a
aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com
matrizes, essas condições se tornam mais complicadas.
Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos.
Seja u solução exata do sistema dado. Claramente u = Hu + b. Sendo assim, o erro no
passo k é dado por:
e(k) = u − x(k) = (Hx + b) − (Hx(k−1) + b) = H[u − x(k−1)] = He(k−1)
= H[u − x(k−1)] = . . . = Hke(0)
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Convergência dos Métodos
Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a
aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com
matrizes, essas condições se tornam mais complicadas.
Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos.
Seja u solução exata do sistema dado. Claramente u = Hu + b. Sendo assim, o erro no
passo k é dado por:
e(k) = u − x(k) = (Hx + b) − (Hx(k−1) + b) = H[u − x(k−1)] = He(k−1)
= H[u − x(k−1)] = . . . = Hke(0)
onde, e(0) = u − x(0) é o erro inicial.
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Convergência dos Métodos
Isto nos mostra que, o acúmulo de erro em cada passo cresce com a potência da
matriz de iteração H, isto é, se cometemos um erro inicial e(0), o erro final, na k-ésima
iteração, é Hke(0). Assim, o esperado é que Hk tenda a zero à medida que k cresce,
uma vez que o erro e(0) diminui.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Isto nos mostra que, o acúmulo de erro em cada passo cresce com a potência da
matriz de iteração H, isto é, se cometemos um erro inicial e(0), o erro final, na k-ésima
iteração, é Hke(0). Assim, o esperado é que Hk tenda a zero à medida que k cresce,
uma vez que o erro e(0) diminui.
Vamos examinar a condição necessária para que lim
k→∞
Hk
= 0. Um dos resultados da
Álgebra Linear nos diz que essa condição se verifica se, e somente se, todos os
autovalores de H forem, em módulo, menores que um. Resta-nos, então definir esses
novos elementos, isto é, os autovalores de uma dada matriz.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Isto nos mostra que, o acúmulo de erro em cada passo cresce com a potência da
matriz de iteração H, isto é, se cometemos um erro inicial e(0), o erro final, na k-ésima
iteração, é Hke(0). Assim, o esperado é que Hk tenda a zero à medida que k cresce,
uma vez que o erro e(0) diminui.
Vamos examinar a condição necessária para que lim
k→∞
Hk
= 0. Um dos resultados da
Álgebra Linear nos diz que essa condição se verifica se, e somente se, todos os
autovalores de H forem, em módulo, menores que um. Resta-nos, então definir esses
novos elementos, isto é, os autovalores de uma dada matriz.
Definition
Dada uma matriz A, dizemos que o escalar λ é seu autovalor, se existir um vetor x
diferente do vetor nulo 0, tal que Ax = λx. Nesse caso, dizemos que x é autovetor de
A associado ao autovalor λ.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal
da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é
feita a partir da própria definição.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal
da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é
feita a partir da própria definição.
Seja Ax = λx. Então:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal
da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é
feita a partir da própria definição.
Seja Ax = λx. Então:
Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções
originais.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal
da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é
feita a partir da própria definição.
Seja Ax = λx. Então:
Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções
originais.
Sabemos que um sistema homogêneo só tem solução não trivial x diferente de 0,
quando o determinante da matriz do sistema for nulo. Portanto, a equação
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal
da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é
feita a partir da própria definição.
Seja Ax = λx. Então:
Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções
originais.
Sabemos que um sistema homogêneo só tem solução não trivial x diferente de 0,
quando o determinante da matriz do sistema for nulo. Portanto, a equação
det(A − λI) = 0 (2)
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Convergência dos Métodos
Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal
da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é
feita a partir da própria definição.
Seja Ax = λx. Então:
Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções
originais.
Sabemos que um sistema homogêneo só tem solução não trivial x diferente de 0,
quando o determinante da matriz do sistema for nulo. Portanto, a equação
det(A − λI) = 0 (2)
representa um polinômio e as suas raízes são os autovalores de A.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Definition
Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal
que A = P−1 B P.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Definition
Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal
que A = P−1 B P.
Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que
as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva
autovalores de uma matriz.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Definition
Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal
que A = P−1 B P.
Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que
as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva
autovalores de uma matriz.
Supondo que a matriz H possui todos seus autovalores distintos (quando houver
autovalores de multiplicidade maior que um, o estudo se torna um pouco mais
complexo), sabemos que existe uma transformação de similaridade que leva a matriz H
na sua forma diagonal D, isto é:
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Definition
Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal
que A = P−1 B P.
Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que
as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva
autovalores de uma matriz.
Supondo que a matriz H possui todos seus autovalores distintos (quando houver
autovalores de multiplicidade maior que um, o estudo se torna um pouco mais
complexo), sabemos que existe uma transformação de similaridade que leva a matriz H
na sua forma diagonal D, isto é:
H = P−1
D P,
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Definition
Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal
que A = P−1 B P.
Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que
as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva
autovalores de uma matriz.
Supondo que a matriz H possui todos seus autovalores distintos (quando houver
autovalores de multiplicidade maior que um, o estudo se torna um pouco mais
complexo), sabemos que existe uma transformação de similaridade que leva a matriz H
na sua forma diagonal D, isto é:
H = P−1
D P,
onde D é a matriz diagonal (dii = λi autovalores de h).
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Convergência dos Métodos
Segue que
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Segue que
Hk
= (P−1
D P)k
= (P−1
D P) · (P−1
D P) · . . . · (P−1
D P) = P−1
Dk
P.
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Convergência dos Métodos
Segue que
Hk
= (P−1
D P)k
= (P−1
D P) · (P−1
D P) · . . . · (P−1
D P) = P−1
Dk
P.
Assim, se lim
k→∞
Dk
= 0, teremos também lim
k→∞
Hk
= 0. Isto ocorre se, e somente se,
|λi| < 1, ∀ 1 ≤ i ≤ n.
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Convergência dos Métodos
Segue que
Hk
= (P−1
D P)k
= (P−1
D P) · (P−1
D P) · . . . · (P−1
D P) = P−1
Dk
P.
Assim, se lim
k→∞
Dk
= 0, teremos também lim
k→∞
Hk
= 0. Isto ocorre se, e somente se,
|λi| < 1, ∀ 1 ≤ i ≤ n.
Portanto, se os autovalores de H (que são os mesmos de D, pois elas são matrizes
similares) têm módulos menores do que um, a matriz Hk vai tender à matriz nula e
assim, o erro e(k) vai tender a zero.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Definition
Designamos por raio espectral de uma matriz A o valor:
ρ(A) = max
i=1,...,n
{|λi|},
onde λi são os autovalores de A.
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Convergência dos Métodos
Definition
Designamos por raio espectral de uma matriz A o valor:
ρ(A) = max
i=1,...,n
{|λi|},
onde λi são os autovalores de A.
Podemos, então, apresentar o seguinte teorema sobre condições necessárias e
suficientes para a convergência de um processo iterativo para a solução de sistemas
lineares.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Definition
Designamos por raio espectral de uma matriz A o valor:
ρ(A) = max
i=1,...,n
{|λi|},
onde λi são os autovalores de A.
Podemos, então, apresentar o seguinte teorema sobre condições necessárias e
suficientes para a convergência de um processo iterativo para a solução de sistemas
lineares.
Theorem
O método iterativo x(k) = Hx(k−1) + b converge à solução u, qualquer que seja o vetor
inicial x(0) se, e somente se, ρ(H) < 1.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são,
respectivamente:
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Convergência dos Métodos
Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e S =
[
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
]
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e S =
[
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
]
e seus respectivos raios espectrais são: ρ(J) = 0 e ρ(S) = 2.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Convergência dos Métodos
Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e S =
[
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
]
e seus respectivos raios espectrais são: ρ(J) = 0 e ρ(S) = 2.
Logo, a iteração de Gauss-Jacobi converge e a de Gauss-Seidel diverge.
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Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
REFERÊNCIAS
1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas:
UFRB, 2021.
2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos
Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997.
3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo
Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
FIM
Votos e agradecimentos
Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde
mais!
Sucesso!
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

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  • 1. Cálculo Numérico I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 16 de fevereiro de 2021 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
  • 2. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 3. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado em um sistema equivalente x = Cx + d. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 4. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado em um sistema equivalente x = Cx + d. Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii ̸= 0, para i = {1, 2, . . . , n}. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 5. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado em um sistema equivalente x = Cx + d. Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii ̸= 0, para i = {1, 2, . . . , n}. Ax = b ⇒ x = Cx + d 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 6. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 7. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 8. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.          a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2 . . . an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn (1) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 9. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.          a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2 . . . an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn (1) com aii ̸= 0, ∀ i. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 10. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 11. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja, adotarmos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x (k) j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada j ̸= i; 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 12. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja, adotarmos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x (k) j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada j ̸= i; 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 13. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja, adotarmos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x (k) j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada j ̸= i; 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 14. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja, adotarmos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x (k) j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada j ̸= i; Obtendo, assim: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 15. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja, adotarmos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x (k) j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada j ̸= i; Obtendo, assim:                            x (k+1) 1 = 1 a11 (b1 − a12x (k) 2 − a13x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 2 = 1 a22 (b2 − a21x (k) 1 − a23x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) . . . x (k+1) n = 1 ann (bn − an1x (k) 1 − an2x (k) 2 − . . . − an(n−1)x (k) n−1) (1) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 16. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja, adotarmos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x (k) j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada j ̸= i; Obtendo, assim:                            x (k+1) 1 = 1 a11 (b1 − a12x (k) 2 − a13x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 2 = 1 a22 (b2 − a21x (k) 1 − a23x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) . . . x (k+1) n = 1 ann (bn − an1x (k) 1 − an2x (k) 2 − . . . − an(n−1)x (k) n−1) (1) com aii ̸= 0, ∀i. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 17. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações x(1) , x(2) , . . . , x(k) , partindo da aproximação inicial x(0); utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ϵ, em que ϵ é a precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x (k+1) i − x (k) i |}, ∀ i = {1, 2, . . . , n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 18. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações x(1) , x(2) , . . . , x(k) , partindo da aproximação inicial x(0); utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ϵ, em que ϵ é a precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x (k+1) i − x (k) i |}, ∀ i = {1, 2, . . . , n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 19. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações x(1) , x(2) , . . . , x(k) , partindo da aproximação inicial x(0); utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ϵ, em que ϵ é a precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x (k+1) i − x (k) i |}, ∀ i = {1, 2, . . . , n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 20. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema { 2x1 − x2 = 1 x1 + 2x2 = 3 partindo do vetor x(0) = [ 0, 9 0, 9 ]t , com uma precisão ϵ = 0, 04. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 21. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema { 2x1 − x2 = 1 x1 + 2x2 = 3 partindo do vetor x(0) = [ 0, 9 0, 9 ]t , com uma precisão ϵ = 0, 04. Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 22. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema { 2x1 − x2 = 1 x1 + 2x2 = 3 partindo do vetor x(0) = [ 0, 9 0, 9 ]t , com uma precisão ϵ = 0, 04. Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:      x (k+1) 1 = 1 2 (1 + x (k) 2 ) x (k+1) 2 = 1 2 (3 − x (k) 1 ) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 23. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 24. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos:      x (1) 1 = 1 2 (1 + x (0) 2 ) = 1 2 (1 + 0, 9) = 0, 95 x (1) 2 = 1 2 (3 − x (0) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 9) = 1, 05 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 25. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos:      x (1) 1 = 1 2 (1 + x (0) 2 ) = 1 2 (1 + 0, 9) = 0, 95 x (1) 2 = 1 2 (3 − x (0) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 9) = 1, 05 Sendo assim, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 26. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos:      x (1) 1 = 1 2 (1 + x (0) 2 ) = 1 2 (1 + 0, 9) = 0, 95 x (1) 2 = 1 2 (3 − x (0) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 9) = 1, 05 Sendo assim, |x(1) − x(0) | = max{|0, 95 − 0, 9|, |1, 05 − 0, 9|} = 0, 15 > 0, 04. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 27. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 1, temos: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 28. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 1, temos:      x (2) 1 = 1 2 (1 + x (1) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 05) = 1, 025 x (2) 2 = 1 2 (3 − x (1) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 95) = 1, 025 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 29. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 1, temos:      x (2) 1 = 1 2 (1 + x (1) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 05) = 1, 025 x (2) 2 = 1 2 (3 − x (1) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 95) = 1, 025 Sendo assim, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 30. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 1, temos:      x (2) 1 = 1 2 (1 + x (1) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 05) = 1, 025 x (2) 2 = 1 2 (3 − x (1) 1 ) = 1 2 (3 − 0, 95) = 1, 025 Sendo assim, |x(2) − x(1) | = max{|1, 025 − 0, 95|, |1, 025 − 1, 05|} = 0, 075 > 0, 04. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 31. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 32. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:      x (3) 1 = 1 2 (1 + x (2) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 025) = 1, 0125 x (3) 2 = 1 2 (3 − x (2) 1 ) = 1 2 (3 − 1, 025) = 0, 09875 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 33. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:      x (3) 1 = 1 2 (1 + x (2) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 025) = 1, 0125 x (3) 2 = 1 2 (3 − x (2) 1 ) = 1 2 (3 − 1, 025) = 0, 09875 Sendo assim, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 34. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:      x (3) 1 = 1 2 (1 + x (2) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 025) = 1, 0125 x (3) 2 = 1 2 (3 − x (2) 1 ) = 1 2 (3 − 1, 025) = 0, 09875 Sendo assim, |x(3) − x(2) | = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 35. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:      x (3) 1 = 1 2 (1 + x (2) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 025) = 1, 0125 x (3) 2 = 1 2 (3 − x (2) 1 ) = 1 2 (3 − 1, 025) = 0, 09875 Sendo assim, |x(3) − x(2) | = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04. Portanto, o vetor solução é 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 36. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:      x (3) 1 = 1 2 (1 + x (2) 2 ) = 1 2 (1 + 1, 025) = 1, 0125 x (3) 2 = 1 2 (3 − x (2) 1 ) = 1 2 (3 − 1, 025) = 0, 09875 Sendo assim, |x(3) − x(2) | = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04. Portanto, o vetor solução é [ 1, 0125 0, 09875 ]t . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 37. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 38. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 39. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde: explicitamos a variável xi na i-ésima equação; adotamos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; já utilizamos os valores x (k+1) i obtidos no cálculo das linhas seguintes. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 40. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde: explicitamos a variável xi na i-ésima equação; adotamos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; já utilizamos os valores x (k+1) i obtidos no cálculo das linhas seguintes. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 41. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde: explicitamos a variável xi na i-ésima equação; adotamos x (k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; já utilizamos os valores x (k+1) i obtidos no cálculo das linhas seguintes. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 42. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Assim, teremos: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 43. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Assim, teremos:                            x (k+1) 1 = 1 a11 (b1 − a12x (k) 2 − a13x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 2 = 1 a22 (b2 − a21x (k+1) 1 − a23x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 3 = 1 a33 (b3 − a31x (k+1) 1 − a32x (k+1) 2 − a33x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) . . . x (k+1) n = 1 ann (bn − an1x (k+1) 1 − an2x (k+1) 2 − . . . − an(n−1)x (k+1) n−1 ) (1) 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 44. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Assim, teremos:                            x (k+1) 1 = 1 a11 (b1 − a12x (k) 2 − a13x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 2 = 1 a22 (b2 − a21x (k+1) 1 − a23x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) x (k+1) 3 = 1 a33 (b3 − a31x (k+1) 1 − a32x (k+1) 2 − a33x (k) 3 − . . . − a1nx (k) n ) . . . x (k+1) n = 1 ann (bn − an1x (k+1) 1 − an2x (k+1) 2 − . . . − an(n−1)x (k+1) n−1 ) (1) com aii ̸= 0, ∀ i. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 45. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Seidel, para o sistema:    5x1 + 2x2 + x3 = 8 3x1 + 6x2 − 2x3 = 7 2x1 − 4x2 + 10x3 = 8 partindo do vetor x(0) = [ 0 0 0 ]t , com uma precisão ϵ = 0, 001. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 46. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 47. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:                x (k+1) 1 = 1 5 (8 − 2x (k) 2 − x (k) 3 ) x (k+1) 2 = 1 6 (7 − 3x (k+1) 1 + 2x (k) 3 ) x (k+1) 3 = 1 10 (8 − 2x (k+1) 1 + 4x (k+1) 2 ) (1) 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 48. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:                x (k+1) 1 = 1 5 (8 − 2x (k) 2 − x (k) 3 ) x (k+1) 2 = 1 6 (7 − 3x (k+1) 1 + 2x (k) 3 ) x (k+1) 3 = 1 10 (8 − 2x (k+1) 1 + 4x (k+1) 2 ) (1) A seguir, uma tabela com a sequência de valor encontrados em cada iteração utilizando o sistema gerador. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 49. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel k x (k+1) 1 x (k+1) 2 x (k+1) 3 max 0 0 0 0 1 1, 6 0, 3667 0, 6267 1, 6 2 1, 328 0, 7116 0, 819 0, 3449 3 1, 1516 0, 8639 0, 9152 0, 1764 4 1, 0714 0, 936 0, 9601 0, 0802 5 1, 0336 0, 9699 0, 9812 0, 0378 6 1, 0158 0, 9858 0, 9912 0, 0178 7 1, 0074 0, 9934 0, 9959 0, 0084 8 1, 0035 0, 9969 0, 9981 0, 0039 9 1, 0016 0, 9986 0, 9991 0, 0019 10 1, 0007 0, 9994 0, 9996 0, 0009 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 50. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 51. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e b ∈ Rn é um vetor. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 52. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 53. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações: x(1) = Hx(0) + b x(2) = Hx(1) + b . . . x(k) = Hx(k−1) + b 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 54. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações: x(1) = Hx(0) + b x(2) = Hx(1) + b . . . x(k) = Hx(k−1) + b Fica fácil verificar que esta sequência irá convergir se: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 55. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações: x(1) = Hx(0) + b x(2) = Hx(1) + b . . . x(k) = Hx(k−1) + b Fica fácil verificar que esta sequência irá convergir se: lim k→∞ ||x(k) − x|| = 0, 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 56. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações: x(1) = Hx(0) + b x(2) = Hx(1) + b . . . x(k) = Hx(k−1) + b Fica fácil verificar que esta sequência irá convergir se: lim k→∞ ||x(k) − x|| = 0, (com a norma definida no problema dado), pois, neste caso, a k-ésima aproximação vai estar tão próxima do valor exato do vetor x quanto se queira. Caso contrário diverge. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 57. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com matrizes, essas condições se tornam mais complicadas. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 58. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com matrizes, essas condições se tornam mais complicadas. Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 59. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com matrizes, essas condições se tornam mais complicadas. Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos. Seja u solução exata do sistema dado. Claramente u = Hu + b. Sendo assim, o erro no passo k é dado por: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 60. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com matrizes, essas condições se tornam mais complicadas. Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos. Seja u solução exata do sistema dado. Claramente u = Hu + b. Sendo assim, o erro no passo k é dado por: e(k) = u − x(k) = (Hx + b) − (Hx(k−1) + b) = H[u − x(k−1)] = He(k−1) = H[u − x(k−1)] = . . . = Hke(0) 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 61. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com matrizes, essas condições se tornam mais complicadas. Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos. Seja u solução exata do sistema dado. Claramente u = Hu + b. Sendo assim, o erro no passo k é dado por: e(k) = u − x(k) = (Hx + b) − (Hx(k−1) + b) = H[u − x(k−1)] = He(k−1) = H[u − x(k−1)] = . . . = Hke(0) onde, e(0) = u − x(0) é o erro inicial. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 62. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Isto nos mostra que, o acúmulo de erro em cada passo cresce com a potência da matriz de iteração H, isto é, se cometemos um erro inicial e(0), o erro final, na k-ésima iteração, é Hke(0). Assim, o esperado é que Hk tenda a zero à medida que k cresce, uma vez que o erro e(0) diminui. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 63. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Isto nos mostra que, o acúmulo de erro em cada passo cresce com a potência da matriz de iteração H, isto é, se cometemos um erro inicial e(0), o erro final, na k-ésima iteração, é Hke(0). Assim, o esperado é que Hk tenda a zero à medida que k cresce, uma vez que o erro e(0) diminui. Vamos examinar a condição necessária para que lim k→∞ Hk = 0. Um dos resultados da Álgebra Linear nos diz que essa condição se verifica se, e somente se, todos os autovalores de H forem, em módulo, menores que um. Resta-nos, então definir esses novos elementos, isto é, os autovalores de uma dada matriz. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 64. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Isto nos mostra que, o acúmulo de erro em cada passo cresce com a potência da matriz de iteração H, isto é, se cometemos um erro inicial e(0), o erro final, na k-ésima iteração, é Hke(0). Assim, o esperado é que Hk tenda a zero à medida que k cresce, uma vez que o erro e(0) diminui. Vamos examinar a condição necessária para que lim k→∞ Hk = 0. Um dos resultados da Álgebra Linear nos diz que essa condição se verifica se, e somente se, todos os autovalores de H forem, em módulo, menores que um. Resta-nos, então definir esses novos elementos, isto é, os autovalores de uma dada matriz. Definition Dada uma matriz A, dizemos que o escalar λ é seu autovalor, se existir um vetor x diferente do vetor nulo 0, tal que Ax = λx. Nesse caso, dizemos que x é autovetor de A associado ao autovalor λ. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 65. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é feita a partir da própria definição. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 66. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é feita a partir da própria definição. Seja Ax = λx. Então: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 67. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é feita a partir da própria definição. Seja Ax = λx. Então: Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1) é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções originais. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 68. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é feita a partir da própria definição. Seja Ax = λx. Então: Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1) é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções originais. Sabemos que um sistema homogêneo só tem solução não trivial x diferente de 0, quando o determinante da matriz do sistema for nulo. Portanto, a equação 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 69. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é feita a partir da própria definição. Seja Ax = λx. Então: Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1) é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções originais. Sabemos que um sistema homogêneo só tem solução não trivial x diferente de 0, quando o determinante da matriz do sistema for nulo. Portanto, a equação det(A − λI) = 0 (2) 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 70. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é feita a partir da própria definição. Seja Ax = λx. Então: Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1) é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções originais. Sabemos que um sistema homogêneo só tem solução não trivial x diferente de 0, quando o determinante da matriz do sistema for nulo. Portanto, a equação det(A − λI) = 0 (2) representa um polinômio e as suas raízes são os autovalores de A. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 71. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal que A = P−1 B P. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 72. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal que A = P−1 B P. Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva autovalores de uma matriz. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 73. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal que A = P−1 B P. Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva autovalores de uma matriz. Supondo que a matriz H possui todos seus autovalores distintos (quando houver autovalores de multiplicidade maior que um, o estudo se torna um pouco mais complexo), sabemos que existe uma transformação de similaridade que leva a matriz H na sua forma diagonal D, isto é: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 74. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal que A = P−1 B P. Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva autovalores de uma matriz. Supondo que a matriz H possui todos seus autovalores distintos (quando houver autovalores de multiplicidade maior que um, o estudo se torna um pouco mais complexo), sabemos que existe uma transformação de similaridade que leva a matriz H na sua forma diagonal D, isto é: H = P−1 D P, 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 75. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal que A = P−1 B P. Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva autovalores de uma matriz. Supondo que a matriz H possui todos seus autovalores distintos (quando houver autovalores de multiplicidade maior que um, o estudo se torna um pouco mais complexo), sabemos que existe uma transformação de similaridade que leva a matriz H na sua forma diagonal D, isto é: H = P−1 D P, onde D é a matriz diagonal (dii = λi autovalores de h). 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 76. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Segue que 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 77. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Segue que Hk = (P−1 D P)k = (P−1 D P) · (P−1 D P) · . . . · (P−1 D P) = P−1 Dk P. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 78. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Segue que Hk = (P−1 D P)k = (P−1 D P) · (P−1 D P) · . . . · (P−1 D P) = P−1 Dk P. Assim, se lim k→∞ Dk = 0, teremos também lim k→∞ Hk = 0. Isto ocorre se, e somente se, |λi| < 1, ∀ 1 ≤ i ≤ n. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 79. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Segue que Hk = (P−1 D P)k = (P−1 D P) · (P−1 D P) · . . . · (P−1 D P) = P−1 Dk P. Assim, se lim k→∞ Dk = 0, teremos também lim k→∞ Hk = 0. Isto ocorre se, e somente se, |λi| < 1, ∀ 1 ≤ i ≤ n. Portanto, se os autovalores de H (que são os mesmos de D, pois elas são matrizes similares) têm módulos menores do que um, a matriz Hk vai tender à matriz nula e assim, o erro e(k) vai tender a zero. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 80. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Designamos por raio espectral de uma matriz A o valor: ρ(A) = max i=1,...,n {|λi|}, onde λi são os autovalores de A. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 81. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Designamos por raio espectral de uma matriz A o valor: ρ(A) = max i=1,...,n {|λi|}, onde λi são os autovalores de A. Podemos, então, apresentar o seguinte teorema sobre condições necessárias e suficientes para a convergência de um processo iterativo para a solução de sistemas lineares. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 82. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Definition Designamos por raio espectral de uma matriz A o valor: ρ(A) = max i=1,...,n {|λi|}, onde λi são os autovalores de A. Podemos, então, apresentar o seguinte teorema sobre condições necessárias e suficientes para a convergência de um processo iterativo para a solução de sistemas lineares. Theorem O método iterativo x(k) = Hx(k−1) + b converge à solução u, qualquer que seja o vetor inicial x(0) se, e somente se, ρ(H) < 1. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 83. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Example Sendo a matriz A =   1 2 −2 1 1 1 2 2 1   , as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são, respectivamente: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 84. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Example Sendo a matriz A =   1 2 −2 1 1 1 2 2 1   , as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são, respectivamente: J = [ 0 −2 2 −1 0 −1 −2 −2 0 ] e 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 85. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Example Sendo a matriz A =   1 2 −2 1 1 1 2 2 1   , as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são, respectivamente: J = [ 0 −2 2 −1 0 −1 −2 −2 0 ] e S = [ 0 −2 2 0 2 −3 0 0 2 ] 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 86. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Example Sendo a matriz A =   1 2 −2 1 1 1 2 2 1   , as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são, respectivamente: J = [ 0 −2 2 −1 0 −1 −2 −2 0 ] e S = [ 0 −2 2 0 2 −3 0 0 2 ] e seus respectivos raios espectrais são: ρ(J) = 0 e ρ(S) = 2. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 87. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos Example Sendo a matriz A =   1 2 −2 1 1 1 2 2 1   , as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são, respectivamente: J = [ 0 −2 2 −1 0 −1 −2 −2 0 ] e S = [ 0 −2 2 0 2 −3 0 0 2 ] e seus respectivos raios espectrais são: ρ(J) = 0 e ρ(S) = 2. Logo, a iteração de Gauss-Jacobi converge e a de Gauss-Seidel diverge. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 88. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares REFERÊNCIAS 1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas: UFRB, 2021. 2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997. 3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 89. Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares FIM Votos e agradecimentos Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde mais! Sucesso! 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021