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Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
16 de fevereiro de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Concepção de um Método Iterativo
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é
transformado em um sistema equivalente x = Cx + d.

Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii ̸= 0, para i = {1, 2, . . . , n}.

Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii ̸= 0, para i = {1, 2, . . . , n}.
Ax = b ⇒ x = Cx + d

Método Gauss-Jacobi

Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1, 2, . . . , n}.










a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn
(1)










a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = bn
(1)
com aii ̸= 0, ∀ i.

O método de Jacobi consiste em:

explicitarmos a variável xi na i-ésima equação, ou seja,
adotarmos x
(k+1)
i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como
sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação;
adotarmos x
(k)
j , no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada
j ̸= i;

adotarmos x
(k+1)
adotarmos x
(k)
j ̸= i;
Obtendo, assim:

adotarmos x
(k+1)
adotarmos x
(k)
j ̸= i;
Obtendo, assim: 


























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k)
1 − an2x
(k)
2 − . . . − an(n−1)x
(k)
n−1)
(1)

adotarmos x
(k+1)
adotarmos x
(k)
j ̸= i;
Obtendo, assim: 


























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k)
1 − an2x
(k)
2 − . . . − an(n−1)x
(k)
n−1)
(1)
com aii ̸= 0, ∀i.

o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações
x(1)
, x(2)
, . . . , x(k)
,
partindo da aproximação inicial x(0);
utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1) − x(k)| < ϵ, em que ϵ é a
precisão desejada e |x(k+1) − x(k)| = maxi{|x
(k+1)
i − x
(k)
i |}, ∀ i = {1, 2, . . . , n}.

Example
Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
partindo do vetor x(0) =
[
0, 9 0, 9
]t
, com uma precisão ϵ = 0, 04.

Example
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
[
0, 9 0, 9
]t
Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da
sequência são:

Example
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
[
0, 9 0, 9
]t
sequência são: 




x
(k+1)
1 =
1
2
(1 + x
(k)
2 )
x
(k+1)
2 =
1
2
(3 − x
(k)
1 )

Para k = 0, temos:

Para k = 0, temos:





x
(1)
1 =
1
2
(1 + x
(0)
2 ) =
1
2
(1 + 0, 9) = 0, 95
x
(1)
2 =
1
2
(3 − x
(0)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 9) = 1, 05

Para k = 0, temos:





x
(1)
1 =
1
2
(1 + x
(0)
2 ) =
1
2
(1 + 0, 9) = 0, 95
x
(1)
2 =
1
2
(3 − x
(0)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 9) = 1, 05
Sendo assim,

Para k = 0, temos:





x
(1)
1 =
1
2
(1 + x
(0)
2 ) =
1
2
(1 + 0, 9) = 0, 95
x
(1)
2 =
1
2
(3 − x
(0)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 9) = 1, 05
Sendo assim,
|x(1)
− x(0)
| = max{|0, 95 − 0, 9|, |1, 05 − 0, 9|} = 0, 15 > 0, 04.

Para k = 1, temos:

Para k = 1, temos:





x
(2)
1 =
1
2
(1 + x
(1)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 05) = 1, 025
x
(2)
2 =
1
2
(3 − x
(1)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 95) = 1, 025

Para k = 1, temos:





x
(2)
1 =
1
2
(1 + x
(1)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 05) = 1, 025
x
(2)
2 =
1
2
(3 − x
(1)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 95) = 1, 025
Sendo assim,

Para k = 1, temos:





x
(2)
1 =
1
2
(1 + x
(1)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 05) = 1, 025
x
(2)
2 =
1
2
(3 − x
(1)
1 ) =
1
2
(3 − 0, 95) = 1, 025
Sendo assim,
|x(2)
− x(1)
| = max{|1, 025 − 0, 95|, |1, 025 − 1, 05|} = 0, 075 > 0, 04.

Para k = 2, temos:

Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875

Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,

Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
|x(3)
− x(2)
| = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04.

Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
|x(3)
− x(2)
| = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04.
Portanto, o vetor solução é

Para k = 2, temos:





x
(3)
1 =
1
2
(1 + x
(2)
2 ) =
1
2
(1 + 1, 025) = 1, 0125
x
(3)
2 =
1
2
(3 − x
(2)
1 ) =
1
2
(3 − 1, 025) = 0, 09875
Sendo assim,
|x(3)
− x(2)
| = max{|1, 0125 − 1, 025|, |0, 09875 − 1, 025|} = 0, 0375 < 0, 04.
Portanto, o vetor solução é
[
1, 0125 0, 09875
]t
.

Método de Gauss-Seidel

O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde:

O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde:
explicitamos a variável xi na i-ésima equação;
adotamos x
(k+1)
já utilizamos os valores x
(k+1)
i obtidos no cálculo das linhas seguintes.

Assim, teremos:

Assim, teremos:



























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k+1)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
3 =
1
a33
(b3 − a31x
(k+1)
1 − a32x
(k+1)
2 − a33x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k+1)
1 − an2x
(k+1)
2 − . . . − an(n−1)x
(k+1)
n−1 )
(1)

Assim, teremos:



























x
(k+1)
1 =
1
a11
(b1 − a12x
(k)
2 − a13x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
2 =
1
a22
(b2 − a21x
(k+1)
1 − a23x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
x
(k+1)
3 =
1
a33
(b3 − a31x
(k+1)
1 − a32x
(k+1)
2 − a33x
(k)
3 − . . . − a1nx
(k)
n )
.
.
.
x
(k+1)
n =
1
ann
(bn − an1x
(k+1)
1 − an2x
(k+1)
2 − . . . − an(n−1)x
(k+1)
n−1 )
(1)
com aii ̸= 0, ∀ i.

Example
Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Seidel, para o sistema:



5x1 + 2x2 + x3 = 8
3x1 + 6x2 − 2x3 = 7
2x1 − 4x2 + 10x3 = 8
[
0 0 0
]t

sequência são:

sequência são:















x
(k+1)
1 =
1
5
(8 − 2x
(k)
2 − x
(k)
3 )
x
(k+1)
2 =
1
6
(7 − 3x
(k+1)
1 + 2x
(k)
3 )
x
(k+1)
3 =
1
10
(8 − 2x
(k+1)
1 + 4x
(k+1)
2 )
(1)

sequência são:















x
(k+1)
1 =
1
5
(8 − 2x
(k)
2 − x
(k)
3 )
x
(k+1)
2 =
1
6
(7 − 3x
(k+1)
1 + 2x
(k)
3 )
x
(k+1)
3 =
1
10
(8 − 2x
(k+1)
1 + 4x
(k+1)
2 )
(1)
A seguir, uma tabela com a sequência de valor encontrados em cada iteração
utilizando o sistema gerador.

k x
(k+1)
1 x
(k+1)
2 x
(k+1)
3 max
0 0 0 0
1 1, 6 0, 3667 0, 6267 1, 6
2 1, 328 0, 7116 0, 819 0, 3449
3 1, 1516 0, 8639 0, 9152 0, 1764
4 1, 0714 0, 936 0, 9601 0, 0802
5 1, 0336 0, 9699 0, 9812 0, 0378
6 1, 0158 0, 9858 0, 9912 0, 0178
7 1, 0074 0, 9934 0, 9959 0, 0084
8 1, 0035 0, 9969 0, 9981 0, 0039
9 1, 0016 0, 9986 0, 9991 0, 0019
10 1, 0007 0, 9994 0, 9996 0, 0009

Convergência dos Métodos

Vimos os métodos iterativos com a forma x = Hx + b, onde H é uma matriz (n × n) e
b ∈ Rn é um vetor.

b ∈ Rn é um vetor. A partir de uma aproximação inicial x(0), fazemos as iterações:

x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b

x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b
Fica fácil verificar que esta sequência irá convergir se:

x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b
lim
k→∞
||x(k)
− x|| = 0,

x(1) = Hx(0) + b
x(2) = Hx(1) + b
.
.
.
x(k) = Hx(k−1) + b
lim
k→∞
||x(k)
− x|| = 0,
(com a norma definida no problema dado), pois, neste caso, a k-ésima aproximação
vai estar tão próxima do valor exato do vetor x quanto se queira. Caso contrário
diverge.

Análogo ao problema f(x) = 0, precisamos de condições de convergência para a
aplicação dos métodos iterativos para sistemas lineares e como estamos tratando com
matrizes, essas condições se tornam mais complicadas.

Vejamos, inicialmente, como se comporta a propagação do erro nesses casos.

Seja u solução exata do sistema dado. Claramente u = Hu + b. Sendo assim, o erro no
passo k é dado por:

e(k) = u − x(k) = (Hx + b) − (Hx(k−1) + b) = H[u − x(k−1)] = He(k−1)
= H[u − x(k−1)] = . . . = Hke(0)

e(k) = u − x(k) = (Hx + b) − (Hx(k−1) + b) = H[u − x(k−1)] = He(k−1)
= H[u − x(k−1)] = . . . = Hke(0)
onde, e(0) = u − x(0) é o erro inicial.

Isto nos mostra que, o acúmulo de erro em cada passo cresce com a potência da
matriz de iteração H, isto é, se cometemos um erro inicial e(0), o erro final, na k-ésima
iteração, é Hke(0). Assim, o esperado é que Hk tenda a zero à medida que k cresce,
uma vez que o erro e(0) diminui.

Vamos examinar a condição necessária para que lim
k→∞
Hk
= 0. Um dos resultados da
Álgebra Linear nos diz que essa condição se verifica se, e somente se, todos os
autovalores de H forem, em módulo, menores que um. Resta-nos, então definir esses
novos elementos, isto é, os autovalores de uma dada matriz.

Vamos examinar a condição necessária para que lim
k→∞
Hk
= 0. Um dos resultados da
Álgebra Linear nos diz que essa condição se verifica se, e somente se, todos os
autovalores de H forem, em módulo, menores que um. Resta-nos, então definir esses
novos elementos, isto é, os autovalores de uma dada matriz.
Definition
Dada uma matriz A, dizemos que o escalar λ é seu autovalor, se existir um vetor x
diferente do vetor nulo 0, tal que Ax = λx. Nesse caso, dizemos que x é autovetor de
A associado ao autovalor λ.

Quando é possível diagonalizar uma matriz, os elementos que vão aparecer na diagonal
da nova matriz serão exatamente seus autovalores. A determinação desses números é
feita a partir da própria definição.

Seja Ax = λx. Então:

Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
é um novo sistema linear homogêneo, obtido do antigo, e que mantém suas soluções
originais.

Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
originais.
Sabemos que um sistema homogêneo só tem solução não trivial x diferente de 0,
quando o determinante da matriz do sistema for nulo. Portanto, a equação

Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
originais.
det(A − λI) = 0 (2)

Ax = λx ⇒ (A − λI)x = 0 (1)
originais.
det(A − λI) = 0 (2)
representa um polinômio e as suas raízes são os autovalores de A.

Definition
Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz P, inversível, tal
que A = P−1 B P.

Definition
que A = P−1 B P.
Dizemos, neste caso, que P define uma transformação de similaridade e se verifica que
as matrizes similares têm os mesmos autovalores, isto é, a similaridade preserva
autovalores de uma matriz.

Definition
que A = P−1 B P.
Supondo que a matriz H possui todos seus autovalores distintos (quando houver
autovalores de multiplicidade maior que um, o estudo se torna um pouco mais
complexo), sabemos que existe uma transformação de similaridade que leva a matriz H
na sua forma diagonal D, isto é:

Definition
que A = P−1 B P.
H = P−1
D P,

Definition
que A = P−1 B P.
H = P−1
D P,
onde D é a matriz diagonal (dii = λi autovalores de h).

Segue que

Segue que
Hk
= (P−1
D P)k
= (P−1
D P) · (P−1
D P) · . . . · (P−1
D P) = P−1
Dk
P.

Segue que
Hk
= (P−1
D P)k
= (P−1
D P) · (P−1
D P) · . . . · (P−1
D P) = P−1
Dk
P.
Assim, se lim
k→∞
Dk
= 0, teremos também lim
k→∞
Hk
= 0. Isto ocorre se, e somente se,
|λi| < 1, ∀ 1 ≤ i ≤ n.

Segue que
Hk
= (P−1
D P)k
= (P−1
D P) · (P−1
D P) · . . . · (P−1
D P) = P−1
Dk
P.
Assim, se lim
k→∞
Dk
= 0, teremos também lim
k→∞
Hk
= 0. Isto ocorre se, e somente se,
|λi| < 1, ∀ 1 ≤ i ≤ n.
Portanto, se os autovalores de H (que são os mesmos de D, pois elas são matrizes
similares) têm módulos menores do que um, a matriz Hk vai tender à matriz nula e
assim, o erro e(k) vai tender a zero.

Definition
Designamos por raio espectral de uma matriz A o valor:
ρ(A) = max
i=1,...,n
{|λi|},
onde λi são os autovalores de A.

Definition
ρ(A) = max
i=1,...,n
{|λi|},
Podemos, então, apresentar o seguinte teorema sobre condições necessárias e
suficientes para a convergência de um processo iterativo para a solução de sistemas
lineares.

Definition
ρ(A) = max
i=1,...,n
{|λi|},
Podemos, então, apresentar o seguinte teorema sobre condições necessárias e
suficientes para a convergência de um processo iterativo para a solução de sistemas
lineares.
Theorem
O método iterativo x(k) = Hx(k−1) + b converge à solução u, qualquer que seja o vetor
inicial x(0) se, e somente se, ρ(H) < 1.

Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são,
respectivamente:

Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e

Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e S =
[
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
]

Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e S =
[
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
]
e seus respectivos raios espectrais são: ρ(J) = 0 e ρ(S) = 2.

Example
Sendo a matriz
A =


1 2 −2
1 1 1
2 2 1

 ,
respectivamente:
J =
[
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
]
e S =
[
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
]
e seus respectivos raios espectrais são: ρ(J) = 0 e ρ(S) = 2.
Logo, a iteração de Gauss-Jacobi converge e a de Gauss-Seidel diverge.

REFERÊNCIAS
1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas:
UFRB, 2021.
2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos
Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997.
3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo
Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010.

FIM
Votos e agradecimentos
Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde
mais!
Sucesso!

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