Função Quadrática

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Projeto de Objeto de aprendizagem sobre Função Quadrática com conceitos, vídeos, simulador e contextualização.

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Função Quadrática

  1. 1. Elaborado por: Prof.ª Adriana de Araújo
  2. 2. CARACTERÍSTICAS
  3. 3. MAS NEM SEMPRE NOSSA EXPRESSÃO ALGÉBRICA APARECERÁ ASSIM... VAMOS VERIFICAR EM OUTRAS FORMAS SE VOCÊ CONSEGUE IDENTIFICAR OS VALORES DOS COEFICIENTES a, b E c NAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS A SEGUIR. f(x) = (x – 3)² f(x) = ( x +2 )( x – 2 ) f(x) = 3x(x -1)
  4. 4. E AÍ CONSEGUIRAM? VAMOS VERIFICAR!  Com certeza quem se recordou de fatoração e produtos notáveis conseguiu identificar os coeficientes. Vamos relembrar!  f(x) = (x + 3)² → é um quadrado da soma → (quadrado do 1º)+ (duas vezes o 1º pelo 2º) + (quadrado do 2º), logo teremos: f(x) = x² + 2. x. 3 + 3² f(x) = x² + 6x + 9 onde a = 1, b = 6 e c = 9  f(x) = (x +2)(x – 2) → é um produto da soma pela diferença → (quadrado do 1º) – ( quadrado do 2º), logo teremos: f(x) = x² + 2² f(x) = x² + 4 onde a = 1 , b = 0 e c = 4  f(x) = 3x (x -1) → é uma multiplicação de monômio por polinômio → multiplicamos o termo(monômio) de fora do parênteses pelas parcelas de dentro(polinômio) e somamos os resultados, logo teremos: f(x) = 3x. X + 3x .(-1) f(x) = 3x² - 3x onde a = 3, b = 3 e c = 0
  5. 5. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA f(x) = ax² + bx + c REPRESENTAÇÃO GRÁFICA  é uma curva aberta chamada parábola. Uma Pará...o quê? Calma, para entender melhor vamos assistir um vídeo!
  6. 6. APRENDENDO MAIS SOBRE PARÁBOLAS! ou acesse http://www.youtube.com/watch?v=yc164_2VvpI
  7. 7. ZEROS OU RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax² + bx =c são as raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, ou seja, temos que resolver a equação.
  8. 8. PODEMOS RESOLVER POR FATORAÇÃO Exemplo: f(x) = x² - 4, a equação correspondente é x² - 4 = 0, fatorando o 1º membro da equação temos: x² - 4 = 0 → (x - 2)(x + 2) = 0 para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero. Logo, (x – 2) = 0 ou (x + 2) = 0 Se x – 2 = 0, então x = 2 Se x + 2 = 0, então x = - 2 Assim os zeros da função são – 2 e 2. verificando, teremos : f(x) = x² - 4 → (- 2)² - 4 = 4 – 4 = 0 e 2² - 4 = 4 – 4 = 0
  9. 9. OUTRO EXEMPLO: f(x) = x² - 6x + 9, a equação correspondente é x² - 6x + 9 = 0, fatorando o 1º membro da equação temos: x² - 6x + 9 = 0 → (x - 3)² = 0 → (x - 3)(x – 3) = 0 para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero. Logo, ( x – 3) = 0 ou (x - 3) = 0 Se x – 3 = 0, então x = 3 Se x - 3 = 0, então x = 3 Assim as raízes da função são iguais (dupla) = 3. verificando, teremos : f(x) = x² - 6x + 9 → 3² - 6.3 + 9 = 9 - 18 + 9 = - 9 + 9 = 0
  10. 10. PODEMOS RESOLVER PELA FÓRMULA DE BÁSKARA f(x) = x² - 7x + 6, fazemos: f(x) = 0 → x² - 7x + 6 = 0 (equação do 2º grau) Resolvendo: a = 1 , b = -7 e c = 6 𝒙= 𝑥 −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 7± 49−24 = 2 7+5 12 ′ 𝑥 = = 2 2 𝑥= 𝑥= =6 − −7 ± 7±√25 2 " 𝑥 = −7 2 −4.1.6 2.1 𝑥= 7−5 2 2 2 7±5 2 = =1 AS RAÍZES DA FUNÇÃO SÃO 1 E 6.
  11. 11. CONCLUINDO: AS RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO: ALGEBRICAMENTE – são os valores de x tais que f(x) ou y seja zero. GEOMETRICAMENTE – são os pontos (abscissas) em que a parábola intercepta o eixo x.
  12. 12. VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS COM O VÍDEO ou acesse http://www.youtube.com/watch?v=uAiBrgiig-c
  13. 13. ANALISANDO OS ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA ATRAVÉS DO SEU GRÁFICO
  14. 14. IMPORTANTE !!! A PARÁBOLA PODE INTERSECTAR O EIXO x EM UM, DOIS OU NENHUM PONTO, DEPENDE DO VALOR DE ∆ = b² - 4ac DA EQUAÇÃO CORRESPONDENTE. CONCLUÍMOS QUE: ∆ = 0 ,uma raiz real ∆ > 0, duas raízes reais ∆ < 0, nenhuma raiz dupla (a parábola diferentes (a parábola real (a parábola não intersecta o eixo x intersecta o eixo x em intersecta o eixo). em um só ponto). dois pontos).
  15. 15. AGORA VAMOS PRATICAR UM POUCO! Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas usando a fórmula: a) F(x)= x² - 3x b) F(x) = x² + 4x + 5 c) F(x) = - x² + 2x + 8 d) F(x) = x² + 10x + 25 (Extraídos do Livro Matemática Contextos e Aplicações, do autor Dante, Volume 1 Ensino Médio, pág.162)
  16. 16. Estudando o efeito dos coeficientes a, b e c na parábola que representa a função f(x) = ax² + bx + c. Para isso vamos utilizar a ajuda de um software chamado VARIAÇÃO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA, acessando o endereço: http://www.cdme.im.-uff.mat.br/quadratica/quadratica-html/QP1.html
  17. 17. REFORÇANDO O QUE OBSERVAMOS NO SIMULADOR “VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA” O coeficiente a é responsável pela concavidade e abertura da parábola. Concluímos que: Se a > 0, a concavidade é para cima e a função é chamada de crescente. Se a < 0, a concavidade é para baixo e a função é chamada de decrescente.
  18. 18. O coeficiente b indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente da função. Concluímos que: Se b > 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente. Se b < 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo decrescente.
  19. 19. O coeficiente c indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo y. Concluímos que: A parábola cruza o eixo y no ponto (0,c). C=3 C=3 C=0 C=-2
  20. 20. AGORA VAMOS ESTUDAR MAIS UM PONTO MUITO IMPORTANTE NO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Sabe que ponto é este? É o vértice da parábola...isso mesmo o vértice é o ponto em que a parábola faz a curva, ou seja, o ponto em que a curva muda de direção. O vértice permite determinar a Imagem da função e também seu valor máximo ou mínimo.
  21. 21. DETERMINANDO O VÉRTICE DA PARÁBOLA A parábola é simétrica em relação ao eixo vertical, logo o valor do x do vértice será a média aritmética entre os valores das raízes da função. Exemplo: Dada a função f(x) = x² - 7x + 6 , temos como raízes x’ = 1 e x” = 6 Xv = x’ + x” = 1 + 6 = 7 = 3,5 logo substituindo x = 3,5 na função teremos, 2 2 2 f(3,5) = 3,5² - 7 . 3,5 + 6 = 12,25 – 24,5 + 6 = - 6,25, esse é o valor do yv . Conclusões: o vértice desta parábola é o ponto (3,5; -6,25); O valor mínimo desta função é : - 6,25; A imagem é definida por : Im = { y є IR/y > - 6,25 }
  22. 22. A outra forma de determinar as coordenadas do vértice da parábola é aplicando as fórmulas: Xv = - b e yv = - ∆ 2a 4a Dada a mesma função anterior f(x) = x² - 7x + 6, teremos utilizando as fórmulas: Xv = - b = - ( - 7) = 3,5 2a 2.1 e yv = - ∆ = - 25 = - 6,25 4a 4.1 VIRAM COMO ENCONTRAMOS OS MESMOS VALORES!
  23. 23. REFORÇAMOS QUE: SE A CONCAVIDADE DA PARÁBOLA É PARA CIMA ( a > 0), O yv SERÁ VALOR MÍNIMO DA FUNÇÃO E Im = { y є IR/ y > yv} SE A CONCAVIDADE DA PARÁBOLA É PARA BAIXO (a < 0), O yv SERÁ O VALOR MÁXIMO DA FUNÇÃO E Im = { y є IR/ y < yv}
  24. 24. EXERCITANDO UM POUCO: 1. Determine o ponto V(xv, yv), vértice da parábola que representa o gráfico das seguintes funções: a) y = x² - 6x + 5 b) y = 3x² - 4x c) y = x² - 4 d) y = - 6x² e) y = - x² + x – 3 Exercícios extraídos do Livro: Matemática Fundamental – Uma Nova Abordagem, de Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr. Pág. 133
  25. 25. AGORA CHEGAMOS NA MELHOR HORA...
  26. 26. PARA CONHECER ALGUMAS APLICAÇÕES VAMOS ASSISTIR AO VÍDEO OU ACESSE http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1160
  27. 27. VAMOS VER ALGUMAS APLICAÇÕES EM FÍSICA Voltando e acessando o endereço abaixo que é do Software de “Variação de uma Função Quadrática”, teremos algumas atividades com velocidade... http://www.cdme.im.-uff.mat.br/quadratica/quadratica-html/QP1.html
  28. 28. OUTRAS APLICAÇÕES: 1. Em nossa Escola será construída uma quadra poliesportiva, a área disponível para esta construção é de 375m². Sabe-se que o comprimento da quadra excede a largura em 10 unidades.Qual será as dimensões desta quadra? Plano de solução – vamos desenhar para entendermos melhor , vejamos: largura = x comprimento = x + 10 Essa medida que não conhecemos o valor será a nossa incógnita que chamaremos de x. Devemos encontrar o valor de x. Sabemos que trata-se de uma quadra retangular, pois os lados são diferentes, sabemos também que a área do retângulo é dado por base x altura, ou comprimento x largura, logo teremos: A = x (x + 10) A = x. x + x .10 A = X² + 10 X agora é só resolver a equação!
  29. 29. 2. Um diagramador está definindo as dimensões que terá uma revista. Necessita que o comprimento de cada página seja igual à largura e que a superfície da cada página seja de 324cm². Quais as medidas que cumprem as duas condições? 3. O lucro, em reais, de uma empresa na venda de determinado produto é dado pela função l(x) = – 2x2 + 300x – 16, onde l(x) é o lucro e x representa a quantidade de produtos vendidos.Determine o lucro máximo obtido pela empresa na venda desse produto. 4. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = -2t² + 8t, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine: a. O instante em que a bola retornará ao solo. b. A altura máxima atingida pela bola.

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