Este documento apresenta os conceitos fundamentais de domínios fatoriais em álgebra abstrata. Em particular, discute as propriedades da relação de divisibilidade em um domínio, a noção de elementos associados e irredutíveis, e define domínios nos quais todo elemento não unitário pode ser fatorado unicamente em elementos irredutíveis como sendo domínios fatoriais. Exemplos como os números inteiros e corpos são discutidos.
2. Domínios Fatoriais
Divisibilidade
Seja A um domínio e a, b ∈ A. Dizemos que a divide b , ou que b é divisível por a, ou
ainda que b é múltiplo de a, se existe c ∈ A tal que b = a · c.
Denotamos a|b.
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3. Domínios Fatoriais
Consequências
1. Um elemento u ∈ A é chamado unidade se u|1, isto é, se existe v ∈ A tal que
u · v = 1.
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4. Domínios Fatoriais
Consequências
1. Um elemento u ∈ A é chamado unidade se u|1, isto é, se existe v ∈ A tal que
u · v = 1.
1.1 O elemento v é único e é chamado inverso de u.
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5. Domínios Fatoriais
Consequências
1. Um elemento u ∈ A é chamado unidade se u|1, isto é, se existe v ∈ A tal que
u · v = 1.
1.1 O elemento v é único e é chamado inverso de u.
1.2 O conjunto das unidades de A é denotado por ˙A e tem, com a multiplicação de A,
uma estrutura de grupo.
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7. Domínios Fatoriais
Consequências
2. A relação de divisibilidade é:
2.1 reflexiva, isto é, a|a, ∀ a ∈ A, pois a · 1 = a, onde 1 ∈ A é o elemento neutro da
multiplicação.
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8. Domínios Fatoriais
Consequências
2. A relação de divisibilidade é:
2.1 reflexiva, isto é, a|a, ∀ a ∈ A, pois a · 1 = a, onde 1 ∈ A é o elemento neutro da
multiplicação.
2.2 transitiva, pois a|b e b|c implica que a|c.
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9. Domínios Fatoriais
Consequências
2. A relação de divisibilidade é:
2.1 reflexiva, isto é, a|a, ∀ a ∈ A, pois a · 1 = a, onde 1 ∈ A é o elemento neutro da
multiplicação.
2.2 transitiva, pois a|b e b|c implica que a|c.
De fato,
a|b ⇒ b = a · u, u ∈ A e b|c ⇒ c = b · v, v ∈ A.
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10. Domínios Fatoriais
Consequências
2. A relação de divisibilidade é:
2.1 reflexiva, isto é, a|a, ∀ a ∈ A, pois a · 1 = a, onde 1 ∈ A é o elemento neutro da
multiplicação.
2.2 transitiva, pois a|b e b|c implica que a|c.
De fato,
a|b ⇒ b = a · u, u ∈ A e b|c ⇒ c = b · v, v ∈ A.
Logo,
c = b · v = (a · u)v = a(u · v), u, v ∈ A.
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11. Domínios Fatoriais
Consequências
2. A relação de divisibilidade é:
2.1 reflexiva, isto é, a|a, ∀ a ∈ A, pois a · 1 = a, onde 1 ∈ A é o elemento neutro da
multiplicação.
2.2 transitiva, pois a|b e b|c implica que a|c.
De fato,
a|b ⇒ b = a · u, u ∈ A e b|c ⇒ c = b · v, v ∈ A.
Logo,
c = b · v = (a · u)v = a(u · v), u, v ∈ A.
e, portanto, a|c.
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13. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a|b e b|a, dizemos que a e b são associados e denotamos a : b.
Neste caso, existem u, v ∈ A tais que b = a · u e a = b · v.
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14. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a|b e b|a, dizemos que a e b são associados e denotamos a : b.
Neste caso, existem u, v ∈ A tais que b = a · u e a = b · v.
Logo, b = a · u = b · v · u.
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15. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a|b e b|a, dizemos que a e b são associados e denotamos a : b.
Neste caso, existem u, v ∈ A tais que b = a · u e a = b · v.
Logo, b = a · u = b · v · u.
Se b = 0, então a = b · v = 0.
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16. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a|b e b|a, dizemos que a e b são associados e denotamos a : b.
Neste caso, existem u, v ∈ A tais que b = a · u e a = b · v.
Logo, b = a · u = b · v · u.
Se b = 0, então a = b · v = 0.
Se b = 0, então b = b·v·u implica (porque A é domínio) que 1 = v·u, ou seja, u, v ∈ ˙A.
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17. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a|b e b|a, dizemos que a e b são associados e denotamos a : b.
Neste caso, existem u, v ∈ A tais que b = a · u e a = b · v.
Logo, b = a · u = b · v · u.
Se b = 0, então a = b · v = 0.
Se b = 0, então b = b·v·u implica (porque A é domínio) que 1 = v·u, ou seja, u, v ∈ ˙A.
Reciprocamente, se u é unidade de A, então b = a · u implica que a = b · u−1 e, assim,
a|b e b|a.
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18. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a|b e b|a, dizemos que a e b são associados e denotamos a : b.
Neste caso, existem u, v ∈ A tais que b = a · u e a = b · v.
Logo, b = a · u = b · v · u.
Se b = 0, então a = b · v = 0.
Se b = 0, então b = b·v·u implica (porque A é domínio) que 1 = v·u, ou seja, u, v ∈ ˙A.
Reciprocamente, se u é unidade de A, então b = a · u implica que a = b · u−1 e, assim,
a|b e b|a.
Resumindo, dois elementos a, b ∈ A, são associados se, e somente se, existe uma unidade
u tal que b = a · u.
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19. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a, b ∈ A são associados, então os ideais
(a) = {ℓa; ℓ ∈ A} e (b) = {m · b; m ∈ A},
gerados por a e b, respectivamente, são iguais.
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20. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a, b ∈ A são associados, então os ideais
(a) = {ℓa; ℓ ∈ A} e (b) = {m · b; m ∈ A},
gerados por a e b, respectivamente, são iguais.
De fato, sendo a e b associados, temos a = b · u, u ∈ A.
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21. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a, b ∈ A são associados, então os ideais
(a) = {ℓa; ℓ ∈ A} e (b) = {m · b; m ∈ A},
gerados por a e b, respectivamente, são iguais.
De fato, sendo a e b associados, temos a = b · u, u ∈ A.
Se (a) ∈ A, então x = ℓ · a, com ℓ ∈ A.
Logo x = ℓ · (b · u) = (ℓ · u) · b ∈ (b).
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22. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a, b ∈ A são associados, então os ideais
(a) = {ℓa; ℓ ∈ A} e (b) = {m · b; m ∈ A},
gerados por a e b, respectivamente, são iguais.
De fato, sendo a e b associados, temos a = b · u, u ∈ A.
Se (a) ∈ A, então x = ℓ · a, com ℓ ∈ A.
Logo x = ℓ · (b · u) = (ℓ · u) · b ∈ (b).
Isso mostra que (a) ⊂ (b).
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23. Domínios Fatoriais
Elementos associados
Se a, b ∈ A são associados, então os ideais
(a) = {ℓa; ℓ ∈ A} e (b) = {m · b; m ∈ A},
gerados por a e b, respectivamente, são iguais.
De fato, sendo a e b associados, temos a = b · u, u ∈ A.
Se (a) ∈ A, então x = ℓ · a, com ℓ ∈ A.
Logo x = ℓ · (b · u) = (ℓ · u) · b ∈ (b).
Isso mostra que (a) ⊂ (b).
Por outro lado, se y ∈ (b), então y = m · b. Com m ∈ A. Logo y = m · (a · u−1) =
(m · u−1) · a ∈ (a). Isso mostra que (b) ⊂ (a).
Portanto, (a) = (b).
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24. Domínios Fatoriais
Exemplos
1. No domínio Z dos números inteiros, temos ˙Z = {−1, 1}, isto é, as únicas unidades
de Z são −1 e 1.
Dois inteiros a e b são associados se, e somente se, |a| = |b|.
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25. Domínios Fatoriais
Exemplos
1. No domínio Z dos números inteiros, temos ˙Z = {−1, 1}, isto é, as únicas unidades
de Z são −1 e 1.
Dois inteiros a e b são associados se, e somente se, |a| = |b|.
2. Em um corpo K, todo elemento não-nulo é invertível. Logo, ˙K = K {0}.
Isso significa que dois elementos não-nulos quaisquer de um corpo são associados.
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26. Domínios Fatoriais
Elemento primo
Uma decomposição de um elemento d ∈ A é uma expressão de d como produto de outros
elementos de A, isto é, d = a · b, com a · b ∈ A.
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27. Domínios Fatoriais
Elemento primo
Uma decomposição de um elemento d ∈ A é uma expressão de d como produto de outros
elementos de A, isto é, d = a · b, com a · b ∈ A.
Se um desses elementos (digamos a) é uma unidade, então o outro (no caso b) é associado
a d e dizemos que a decomposição é trivial ou imprópria.
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28. Domínios Fatoriais
Elemento primo
Uma decomposição de um elemento d ∈ A é uma expressão de d como produto de outros
elementos de A, isto é, d = a · b, com a · b ∈ A.
Se um desses elementos (digamos a) é uma unidade, então o outro (no caso b) é associado
a d e dizemos que a decomposição é trivial ou imprópria.
Um elemento p ∈ A, p ∈ ˙A, é dito irredutível se p = a · b, com a, b ∈ A, implica que
a ∈ ˙A ou b ∈ ˙A, ou seja, p admite apenas decomposições triviais.
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29. Domínios Fatoriais
Elemento primo
Uma decomposição de um elemento d ∈ A é uma expressão de d como produto de outros
elementos de A, isto é, d = a · b, com a · b ∈ A.
Se um desses elementos (digamos a) é uma unidade, então o outro (no caso b) é associado
a d e dizemos que a decomposição é trivial ou imprópria.
Um elemento p ∈ A, p ∈ ˙A, é dito irredutível se p = a · b, com a, b ∈ A, implica que
a ∈ ˙A ou b ∈ ˙A, ou seja, p admite apenas decomposições triviais.
Um elemento p ∈ A, p ∈ ˙A, é dito primo se p|a · b, com a, b ∈ A, implica p|a ou p|b.
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30. Domínios Fatoriais
Elemento primo
Uma decomposição de um elemento d ∈ A é uma expressão de d como produto de outros
elementos de A, isto é, d = a · b, com a · b ∈ A.
Se um desses elementos (digamos a) é uma unidade, então o outro (no caso b) é associado
a d e dizemos que a decomposição é trivial ou imprópria.
Um elemento p ∈ A, p ∈ ˙A, é dito irredutível se p = a · b, com a, b ∈ A, implica que
a ∈ ˙A ou b ∈ ˙A, ou seja, p admite apenas decomposições triviais.
Um elemento p ∈ A, p ∈ ˙A, é dito primo se p|a · b, com a, b ∈ A, implica p|a ou p|b.
No anel Z dos inteiros um elemento é primo se, e somente se, for irredutível.
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31. Domínios Fatoriais
Domínio de Ideais Principais
Lema: Em um domínio de integridade, todo elemento primo é irredutível.
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32. Domínios Fatoriais
Domínio de Ideais Principais
Lema: Em um domínio de integridade, todo elemento primo é irredutível.
Um domínio A é chamado domínio de ideais principais (DIP) se todo ideal I de A for
principal, isto é, gerado por um elemento x ∈ A. Mais precisamente, se I é um ideal de
A, então existe x ∈ A tal que I = {a · x; a ∈ A}.
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33. Domínios Fatoriais
Domínio de Ideais Principais
Lema: Em um domínio de integridade, todo elemento primo é irredutível.
Um domínio A é chamado domínio de ideais principais (DIP) se todo ideal I de A for
principal, isto é, gerado por um elemento x ∈ A. Mais precisamente, se I é um ideal de
A, então existe x ∈ A tal que I = {a · x; a ∈ A}.
Teorema: Em um DIP, um elemento é irredutível se, e somente se, for primo.
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34. Domínios Fatoriais
Domínio de Fatoração Única
Um domínio A é dito Domínio de Fatoração Única (DFU) se valem as seguintes
condições:
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35. Domínios Fatoriais
Domínio de Fatoração Única
Um domínio A é dito Domínio de Fatoração Única (DFU) se valem as seguintes
condições:
1. Todo elemento não nulo de A que não é uma unidade pode ser escrito como produto
de um número finito de irredutíveis.
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36. Domínios Fatoriais
Domínio de Fatoração Única
Um domínio A é dito Domínio de Fatoração Única (DFU) se valem as seguintes
condições:
1. Todo elemento não nulo de A que não é uma unidade pode ser escrito como produto
de um número finito de irredutíveis.
2. Todo elemento irredutível é primo.
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37. Domínios Fatoriais
Teorema
Em um DFU todo elemento não nulo que não é uma unidade pode ser escrito como
produto de irredutíveis de modo único, a menos da ordem dos fatores no produto e de
produto por unidades.
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38. Domínios Fatoriais
Definição
Uma coleção de ideais Ij, com j ≥ 1, de um anel A é chamada cadeia ascendente se
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · .
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39. Domínios Fatoriais
Definição
Uma coleção de ideais Ij, com j ≥ 1, de um anel A é chamada cadeia ascendente se
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · .
Uma cadeia ascendente é dita estacionária se existe n ≥ 1, tal que
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40. Domínios Fatoriais
Definição
Uma coleção de ideais Ij, com j ≥ 1, de um anel A é chamada cadeia ascendente se
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · .
Uma cadeia ascendente é dita estacionária se existe n ≥ 1, tal que
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In−1 ⊂ In = In=1 = · · · ,
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41. Domínios Fatoriais
Definição
Uma coleção de ideais Ij, com j ≥ 1, de um anel A é chamada cadeia ascendente se
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · .
Uma cadeia ascendente é dita estacionária se existe n ≥ 1, tal que
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In−1 ⊂ In = In=1 = · · · ,
ou seja,
Ij = Ij−1∀ j ≥ n.
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42. Domínios Fatoriais
Lema
Seja A um domínio de ideais principais. Então toda cadeia ascendente de ideais de A é
estacionária.
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43. Domínios Fatoriais
Condição das cadeias ascendentes
A condição toda cadeia ascendente é estacionária é chamada condição das cadeias
ascendentes (CCA).
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44. Domínios Fatoriais
Condição das cadeias ascendentes
A condição toda cadeia ascendente é estacionária é chamada condição das cadeias
ascendentes (CCA).
O resultado acima é caso particular de um teorema devido à matemática alemã Emmy
Noether, que afirma serem equivalentes a CCA e a finitude do número de geradores dos
ideais de A, isto é, dado um ideal I de A existem a1, . . . , ar ∈ A tais que
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45. Domínios Fatoriais
Condição das cadeias ascendentes
A condição toda cadeia ascendente é estacionária é chamada condição das cadeias
ascendentes (CCA).
O resultado acima é caso particular de um teorema devido à matemática alemã Emmy
Noether, que afirma serem equivalentes a CCA e a finitude do número de geradores dos
ideais de A, isto é, dado um ideal I de A existem a1, . . . , ar ∈ A tais que
I = (a1, . . . , ar) = {α1a1, . . . , αrar; αi ∈ A}.
Anéis satisfazendo uma dessas condições são chamados noetherianos em homenagem
a ela.
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47. Domínios Fatoriais
Teorema
Todo domínio de ideais principais é um domínio de fatoração única.
A recíproca deste teorema não é válida. (Na próxima aula é exibido um exemplo)
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48. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
Queremos dar um nome aos anéis em que conseguimos fazer a divisão com resto (e por
consequência aplicar o algoritmo de Euclides).
Dizemos que o domínio de integridade A é um domínio euclidiano se existe uma função
N : A → Z, chamada norma, tal que
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49. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
Queremos dar um nome aos anéis em que conseguimos fazer a divisão com resto (e por
consequência aplicar o algoritmo de Euclides).
Dizemos que o domínio de integridade A é um domínio euclidiano se existe uma função
N : A → Z, chamada norma, tal que
1. N(a) ≥ 0, ∀ a ∈ A e N(a) = 0 se, e somente se, a = 0.
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50. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
Queremos dar um nome aos anéis em que conseguimos fazer a divisão com resto (e por
consequência aplicar o algoritmo de Euclides).
Dizemos que o domínio de integridade A é um domínio euclidiano se existe uma função
N : A → Z, chamada norma, tal que
1. N(a) ≥ 0, ∀ a ∈ A e N(a) = 0 se, e somente se, a = 0.
2. N(a · b) = N(a) · N(b), ∀ a, b ∈ A.
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51. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
Queremos dar um nome aos anéis em que conseguimos fazer a divisão com resto (e por
consequência aplicar o algoritmo de Euclides).
Dizemos que o domínio de integridade A é um domínio euclidiano se existe uma função
N : A → Z, chamada norma, tal que
1. N(a) ≥ 0, ∀ a ∈ A e N(a) = 0 se, e somente se, a = 0.
2. N(a · b) = N(a) · N(b), ∀ a, b ∈ A.
3. Dados a, b ∈ A, b = 0, existem q, r ∈ A, tais que a = b·q+r, com 0 ≤ N(r) < N(b)
ou r = 0.
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52. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
Queremos dar um nome aos anéis em que conseguimos fazer a divisão com resto (e por
consequência aplicar o algoritmo de Euclides).
Dizemos que o domínio de integridade A é um domínio euclidiano se existe uma função
N : A → Z, chamada norma, tal que
1. N(a) ≥ 0, ∀ a ∈ A e N(a) = 0 se, e somente se, a = 0.
2. N(a · b) = N(a) · N(b), ∀ a, b ∈ A.
3. Dados a, b ∈ A, b = 0, existem q, r ∈ A, tais que a = b·q+r, com 0 ≤ N(r) < N(b)
ou r = 0.
A condição 3. pode ser substituída, supondo-se, simplesmente, que vale
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53. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
Queremos dar um nome aos anéis em que conseguimos fazer a divisão com resto (e por
consequência aplicar o algoritmo de Euclides).
Dizemos que o domínio de integridade A é um domínio euclidiano se existe uma função
N : A → Z, chamada norma, tal que
1. N(a) ≥ 0, ∀ a ∈ A e N(a) = 0 se, e somente se, a = 0.
2. N(a · b) = N(a) · N(b), ∀ a, b ∈ A.
3. Dados a, b ∈ A, b = 0, existem q, r ∈ A, tais que a = b·q+r, com 0 ≤ N(r) < N(b)
ou r = 0.
A condição 3. pode ser substituída, supondo-se, simplesmente, que vale
3’. Se a, b ∈ A, e a|b, então N(a) ≤ N(b).
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55. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
A verificação de que 3 implica 3’ é simples:
Se a|b, então existe c ∈ A tal que b = a · c.
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56. Domínios Fatoriais
Domínio Euclidiano
A verificação de que 3 implica 3’ é simples:
Se a|b, então existe c ∈ A tal que b = a · c.
Logo, N(b) = N(ac) e, supondo que vale 2., N(b) = N(a) · N(c). Como N(a), N(b) e
N(c) são inteiros não negativos, a relação N(b) = N(a)·N(c) implica que N(a) ≤ N(b).
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57. Domínios Fatoriais
Exemplos
1. O anel A = Z, com a função N : Z → N dada por N(a) = |a| é um domínio
euclidiano.
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58. Domínios Fatoriais
Exemplos
1. O anel A = Z, com a função N : Z → N dada por N(a) = |a| é um domínio
euclidiano.
2. A K[X], o anel de polinômios na variável x com coeficientes no corpo K, é um
domínio euclidiano com norma N : K[X] → Z dada por N(f(x)) = grau(f(x)).
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59. Domínios Fatoriais
Exemplos
1. O anel A = Z, com a função N : Z → N dada por N(a) = |a| é um domínio
euclidiano.
2. A K[X], o anel de polinômios na variável x com coeficientes no corpo K, é um
domínio euclidiano com norma N : K[X] → Z dada por N(f(x)) = grau(f(x)).
3. Seja Z[i] = {a + bi; a, b ∈ Z}, onde i2 = −1. Com a adição e a multiplicação usuais
dos números complexos, Z[i] é um domínio, chamado domínio de inteiros de Gauss.
Munido com a função N : Z[i] → N dada por N(a + bi) = a2 + b2, Z[i] é um domínio
euclidiano.
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60. Domínios Fatoriais
Teorema
Seja Z[i] = {a + bi; a, b ∈ Z} o domínio dos inteiros de Gauss. Dados z, w ∈ Z[i], com
w = 0, existem q, r ∈ Z[i] tais que z = qw + r e 0 ≤ N(r) < N(w).
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61. Domínios Fatoriais
Teorema
Se A é um Domínio Euclidiano, todo ideal de A é principal.
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62. Domínios Fatoriais
Teorema
Se A é um Domínio Euclidiano, todo ideal de A é principal.
Chegamos a seguinte sequência de implicações:
Domínio Euclidiano ⇒ DIP ⇒ DFU.
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63. Domínios Fatoriais
Exemplo
O anel A = [Z](θ) =
®
a + bθ; a, b ∈ Z, θ =
1 +
√
−19
2
´
é um DIP e não é domínio
euclidiano.
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64. Domínios Fatoriais
Exercícios
1. Mostre que Z/nZ com as operações (x + nZ) + (y + nZ) := (x + y) + nZ e
(x + nZ) · (y + nZ) := xy + nZ é um anel comutativo. É um domínio de integridade?
2. Sejam A, B anéis e seja A × B o produto direto de A e B, com as operações
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)(c, d) = (ac, bd), elementos neutros (0, 0) e (1, 1).
Mostre que A × B é um anel e que não é um domínio de integridade.
3. Dado um domínio de integridade A, mostre que f : A → K(A), a → a/1 é um
homomorfismo injetivo de anéis.
4. Seja A um domínio de integridade e sejam a, b ∈ A. Mostre que (a) = (b) se, e
somente se, existe um elemento invertível u ∈ A tal que b = au.
5. Mostre que o anel Z[i] = {a + ib; a, b ∈ Z} é Euclidiano com a função N(a + ib) =
a2 + b2. Em particular, todos os ideais de Z[i] são principais.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento UFRB/CETEC
LMATEAD
65. Domínios Fatoriais
Referência
NETO, Ângelo Papa. Estruturas Algébricas: semestre VI. Fortaleza: UAB/IFCE, 2011.
150p.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento UFRB/CETEC
LMATEAD
