- O documento apresenta o método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas em casos discreto e contínuo, introduzindo conceitos como regressão linear e ajuste polinomial; - O objetivo do método dos mínimos quadrados é encontrar os coeficientes da função de ajuste de modo que a soma dos quadrados dos desvios entre a função e os pontos seja mínima; - No caso discreto, isto resulta em um sistema linear de equações cuja solução fornece os coeficientes da função de ajuste.

1. AJUSTE DE CURVAS.
O MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS.
Profa. Dra. Fernanda Paula Barbosa Pola
CASO DISCRETO

2. SUMÁRIO
 Introdução e contextualização;
 Objetivos;
 Ajuste de Curvas : O Método dos Mínimos
Quadrados
◦ Caso discreto
 Ajuste linear - Regressão linear
 Ajuste Polinomial
 Considerações finais;
 Referências.

3. INTRODUÇÃO E
CONTEXTUALIZAÇÃO
 Em geral, experimentos geram uma gama
de dados que devem ser analisados para
a criação de um modelo.
 Obter uma função matemática que
represente (ou que ajuste) os dados
permite fazer simulações do processo de
forma confiável, reduzindo assim
repetições de experimentos que podem
ter um custo alto.

4. INTRODUÇÃO E
CONTEXTUALIZAÇÃO
 Em geral usa-se aproximações de funções
nas seguintes situações:
◦ Quando se deseja extrapolar ou fazer
previsões em regiões fora do intervalo
considerado;
◦ Quando os dados tabelados são resultados de
experimentos, onde erros na obtenção destes
resultados podem influenciar a sua qualidade;
◦ Quando deseja-se substituir uma função
conhecida f(x) por outra função g(x) que
facilite cálculos como derivadas e integrais.

5. OBJETIVOS
 O objetivo é obter uma função que seja
uma “boa aproximação” e que permita
extrapolações com alguma margem de
segurança.
 A escolha das funções pode ser feita
observando o gráfico dos pontos
tabelados, baseando-se em fundamentos
teóricos dos experimentos que forneceu
a tabela ou através de uma função já
conhecida.

6. OBJETIVOS
 Os métodos utilizados buscam uma
aproximação do que seria o valor
exato. Dessa forma é inerente aos
métodos trabalhar com a aproximação,
levando-se em consideração os erros e
os desvios.
 O Método dos Mínimos Quadrados é um
método bastante utilizado para ajustar
uma determinada quantidade de pontos
e aproximar funções.

7. AJUSTE DE CURVAS - INTRODUÇÃO
Graficamente, a extrapolação e o ajuste por
barras de erros são vistos na figura abaixo:
x
e
x
f =
)
(
x
)
(x
f
x
( )
x
f
Curva ajustada
Curva extrapolada
Barra de
erros

8. AJUSTE DE CURVAS - INTRODUÇÃO
 Temos que ajustar estas funções tabeladas por
uma função que seja uma “boa aproximação” e
que permita extrapolações com alguma margem
de segurança.
 Dados os pontos
num intervalo [a,b], devemos escolher funções
, e constantes
tais que a função
se aproxime de
( ) ( ) ( )
)
(
,
,......,
)
(
,
,
)
(
, 2
2
1
1 m
m x
f
x
x
f
x
x
f
x
)
(
,
.......
,
)
(
,
)
( 2
1 x
g
x
g
x
g n
)
(
,
.......
,
)
(
,
)
( 2
1 x
x
x n



)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 x
g
x
g
x
g
x n
n

+

+

=
 ).
(x
f

9. AJUSTE DE CURVAS - INTRODUÇÃO
 Este modelo é dito linear pois os
coeficientes a determinar
aparecem linearmente.
 Note que as funções
podem ser funções não lineares, por
exemplo:
Problema 1
Como escolher as funções
?
)
(
,
.......
,
)
(
,
)
( 2
1 x
x
x n



)
(
,
.......
,
)
(
,
)
( 2
1 x
g
x
g
x
g n
( ) .......
,
1
)
(
,
)
( 2
2
1 x
x
g
e
x
g x
+
=
=
)
(
,
.......
,
)
(
,
)
( 2
1 x
g
x
g
x
g n

10. AJUSTE DE CURVAS – CASO DISCRETO
 Podemos escolher as funções
observando os pontos tabelados ou a partir
de conhecimentos teóricos do
experimento que nos forneceu a tabela.
Portanto, dada uma tabela de pontos, deve-
se primeiro colocar estes pontos num
gráfico cartesiano. O gráfico resultante é
chamado de diagrama de dispersão.
)
(
,
.......
,
)
(
,
)
( 2
1 x
g
x
g
x
g n

11. AJUSTE DE CURVAS – CASO DISCRETO
 Seja a tabela
 O diagrama de dispersão é dado por:
x -1.0 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0
f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
f(x)
x
Series1

12. AJUSTE DE CURVAS – CASO DISCRETO
 Escolhemos a partir da forma
dos pontos no diagrama de dispersão.
 Procuramos a função que se aproxime ao
máximo de que tenha a forma
(parábola passando pela origem)
 PROBLEMA 2: Qual o valor de que
gera melhor ajuste da parábola?
2
1 )
( x
x
g =
)
(x
f
2
1
1 )
(
)
( x
x
g
x 
=

=



13. AJUSTE DE CURVAS – CASO CONTÍNUO
 Dada uma função contínua em [a,b]
e escolhidas as funções
todas contínuas em [a,b], devemos
determinar as constantes
de modo que a função
se aproxime ao máximo de
)
(x
f
)
(
,
......
,
)
(
,
)
( 2
1 x
g
x
g
x
g n
n


 ,
.....
,
, 2
1
)
(
....
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 x
g
x
g
x
g
x n
n

+
+

+

=

)
(x
f

14. AJUSTE DE CURVAS – CASO CONTÍNUO
 Tanto no caso discreto como no caso
contínuo o que significa ficar mais
próxima?
 Ideia: A função é tal que o módulo da
área sob a curva seja mínimo!
( )
x

( ) )
(x
f
x −


15. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
 Objetivo: encontrar coeficientes j tais
que a função
se aproxime ao máximo de f(x)
Consiste em escolher os j’s de modo que
a soma dos quadrados dos desvios seja
mínima.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 x
g
x
x
g
x
g
x n
n

+
+

+

=
 
Método dos Mínimos Quadrados

16. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Desvio em :
 Se a soma dos quadrados dos desvios
é mínima, cada desvio
será pequeno.Assim, j’s devem ser tais que
minimizem a função
k
x )
(
)
( k
k
k x
x
f 
−
=
d

 =
=

−
=
m
k
k
k
m
k
k x
x
f
1
2
1
2
))
(
)
(
(
d
)
(
)
( k
k
k x
x
f 
−
=
d

=

−
=



m
k
k
k
n x
x
f
1
2
2
1 )]
(
)
(
[
)
,
,
( 
F

17. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Para obter um ponto mínimo devemos
encontrar os números críticos, ou seja, j’s
tais que
onde
n
j
n
j


2
,
1
,
0
)
,
,
( 2
1
=
=






F

=

−
−

−

−
=



m
k
k
n
n
k
k
k
n
x
g
x
g
x
g
x
f
1
2
2
2
1
1
2
1
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
)
,
,
(


F

18. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Calculando as derivadas
 Igualando a zero,

=



−

−
−

−

−
=



m
k
k
j
k
n
n
k
k
k
j
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f
n
1
2
2
1
1
)
,
,
(
)]
(
)][
(
)
(
)
(
)
(
[
2
2
1


F
n
j
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f
m
k
k
j
k
n
n
k
k
k ,
,
2
,
1
,
0
)]
(
)][
(
)
(
)
(
)
(
[
1
2
2
1
1 
 =
=

−
−

−

−

=

19. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Ou seja, temos um sistema linear a resolver
0
)]
(
)][
(
)
(
)
(
)
(
[
0
)]
(
)][
(
)
(
)
(
)
(
[
0
)]
(
)][
(
)
(
)
(
)
(
[
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
=

−
−

−

−
=

−
−

−

−
=

−
−

−

−



=
=
=
m
k
k
n
k
n
n
k
k
k
m
k
k
k
n
n
k
k
k
m
k
k
k
n
n
k
k
k
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f





20. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Reescrevendo o sistema,
As equações desse sistemas linear são as chamadas equações
normais.









=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

+
+

=

+
+

=

+
+

m
k
k
n
k
m
k
n
k
n
k
n
m
k
k
n
k
m
k
k
k
m
k
n
k
k
n
m
k
k
k
m
k
k
k
m
k
n
k
k
n
m
k
k
k
x
g
x
f
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
g
x
g
x
g
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[




Sistema linear com n equações com n incógnitas

21. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 O sistema linear pode ser escrito na forma
matricial A = b:
 aij = aji , a matriz A é simétrica;
 Se o sistema tem uma única solução, esta solução
é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)
2
2
2
22
1
21 .... b
a
a
a n
n =
+
+
+ 


1
1
2
12
1
11 .... b
a
a
a n
n =
+
+
+ 


n
n
nn
n
n b
a
a
a =
+
+
+ 

 ....
2
2
1
1
...

22. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Caso Linear (Regressão Linear)
Aproximação através de uma função linear do
tipo:
Assim o objetivo é determinar o valor de 𝛼0 e
𝛼1, que minimize:

23. AJUSTE LINEAR
 Para que E seja mínimo é necessário que:

24. AJUSTE LINEAR
 As equações simplificam-se nas Equações
Normais

25. AJUSTE LINEAR
 A solução para o sistema de equações é:

26. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Caso Linear (Regressão Linear)
Exemplo 1: Considerando os dados da Tabela 1,
e através do gráfico gerado, pode-se definir que
tipo de curva melhor se ajusta aos dados.

27. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO

28. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Considerando a Tabela 1, e os dados necessários
paras as equações normais, a Tabela 2 pode ser
construída:

29. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Considerando os dados daTabela 2, os
parâmetros 𝛼0 e 𝛼1 podem ser calculados
como:
 Assim a reta a ser ajustada é determinada
por:

30. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Pode-se observar o ajuste através da reta:
Ajuste Linear

31. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Caso Linear (Regressão Linear)
Exemplo2: Encontre a reta de mínimos quadrados que
melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3).
Calculemos para .
)
(
e
1
)
( 2
1 x
x
g
x
g =
=






=
=
=
=
=
=
=

+

=

+

4
1
4
1
2
4
1
1
4
1
4
1
2
4
1
1
).
(
.
1
.
1
).
(
1
.
1
.
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
f
x
x
x
x
f
x
)
3
.
8
3
.
7
2
.
5
1
.
2
(
)
8
7
5
2
(
)
8
7
5
2
(
)
3
3
2
1
(
)
8
7
5
2
(
)
1
1
1
1
(
2
2
2
2
2
1
2
1
+
+
+
=

+
+
+
+

+
+
+
+
+
+
=

+
+
+
+

+
+
+

32. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Logo






=














57
9
142
22
22
4
2
1






=












−
−
=












=








−
14
/
5
7
/
2
57
9
4
22
22
142
84
1
57
9
142
22
22
4
1
2
1
x
x
14
5
7
2
)
( +
=

0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 2 4 6 8 10
Série1

33. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
 Caso Polinomial

34. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

35. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

36. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

37. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

38. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

39. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

40. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Caso Polinomial
Exemplo 3: Seja o conjunto de pontos:
Encontre a parábola através dos mínimos quadrados
que melhor se ajusta aos pontos da tabela.
 Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola
pela origem seria uma boa escolha, logo seja,
x -1.0 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0
f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05
2
2
1
2
1 )
(
)
( x
x
x
x
x
g 
=

=


=

41. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
 Logo temos uma equação dada por,
 
   






=
=
=
=
=
=
=


=


=

11
1
2
11
1
4
1
11
1
1
11
1
2
1
1
11
1
1
11
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
f
x
x
x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
x
g

42. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
CASO DISCRETO
x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 somas
x2.x2 1 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464
f(x).x2 2,05 0,6485 0,162 0,1 0,045 0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756
Nossa equação é
Então é a parábola que melhor se aproxima, no
sentido dos quadrados mínimos, da função tabelada.
2,8464α = 5,8756
α = 2,0642
2
0642
.
2
)
( x
x =

Calculando as somas:

43. AJUSTE NÃO-LINEAR
 Existem casos, onde o diagrama de
dispersão de uma função indica que os
dados devem ser ajustados por uma função
não linear.
 Ocasionalmente, é apropriado supor que os
dados estejam relacionados
exponencialmente.
 Exemplo: 𝜙 𝑥 = 𝑎𝑒𝑏𝑥
, para a e b
constantes .
 A dificuldade de aplicação do método dos
mínimos quadrados neste caso consiste na
tentativa de minimizar o erro.

44. AJUSTE NÃO-LINEAR
 Para estes casos, um Processo de
Linearização deve ser empregado, para
que seja possível aplicar o Método dos
Mínimos Quadrados.
 Neste caso, podemos proceder da
seguinte forma:

45. AJUSTE NÃO-LINEAR

46. AJUSTE NÃO-LINEAR

47. AJUSTE NÃO-LINEAR

48. AJUSTE NÃO-LINEAR

49. AJUSTE NÃO-LINEAR
 Usa-se as equações de Ajuste Linear para
obter 𝛼0 e 𝛼1

50. LEMBRE-SE!
 Após aplicar o método dos mínimos
quadrados, é preciso fazer as substituições
necessárias para encontrar os parâmetros
a e b da função de aproximação original.

51. IMPORTANTE
 Observe que os parâmetros assim
obtidos não são ótimos dentro do
critério dos quadrados mínimos, porque
estamos ajustando o problema
linearizado e não o problema original.

52. AJUSTE NÃO-LINEAR
 Exemplo:

53. AJUSTE NÃO-LINEAR

54. AJUSTE NÃO-LINEAR

55. AJUSTE NÃO-LINEAR

56. TESTE DE ALINHAMENTO
 Uma vez escolhida uma função não linear
em a, b, ... para ajustar uma função, uma
forma de verificar se a escolha foi razoável
é aplicar o Teste de Alinhamento

57. TESTE DE ALINHAMENTO
 Fazer a linearização da função não
linear escolhida;
 Fazer o diagrama de dispersão dos
novos dados;
 Se os pontos do diagrama estiverem
alinhados, isto significará que a função
linear foi uma “boa escolha”.

58. TESTE DE ALINHAMENTO

59. TESTE DE ALINHAMENTO

60. AJUSTE NÃO-LINEAR
 Exemplo:

61. AJUSTE NÃO-LINEAR

62. AJUSTE NÃO-LINEAR

63. AJUSTE NÃO-LINEAR

64. AJUSTE NÃO-LINEAR

65. CONSIDERAÇÕES FINAIS
 O ajuste de curvas é uma boa estratégia
para avaliar a natureza de uma massa de
dados;
 Ele mostra qual o comportamento da
tabela, ou seja, ele busca por uma curva
contínua, conhecida, que possa representar
o comportamento da tabela.

66. REFERÊNCIAS
 M.A. Gomes Ruggiero,V. L. da Rocha Lopes.
Cálculo Numérico - AspectosTeóricos e
Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson,
1997.
 M.C. Cunha. Métodos Numéricos. 2a edição,
Editora da Unicamp, 2000.
 N.B. Franco. Cálculo Numérico. Pearson
Prentice Hall, 2007.
 Richard L. Burden e J. Douglas Faires,Análise
Numérica, Cengage Learning,Tradução da 8.
Ed.Americana, 2008