Métodos diretos para obter a solução de Sistemas Lineares

1. Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
16 de fevereiro de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

2. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

3. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

4. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

5. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em
proporções absurdas, à medida que n cresce.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

6. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em
proporções absurdas, à medida que n cresce.
Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações
superior a 1020 e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações
por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

7. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em
proporções absurdas, à medida que n cresce.
Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações
superior a 1020 e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações
por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução.
Desta forma, a obtenção de métodos mais eficientes se faz necessário, visto que a
resolução de sistemas lineares de grande ordem está associado a problemas do
cotidiano.
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8. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
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9. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é
aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de
operações.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

10. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é
aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de
operações.
Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade
bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos
mencionados até aqui.
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11. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é
aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de
operações.
Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade
bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos
mencionados até aqui.
Na interpretação geométrica de um sistema linear 2 × 2, observe que poderíamos
construir infinitos conjuntos de duas retas concorrentes cuja intersecção é um mesmo
ponto. Portanto, cada um desses conjuntos formaria um sistema linear que teriam em
comum a mesma solução.
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12. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Assim definimos:
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13. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Assim definimos:
Definition
Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução.
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14. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Assim definimos:
Definition
Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução.
A conclusão óbvia que devemos ter, portanto, é que uma estratégia para solucionar um
sistema linear é transformá-lo em um sistema equivalente cuja solução é conhecida.
Esta é a estratégia por trás de todos os métodos exatos. Na verdade, procura-se
transformar o sistema original em outro equivalente na forma triangular.
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15. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

16. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular inferior se tiver a forma:
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17. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular inferior se tiver a forma:













a11x1 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
a31x1 + a22x2 + a23x3 = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
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18. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular superior se tiver a forma:
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19. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular superior se tiver a forma:









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
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20. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular superior se tiver a forma:









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
Em ambos os casos, assumimos que os elementos da diagonal principal da matriz A
sejam todos não nulos para que o sistema tenha uma única solução.
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21. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular
superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e
por retro-substituição, no segundo.
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22. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular
superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e
por retro-substituição, no segundo.
Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1 na primeira
equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2 e assim por
diante.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

23. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular
superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e
por retro-substituição, no segundo.
Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1 na primeira
equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2 e assim por
diante.
No caso triangular superior fazemos de trás para frente começando com xn e voltando
até obter x1.
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24. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
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25. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior
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26. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior













x1 =
b1
a11
xi =
bi −
i−1
∑
j=1
aijxj
aii
; i = 2, 3, . . . , n.
(1)
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27. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior













x1 =
b1
a11
xi =
bi −
i−1
∑
j=1
aijxj
aii
; i = 2, 3, . . . , n.
(1)
[
t]Triangular Superior
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

28. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior













x1 =
b1
a11
xi =
bi −
i−1
∑
j=1
aijxj
aii
; i = 2, 3, . . . , n.
(1)
[
t]Triangular Superior


 x =
bn
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29. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
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30. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

31. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

32. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann





(3)
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33. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann





(3)
Os menores principais Ak de A de ordem k = 1, 2, . . . , n, são definidos pelas
sub-matrizes:
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34. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann





(3)
Os menores principais Ak de A de ordem k = 1, 2, . . . , n, são definidos pelas
sub-matrizes:
Ak =





a11 a12 . . . a1k
a21 a22 . . . a2k
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . akk





, k = 1, 2, . . . , n. (4)
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

35. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais
não nulos.
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36. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais
não nulos.
O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples,
consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de
uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original
(escalonamento).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

37. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais
não nulos.
O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples,
consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de
uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original
(escalonamento).
Essas operações são obtidas utilizando-se as operações elementares definidas no
Teorema a seguir.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

38. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
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39. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

40. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

41. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

42. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
Observação
Este escalonamento pode ser feito utilizando-se a matriz estendida que representa o
sistema.
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43. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

44. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
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45. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
e suponha akk ̸= 0 no início da etapa k.
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46. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Método da eliminação de Gauss
Eliminação
para k = 1, . . . , n − 1
para i = k + 1, . . . , n
m =
aik
akk
aik ̸= 0
para j = k + 1, . . . , n.
aij = aij − makj
bi = bi − mbk
Resolução
xn =
bn
ann
para k = n − 1, . . . , 1
s = 0
para j = k + 1, . . . , n
s = s + akjxj
xk = bk −
s
akk
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

47. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

48. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

49. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

50. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

51. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
Portanto, adotemos uma estratégia.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

52. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
Portanto, adotemos uma estratégia.
Observação
Se em algum passo k encontrarmos a
(k)
kk = 0, isso significa que det(Ak) = 0.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

53. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
Portanto, adotemos uma estratégia.
Observação
Se em algum passo k encontrarmos a
(k)
kk = 0, isso significa que det(Ak) = 0.
Nesse caso, o sistema ainda pode ter solução determinada (basta que det(A) ̸= 0). O
método pode ser continuado simplesmente permutando a k-ésima linha com a m-ésima
linha onde m > k e a
(k)
mk ̸= 0.
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54. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
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55. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
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56. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
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57. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
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58. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
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59. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
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60. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
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61. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
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62. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Observação
A estratégia de pivoteamento completo não é muito utilizada devido ao trabalho e
esforço computacional.
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63. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Observação
A estratégia de pivoteamento completo não é muito utilizada devido ao trabalho e
esforço computacional.
Example
Resolva o sistema utilizando o método da eliminação de Gauss com estratégia de
pivoteamento parcial.







2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 2
−x1 + 2x2 + 7x3 + 2x4 = 5
4x1 + 3x2 + 2x3 − 4x4 = 11
x1 + x2 − x3 + 3x4 = 3
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64. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
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65. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
O método
O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do
sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes
triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta
forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas
triangulares, ou seja,
1 LY = B.
2 UX = Y.
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66. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
O método
O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do
sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes
triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta
forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas
triangulares, ou seja,
1 LY = B.
2 UX = Y.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

67. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
O método
O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do
sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes
triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta
forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas
triangulares, ou seja,
1 LY = B.
2 UX = Y.
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68. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
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69. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela
determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob
as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita.
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70. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela
determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob
as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

71. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela
determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob
as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita.
Demonstração: Consultar as notas de aula do professor.
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72. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
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73. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a
inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que
LU = A. Seja então L · U igual a:
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74. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a
inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que
LU = A. Seja então L · U igual a:






1
l21 1
l31 l32 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
ln1 ln2 ln3 · · · 1






·






u11 u21 u13 · · · u1n
u22 u23 · · · u2n
u33 · · · u3n
...
.
.
.
unn






6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

75. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a
inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que
LU = A. Seja então L · U igual a:






1
l21 1
l31 l32 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
ln1 ln2 ln3 · · · 1






·






u11 u21 u13 · · · u1n
u22 u23 · · · u2n
u33 · · · u3n
...
.
.
.
unn






e a matriz A como na definição de menores principais.
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76. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
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77. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
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78. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos
elementos da 1a linha de A, obtemos:
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79. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos
elementos da 1a linha de A, obtemos:
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
1 · u12 = a12 ⇒ u12 = a12,
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
.
.
.
1 · u1n = a1n ⇒ u1n = a1n,
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80. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos
elementos da 1a linha de A, obtemos:
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
1 · u12 = a12 ⇒ u12 = a12,
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
.
.
.
1 · u1n = a1n ⇒ u1n = a1n,
ou seja:
uij = aij, j = 1, 2, . . . , n.
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81. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a
coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
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82. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a
coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l21 · u11 = a21 ⇒ l21 =
a21
u11
,
l31 · u11 = a31 ⇒ l31 =
a31
u11
,
.
.
.
ln1 · u11 = an1 ⇒ ln1 =
an1
u11
,
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83. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a
coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l21 · u11 = a21 ⇒ l21 =
a21
u11
,
l31 · u11 = a31 ⇒ l31 =
a31
u11
,
.
.
.
ln1 · u11 = an1 ⇒ ln1 =
an1
u11
,
ou seja:
li1 =
ai1
u11
, i = 1, 2, . . . , n.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

84. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
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85. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e
igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

86. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e
igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos:
l21 · u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21u12,
l21 · u13 + u23 = a23 ⇒ u23 = a23 − l21u13,
.
.
.
l21 · u1n + u2n = a2n ⇒ u2n = a2n − l21u1n,
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

87. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e
igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos:
l21 · u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21u12,
l21 · u13 + u23 = a23 ⇒ u23 = a23 − l21u13,
.
.
.
l21 · u1n + u2n = a2n ⇒ u2n = a2n − l21u1n,
ou seja:
u2j = a2j − l21u1j, j = 3, 4, . . . , n.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

88. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

89. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 =
a32 − l31u12
u22
,
l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 =
a42 − l41u12
u22
,
.
.
.
ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 =
an2 − ln1u12
u22
,
ou seja:
li2 =
ai2 − li2u12
u22
, i = 3, 4, . . . , n.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

90. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 =
a32 − l31u12
u22
,
l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 =
a42 − l41u12
u22
,
.
.
.
ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 =
an2 − ln1u12
u22
,
ou seja:
li2 =
ai2 − li2u12
u22
, i = 3, 4, . . . , n.
Se continuarmos calculando 3a linha de U, 3a coluna de L, 4a linha de U, 4a coluna de
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

91. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 =
a32 − l31u12
u22
,
l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 =
a42 − l41u12
u22
,
.
.
.
ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 =
an2 − ln1u12
u22
,
ou seja:
li2 =
ai2 − li2u12
u22
, i = 3, 4, . . . , n.
Se continuarmos calculando 3a linha de U, 3a coluna de L, 4a linha de U, 4a coluna de
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

92. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observação
A decomposição LU é um dos algoritmos mais eficientes para o cálculo do
determinante de uma matriz.
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93. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

94. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

95. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

96. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

97. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

98. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e
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99. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e







u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 · · · 0 0 unn







7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

100. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e







u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 · · · 0 0 unn







onde
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

101. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e







u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 · · · 0 0 unn







onde
lij =
a
(j)
ij
a
(j)
jj
, i > j; u1j = a
(1)
1j , j = 1, 2, . . . , n; uij = a
(j−1)
ij − li(i−1) · a
(i−1)
(i−1)j, j ≥ i. (3)
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

102. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

103. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

104. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U
compactamente na forma:
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

105. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U
compactamente na forma:







u11 u12 u13 · · · u1n u1,n+1
l21 u22 u23 · · · u2n u2,n+1
l31 l32 u33 · · · u3n u3,n+1
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
ln1 ln2 ln3 · · · unn un,n+1







7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

106. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U
compactamente na forma:







u11 u12 u13 · · · u1n u1,n+1
l21 u22 u23 · · · u2n u2,n+1
l31 l32 u33 · · · u3n u3,n+1
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
ln1 ln2 ln3 · · · unn un,n+1







de forma a economizar espaço na memória, pois as matrizes L e U podem ser armazenadas
sobre a matriz original A, com o inconveniente de que a matriz A é destruída.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

107. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última
coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

108. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última
coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples.
Esse procedimento é bastante usual e conveniente para simplificar a programação
desses métodos. Ao final do processo do método de Gauss compacto na matriz A
original teremos armazenado as matrizes L e U como no esquema acima.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

109. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última
coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples.
Esse procedimento é bastante usual e conveniente para simplificar a programação
desses métodos. Ao final do processo do método de Gauss compacto na matriz A
original teremos armazenado as matrizes L e U como no esquema acima.
Example
Usando o Método de Gauss Compacto resolver o sistema matricial
(a)


5 −2 1
−3 1 4
−1 1 3

 ·


x1
x2
x3

 =


12
−3
2


(b)


5 −2 1
−3 1 4
−1 1 3

 ·


y1
y2
y3

 =


−3
11
7


7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

110. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

111. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

112. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas
matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta
estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do
sistema linear resolvendo as equações
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

113. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas
matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta
estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do
sistema linear resolvendo as equações
1 LY = PB; P = P(i) · P(i−1) · . . . · P(0);
2 UX = Y.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

114. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas
matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta
estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do
sistema linear resolvendo as equações
1 LY = PB; P = P(i) · P(i−1) · . . . · P(0);
2 UX = Y.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

115. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

116. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ??
não são válidas.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

117. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ??
não são válidas.
Porém, se trocarmos, por exemplo, as linhas 2 e 3, já poderemos decompor a matriz
dos coeficientes em fatores LU, tornando o método mais robustos. Entretanto, além da
dificuldade com as hipóteses do teorema da decomposição LU a estratégia de
pivoteamento devemos nos preocupar com o problema mais sério que está relacionado
com a propagação dos erros de truncamento do computador, problema este já visto
anteriormente.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

118. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ??
não são válidas.
Porém, se trocarmos, por exemplo, as linhas 2 e 3, já poderemos decompor a matriz
dos coeficientes em fatores LU, tornando o método mais robustos. Entretanto, além da
dificuldade com as hipóteses do teorema da decomposição LU a estratégia de
pivoteamento devemos nos preocupar com o problema mais sério que está relacionado
com a propagação dos erros de truncamento do computador, problema este já visto
anteriormente.
Para ilustrar essa situação consideremos um exemplo hipotético: um sistema linear de
ordem 2, que deve ser resolvido em um computador que trabalha apenas com 3 dígitos
significativos. Tal exemplo servirá para ilustrar o que acontece com um sistema de
grande porte num computador qualquer (que sempre trabalha com um número fixo e
finito de dígitos significativos).
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

119. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Example
Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

120. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Example
Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:
[
0.0001 1.0000
1.0000 1.0000
]
·
[
x1
x2
]
=
[
1.0000
2.0000
]
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

121. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Example
Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:
[
0.0001 1.0000
1.0000 1.0000
]
·
[
x1
x2
]
=
[
1.0000
2.0000
]
usando em todas as operações três dígitos significativos.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

122. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

123. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

124. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

125. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

126. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
cuja solução é:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

127. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
cuja solução é:
X =
[
0 1
]T
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

128. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
cuja solução é:
X =
[
0 1
]T
.
Portanto, obtemos uma solução muito diferente da solução exata do sistema.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

129. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

130. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito
grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que
um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε.
Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no
resultado é m · ε.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

131. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito
grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que
um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε.
Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no
resultado é m · ε.
Portanto, quanto maior for m, maior será o erro. Neste caso, dizemos que o erro foi
amplificado.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

132. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito
grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que
um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε.
Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no
resultado é m · ε.
Portanto, quanto maior for m, maior será o erro. Neste caso, dizemos que o erro foi
amplificado.
No método de Eliminação de Gauss fazemos vários produtos com os multiplicadores.
Uma análise criteriosa da propagação dos erros de arredondamento para o algoritmo de
Gauss indica a conveniência de serem todos esses multiplicadores (as constantes
a
(k)
ik
a
(k)
kk
do k-ésimo passo menores que 1).
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

133. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

134. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

135. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

136. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

137. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
cuja solução é:
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

138. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
cuja solução é:
X =
[
1.0000 1.0000
]T
,
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

139. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
cuja solução é:
X =
[
1.0000 1.0000
]T
,
uma solução bem mais próxima da solução exata do sistema.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

140. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
REFERÊNCIAS
1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas:
UFRB, 2021.
2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos
Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997.
3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo
Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

141. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
FIM
Votos e agradecimentos
Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde
mais!
Sucesso!
12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021