SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 141
Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
16 de fevereiro de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em
proporções absurdas, à medida que n cresce.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em
proporções absurdas, à medida que n cresce.
Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações
superior a 1020 e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações
por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são
conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer.
Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear
n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n.
Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em
proporções absurdas, à medida que n cresce.
Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações
superior a 1020 e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações
por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução.
Desta forma, a obtenção de métodos mais eficientes se faz necessário, visto que a
resolução de sistemas lineares de grande ordem está associado a problemas do
cotidiano.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é
aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de
operações.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é
aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de
operações.
Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade
bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos
mencionados até aqui.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz
quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B
é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B.
Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é
aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de
operações.
Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade
bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos
mencionados até aqui.
Na interpretação geométrica de um sistema linear 2 × 2, observe que poderíamos
construir infinitos conjuntos de duas retas concorrentes cuja intersecção é um mesmo
ponto. Portanto, cada um desses conjuntos formaria um sistema linear que teriam em
comum a mesma solução.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Assim definimos:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Assim definimos:
Definition
Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Assim definimos:
Definition
Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução.
A conclusão óbvia que devemos ter, portanto, é que uma estratégia para solucionar um
sistema linear é transformá-lo em um sistema equivalente cuja solução é conhecida.
Esta é a estratégia por trás de todos os métodos exatos. Na verdade, procura-se
transformar o sistema original em outro equivalente na forma triangular.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular inferior se tiver a forma:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular inferior se tiver a forma:













a11x1 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
a31x1 + a22x2 + a23x3 = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular superior se tiver a forma:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular superior se tiver a forma:









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Definition
Um sistema linear é:
triangular superior se tiver a forma:









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
Em ambos os casos, assumimos que os elementos da diagonal principal da matriz A
sejam todos não nulos para que o sistema tenha uma única solução.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular
superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e
por retro-substituição, no segundo.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular
superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e
por retro-substituição, no segundo.
Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1 na primeira
equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2 e assim por
diante.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular
superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e
por retro-substituição, no segundo.
Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1 na primeira
equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2 e assim por
diante.
No caso triangular superior fazemos de trás para frente começando com xn e voltando
até obter x1.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior













x1 =
b1
a11
xi =
bi −
i−1
∑
j=1
aijxj
aii
; i = 2, 3, . . . , n.
(1)
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior













x1 =
b1
a11
xi =
bi −
i−1
∑
j=1
aijxj
aii
; i = 2, 3, . . . , n.
(1)
[
t]Triangular Superior
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos:
[
t]Triangular Inferior













x1 =
b1
a11
xi =
bi −
i−1
∑
j=1
aijxj
aii
; i = 2, 3, . . . , n.
(1)
[
t]Triangular Superior


 x =
bn
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann





(3)
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann





(3)
Os menores principais Ak de A de ordem k = 1, 2, . . . , n, são definidos pelas
sub-matrizes:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Menores Principais
Considere a matriz
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann





(3)
Os menores principais Ak de A de ordem k = 1, 2, . . . , n, são definidos pelas
sub-matrizes:
Ak =





a11 a12 . . . a1k
a21 a22 . . . a2k
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . akk





, k = 1, 2, . . . , n. (4)
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais
não nulos.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais
não nulos.
O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples,
consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de
uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original
(escalonamento).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais
não nulos.
O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples,
consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de
uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original
(escalonamento).
Essas operações são obtidas utilizando-se as operações elementares definidas no
Teorema a seguir.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Theorem
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as
operações escolhidas entre:
1 trocar duas equações;
2 multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras
equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B.
Observação
Este escalonamento pode ser feito utilizando-se a matriz estendida que representa o
sistema.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
annxn = bn
e suponha akk ̸= 0 no início da etapa k.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Método da eliminação de Gauss
Eliminação
para k = 1, . . . , n − 1
para i = k + 1, . . . , n
m =
aik
akk
aik ̸= 0
para j = k + 1, . . . , n.
aij = aij − makj
bi = bi − mbk
Resolução
xn =
bn
ann
para k = n − 1, . . . , 1
s = 0
para j = k + 1, . . . , n
s = s + akjxj
xk = bk −
s
akk
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
Portanto, adotemos uma estratégia.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
Portanto, adotemos uma estratégia.
Observação
Se em algum passo k encontrarmos a
(k)
kk = 0, isso significa que det(Ak) = 0.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método da Eliminação de Gauss
Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores)
mik =
aik
akk
; i = k + 1, . . . , n.
e, por isso, não podemos ter akk = 0.
Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que
estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros
de arredondamento maiores.
Portanto, adotemos uma estratégia.
Observação
Se em algum passo k encontrarmos a
(k)
kk = 0, isso significa que det(Ak) = 0.
Nesse caso, o sistema ainda pode ter solução determinada (basta que det(A) ̸= 0). O
método pode ser continuado simplesmente permutando a k-ésima linha com a m-ésima
linha onde m > k e a
(k)
mk ̸= 0.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Estratégia de Pivoteamento
1 Parcial
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
a
(k−1)
ik ; i = k, k + 1, . . . , n.
2 Se necessário, trocar as linhas k e i.
2 Pivoteamento Completo
1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A.
2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Observação
A estratégia de pivoteamento completo não é muito utilizada devido ao trabalho e
esforço computacional.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Estratégias de Pivoteamento
Observação
A estratégia de pivoteamento completo não é muito utilizada devido ao trabalho e
esforço computacional.
Example
Resolva o sistema utilizando o método da eliminação de Gauss com estratégia de
pivoteamento parcial.







2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 2
−x1 + 2x2 + 7x3 + 2x4 = 5
4x1 + 3x2 + 2x3 − 4x4 = 11
x1 + x2 − x3 + 3x4 = 3
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
O método
O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do
sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes
triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta
forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas
triangulares, ou seja,
1 LY = B.
2 UX = Y.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
O método
O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do
sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes
triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta
forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas
triangulares, ou seja,
1 LY = B.
2 UX = Y.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
O método
O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do
sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes
triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta
forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas
triangulares, ou seja,
1 LY = B.
2 UX = Y.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela
determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob
as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela
determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob
as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração ou Decomposição LU
Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o
valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando
resolvido produz o vetor X que procuramos.
Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela
determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob
as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita.
Demonstração: Consultar as notas de aula do professor.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a
inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que
LU = A. Seja então L · U igual a:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a
inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que
LU = A. Seja então L · U igual a:






1
l21 1
l31 l32 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
ln1 ln2 ln3 · · · 1






·






u11 u21 u13 · · · u1n
u22 u23 · · · u2n
u33 · · · u3n
...
.
.
.
unn






6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a
inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que
LU = A. Seja então L · U igual a:






1
l21 1
l31 l32 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
ln1 ln2 ln3 · · · 1






·






u11 u21 u13 · · · u1n
u22 u23 · · · u2n
u33 · · · u3n
...
.
.
.
unn






e a matriz A como na definição de menores principais.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos
elementos da 1a linha de A, obtemos:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos
elementos da 1a linha de A, obtemos:
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
1 · u12 = a12 ⇒ u12 = a12,
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
.
.
.
1 · u1n = a1n ⇒ u1n = a1n,
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos
das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
1a linha de U:
Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos
elementos da 1a linha de A, obtemos:
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
1 · u12 = a12 ⇒ u12 = a12,
1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11,
.
.
.
1 · u1n = a1n ⇒ u1n = a1n,
ou seja:
uij = aij, j = 1, 2, . . . , n.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a
coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a
coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l21 · u11 = a21 ⇒ l21 =
a21
u11
,
l31 · u11 = a31 ⇒ l31 =
a31
u11
,
.
.
.
ln1 · u11 = an1 ⇒ ln1 =
an1
u11
,
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a
coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l21 · u11 = a21 ⇒ l21 =
a21
u11
,
l31 · u11 = a31 ⇒ l31 =
a31
u11
,
.
.
.
ln1 · u11 = an1 ⇒ ln1 =
an1
u11
,
ou seja:
li1 =
ai1
u11
, i = 1, 2, . . . , n.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e
igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e
igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos:
l21 · u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21u12,
l21 · u13 + u23 = a23 ⇒ u23 = a23 − l21u13,
.
.
.
l21 · u1n + u2n = a2n ⇒ u2n = a2n − l21u1n,
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a linha de U:
Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e
igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos:
l21 · u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21u12,
l21 · u13 + u23 = a23 ⇒ u23 = a23 − l21u13,
.
.
.
l21 · u1n + u2n = a2n ⇒ u2n = a2n − l21u1n,
ou seja:
u2j = a2j − l21u1j, j = 3, 4, . . . , n.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 =
a32 − l31u12
u22
,
l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 =
a42 − l41u12
u22
,
.
.
.
ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 =
an2 − ln1u12
u22
,
ou seja:
li2 =
ai2 − li2u12
u22
, i = 3, 4, . . . , n.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 =
a32 − l31u12
u22
,
l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 =
a42 − l41u12
u22
,
.
.
.
ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 =
an2 − ln1u12
u22
,
ou seja:
li2 =
ai2 − li2u12
u22
, i = 3, 4, . . . , n.
Se continuarmos calculando 3a linha de U, 3a coluna de L, 4a linha de U, 4a coluna de
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a
coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal
principal) obtemos:
l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 =
a32 − l31u12
u22
,
l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 =
a42 − l41u12
u22
,
.
.
.
ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 =
an2 − ln1u12
u22
,
ou seja:
li2 =
ai2 − li2u12
u22
, i = 3, 4, . . . , n.
Se continuarmos calculando 3a linha de U, 3a coluna de L, 4a linha de U, 4a coluna de
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observação
A decomposição LU é um dos algoritmos mais eficientes para o cálculo do
determinante de uma matriz.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e







u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 · · · 0 0 unn







7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e







u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 · · · 0 0 unn







onde
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a
obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular
superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A
matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:








1 0 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
l31 l32 1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
ln1 ln2 ln3 · · · 1








e







u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 · · · 0 0 unn







onde
lij =
a
(j)
ij
a
(j)
jj
, i > j; u1j = a
(1)
1j , j = 1, 2, . . . , n; uij = a
(j−1)
ij − li(i−1) · a
(i−1)
(i−1)j, j ≥ i. (3)
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U
compactamente na forma:
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U
compactamente na forma:







u11 u12 u13 · · · u1n u1,n+1
l21 u22 u23 · · · u2n u2,n+1
l31 l32 u33 · · · u3n u3,n+1
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
ln1 ln2 ln3 · · · unn un,n+1







7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos
correspondem àqueles definidos em (??).
Para isso substituímos os valores de a
(k)
ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos
recuperar as expressões.
O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U
compactamente na forma:







u11 u12 u13 · · · u1n u1,n+1
l21 u22 u23 · · · u2n u2,n+1
l31 l32 u33 · · · u3n u3,n+1
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
ln1 ln2 ln3 · · · unn un,n+1







de forma a economizar espaço na memória, pois as matrizes L e U podem ser armazenadas
sobre a matriz original A, com o inconveniente de que a matriz A é destruída.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última
coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última
coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples.
Esse procedimento é bastante usual e conveniente para simplificar a programação
desses métodos. Ao final do processo do método de Gauss compacto na matriz A
original teremos armazenado as matrizes L e U como no esquema acima.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Gauss Compacto
Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última
coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples.
Esse procedimento é bastante usual e conveniente para simplificar a programação
desses métodos. Ao final do processo do método de Gauss compacto na matriz A
original teremos armazenado as matrizes L e U como no esquema acima.
Example
Usando o Método de Gauss Compacto resolver o sistema matricial
(a)


5 −2 1
−3 1 4
−1 1 3

 ·


x1
x2
x3

 =


12
−3
2


(b)


5 −2 1
−3 1 4
−1 1 3

 ·


y1
y2
y3

 =


−3
11
7


7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas
matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta
estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do
sistema linear resolvendo as equações
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas
matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta
estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do
sistema linear resolvendo as equações
1 LY = PB; P = P(i) · P(i−1) · . . . · P(0);
2 UX = Y.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial
Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca
entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma
matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca
de linhas, as mesmas que fizemos em P(i).
Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas
matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta
estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do
sistema linear resolvendo as equações
1 LY = PB; P = P(i) · P(i−1) · . . . · P(0);
2 UX = Y.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ??
não são válidas.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ??
não são válidas.
Porém, se trocarmos, por exemplo, as linhas 2 e 3, já poderemos decompor a matriz
dos coeficientes em fatores LU, tornando o método mais robustos. Entretanto, além da
dificuldade com as hipóteses do teorema da decomposição LU a estratégia de
pivoteamento devemos nos preocupar com o problema mais sério que está relacionado
com a propagação dos erros de truncamento do computador, problema este já visto
anteriormente.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ??
não são válidas.
Porém, se trocarmos, por exemplo, as linhas 2 e 3, já poderemos decompor a matriz
dos coeficientes em fatores LU, tornando o método mais robustos. Entretanto, além da
dificuldade com as hipóteses do teorema da decomposição LU a estratégia de
pivoteamento devemos nos preocupar com o problema mais sério que está relacionado
com a propagação dos erros de truncamento do computador, problema este já visto
anteriormente.
Para ilustrar essa situação consideremos um exemplo hipotético: um sistema linear de
ordem 2, que deve ser resolvido em um computador que trabalha apenas com 3 dígitos
significativos. Tal exemplo servirá para ilustrar o que acontece com um sistema de
grande porte num computador qualquer (que sempre trabalha com um número fixo e
finito de dígitos significativos).
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Example
Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Example
Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:
[
0.0001 1.0000
1.0000 1.0000
]
·
[
x1
x2
]
=
[
1.0000
2.0000
]
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Example
Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:
[
0.0001 1.0000
1.0000 1.0000
]
·
[
x1
x2
]
=
[
1.0000
2.0000
]
usando em todas as operações três dígitos significativos.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
cuja solução é:
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
cuja solução é:
X =
[
0 1
]T
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial
Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse
sistema é:
[
1.00010
0.99990
]
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3
dígitos significativos em todas as operações, obtemos:
[
0.0001 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 2.0000
]
∼
[
0.0001 1.0000 1.0000
0.0000 −10000 −10000
]
,
cuja solução é:
X =
[
0 1
]T
.
Portanto, obtemos uma solução muito diferente da solução exata do sistema.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito
grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que
um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε.
Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no
resultado é m · ε.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito
grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que
um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε.
Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no
resultado é m · ε.
Portanto, quanto maior for m, maior será o erro. Neste caso, dizemos que o erro foi
amplificado.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito
grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que
um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε.
Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no
resultado é m · ε.
Portanto, quanto maior for m, maior será o erro. Neste caso, dizemos que o erro foi
amplificado.
No método de Eliminação de Gauss fazemos vários produtos com os multiplicadores.
Uma análise criteriosa da propagação dos erros de arredondamento para o algoritmo de
Gauss indica a conveniência de serem todos esses multiplicadores (as constantes
a
(k)
ik
a
(k)
kk
do k-ésimo passo menores que 1).
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
cuja solução é:
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
cuja solução é:
X =
[
1.0000 1.0000
]T
,
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
Propagação dos Erros
Example
Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com
estratégia de pivoteamento parcial.
Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior
elemento em módulo na primeira coluna.
Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0001 1.0000 1.0000
]
∼
[
1.0000 1.0000 2.0000
0.0000 1.0000 1.0000
]
,
cuja solução é:
X =
[
1.0000 1.0000
]T
,
uma solução bem mais próxima da solução exata do sistema.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
REFERÊNCIAS
1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas:
UFRB, 2021.
2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos
Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997.
3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo
Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares
FIM
Votos e agradecimentos
Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde
mais!
Sucesso!
12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...Evonaldo Gonçalves Vanny
 
Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão miniLuciano Pessanha
 
Mat exercicios resolvidos 003
Mat exercicios resolvidos  003Mat exercicios resolvidos  003
Mat exercicios resolvidos 003trigono_metrico
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricosandreilson18
 
Booklet reais
Booklet reaisBooklet reais
Booklet reaispm3d
 
Implementação mód4
Implementação   mód4 Implementação   mód4
Implementação mód4 inechidias
 
Matemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula MatrizesMatemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula MatrizesAulas Apoio
 
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2
Funçao trig  matriz determinante e sistema 2 x2Funçao trig  matriz determinante e sistema 2 x2
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2GabrielaMansur
 
Matrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercíciosMatrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercíciosnaathyb
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinantewww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - DeterminanteAulas De Matemática Apoio
 

Mais procurados (19)

Mat matrizes
Mat matrizesMat matrizes
Mat matrizes
 
Slides numerico c02
Slides numerico c02Slides numerico c02
Slides numerico c02
 
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
 
Matriz alunos
Matriz   alunosMatriz   alunos
Matriz alunos
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
 
Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão mini
 
Mat exercicios resolvidos 003
Mat exercicios resolvidos  003Mat exercicios resolvidos  003
Mat exercicios resolvidos 003
 
Matrizes determinantes
Matrizes determinantesMatrizes determinantes
Matrizes determinantes
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
Booklet reais
Booklet reaisBooklet reais
Booklet reais
 
Lista matrizes 2_ano_2012_pdf
Lista matrizes 2_ano_2012_pdfLista matrizes 2_ano_2012_pdf
Lista matrizes 2_ano_2012_pdf
 
Mat69a
Mat69aMat69a
Mat69a
 
Implementação mód4
Implementação   mód4 Implementação   mód4
Implementação mód4
 
Matemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula MatrizesMatemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula Matrizes
 
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2
Funçao trig  matriz determinante e sistema 2 x2Funçao trig  matriz determinante e sistema 2 x2
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Matrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercíciosMatrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercícios
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinantewww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Determinante
 
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos   Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
 

Semelhante a Slide c03b cn 2020.1

MAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdfMAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdfGernciadeProduodeMat
 
Cálculo numérico aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...
Cálculo numérico   aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...Cálculo numérico   aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...
Cálculo numérico aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...Rodolfo Almeida
 
Sistemas Lineares.pptx
Sistemas Lineares.pptxSistemas Lineares.pptx
Sistemas Lineares.pptxTopsAvakinImvu
 
Apostila sistemas lineares
Apostila sistemas linearesApostila sistemas lineares
Apostila sistemas linearesday ....
 
Métodos Para Resolver Sistemas de Equações Lineares
Métodos Para Resolver Sistemas de Equações LinearesMétodos Para Resolver Sistemas de Equações Lineares
Métodos Para Resolver Sistemas de Equações LinearesMayara Mônica
 
MAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdfMAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdfGernciadeProduodeMat
 
Exercícios sistemas de equações
Exercícios sistemas de equaçõesExercícios sistemas de equações
Exercícios sistemas de equaçõesAdriano Silva
 
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs ComplexosImplementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexosinechidias
 
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs ComplexosImplementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexosinechidias
 

Semelhante a Slide c03b cn 2020.1 (20)

Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
 
MAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdfMAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Estudante.pdf
 
Cálculo numérico aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...
Cálculo numérico   aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...Cálculo numérico   aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...
Cálculo numérico aula 04 - resolução de sistemas de equações lineares - mét...
 
Sistemas Lineares.pptx
Sistemas Lineares.pptxSistemas Lineares.pptx
Sistemas Lineares.pptx
 
Sistemas Lineares.pptx
Sistemas Lineares.pptxSistemas Lineares.pptx
Sistemas Lineares.pptx
 
Apostila sistemas lineares
Apostila sistemas linearesApostila sistemas lineares
Apostila sistemas lineares
 
Métodos Para Resolver Sistemas de Equações Lineares
Métodos Para Resolver Sistemas de Equações LinearesMétodos Para Resolver Sistemas de Equações Lineares
Métodos Para Resolver Sistemas de Equações Lineares
 
sistema.ppt
sistema.pptsistema.ppt
sistema.ppt
 
Mat sc conicas 002
Mat sc conicas  002Mat sc conicas  002
Mat sc conicas 002
 
MAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdfMAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 3ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
 
58ad47702e6f04f314a21718ac26d233.pdf
58ad47702e6f04f314a21718ac26d233.pdf58ad47702e6f04f314a21718ac26d233.pdf
58ad47702e6f04f314a21718ac26d233.pdf
 
Exercícios sistemas de equações
Exercícios sistemas de equaçõesExercícios sistemas de equações
Exercícios sistemas de equações
 
Algebra linear operações com matrizes
Algebra linear operações com matrizesAlgebra linear operações com matrizes
Algebra linear operações com matrizes
 
Matematica computacional
Matematica computacionalMatematica computacional
Matematica computacional
 
Aula Oral 06
Aula Oral 06Aula Oral 06
Aula Oral 06
 
Eq nao lin
Eq nao linEq nao lin
Eq nao lin
 
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs ComplexosImplementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
 
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs ComplexosImplementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
 
Sistema lineal
Sistema linealSistema lineal
Sistema lineal
 
4 groebner danton4 dissertacao
4 groebner danton4 dissertacao4 groebner danton4 dissertacao
4 groebner danton4 dissertacao
 

Mais de Paulo Nascimento (9)

Distribuicao continua
Distribuicao continuaDistribuicao continua
Distribuicao continua
 
CN 07
CN 07CN 07
CN 07
 
Integracaonumerica
IntegracaonumericaIntegracaonumerica
Integracaonumerica
 
Slide cn c05 2020.1
Slide cn c05 2020.1Slide cn c05 2020.1
Slide cn c05 2020.1
 
Tutorial latex
Tutorial latexTutorial latex
Tutorial latex
 
Lmatead alg2020.1 s06
Lmatead alg2020.1 s06Lmatead alg2020.1 s06
Lmatead alg2020.1 s06
 
Introdução ao Cálculo Numérico S06
Introdução ao Cálculo Numérico S06Introdução ao Cálculo Numérico S06
Introdução ao Cálculo Numérico S06
 
Slide S05
Slide S05Slide S05
Slide S05
 
Lmatead icns05
Lmatead icns05Lmatead icns05
Lmatead icns05
 

Último

Sistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdf
Sistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdfSistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdf
Sistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdfAntonio Barros
 
Slide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptx
Slide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptxSlide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptx
Slide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptxsfwsoficial
 
Apresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativosApresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativosFernanda Ledesma
 
Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número Mary Alvarenga
 
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdfApostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdflbgsouza
 
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdfaulasgege
 
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxEB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxIlda Bicacro
 
BENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacional
BENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacionalBENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacional
BENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacionalDouglasVasconcelosMa
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteLeonel Morgado
 
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.HandersonFabio
 
TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.
TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.
TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.FLAVIA LEZAN
 
O que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de InfânciaO que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de InfânciaHenrique Santos
 
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PEEdital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PEblogdoelvis
 
Meu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livro
Meu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livroMeu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livro
Meu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livroBrenda Fritz
 
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-criançasLivro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-criançasMonizeEvellin2
 
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdfo-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdfCarolineNunes80
 
MARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHAS
MARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHASMARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHAS
MARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHASyan1305goncalves
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilMariaHelena293800
 

Último (20)

Sistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdf
Sistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdfSistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdf
Sistema de Acompanhamento - Diário Online 2021.pdf
 
Slide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptx
Slide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptxSlide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptx
Slide Licao 4 - 2T - 2024 - CPAD ADULTOS - Retangular.pptx
 
Apresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativosApresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativos
 
Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número
 
662938.pdf aula digital de educação básica
662938.pdf aula digital de educação básica662938.pdf aula digital de educação básica
662938.pdf aula digital de educação básica
 
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdfApostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
 
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
 
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxEB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
 
BENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacional
BENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacionalBENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacional
BENEFÍCIOS DA NEUROPSICOPEDAGOGIA educacional
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
 
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
 
TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.
TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.
TAMPINHAS Sílabas. Para fazer e trabalhar com as crianças.
 
O que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de InfânciaO que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de Infância
 
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PEEdital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
 
Meu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livro
Meu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livroMeu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livro
Meu corpo - Ruth Rocha e Anna Flora livro
 
Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja
 
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-criançasLivro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
 
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdfo-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
 
MARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHAS
MARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHASMARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHAS
MARCHA HUMANA. UM ESTUDO SOBRE AS MARCHAS
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
 

Slide c03b cn 2020.1

  • 1. Cálculo Numérico I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 16 de fevereiro de 2021 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
  • 2. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 3. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 4. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 5. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em proporções absurdas, à medida que n cresce. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 6. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em proporções absurdas, à medida que n cresce. Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações superior a 1020 e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 7. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n × n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em proporções absurdas, à medida que n cresce. Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações superior a 1020 e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução. Desta forma, a obtenção de métodos mais eficientes se faz necessário, visto que a resolução de sistemas lineares de grande ordem está associado a problemas do cotidiano. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 8. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 9. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de operações. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 10. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de operações. Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos mencionados até aqui. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 11. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1 e, em seguida, o cálculo de A−1B não é aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de operações. Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos mencionados até aqui. Na interpretação geométrica de um sistema linear 2 × 2, observe que poderíamos construir infinitos conjuntos de duas retas concorrentes cuja intersecção é um mesmo ponto. Portanto, cada um desses conjuntos formaria um sistema linear que teriam em comum a mesma solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 12. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Assim definimos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 13. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Assim definimos: Definition Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 14. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Assim definimos: Definition Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. A conclusão óbvia que devemos ter, portanto, é que uma estratégia para solucionar um sistema linear é transformá-lo em um sistema equivalente cuja solução é conhecida. Esta é a estratégia por trás de todos os métodos exatos. Na verdade, procura-se transformar o sistema original em outro equivalente na forma triangular. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 15. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 16. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular inferior se tiver a forma: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 17. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular inferior se tiver a forma:              a11x1 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 a31x1 + a22x2 + a23x3 = b2 . . . an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 18. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular superior se tiver a forma: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 19. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular superior se tiver a forma:          a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . annxn = bn 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 20. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular superior se tiver a forma:          a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . annxn = bn Em ambos os casos, assumimos que os elementos da diagonal principal da matriz A sejam todos não nulos para que o sistema tenha uma única solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 21. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e por retro-substituição, no segundo. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 22. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e por retro-substituição, no segundo. Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1 na primeira equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2 e assim por diante. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 23. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e por retro-substituição, no segundo. Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1 na primeira equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2 e assim por diante. No caso triangular superior fazemos de trás para frente começando com xn e voltando até obter x1. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 24. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 25. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: [ t]Triangular Inferior 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 26. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: [ t]Triangular Inferior              x1 = b1 a11 xi = bi − i−1 ∑ j=1 aijxj aii ; i = 2, 3, . . . , n. (1) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 27. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: [ t]Triangular Inferior              x1 = b1 a11 xi = bi − i−1 ∑ j=1 aijxj aii ; i = 2, 3, . . . , n. (1) [ t]Triangular Superior 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 28. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: [ t]Triangular Inferior              x1 = b1 a11 xi = bi − i−1 ∑ j=1 aijxj aii ; i = 2, 3, . . . , n. (1) [ t]Triangular Superior    x = bn 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 29. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 30. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 31. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 32. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . ... . . . an1 an2 . . . ann      (3) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 33. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . ... . . . an1 an2 . . . ann      (3) Os menores principais Ak de A de ordem k = 1, 2, . . . , n, são definidos pelas sub-matrizes: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 34. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . ... . . . an1 an2 . . . ann      (3) Os menores principais Ak de A de ordem k = 1, 2, . . . , n, são definidos pelas sub-matrizes: Ak =      a11 a12 . . . a1k a21 a22 . . . a2k . . . . . . ... . . . an1 an2 . . . akk      , k = 1, 2, . . . , n. (4) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 35. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais não nulos. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 36. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais não nulos. O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples, consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original (escalonamento). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 37. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui todos os menores principais não nulos. O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples, consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original (escalonamento). Essas operações são obtidas utilizando-se as operações elementares definidas no Teorema a seguir. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 38. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 39. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 40. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 41. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 42. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′ equivalente a AX = B. Observação Este escalonamento pode ser feito utilizando-se a matriz estendida que representa o sistema. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 43. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 44. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente          a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . annxn = bn 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 45. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente          a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . annxn = bn e suponha akk ̸= 0 no início da etapa k. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 46. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Método da eliminação de Gauss Eliminação para k = 1, . . . , n − 1 para i = k + 1, . . . , n m = aik akk aik ̸= 0 para j = k + 1, . . . , n. aij = aij − makj bi = bi − mbk Resolução xn = bn ann para k = n − 1, . . . , 1 s = 0 para j = k + 1, . . . , n s = s + akjxj xk = bk − s akk 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 47. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 48. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik = aik akk ; i = k + 1, . . . , n. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 49. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik = aik akk ; i = k + 1, . . . , n. e, por isso, não podemos ter akk = 0. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 50. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik = aik akk ; i = k + 1, . . . , n. e, por isso, não podemos ter akk = 0. Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros de arredondamento maiores. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 51. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik = aik akk ; i = k + 1, . . . , n. e, por isso, não podemos ter akk = 0. Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros de arredondamento maiores. Portanto, adotemos uma estratégia. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 52. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik = aik akk ; i = k + 1, . . . , n. e, por isso, não podemos ter akk = 0. Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros de arredondamento maiores. Portanto, adotemos uma estratégia. Observação Se em algum passo k encontrarmos a (k) kk = 0, isso significa que det(Ak) = 0. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 53. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik = aik akk ; i = k + 1, . . . , n. e, por isso, não podemos ter akk = 0. Para o elemento pivô akk próximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros de arredondamento maiores. Portanto, adotemos uma estratégia. Observação Se em algum passo k encontrarmos a (k) kk = 0, isso significa que det(Ak) = 0. Nesse caso, o sistema ainda pode ter solução determinada (basta que det(A) ̸= 0). O método pode ser continuado simplesmente permutando a k-ésima linha com a m-ésima linha onde m > k e a (k) mk ̸= 0. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 54. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 55. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Estratégia de Pivoteamento 1 Parcial 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k−1) ik ; i = k, k + 1, . . . , n. 2 Se necessário, trocar as linhas k e i. 2 Pivoteamento Completo 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A. 2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 56. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Estratégia de Pivoteamento 1 Parcial 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k−1) ik ; i = k, k + 1, . . . , n. 2 Se necessário, trocar as linhas k e i. 2 Pivoteamento Completo 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A. 2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 57. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Estratégia de Pivoteamento 1 Parcial 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k−1) ik ; i = k, k + 1, . . . , n. 2 Se necessário, trocar as linhas k e i. 2 Pivoteamento Completo 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A. 2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 58. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Estratégia de Pivoteamento 1 Parcial 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k−1) ik ; i = k, k + 1, . . . , n. 2 Se necessário, trocar as linhas k e i. 2 Pivoteamento Completo 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A. 2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 59. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Estratégia de Pivoteamento 1 Parcial 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k−1) ik ; i = k, k + 1, . . . , n. 2 Se necessário, trocar as linhas k e i. 2 Pivoteamento Completo 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A. 2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 60. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Estratégia de Pivoteamento 1 Parcial 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k−1) ik ; i = k, k + 1, . . . , n. 2 Se necessário, trocar as linhas k e i. 2 Pivoteamento Completo 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A. 2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 61. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Estratégia de Pivoteamento 1 Parcial 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k−1) ik ; i = k, k + 1, . . . , n. 2 Se necessário, trocar as linhas k e i. 2 Pivoteamento Completo 1 Escolhermos como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aij ∈ A. 2 Se necessário, trocar as linhas e colunas i e j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 62. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Observação A estratégia de pivoteamento completo não é muito utilizada devido ao trabalho e esforço computacional. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 63. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Estratégias de Pivoteamento Observação A estratégia de pivoteamento completo não é muito utilizada devido ao trabalho e esforço computacional. Example Resolva o sistema utilizando o método da eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial.        2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 2 −x1 + 2x2 + 7x3 + 2x4 = 5 4x1 + 3x2 + 2x3 − 4x4 = 11 x1 + x2 − x3 + 3x4 = 3 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 64. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 65. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU O método O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas triangulares, ou seja, 1 LY = B. 2 UX = Y. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 66. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU O método O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas triangulares, ou seja, 1 LY = B. 2 UX = Y. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 67. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU O método O método de fatoração ou decomposição LU consiste em decompor a matriz A do sistema linear AX = B em um produto de duas matrizes L e U, duas matrizes triangulares: L inferior com diagonal unitária e U superior, respectivamente. Desta forma, a solução do sistema original passa a ser obtido pela resolução de dois sistemas triangulares, ou seja, 1 LY = B. 2 UX = Y. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 68. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando resolvido produz o vetor X que procuramos. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 69. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando resolvido produz o vetor X que procuramos. Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 70. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando resolvido produz o vetor X que procuramos. Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 71. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração ou Decomposição LU Portanto, resolvendo um sistema triangular inferior determinamos Y. Substituindo o valor de Y no sistema UX = Y obtemos um sistema triangular superior que quando resolvido produz o vetor X que procuramos. Assim, a redução do nosso sistema a um par de sistemas triangulares passa pela determinação das matrizes L e U acima. O teorema abaixo determina as condições sob as quais a decomposição de uma matriz A no produto LU pode ser feita. Demonstração: Consultar as notas de aula do professor. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 72. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 73. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A. Seja então L · U igual a: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 74. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A. Seja então L · U igual a:       1 l21 1 l31 l32 1 . . . . . . . . . ... ln1 ln2 ln3 · · · 1       ·       u11 u21 u13 · · · u1n u22 u23 · · · u2n u33 · · · u3n ... . . . unn       6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 75. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto, na prática, podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A. Seja então L · U igual a:       1 l21 1 l31 l32 1 . . . . . . . . . ... ln1 ln2 ln3 · · · 1       ·       u11 u21 u13 · · · u1n u22 u23 · · · u2n u33 · · · u3n ... . . . unn       e a matriz A como na definição de menores principais. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 76. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 77. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 1a linha de U: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 78. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 1a linha de U: Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos elementos da 1a linha de A, obtemos: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 79. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 1a linha de U: Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos elementos da 1a linha de A, obtemos: 1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11, 1 · u12 = a12 ⇒ u12 = a12, 1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11, . . . 1 · u1n = a1n ⇒ u1n = a1n, 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 80. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 1a linha de U: Fazendo o produto da 1a linha de L por todas as colunas de U e igualando aos elementos da 1a linha de A, obtemos: 1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11, 1 · u12 = a12 ⇒ u12 = a12, 1 · u11 = a11 ⇒ u11 = a11, . . . 1 · u1n = a1n ⇒ u1n = a1n, ou seja: uij = aij, j = 1, 2, . . . , n. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 81. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal principal) obtemos: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 82. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal principal) obtemos: l21 · u11 = a21 ⇒ l21 = a21 u11 , l31 · u11 = a31 ⇒ l31 = a31 u11 , . . . ln1 · u11 = an1 ⇒ ln1 = an1 u11 , 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 83. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 1a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2a até a na), pela 1a coluna de U e igualando com os elementos da 1a coluna de A (abaixo da diagonal principal) obtemos: l21 · u11 = a21 ⇒ l21 = a21 u11 , l31 · u11 = a31 ⇒ l31 = a31 u11 , . . . ln1 · u11 = an1 ⇒ ln1 = an1 u11 , ou seja: li1 = ai1 u11 , i = 1, 2, . . . , n. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 84. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a linha de U: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 85. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a linha de U: Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 86. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a linha de U: Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos: l21 · u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21u12, l21 · u13 + u23 = a23 ⇒ u23 = a23 − l21u13, . . . l21 · u1n + u2n = a2n ⇒ u2n = a2n − l21u1n, 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 87. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a linha de U: Fazendo o produto da 2a linha de L por todas as colunas de U, (da 2a até a na), e igualando aos elementos da 2a linha de A, (da diagonal principal em diante), obtemos: l21 · u12 + u22 = a22 ⇒ u22 = a22 − l21u12, l21 · u13 + u23 = a23 ⇒ u23 = a23 − l21u13, . . . l21 · u1n + u2n = a2n ⇒ u2n = a2n − l21u1n, ou seja: u2j = a2j − l21u1j, j = 3, 4, . . . , n. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 88. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal principal) obtemos: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 89. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal principal) obtemos: l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 = a32 − l31u12 u22 , l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 = a42 − l41u12 u22 , . . . ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 = an2 − ln1u12 u22 , ou seja: li2 = ai2 − li2u12 u22 , i = 3, 4, . . . , n. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 90. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal principal) obtemos: l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 = a32 − l31u12 u22 , l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 = a42 − l41u12 u22 , . . . ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 = an2 − ln1u12 u22 , ou seja: li2 = ai2 − li2u12 u22 , i = 3, 4, . . . , n. Se continuarmos calculando 3a linha de U, 3a coluna de L, 4a linha de U, 4a coluna de 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 91. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU 2a coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3a até a na) pela 2a coluna de U e igualando aos elementos da 2a coluna de A (abaixo da diagonal principal) obtemos: l31 · u12 + l32 · u22 = a32 ⇒ l32 = a32 − l31u12 u22 , l41 · u12 + l42 · u22 = a42 ⇒ l42 = a42 − l41u12 u22 , . . . ln1 · u12 + ln2 · u22 = an2 ⇒ ln2 = an2 − ln1u12 u22 , ou seja: li2 = ai2 − li2u12 u22 , i = 3, 4, . . . , n. Se continuarmos calculando 3a linha de U, 3a coluna de L, 4a linha de U, 4a coluna de 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 92. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Esquema Prático para a Decomposição LU Observação A decomposição LU é um dos algoritmos mais eficientes para o cálculo do determinante de uma matriz. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 93. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 94. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 95. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 96. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 97. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 98. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:         1 0 0 0 · · · 0 l21 1 0 · · · 0 l31 l32 1 ... . . . . . . . . . . . . ... 0 ln1 ln2 ln3 · · · 1         e 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 99. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:         1 0 0 0 · · · 0 l21 1 0 · · · 0 l31 l32 1 ... . . . . . . . . . . . . ... 0 ln1 ln2 ln3 · · · 1         e        u11 u12 u13 · · · u1n 0 u22 u23 · · · u2n 0 0 u33 · · · u3n . . . ... ... ... . . . 0 · · · 0 0 unn        7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 100. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:         1 0 0 0 · · · 0 l21 1 0 · · · 0 l31 l32 1 ... . . . . . . . . . . . . ... 0 ln1 ln2 ln3 · · · 1         e        u11 u12 u13 · · · u1n 0 u22 u23 · · · u2n 0 0 u33 · · · u3n . . . ... ... ... . . . 0 · · · 0 0 unn        onde 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 101. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto O método de Eliminação de Gauss pode ser interpretado como um método para a obtenção da decomposição LU. Basta, para isto, notarmos que a matriz triangular superior obtida ao final da aplicação desse método é a matriz U da decomposição. A matriz L é formada pelos multiplicadores de cada linha, assim:         1 0 0 0 · · · 0 l21 1 0 · · · 0 l31 l32 1 ... . . . . . . . . . . . . ... 0 ln1 ln2 ln3 · · · 1         e        u11 u12 u13 · · · u1n 0 u22 u23 · · · u2n 0 0 u33 · · · u3n . . . ... ... ... . . . 0 · · · 0 0 unn        onde lij = a (j) ij a (j) jj , i > j; u1j = a (1) 1j , j = 1, 2, . . . , n; uij = a (j−1) ij − li(i−1) · a (i−1) (i−1)j, j ≥ i. (3) 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 102. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos correspondem àqueles definidos em (??). 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 103. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos correspondem àqueles definidos em (??). Para isso substituímos os valores de a (k) ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos recuperar as expressões. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 104. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos correspondem àqueles definidos em (??). Para isso substituímos os valores de a (k) ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos recuperar as expressões. O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U compactamente na forma: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 105. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos correspondem àqueles definidos em (??). Para isso substituímos os valores de a (k) ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos recuperar as expressões. O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U compactamente na forma:        u11 u12 u13 · · · u1n u1,n+1 l21 u22 u23 · · · u2n u2,n+1 l31 l32 u33 · · · u3n u3,n+1 . . . ... ... ... . . . . . . ln1 ln2 ln3 · · · unn un,n+1        7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 106. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto É relativamente fácil demonstrar que os valores de lij e uij acima definidos correspondem àqueles definidos em (??). Para isso substituímos os valores de a (k) ij nas expressões de lij e uij acima e tentamos recuperar as expressões. O método recebe esse nome porque podemos armazenar as matrizes L e U compactamente na forma:        u11 u12 u13 · · · u1n u1,n+1 l21 u22 u23 · · · u2n u2,n+1 l31 l32 u33 · · · u3n u3,n+1 . . . ... ... ... . . . . . . ln1 ln2 ln3 · · · unn un,n+1        de forma a economizar espaço na memória, pois as matrizes L e U podem ser armazenadas sobre a matriz original A, com o inconveniente de que a matriz A é destruída. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 107. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 108. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples. Esse procedimento é bastante usual e conveniente para simplificar a programação desses métodos. Ao final do processo do método de Gauss compacto na matriz A original teremos armazenado as matrizes L e U como no esquema acima. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 109. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss Compacto Na matriz acima o vetor independente B foi incorporado à matriz A como sua última coluna, como já havíamos feito para o método de Gauss simples. Esse procedimento é bastante usual e conveniente para simplificar a programação desses métodos. Ao final do processo do método de Gauss compacto na matriz A original teremos armazenado as matrizes L e U como no esquema acima. Example Usando o Método de Gauss Compacto resolver o sistema matricial (a)   5 −2 1 −3 1 4 −1 1 3   ·   x1 x2 x3   =   12 −3 2   (b)   5 −2 1 −3 1 4 −1 1 3   ·   y1 y2 y3   =   −3 11 7   7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 110. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 111. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca de linhas, as mesmas que fizemos em P(i). 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 112. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca de linhas, as mesmas que fizemos em P(i). Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do sistema linear resolvendo as equações 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 113. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca de linhas, as mesmas que fizemos em P(i). Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do sistema linear resolvendo as equações 1 LY = PB; P = P(i) · P(i−1) · . . . · P(0); 2 UX = Y. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 114. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial Ao multiplicarmos à esquerda uma matriz A por uma matriz P(i) obtida pela troca entre linhas da matriz identidade, de mesma ordem que A, a matriz resultante é uma matriz A′ equivalente a A onde a única operação elementar nela efetuada foi a troca de linhas, as mesmas que fizemos em P(i). Na fatoração LU com estratégia de pivoteamento parcial necessitaremos dessas matrizes P(i) que descrevem as operações de troca de linhas necessárias para esta estratégia, pois, sob as mesmas hipóteses do Teorema ?? encontramos a solução do sistema linear resolvendo as equações 1 LY = PB; P = P(i) · P(i−1) · . . . · P(0); 2 UX = Y. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 115. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 116. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ?? não são válidas. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 117. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ?? não são válidas. Porém, se trocarmos, por exemplo, as linhas 2 e 3, já poderemos decompor a matriz dos coeficientes em fatores LU, tornando o método mais robustos. Entretanto, além da dificuldade com as hipóteses do teorema da decomposição LU a estratégia de pivoteamento devemos nos preocupar com o problema mais sério que está relacionado com a propagação dos erros de truncamento do computador, problema este já visto anteriormente. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 118. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial A questão ??.2 apresenta um sistema de equações onde as hipóteses do teorema ?? não são válidas. Porém, se trocarmos, por exemplo, as linhas 2 e 3, já poderemos decompor a matriz dos coeficientes em fatores LU, tornando o método mais robustos. Entretanto, além da dificuldade com as hipóteses do teorema da decomposição LU a estratégia de pivoteamento devemos nos preocupar com o problema mais sério que está relacionado com a propagação dos erros de truncamento do computador, problema este já visto anteriormente. Para ilustrar essa situação consideremos um exemplo hipotético: um sistema linear de ordem 2, que deve ser resolvido em um computador que trabalha apenas com 3 dígitos significativos. Tal exemplo servirá para ilustrar o que acontece com um sistema de grande porte num computador qualquer (que sempre trabalha com um número fixo e finito de dígitos significativos). 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 119. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Example Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 120. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Example Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear: [ 0.0001 1.0000 1.0000 1.0000 ] · [ x1 x2 ] = [ 1.0000 2.0000 ] 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 121. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Example Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear: [ 0.0001 1.0000 1.0000 1.0000 ] · [ x1 x2 ] = [ 1.0000 2.0000 ] usando em todas as operações três dígitos significativos. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 122. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse sistema é: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 123. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse sistema é: [ 1.00010 0.99990 ] . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 124. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse sistema é: [ 1.00010 0.99990 ] . Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitos significativos em todas as operações, obtemos: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 125. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse sistema é: [ 1.00010 0.99990 ] . Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitos significativos em todas as operações, obtemos: [ 0.0001 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 ] ∼ [ 0.0001 1.0000 1.0000 0.0000 −10000 −10000 ] , 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 126. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse sistema é: [ 1.00010 0.99990 ] . Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitos significativos em todas as operações, obtemos: [ 0.0001 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 ] ∼ [ 0.0001 1.0000 1.0000 0.0000 −10000 −10000 ] , cuja solução é: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 127. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse sistema é: [ 1.00010 0.99990 ] . Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitos significativos em todas as operações, obtemos: [ 0.0001 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 ] ∼ [ 0.0001 1.0000 1.0000 0.0000 −10000 −10000 ] , cuja solução é: X = [ 0 1 ]T . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 128. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial Solução: É fácil verificar através de substituição direta, que a solução exata desse sistema é: [ 1.00010 0.99990 ] . Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitos significativos em todas as operações, obtemos: [ 0.0001 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 ] ∼ [ 0.0001 1.0000 1.0000 0.0000 −10000 −10000 ] , cuja solução é: X = [ 0 1 ]T . Portanto, obtemos uma solução muito diferente da solução exata do sistema. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 129. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 130. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε. Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no resultado é m · ε. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 131. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε. Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no resultado é m · ε. Portanto, quanto maior for m, maior será o erro. Neste caso, dizemos que o erro foi amplificado. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 132. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros A propagação de erros ocorre, principalmente, quando multiplicamos um número muito grande por outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que um número γ possua erro de arredondamento ε. Assim, podemos escrever γ̄ = γ + ε. Se multiplicamos γ̄ por m, temos que m · γ̄ = m · γ + m · ε e, portanto, o erro no resultado é m · ε. Portanto, quanto maior for m, maior será o erro. Neste caso, dizemos que o erro foi amplificado. No método de Eliminação de Gauss fazemos vários produtos com os multiplicadores. Uma análise criteriosa da propagação dos erros de arredondamento para o algoritmo de Gauss indica a conveniência de serem todos esses multiplicadores (as constantes a (k) ik a (k) kk do k-ésimo passo menores que 1). 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 133. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros Example Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 134. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros Example Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior elemento em módulo na primeira coluna. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 135. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros Example Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior elemento em módulo na primeira coluna. Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 136. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros Example Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior elemento em módulo na primeira coluna. Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos: [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0001 1.0000 1.0000 ] ∼ [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0000 1.0000 1.0000 ] , 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 137. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros Example Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior elemento em módulo na primeira coluna. Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos: [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0001 1.0000 1.0000 ] ∼ [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0000 1.0000 1.0000 ] , cuja solução é: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 138. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros Example Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior elemento em módulo na primeira coluna. Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos: [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0001 1.0000 1.0000 ] ∼ [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0000 1.0000 1.0000 ] , cuja solução é: X = [ 1.0000 1.0000 ]T , 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 139. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Propagação dos Erros Example Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial. Solução: Iniciemos trocando as linhas do sistema original pois o pivô não é o maior elemento em módulo na primeira coluna. Em seguida, aplicando-se o método de Eliminação de Gauss, obtemos: [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0001 1.0000 1.0000 ] ∼ [ 1.0000 1.0000 2.0000 0.0000 1.0000 1.0000 ] , cuja solução é: X = [ 1.0000 1.0000 ]T , uma solução bem mais próxima da solução exata do sistema. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 140. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares REFERÊNCIAS 1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas: UFRB, 2021. 2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997. 3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021
  • 141. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares FIM Votos e agradecimentos Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde mais! Sucesso! 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 16 de fevereiro de 2021