SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 22
Baixar para ler offline
TURMA DO M˘RIO
Álgebra

Porcentagem

Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0 é a razão
 x             x    a                x
     tal que:    = , e se indica:       = x% .
100           100 b                100
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de
                                                   x
um número, significa multiplicar este número por     .
                                                 100
                         15
Exemplo: 15 % de 200 =        . 200 = 30 .
                        100

Potenciação

Definições

∀ a ∈ R ⇒ a0 = 1
∀ a ∈ R e ∀ n ∈ N ⇒ a n = a n−1 . a

Propriedades

1. a m . a n = a m+n
    am
2. n = a m−n , a ≠ 0
    a
3. (a m ) n = a m . n
4. (a . b) n = a n . b n
5. (a : b)n = an : bn , b ≠ 0
             1
6. a – n = n , a ≠ 0
             a


                              ( m)
                                 n          n
Nota: Em geral a                     ≠ am
                 Em geral (a + b) ≠ a n + b n
                                     n




Radiciação

Propriedades

1.   n
       a .b=na . n b
2.   n
       a : b = n a : n b ,b ≠ 0

     ( a)
                 m
3.       n
                     = n am

4.   m       n
                 a = n .m a
                       m
5.   n
         am = a n
     n .p
6.           am . p = n am


                                                                     www.turmadomario.com.br -1
Produtos notáveis
(a + b) × (a – b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 × (ab + ac + bc)


Fatoração
ab + ac = a × (b + c)
ab + ac + db + dc = a × (b + c) + d × (b + c) = (b +c) × (a + d)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
ax2 + bx + c = a.(x – a1) × (x – a2), onde a1 e a2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
a3 + b3 = (a + b) × (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) × (a2 + ab + b2)
a2 + b2 +c2 + 2 × (ab + ac + bc) = (a + b + c)2


Números naturais
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor
natural comum entre eles for 1.

Quantidade de divisores naturais de um número natural

Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) × (q+1) × (r+1)... divisores positivos, sendo n um
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.


Seqüências
Definições
Seqüência real é toda função f : I ® R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n}
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita.
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.




                                                                                              2
Progressão Aritmética (PA)

Definição
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA.
Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r


Classificação das PA´s
Uma PA de números reais pode ser:
  I.crescente: (razão positiva): r >0 Þ a n+1 > a n
 II. decrescente (razão negativa): r < 0 Þ a n+1 < a n
III. constante (razão nula): r = 0 Þ a n+1 = a n


Fórmula do termo geral de uma PA

Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então:        an = a1 + (n – 1) × r, n Î N*

Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
              (ap), poderemos utilizar a regra:

an = ap + (n – p) × r, n,p Î N*



Termos eqüidistantes em PA
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,...          ..., ap-1, ap, ap+1,...   ...,an), tem-se:

       a p -k + a p + k
ap =                      com p, k Î IN*
              2



Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3,...        ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:

       (a 1 + a n ) × n
Sn =
             2




                                                                                                  3
Progressão Geométrica (PG)

Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.
Conseqüência da definição:
                    a n+ 1
Se an ¹ 0, então q =       ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo
                     an
qualquer pelo seu antecessor.
Classificação das PG´s:
Uma PG pode ser:
 I.Crescente: quando an+1 > an
   Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2
II. Decrescente: quando an+1 < an
    Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3
III. Constante: quando an+1 = an
     Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1
IV.Alternante: quando a1 ¹ 0 e q < 0
   Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2
V. Não decrescente: quando a1 < 0 e q = 0
   Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0
VI.Não crescente: quando a1 > 0 e q = 0
   Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0


Fórmula do termo geral da PG
                                                                  n–1
Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: an = a1 × q    , n Î N*

Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
                  (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap × qn – p, n,p Î N*


Termos eqüidistantes em PG
Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,...       ..., ap-1, ap, ap+1,...   ...,an), então:

(ap)2 = (ap – k) × (ap + k), p,k Î N*



Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)

Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros
                               n(n-1)
                                ×                                     n
                            n
termos. Assim:     Pn =   a1 ×q 2             ou     Pn =   (a1 × an) 2




                                                                                              4
Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)

Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n
primeiros termos. Assim:
                                                            a 1 × (qn - 1)
Se a PG não for constante, ou seja q ¹ 1 teremos: Sn =
                                                                 q -1

Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos: Sn = n × a1



Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série)
Quando lim S n = S existe e é finito, dizemos que a série converge para S.
         n®¥
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode
                                                                                       a1
determinar tal soma). Se – 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S n = S =
                                                                      n®¥             1- q



Função Exponencial

f(x) = ax ;           a>0      e       a¹1          Imf = IR *
                                                             +
                                                     Df = IR
              y                                          y




                            a>1                                  0<a<1
                            função crescente                     função decrescente
                      1


                  0                x                     0               x




Propriedades de potência
1. am . an = am + n
2. am : an = am – n , a ¹ 0
3. (am)n = am .n
4. n a m = a m n , n Î IN / n >1
           1
5. a– n = , a ¹ 0
          an




                                                                                              5
Equação exponencial
af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x)


Inequação exponencial
af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x), se a >1
af(x) > ag(x) Û f(x) < g(x), se 0 < a < 1


Logaritmo

Definição
logba = x Û a = bx com a > 0, 0 < b ¹ 1


Propriedade de logaritmo
1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1
2. logc æ ö = logca – logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1
          a
        ç ÷
        è bø
3. logc am = m . logca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR
            1
4. logcm a = . logca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR*
            m



Função Logarítmica

f(x) = logax , a > 0 e a ¹ 1           Imf = IR
                                        Df = IR *
                                                +

y                                             y




    0   1                   x                     0   1        x
              a>1                                         0<a<1
              função crescente                            função decrescente




                                                                               6
Geometria Plana

Relações métricas no triângulo retângulo

                                                   h2=m × n           b × c=a × h
    b           h               c                  b2=a × m           a2=b2 + c2 (Pitágoras).
        m                   n                      c2=a × n

                        a



Relações métricas no círculo
                                                              P                      B
                                                    A
A                                       B
            P           D                               C                                     A

C
                    B                                                                               P
                                            D                                            T

PA × PB = PC × PD                       PA × PB = PC × PD                         (PT)2 = PA × PB


Lei dos
                                      a    b    c
                                        =    =     = 2R
                                    sena senb seng




Lei dos cossenos

                                                a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a
                                                b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b
                                                c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g




                                                                                                        7
Teorema de Tales
a1 // a2 // a3 // .....




                                                           AB     BC    CD    AC    AD
                                                                =     =     =     =
                                                           A' B' B' C' C' D' A' C' A' D'



Teorema da bissetriz interna
               A



       b                                   c

               x                       y                         b c
                                                                  =
                       S                                         x y



Teorema da bissetriz externa
                           A

                   b                               c
                               c

                                               y
       C                                                     S
                           B
                                                                              b c
                                           x                                   =
                                                                              x y




Semelhança de triângulos
                       A

                                                                          P
                                           b
 H             c                                                                     y
                                                             h        z

           B                                           C          Q                      R
                                   a                                            x

a b c H                                                       Área DABC
 = = = =k                                                                     = k2
x y z h                                                       Área DPQR




                                                                                             8
Arcos e ângulos




                               a                        a+b
a=a                       a=                       a=
                               2                         2


           b




     a–b                       a
a=                        a=
      2                        2


Razões trigonométricas
                                 b             c
                         sen a =       sen b =
                                 a             a
                                 c             b
                         cos a =       cos b =
                                 a             a
                                b             c
                         tg a =        tg b =
                                c             b


Comprimento da circunferência

       R


               C = 2pR



Base média de triângulo




                            «     «
                            MN // BC
                                  BC
                            MN =
                                   2




                                                              9
Base média de trapézio


                                  «     «
                                  MN // AB
                                        AB+ CD
                                  MN =
                                           2




Baricentro de triângulo




Polígonos convexos
Sendo    n = número de lados;
         d = número de diagonais;
         Si = soma dos ângulos internos e
         Se = soma dos ângulos externos,

              n(n – 3)
temos:   d=                 Si = (n – 2) × 180ºe   Se = 360º
                 2


Áreas
Retângulo                    Quadrado                 Paralelogramo




Triângulo                   Trapézio




                                                                      10
Losango 1                                  Losango 2



                                                                 (AC) × (BD)
                                          B            A Los =
                                                                     2

                                               C

Fórmulas especiais para área do triângulo




     l2 3                                b×c
A=                                  A=                     A = p(p – a) × (p – b)(p – c)
       4                                  2
                                                                               a +b +c
                                                           em que p =
                                                                                  2




     1                                                            a ×b×c
A=     × a × b × sena               A=rp                   A=
     2                                                              4R
                                         a +b +c
                                    p=
                                            2

Círculo


          R


                        A = p ×R2

Setor circular




     a ×p ×R2                           a ×R2                     l ×R
A=                                  A=                     A=
      360º                                2                        2
                                    a em radianos




                                                                                           11
Análise Combinatória / Probabilidades

                 æ nö     n!                 æ combinação de n objetos distintos       ö
Número binomial: ç ÷ =
                 ç p ÷ p!(n – p)! = C n, p = ç agrupados de p em p
                                             ç                                         ÷
                                                                                       ÷
                 è ø                         è                                         ø
                             æ nö       æ nö                 æ nö         n æ nö
Teorema binomial: (a + b)n = ç ÷ anb0 + ç ÷ an – 1b1 +. . .+ ç ÷ a0bn = å ç ÷ a n–i bi
                             ç0÷        ç 1÷                 ç n÷            ç ÷
                             è ø        è ø                  è ø        i =o è i ø

                      n!
Arranjo: An, p =            Þ n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p
                   (n – p)!
Permutação de n objetos distintos: Pn = n!
                                                          n!       a objetos iguais entre si
Permutação de elementos repetidos: Pna, b, g =                 ,
                                                        a!b!g!     b objetos iguais entre si
                                                                   g objetos iguais entre si

                                       n.o de elementos do conjunto evento n(A)
Probabilidade de ocorrer um evento =                                      =     = P(A)
                                       n.o de elementos do espaço amostral n(E)

æ probabilidade de ocorrer ö              æ ocorrer o   ö
ç
ç o evento A               ÷ e em seguida ç
                           ÷              ç evento B    ÷=
                                                        ÷
è                          ø              è             ø
                          æ probabilidade de    ö
 æ probabilidade de ö ç                         ÷
=ç
 ç ocorrer o evento A ÷ x ç ocorrer o evento B
                      ÷                         ÷ Þ Teorema da multiplicação
 è                    ø ç sabendo que A ocorreu ÷
                          è                     ø
Exemplo:

  2 bolas azuis        æ tirar uma bola azul e em ö 2 1
  5 bolas verdes       ç seguida uma bola azul ÷ = 7 ´ 6
                      Pç                          ÷
                       è                          ø
                                                                   chance de retirar uma
                                                                   bola azul sabendo que
                                                                   já saiu uma azul


Conjuntos, Funções e Inequações

Relação
Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a
qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x Î A Ù x Î B}).


Definição
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x Î A, existe um único y
Î B tal que (x; y) Î f. (Indica-se: f : A ® B).




                                                                                               12
Exemplo                    Contra-exemplo

 A             B            A               B        · Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5}
       f                            g
 1             3            1               4        · Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4}
 2             4            2               5        · Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6}
 5             6            3               6
                                                     · 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5)
f é função                  g não é função           · 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)



Tipos de função
Função crescente e decrescente

· Uma função f é crescente em A Ì Df Û (x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2), " x1, x2 Î A).
· Uma função f é decrescente em A Ì Df Û (x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2), " x1, x2 Î A).

Função injetora, sobrejetora e bijetora

· Uma f : A ® B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em
  B (" x1, x2 Î A, x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)).
· Uma f : A ® B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A
  (Im(f) = CD(f) ou " y Î B, $ x Î A / f(x) = y)
· Uma função de f : A ® B é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
 A             B       A                B        A             B        A           B
           f                    f                        f                    f
 1             4       1                4        3             1       1            4
 2             5       3                3        4             2       2            5
 3                     5                2        6             3       3            6
                                        1
f é sobrejetora      f é injetora               f é bijetora           f não é injetora
e não é injetora     e não é sobrejetora                               e nem sobrejetora


Função par e ímpar

· Uma função f : A ® B é par Û " x Î A, f(x) = f( – x).
· Uma função f : A ® B é ímpar Û " x Î A, f(x) = – f( – x).

Função periódica

· Uma função f : A ® B é periódica de período p Û " x Î A, f(x + p) = f(x), p > 0.

Função composta

· Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que
  fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.




                                                                                               13
Função inversa

· Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A ® B a função f– 1: B ® A, tal que
  f–1 (y) = x.
 Observação:
 Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática
 y = f(x)
 a. troca-se x por y e y por x;
 b. coloca-se o novo y em função do novo x.


Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Propriedades dos determinantes
a. det(At) = det(A).
b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero.
c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica
   multiplicado por –1.
d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é
   igual a zero.
e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser
   colocado em “evidência”.
f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A)
g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B)
   Atenção: em geral, det(A+B) ¹ det(A) + det(B)
h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma
   matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna)
   paralela multiplicada por uma constante.
                          é1     0 0    0ù
                          ê –3   4 0    0ú
i. Matriz Triangular: A = ê              ú Þ det(A) = 1× 4(–5) × 8
                          ê2     3 –5   0ú
                          ê5     6 7    8ú
                          ë              û


Multiplicação de matrizes
æ a bö æ x y ö      æ ax + bz ay + bw ö
ç c d ÷ × ç z w ÷ = ç cx + dz cy + dw ÷
ç     ÷ ç       ÷   ç                 ÷
è     ø è       ø   è                 ø

a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um
   sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D ¹ 0, onde D é o determinante da
   matriz dos coeficientes de tal sistema.
b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é
   impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando
   ordenadamente as incógnitas das equações.
   A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a ¹ 0; tem infinitas
   soluções para a = 0 e b = 0 e não tem solução para a = 0 e b ¹ 0.


                                                                                               14
Trigonometria

                                                                 kp ö
Relações Fundamentais                        Conseqüências æ x ¹
                                                           ç        ÷
                                                           è      2 ø
                                                      1
sen2x + cos2x = 1, "x Î R                    cotgx =
                                                     tgx
        senx æ    p     ö
tgx =        ç x ¹ + kp ÷                    1 + tg2x = sec2x
        cosx è    2     ø
          cosx
cotgx =        ( x ¹ kp)                     1 + cotg2x = cossec2x
          senx
          1 æ      p     ö                                         1
secx =        ç x ¹ + kp ÷                         cos 2 x =
         cosx è    2     ø                                     1+ tg2 x

              1                                          tg2 x
cossecx =        ( x ¹ kp )                  sen2 x =
            senx                                        1+ tg2 x



Fórmulas de adição
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
               tg a + tg b
tg(a + b) =
              1– tg a × tg b
               tg a – tg b
tg(a – b) =
              1+ tg a × tg b



Fórmulas de multiplicação

Arcos duplos                                 Arcos Triplos

sen 2a = 2 sen a cos a                       sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a
         ìcos 2 a – sen2 a                   cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a
         ï
         ï ou                                           3 tga – tg3 a
         ï                                   tg 3a =
cos 2a = í 2cos 2 a – 1                                   1– 3tg2 a
         ï ou
         ï          2
         ï
         î 1– 2sen a
           2 tg a
tg 2a =
          1– tg2 a




                                                                           15
Fórmulas de divisão
   x    1– cos x                     x    1+ cos x     x    1– cos x
sen = ±                           cos = ±            tg = ±
   2       2                         2       2         2    1+ cos x


Fórmulas de transformação em produto
                          p+ q       p– q
cos p+ cos q = 2 × cos         × cos
                           2          2

                           p+ q       p– q
cos p – cos q = –2 × sen        × sen
                            2          2

                          p+ q       p– q
sen p+ sen q = 2 × sen         × cos
                           2          2

                          p– q       p+ q
sen p – sen q = 2 × sen        × cos
                           2          2

                 sen(p+ q)
tg p+ tg q =
                cos p × cos q

                 sen(p – q)
tg p – tg q =
                cos p × cos q

Equações trigonométricas fundamentais

sen a = sen b Þ a = b+ 2kp ou a = (p – b) + 2kp
cos a = cos b Þ a = ±b + 2kp
tg a = tg b Þ a = b+ kp

Funções circulares inversas

                                 p     p
y = arc senx Û seny = x e –        £y£
                                 2     2

y = arc cosx Û cosy = x e 0 £ y £ p

                                p     p
y = arc tgx Û tgy = x e –         <y<
                                2     2




                                                                       16
Geometria Espacial

· O volume de um prisma e o de um cilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da
  área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de um cone reto (ou
  oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura.


                                R

                                                                         H          H         g
                H                       H


        B                                                   B                           R




              V = BH                                                   1
                                                                   V = — BH
                                                                       3

· Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um
  retângulo de lados 2pR e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é:




· Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor
  circular de raio g e arco 2pR. Então a área lateral do cone reto é.




                                                                         2pR × g
                                                    AL = Asetor Þ AL =           Þ AL = pRg
                                                                           2
                                                    Sendo a a medida, em graus, do setor,
                                                    temos:
                                                             2pR × g    a              a
                                                    Asetor =         =      pg2 Þ R =      g
                                                               2       360º           360º



· O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por:


                                                 4 3
        R           A = 4 pR2       e       V=     pR
                                                 3




                                                                                                  17
Números Complexos

Forma algébrica
Nomenclatura

z = a + bi (a, b Î IR)
i = unidade imaginária
a = Re (z) = parte real de z
b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z

Exemplos de números complexos

z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro.
z = – 6 = – 6 + 0i = número real.
z = a + bi (b ¹ 0) = número imaginário ou número complexo não real.

Potências inteiras de i (ik, k Î ZZ )

i0 = 1          e    i4k = 1
i1 = i          e    i4k+1 = i4k . i1 = i
i2 = – 1        e    i4k+2 = i4k . i2 = – i
i3 = – i        e    i4k+3 = i4k . i3 = – i

Conjugado de z = a + bi (a, b Î IR)

z = a – bi

Propriedades

1. z + w = z + w
2. z . w = z . w

3. æ ö =
    z    z
   ç ÷
   èwø w

4. z n = ( z ) n       (n Î ZZ)

5. ( z ) = z

Produtos e divisões notáveis

1. (1 + i)2 = 2i
2. (1 – i)2 = – 2i
3. (1+ i)(1 – i) = 2
     1+ i
4.        =i
     1– i
     1– i
5.        =–i
     1+ i



                                                                      18
Igualdade na forma algébrica


a + bi = c + di         Û    a=c     e   b=d               (a, b, c, d Î IR)


Representação no plano de Argand-Gauss

                                                z = a + bi = (a, b) = P (a, b Î IR)


                                                P = afixo de z
                                                dop = |z| = a 2 + b2 = módulo de z
                                                q + k . 2p = arg(z) = argumento de z
                    0
                                                (0 £ q < 2p)
                                                q = argumento principal de z




Propriedades

1. | z |2 = z . z
2. |z . w | = | z | . | w |
     z   z
3.     =                (w ¹ 0)
     w   w

4. | z n | = | z | n , n Î ZZ

5. | z + w | £ | z | + | w |

6. | z | = | z |


Forma trigonométrica de z Î C*
z = a + bi = | z | (cos q + isen q )
                     ìcos q = a
                     ï
                     ï          z
| z | = a 2 + b2 e í
                                b
                     ïsen q =
                     ï
                     î          z

Igualdade na forma trigonométrica

|z|( cos q + i sen q ) = |w|( cos a + i sen a )
 1444 444 2        3     144424443
          z                        w


  z=w           Û            |z| = |w|      e
                                                   kÎZZ
                             q = a + k . 2p




                                                                                       19
Operações na forma trigonométrica

Sejam          z = |z| (cos q + isen q )
               z1 = |z1| (cos q 1 + isen q 1)
               z2 = |z2| (cos q 2 + isen q 2 )

· Multiplicação
  z1 . z2 = |z1| . |z2| . [cos (q1 + q2) + isen (q1 + q2)]
· Divisão
  z 1 |z 1|
     =      [cos (q1 – q2) + isen (q1 – q2)]
  z 2 |z 2|

· Potenciação
  zn = |z|n . [cos (n q) + isen (nq)]
· Radiciação
                    é      q    2p          q    2p ù
      z = w k = n z êcos æ + k × ö + i senæ + k × ö ú ,
  n    C
                         ç         ÷      ç         ÷                 (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
                    ë èn         n ø      èn      n øû

Propriedades
1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0
2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais.
3. O raio dessa circunferência é n | z |.
                                               q                                       2p
4. O “ponto de partida” (wo) é o arco            e o “pulo’ de uma raiz para outra é de .
                                               n                                        n

Equação binômia em C

axn + b = 0           (a ¹ 0)
                                         C
                       –b        –b
axn = – b Þ xn =          Þ x =n             = wk ,    (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
                       a         a


Geometria Analítica

Distâncias
De dois pontos A e B

d AB = (x B – x A ) 2 + (y B – y A ) 2

Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0
      |ax P + by P + c|
d=
          a 2 + b2




                                                                                                     20
Pontos especiais
a.

                             AM
     M divide AB na razão       =r
                             MB
          xM – x A    y – yA
     r=              = M
          xB – xM      yB – yM
                                   æ x + xB y A + yB ö
     Se M é ponto médio de AB, M = ç A     ,         ÷
                                   è   2        2    ø
b. Ponto do eixo x: A = (a, 0)
     Ponto do eixo y: B = (0, b)
     Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k)
     Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k)
                              æ x + xB + xC y A + yB + yC ö
     Baricentro do DABC: G = ç A            ,              ÷
                              è      3             3       ø


Área do DABC
                xA           yA    1
   |D|
S=     onde D = x B          yB    1
    2
                xC           yC    1
Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0.


Equação de circunferência
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2
Centro C e raio r, equação reduzida.


Equação de reta
· Geral: ax + by + c = 0          (r)
                                 xA            yA    1
 Conhecendo 2 pontos A e B de r: x B           yB    1 =0
                                  x             y    1
· Reduzida: y = mx + k

                                        m... coeficiente angular de r
                                        k.... coeficiente linear de r
                                        m = tga (não existe, se m é vertical)
                                                                                 yB – y A
                                        Conhecendo 2 pontos A e B da reta, m =
                                                                                 xB – x A




                                                                                            21
Paralelas / perpendiculares

· r // s Û mr = ms
 Exemplos:
 Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k
 Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0
· r ^ s Ûmr . ms = – 1
 Exemplos:
                    2             3
 Perpendicular a y = x – 3 é y = – x + k
                    3             2
 Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0   é 5x – 2y + k = 0
 Observação:
 Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0.




                                                             22

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Funcao modular
Funcao modularFuncao modular
Funcao modularcon_seguir
 
Função do 2°grau
Função do 2°grauFunção do 2°grau
Função do 2°grauLSKY
 
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...Paulo Mutolo
 
Função logarítmica como inversa da exponencial
Função logarítmica como inversa da exponencialFunção logarítmica como inversa da exponencial
Função logarítmica como inversa da exponencialPaulo Mutolo
 
Potenciação - Propriedades das potências
Potenciação - Propriedades das potênciasPotenciação - Propriedades das potências
Potenciação - Propriedades das potênciasJosé Antônio Silva
 
Cálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - LimitesCálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - LimitesAmanda Saito
 
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmosceliomelosouza
 
Aula (Função quadrática)
Aula (Função quadrática)Aula (Função quadrática)
Aula (Função quadrática)samuel vitor
 
Lancamento horizontal e obliquo resumo
Lancamento horizontal e obliquo   resumoLancamento horizontal e obliquo   resumo
Lancamento horizontal e obliquo resumoNS Aulas Particulares
 
Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.carolgouvea
 
Análise Combinatória
Análise CombinatóriaAnálise Combinatória
Análise CombinatóriaNanda Freitas
 

Mais procurados (20)

Funcao modular
Funcao modularFuncao modular
Funcao modular
 
Função do 2°grau
Função do 2°grauFunção do 2°grau
Função do 2°grau
 
Função modular
Função modularFunção modular
Função modular
 
Slide conjuntos
Slide conjuntosSlide conjuntos
Slide conjuntos
 
Função modular
Função modularFunção modular
Função modular
 
Ciclo trigonométrico
Ciclo trigonométricoCiclo trigonométrico
Ciclo trigonométrico
 
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
 
Função logarítmica como inversa da exponencial
Função logarítmica como inversa da exponencialFunção logarítmica como inversa da exponencial
Função logarítmica como inversa da exponencial
 
Potenciação - Propriedades das potências
Potenciação - Propriedades das potênciasPotenciação - Propriedades das potências
Potenciação - Propriedades das potências
 
Cálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - LimitesCálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - Limites
 
Razões trigonométricas
Razões trigonométricasRazões trigonométricas
Razões trigonométricas
 
Matriz e Determinante
Matriz e DeterminanteMatriz e Determinante
Matriz e Determinante
 
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
4ª Lista de Exercícios – Logaritmos
 
Aula (Função quadrática)
Aula (Função quadrática)Aula (Função quadrática)
Aula (Função quadrática)
 
Lancamento horizontal e obliquo resumo
Lancamento horizontal e obliquo   resumoLancamento horizontal e obliquo   resumo
Lancamento horizontal e obliquo resumo
 
Função modular
Função modularFunção modular
Função modular
 
Funcoes Exponenciais
Funcoes ExponenciaisFuncoes Exponenciais
Funcoes Exponenciais
 
Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.
 
Fórnulas de dinâmica
Fórnulas de dinâmicaFórnulas de dinâmica
Fórnulas de dinâmica
 
Análise Combinatória
Análise CombinatóriaAnálise Combinatória
Análise Combinatória
 

Destaque

TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICATODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICARobson S
 
todas-as-formulas-de-matematica
 todas-as-formulas-de-matematica todas-as-formulas-de-matematica
todas-as-formulas-de-matematicaHudson Sousa
 
Formulas matematicas prandiano 001
Formulas matematicas prandiano  001Formulas matematicas prandiano  001
Formulas matematicas prandiano 001con_seguir
 
Resumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaResumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaAcir Robson
 
Todas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemáticaTodas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemáticaRobson S
 
Ficha resumo objetivo vol. 1
Ficha resumo objetivo   vol. 1Ficha resumo objetivo   vol. 1
Ficha resumo objetivo vol. 1Brumoraes
 
132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rc132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rcRobson7575
 
Fórmulas de matemática (vesgrek)
Fórmulas de matemática (vesgrek)Fórmulas de matemática (vesgrek)
Fórmulas de matemática (vesgrek)Danilo Magalhães
 
Equações e Formulas da Física.
Equações e Formulas da Física.Equações e Formulas da Física.
Equações e Formulas da Física.varzeano07
 
Formulas geral para geometria analitica
Formulas geral para geometria analiticaFormulas geral para geometria analitica
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
 
Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)
Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)
Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)Kelly Lima
 
Ap fisica modulo 09 exercicios
Ap fisica modulo 09 exerciciosAp fisica modulo 09 exercicios
Ap fisica modulo 09 exercicioscomentada
 
10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas Matemáticas10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas MatemáticasAna Teresa
 
Memorex matemática 003
Memorex matemática   003Memorex matemática   003
Memorex matemática 003con_seguir
 

Destaque (20)

TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICATODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
 
todas-as-formulas-de-matematica
 todas-as-formulas-de-matematica todas-as-formulas-de-matematica
todas-as-formulas-de-matematica
 
Formulas2
Formulas2Formulas2
Formulas2
 
Formulas matematicas prandiano 001
Formulas matematicas prandiano  001Formulas matematicas prandiano  001
Formulas matematicas prandiano 001
 
Resumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaResumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afa
 
Todas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemáticaTodas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemática
 
Memorex
MemorexMemorex
Memorex
 
Ficha resumo objetivo vol. 1
Ficha resumo objetivo   vol. 1Ficha resumo objetivo   vol. 1
Ficha resumo objetivo vol. 1
 
132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rc132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rc
 
Fórmulas de matemática (vesgrek)
Fórmulas de matemática (vesgrek)Fórmulas de matemática (vesgrek)
Fórmulas de matemática (vesgrek)
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
 
Dica fisica afa
Dica fisica afaDica fisica afa
Dica fisica afa
 
Equações e Formulas da Física.
Equações e Formulas da Física.Equações e Formulas da Física.
Equações e Formulas da Física.
 
Formulas geral para geometria analitica
Formulas geral para geometria analiticaFormulas geral para geometria analitica
Formulas geral para geometria analitica
 
Formulas de fisica 1
Formulas de fisica 1Formulas de fisica 1
Formulas de fisica 1
 
Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)
Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)
Matematica No Ensino MéDio (Livro De Bolso)
 
Ap fisica modulo 09 exercicios
Ap fisica modulo 09 exerciciosAp fisica modulo 09 exercicios
Ap fisica modulo 09 exercicios
 
10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas Matemáticas10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas Matemáticas
 
Dica vunesp 2014
Dica vunesp 2014Dica vunesp 2014
Dica vunesp 2014
 
Memorex matemática 003
Memorex matemática   003Memorex matemática   003
Memorex matemática 003
 

Semelhante a Fórmulas matemáticas

Semelhante a Fórmulas matemáticas (20)

Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
 
04 pa e pg
04 pa e pg04 pa e pg
04 pa e pg
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Mat progressoes aritmeticas 001
Mat progressoes aritmeticas  001Mat progressoes aritmeticas  001
Mat progressoes aritmeticas 001
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
 
Pa
PaPa
Pa
 
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
 
Lista6 revisão teoriama11
Lista6 revisão teoriama11Lista6 revisão teoriama11
Lista6 revisão teoriama11
 
Mat em fucoes quadraticas sol vol1 cap6
Mat em fucoes quadraticas sol vol1 cap6Mat em fucoes quadraticas sol vol1 cap6
Mat em fucoes quadraticas sol vol1 cap6
 
POLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdf
POLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdfPOLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdf
POLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdf
 
Mat progressao aritmetica ( pa ) ii
Mat progressao aritmetica ( pa ) iiMat progressao aritmetica ( pa ) ii
Mat progressao aritmetica ( pa ) ii
 
Apostila 001 potenciação radiciação
Apostila  001 potenciação radiciaçãoApostila  001 potenciação radiciação
Apostila 001 potenciação radiciação
 
02 potenciao e radiciao
02 potenciao e radiciao02 potenciao e radiciao
02 potenciao e radiciao
 
Mat potenciacao radiciacao 002
Mat potenciacao   radiciacao  002Mat potenciacao   radiciacao  002
Mat potenciacao radiciacao 002
 
Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Mat em polinomios sol vol3 cap6
Mat em polinomios sol vol3 cap6Mat em polinomios sol vol3 cap6
Mat em polinomios sol vol3 cap6
 
Polinomios aula
Polinomios aulaPolinomios aula
Polinomios aula
 

Fórmulas matemáticas

  • 1. TURMA DO M˘RIO Álgebra Porcentagem Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0 é a razão x x a x tal que: = , e se indica: = x% . 100 100 b 100 A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de x um número, significa multiplicar este número por . 100 15 Exemplo: 15 % de 200 = . 200 = 30 . 100 Potenciação Definições ∀ a ∈ R ⇒ a0 = 1 ∀ a ∈ R e ∀ n ∈ N ⇒ a n = a n−1 . a Propriedades 1. a m . a n = a m+n am 2. n = a m−n , a ≠ 0 a 3. (a m ) n = a m . n 4. (a . b) n = a n . b n 5. (a : b)n = an : bn , b ≠ 0 1 6. a – n = n , a ≠ 0 a ( m) n n Nota: Em geral a ≠ am Em geral (a + b) ≠ a n + b n n Radiciação Propriedades 1. n a .b=na . n b 2. n a : b = n a : n b ,b ≠ 0 ( a) m 3. n = n am 4. m n a = n .m a m 5. n am = a n n .p 6. am . p = n am www.turmadomario.com.br -1
  • 2. Produtos notáveis (a + b) × (a – b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 × (ab + ac + bc) Fatoração ab + ac = a × (b + c) ab + ac + db + dc = a × (b + c) + d × (b + c) = (b +c) × (a + d) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ax2 + bx + c = a.(x – a1) × (x – a2), onde a1 e a2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 a3 + b3 = (a + b) × (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) × (a2 + ab + b2) a2 + b2 +c2 + 2 × (ab + ac + bc) = (a + b + c)2 Números naturais Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor natural comum entre eles for 1. Quantidade de divisores naturais de um número natural Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) × (q+1) × (r+1)... divisores positivos, sendo n um número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n. Seqüências Definições Seqüência real é toda função f : I ® R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita. 2
  • 3. Progressão Aritmética (PA) Definição Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA. Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r Classificação das PA´s Uma PA de números reais pode ser: I.crescente: (razão positiva): r >0 Þ a n+1 > a n II. decrescente (razão negativa): r < 0 Þ a n+1 < a n III. constante (razão nula): r = 0 Þ a n+1 = a n Fórmula do termo geral de uma PA Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então: an = a1 + (n – 1) × r, n Î N* Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap + (n – p) × r, n,p Î N* Termos eqüidistantes em PA Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se: a p -k + a p + k ap = com p, k Î IN* 2 Soma dos n primeiros termos de uma PA Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por: (a 1 + a n ) × n Sn = 2 3
  • 4. Progressão Geométrica (PG) Definição Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G. Conseqüência da definição: a n+ 1 Se an ¹ 0, então q = ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo an qualquer pelo seu antecessor. Classificação das PG´s: Uma PG pode ser: I.Crescente: quando an+1 > an Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 II. Decrescente: quando an+1 < an Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 III. Constante: quando an+1 = an Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 IV.Alternante: quando a1 ¹ 0 e q < 0 Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2 V. Não decrescente: quando a1 < 0 e q = 0 Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0 VI.Não crescente: quando a1 > 0 e q = 0 Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0 Fórmula do termo geral da PG n–1 Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: an = a1 × q , n Î N* Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap × qn – p, n,p Î N* Termos eqüidistantes em PG Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então: (ap)2 = (ap – k) × (ap + k), p,k Î N* Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn) Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros n(n-1) × n n termos. Assim: Pn = a1 ×q 2 ou Pn = (a1 × an) 2 4
  • 5. Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn) Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n primeiros termos. Assim: a 1 × (qn - 1) Se a PG não for constante, ou seja q ¹ 1 teremos: Sn = q -1 Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos: Sn = n × a1 Soma dos termos de uma PG infinita (S) Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série) Quando lim S n = S existe e é finito, dizemos que a série converge para S. n®¥ Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode a1 determinar tal soma). Se – 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S n = S = n®¥ 1- q Função Exponencial f(x) = ax ; a>0 e a¹1 Imf = IR * + Df = IR y y a>1 0<a<1 função crescente função decrescente 1 0 x 0 x Propriedades de potência 1. am . an = am + n 2. am : an = am – n , a ¹ 0 3. (am)n = am .n 4. n a m = a m n , n Î IN / n >1 1 5. a– n = , a ¹ 0 an 5
  • 6. Equação exponencial af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x) Inequação exponencial af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x), se a >1 af(x) > ag(x) Û f(x) < g(x), se 0 < a < 1 Logaritmo Definição logba = x Û a = bx com a > 0, 0 < b ¹ 1 Propriedade de logaritmo 1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1 2. logc æ ö = logca – logcb; a > 0, b > 0, 0 < c ¹ 1 a ç ÷ è bø 3. logc am = m . logca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR 1 4. logcm a = . logca; a > 0, 0 < c ¹ 1 e m Î IR* m Função Logarítmica f(x) = logax , a > 0 e a ¹ 1 Imf = IR Df = IR * + y y 0 1 x 0 1 x a>1 0<a<1 função crescente função decrescente 6
  • 7. Geometria Plana Relações métricas no triângulo retângulo h2=m × n b × c=a × h b h c b2=a × m a2=b2 + c2 (Pitágoras). m n c2=a × n a Relações métricas no círculo P B A A B P D C A C B P D T PA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD (PT)2 = PA × PB Lei dos a b c = = = 2R sena senb seng Lei dos cossenos a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g 7
  • 8. Teorema de Tales a1 // a2 // a3 // ..... AB BC CD AC AD = = = = A' B' B' C' C' D' A' C' A' D' Teorema da bissetriz interna A b c x y b c = S x y Teorema da bissetriz externa A b c c y C S B b c x = x y Semelhança de triângulos A P b H c y h z B C Q R a x a b c H Área DABC = = = =k = k2 x y z h Área DPQR 8
  • 9. Arcos e ângulos a a+b a=a a= a= 2 2 b a–b a a= a= 2 2 Razões trigonométricas b c sen a = sen b = a a c b cos a = cos b = a a b c tg a = tg b = c b Comprimento da circunferência R C = 2pR Base média de triângulo « « MN // BC BC MN = 2 9
  • 10. Base média de trapézio « « MN // AB AB+ CD MN = 2 Baricentro de triângulo Polígonos convexos Sendo n = número de lados; d = número de diagonais; Si = soma dos ângulos internos e Se = soma dos ângulos externos, n(n – 3) temos: d= Si = (n – 2) × 180ºe Se = 360º 2 Áreas Retângulo Quadrado Paralelogramo Triângulo Trapézio 10
  • 11. Losango 1 Losango 2 (AC) × (BD) B A Los = 2 C Fórmulas especiais para área do triângulo l2 3 b×c A= A= A = p(p – a) × (p – b)(p – c) 4 2 a +b +c em que p = 2 1 a ×b×c A= × a × b × sena A=rp A= 2 4R a +b +c p= 2 Círculo R A = p ×R2 Setor circular a ×p ×R2 a ×R2 l ×R A= A= A= 360º 2 2 a em radianos 11
  • 12. Análise Combinatória / Probabilidades æ nö n! æ combinação de n objetos distintos ö Número binomial: ç ÷ = ç p ÷ p!(n – p)! = C n, p = ç agrupados de p em p ç ÷ ÷ è ø è ø æ nö æ nö æ nö n æ nö Teorema binomial: (a + b)n = ç ÷ anb0 + ç ÷ an – 1b1 +. . .+ ç ÷ a0bn = å ç ÷ a n–i bi ç0÷ ç 1÷ ç n÷ ç ÷ è ø è ø è ø i =o è i ø n! Arranjo: An, p = Þ n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p (n – p)! Permutação de n objetos distintos: Pn = n! n! a objetos iguais entre si Permutação de elementos repetidos: Pna, b, g = , a!b!g! b objetos iguais entre si g objetos iguais entre si n.o de elementos do conjunto evento n(A) Probabilidade de ocorrer um evento = = = P(A) n.o de elementos do espaço amostral n(E) æ probabilidade de ocorrer ö æ ocorrer o ö ç ç o evento A ÷ e em seguida ç ÷ ç evento B ÷= ÷ è ø è ø æ probabilidade de ö æ probabilidade de ö ç ÷ =ç ç ocorrer o evento A ÷ x ç ocorrer o evento B ÷ ÷ Þ Teorema da multiplicação è ø ç sabendo que A ocorreu ÷ è ø Exemplo: 2 bolas azuis æ tirar uma bola azul e em ö 2 1 5 bolas verdes ç seguida uma bola azul ÷ = 7 ´ 6 Pç ÷ è ø chance de retirar uma bola azul sabendo que já saiu uma azul Conjuntos, Funções e Inequações Relação Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x Î A Ù x Î B}). Definição Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x Î A, existe um único y Î B tal que (x; y) Î f. (Indica-se: f : A ® B). 12
  • 13. Exemplo Contra-exemplo A B A B · Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5} f g 1 3 1 4 · Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4} 2 4 2 5 · Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6} 5 6 3 6 · 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5) f é função g não é função · 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2) Tipos de função Função crescente e decrescente · Uma função f é crescente em A Ì Df Û (x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2), " x1, x2 Î A). · Uma função f é decrescente em A Ì Df Û (x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2), " x1, x2 Î A). Função injetora, sobrejetora e bijetora · Uma f : A ® B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em B (" x1, x2 Î A, x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)). · Uma f : A ® B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A (Im(f) = CD(f) ou " y Î B, $ x Î A / f(x) = y) · Uma função de f : A ® B é bijetora se é injetora e sobrejetora. Exemplos: A B A B A B A B f f f f 1 4 1 4 3 1 1 4 2 5 3 3 4 2 2 5 3 5 2 6 3 3 6 1 f é sobrejetora f é injetora f é bijetora f não é injetora e não é injetora e não é sobrejetora e nem sobrejetora Função par e ímpar · Uma função f : A ® B é par Û " x Î A, f(x) = f( – x). · Uma função f : A ® B é ímpar Û " x Î A, f(x) = – f( – x). Função periódica · Uma função f : A ® B é periódica de período p Û " x Î A, f(x + p) = f(x), p > 0. Função composta · Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g. 13
  • 14. Função inversa · Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A ® B a função f– 1: B ® A, tal que f–1 (y) = x. Observação: Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática y = f(x) a. troca-se x por y e y por x; b. coloca-se o novo y em função do novo x. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Propriedades dos determinantes a. det(At) = det(A). b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero. c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica multiplicado por –1. d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é igual a zero. e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser colocado em “evidência”. f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A) g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B) Atenção: em geral, det(A+B) ¹ det(A) + det(B) h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) paralela multiplicada por uma constante. é1 0 0 0ù ê –3 4 0 0ú i. Matriz Triangular: A = ê ú Þ det(A) = 1× 4(–5) × 8 ê2 3 –5 0ú ê5 6 7 8ú ë û Multiplicação de matrizes æ a bö æ x y ö æ ax + bz ay + bw ö ç c d ÷ × ç z w ÷ = ç cx + dz cy + dw ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D ¹ 0, onde D é o determinante da matriz dos coeficientes de tal sistema. b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando ordenadamente as incógnitas das equações. A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a ¹ 0; tem infinitas soluções para a = 0 e b = 0 e não tem solução para a = 0 e b ¹ 0. 14
  • 15. Trigonometria kp ö Relações Fundamentais Conseqüências æ x ¹ ç ÷ è 2 ø 1 sen2x + cos2x = 1, "x Î R cotgx = tgx senx æ p ö tgx = ç x ¹ + kp ÷ 1 + tg2x = sec2x cosx è 2 ø cosx cotgx = ( x ¹ kp) 1 + cotg2x = cossec2x senx 1 æ p ö 1 secx = ç x ¹ + kp ÷ cos 2 x = cosx è 2 ø 1+ tg2 x 1 tg2 x cossecx = ( x ¹ kp ) sen2 x = senx 1+ tg2 x Fórmulas de adição cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a tg a + tg b tg(a + b) = 1– tg a × tg b tg a – tg b tg(a – b) = 1+ tg a × tg b Fórmulas de multiplicação Arcos duplos Arcos Triplos sen 2a = 2 sen a cos a sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a ìcos 2 a – sen2 a cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a ï ï ou 3 tga – tg3 a ï tg 3a = cos 2a = í 2cos 2 a – 1 1– 3tg2 a ï ou ï 2 ï î 1– 2sen a 2 tg a tg 2a = 1– tg2 a 15
  • 16. Fórmulas de divisão x 1– cos x x 1+ cos x x 1– cos x sen = ± cos = ± tg = ± 2 2 2 2 2 1+ cos x Fórmulas de transformação em produto p+ q p– q cos p+ cos q = 2 × cos × cos 2 2 p+ q p– q cos p – cos q = –2 × sen × sen 2 2 p+ q p– q sen p+ sen q = 2 × sen × cos 2 2 p– q p+ q sen p – sen q = 2 × sen × cos 2 2 sen(p+ q) tg p+ tg q = cos p × cos q sen(p – q) tg p – tg q = cos p × cos q Equações trigonométricas fundamentais sen a = sen b Þ a = b+ 2kp ou a = (p – b) + 2kp cos a = cos b Þ a = ±b + 2kp tg a = tg b Þ a = b+ kp Funções circulares inversas p p y = arc senx Û seny = x e – £y£ 2 2 y = arc cosx Û cosy = x e 0 £ y £ p p p y = arc tgx Û tgy = x e – <y< 2 2 16
  • 17. Geometria Espacial · O volume de um prisma e o de um cilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de um cone reto (ou oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. R H H g H H B B R V = BH 1 V = — BH 3 · Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um retângulo de lados 2pR e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é: · Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor circular de raio g e arco 2pR. Então a área lateral do cone reto é. 2pR × g AL = Asetor Þ AL = Þ AL = pRg 2 Sendo a a medida, em graus, do setor, temos: 2pR × g a a Asetor = = pg2 Þ R = g 2 360º 360º · O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por: 4 3 R A = 4 pR2 e V= pR 3 17
  • 18. Números Complexos Forma algébrica Nomenclatura z = a + bi (a, b Î IR) i = unidade imaginária a = Re (z) = parte real de z b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z Exemplos de números complexos z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro. z = – 6 = – 6 + 0i = número real. z = a + bi (b ¹ 0) = número imaginário ou número complexo não real. Potências inteiras de i (ik, k Î ZZ ) i0 = 1 e i4k = 1 i1 = i e i4k+1 = i4k . i1 = i i2 = – 1 e i4k+2 = i4k . i2 = – i i3 = – i e i4k+3 = i4k . i3 = – i Conjugado de z = a + bi (a, b Î IR) z = a – bi Propriedades 1. z + w = z + w 2. z . w = z . w 3. æ ö = z z ç ÷ èwø w 4. z n = ( z ) n (n Î ZZ) 5. ( z ) = z Produtos e divisões notáveis 1. (1 + i)2 = 2i 2. (1 – i)2 = – 2i 3. (1+ i)(1 – i) = 2 1+ i 4. =i 1– i 1– i 5. =–i 1+ i 18
  • 19. Igualdade na forma algébrica a + bi = c + di Û a=c e b=d (a, b, c, d Î IR) Representação no plano de Argand-Gauss z = a + bi = (a, b) = P (a, b Î IR) P = afixo de z dop = |z| = a 2 + b2 = módulo de z q + k . 2p = arg(z) = argumento de z 0 (0 £ q < 2p) q = argumento principal de z Propriedades 1. | z |2 = z . z 2. |z . w | = | z | . | w | z z 3. = (w ¹ 0) w w 4. | z n | = | z | n , n Î ZZ 5. | z + w | £ | z | + | w | 6. | z | = | z | Forma trigonométrica de z Î C* z = a + bi = | z | (cos q + isen q ) ìcos q = a ï ï z | z | = a 2 + b2 e í b ïsen q = ï î z Igualdade na forma trigonométrica |z|( cos q + i sen q ) = |w|( cos a + i sen a ) 1444 444 2 3 144424443 z w z=w Û |z| = |w| e kÎZZ q = a + k . 2p 19
  • 20. Operações na forma trigonométrica Sejam z = |z| (cos q + isen q ) z1 = |z1| (cos q 1 + isen q 1) z2 = |z2| (cos q 2 + isen q 2 ) · Multiplicação z1 . z2 = |z1| . |z2| . [cos (q1 + q2) + isen (q1 + q2)] · Divisão z 1 |z 1| = [cos (q1 – q2) + isen (q1 – q2)] z 2 |z 2| · Potenciação zn = |z|n . [cos (n q) + isen (nq)] · Radiciação é q 2p q 2p ù z = w k = n z êcos æ + k × ö + i senæ + k × ö ú , n C ç ÷ ç ÷ (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1) ë èn n ø èn n øû Propriedades 1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0 2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais. 3. O raio dessa circunferência é n | z |. q 2p 4. O “ponto de partida” (wo) é o arco e o “pulo’ de uma raiz para outra é de . n n Equação binômia em C axn + b = 0 (a ¹ 0) C –b –b axn = – b Þ xn = Þ x =n = wk , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1) a a Geometria Analítica Distâncias De dois pontos A e B d AB = (x B – x A ) 2 + (y B – y A ) 2 Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0 |ax P + by P + c| d= a 2 + b2 20
  • 21. Pontos especiais a. AM M divide AB na razão =r MB xM – x A y – yA r= = M xB – xM yB – yM æ x + xB y A + yB ö Se M é ponto médio de AB, M = ç A , ÷ è 2 2 ø b. Ponto do eixo x: A = (a, 0) Ponto do eixo y: B = (0, b) Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k) Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k) æ x + xB + xC y A + yB + yC ö Baricentro do DABC: G = ç A , ÷ è 3 3 ø Área do DABC xA yA 1 |D| S= onde D = x B yB 1 2 xC yC 1 Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0. Equação de circunferência (x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 Centro C e raio r, equação reduzida. Equação de reta · Geral: ax + by + c = 0 (r) xA yA 1 Conhecendo 2 pontos A e B de r: x B yB 1 =0 x y 1 · Reduzida: y = mx + k m... coeficiente angular de r k.... coeficiente linear de r m = tga (não existe, se m é vertical) yB – y A Conhecendo 2 pontos A e B da reta, m = xB – x A 21
  • 22. Paralelas / perpendiculares · r // s Û mr = ms Exemplos: Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0 · r ^ s Ûmr . ms = – 1 Exemplos: 2 3 Perpendicular a y = x – 3 é y = – x + k 3 2 Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0 é 5x – 2y + k = 0 Observação: Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0. 22