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Probabilidade e Estat
Probabilidade e Estatí
ística
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Probabilidade Distribuição Uniforme
Uma variável aleatória contínua X está uniformemente
distribuída no intervalo (a, b) se a sua função densidade
de probabilidade é dada por:
3
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Probabilidade Distribuição Uniforme
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Probabilidade
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de
Probabilidade Distribuição Uniforme
Exemplo:
A espessura de chapas fabricadas numa indústria está
uniformemente distribuída entre 0,84 cm e 1,04 cm.
a) De um total de 200 chapas inspecionadas, quantas
excedem 1,00 cm?
b) Qual deve ser a espessura de modo que 40% das
chapas não excedam essa espessura?
Respostas: a) P(X > 1,00 cm) = 20% n = 40 chapas
b) x = 0,92 cm
5
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade Distribuição Exponencial
Considere um Experimento de Poisson com parâmetro .
λ
A variável aleatória contínua X está exponencialmente
distribuída se a sua função densidade de probabilidade é
dada por:
6
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de
Probabilidade Distribuição Exponencial
7
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Probabilidade
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Probabilidade
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de
Probabilidade Distribuição Exponencial
Exemplo:
Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca
se a duração da lâmpada for inferior a 60 horas. A duração
das lâmpadas é uma variável aleatória contínua X
exponencialmente distribuída com função densidade de
probabilidade dada por:
Determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da
garantia para cada 1000 lâmpadas fabricadas.
Resposta: 12 lâmpadas
8
Distribuição Normal
Uma variável aleatória contínua X está normalmente
distribuída se a sua função densidade de probabilidade é
dada por:
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
Utiliza-se a notação: X ~ N(µ,σ2)
Por exemplo: X ~ N(3, 4)
9
Distribuição Normal
Propriedades:
1ª) f(x) tem um ponto de inflexão em µ - σ e outro em µ + σ;
2ª) f(x) tende a zero quando x tende a +∞ ou -∞;
3ª) f(x) é simétrica com relação à média µ;
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
4ª) f(x) tem um ponto de máximo em x = µ e f(x) =
π
σ 2
1
10
Distribuição Normal
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
Propriedades:
5ª) A área abaixo da função é igual a 1;
6ª) A distribuição normal é classificada como simétrica
(A = 0) e mesocúrtica (C = 0,263);
7ª) 68,2% dos dados da variável aleatória estão
localizados entre µ - σ e µ + σ, 95,4% entre µ - 2σ e
µ + 2σ e 99,8% entre µ - 3σ e µ + 3σ.
Distribuição Normal
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
7ª)
Propriedades:
12
Distribuição Normal
É impossível resolver esta integral analiticamente. O
resultado desta integral é obtido utilizando métodos
numéricos.
Distribui
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Contí
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Probabilidade
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Probabilidade
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de
Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
Logo, o cálculo de probabilidade para variáveis aleatórias
normalmente distribuída é obtido através de valores
tabelados.
Para evitar a multiplicação desnecessária de tabelas para
cada par de valor (µ,σ2) utiliza-se uma transformação
fazendo:
13
Distribuição Normal
Esta variável aleatória Z tem uma distribuição de
probabilidade denominada distribuição normal
padronizada ou normal reduzida.
Distribui
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
Onde Z é uma variável aleatória contínua que terá
distribuição normal com µ = 0 e σ2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1),
com função densidade de probabilidade definida por:
Desta forma:
14
Distribuição Normal
Distribui
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Probabilidade
Exemplo: X ~ N(4,9)
15
Distribuição Normal
A tabela Z fornece os valores da área abaixo da função
f(z) para diversos pontos desde 0 até 3,99 com
acréscimos de 0,01.
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
Assim:
16
Tabela Z
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Distribuição Normal
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
Exemplos:
a) P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,3413
c) P(-2,55 < Z ≤ 1,20) = 0,4946 + 0,3849 = 0,8795
b) P(Z > 1,93) = 0,5000 - 0,4732 = 0,0268
18
Exercícios
a) P(X ≤ 15,5) =
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
2) Os salários dos funcionários de uma empresa estão
normalmente distribuídos com média de R$ 8000,00 e
desvio-padrão de R$ 500,00. Qual a porcentagem de
funcionários que recebem mais de R$ 9280,00 nesta
empresa?
P(Z ≤ 1,75) = 0,50 + 0,4599 = 0,9599
b) P(10 < X ≤ 15) =
1) Sendo X ~ N(12,4), determine:
c) P(X > 9,5) =
P(-1,00 < Z ≤ 1,50) = 0,7745
P(Z > -1,25) = 0,8944
Resposta: P(X > 9280) = P(Z > 2,56) = 0,52%
19
Exercícios
3) Os pacientes de um hospital são submetidos a um
tratamento de saúde cujo tempo de cura está
normalmente distribuído com média de 15 dias e
desvio-padrão de 2 dias.
a) Qual a proporção de pacientes que demora mais de 17
dias para se recuperar?
b) Qual a probabilidade de um paciente escolhido ao
acaso apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?
c) Qual deve ser o tempo máximo necessário para a
recuperação de 30% dos pacientes?
Distribui
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
20
Exercícios
4) O diâmetro de um anel industrial é uma variável
aleatória normalmente distribuída com média de 0,10
cm e desvio-padrão 0,02 cm. Se o diâmetro do anel
fabricado diferir da média por mais de 0,03 cm ele é
vendido por R$ 5,00, caso contrário é vendido por R$
10,00. Qual é o preço médio de venda de cada anel?
(Extraído de Notas de Aula da Profa Márcia O. Erbano)
Distribui
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Distribuição Normal
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
Uma aproximação da Distribuição Binomial com
parâmetros n e p pode ser obtida pela Distribuição
Normal fazendo µ = n.p e σ2 = n.p.(1 – p).
Quando n tende para o infinito, a variável aleatória
definida por
está uniformemente distribuída com µ = 0 e σ2 = 1.
22
Distribuição Normal
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Probabilidade
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Probabilidade
Exemplos:
1) Uma moeda não viciada é lançada 100 vezes. Qual a
probabilidade de sair cara entre 38 e 59 vezes?
2) Uma máquina produz peças de modo que 5% são
defeituosas. Se uma amostra de 1000 peças é extraída
aleatoriamente, qual a probabilidade de que não mais
de 40 peças sejam defeituosas?
23
Função Gama
Distribui
Distribui
Distribui
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ç
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Probabilidade
A função gama é definida por:
Se α é um número natural, então:
Em particular:
Integrando por partes, tem-se:
Por exemplo:
24
Distribuição Gama
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Cont
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Contí
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
A variável aleatória contínua X tem distribuição gama
quando sua função densidade de probabilidade é dada
por:
Onde α é o parâmetro de forma (α > 0) e β é o parâmetro
de escala (β > 0).
Observação:
Quando α = 1, tem-se a distribuição exponencial.
25
Distribuição Gama
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Probabilidade
Exemplos de gráficos para β =1
Esperança Matemática: E(X) = α/β
Variância: V(X) = α/β²
26
Distribuição Qui-quadrado (χ
χ
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χ2)
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
A variável aleatória contínua X tem distribuição qui-
quadrado com φ graus de liberdade (φ ϵ N) quando sua
função densidade de probabilidade é dada por:
Fazendo α = φ/2 e β = 2 na fdp da distribuição gama
tem-se a fdp da distribuição qui-quadrado.
Observação:
A distribuição qui-quadrado é assimétrica positiva.
27
Distribuição Qui-quadrado (χ
χ
χ
χ2)
Distribui
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Probabilidade
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Probabilidade
Esperança Matemática: E(X) = φ
Variância: V(X) = 2φ
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Tabela da Qui-quadrado (χ
χ
χ
χ2)
Distribui
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Distribuição Qui-quadrado (χ
χ
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χ2)
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Probabilidade
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Probabilidade
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de
Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
Exemplos:
1) Sendo φ = 8 e α = 25%, determine a abscissa da qui-
quadrado.
2) Sendo X uma variável aleatória contínua com
distribuição qui-quadrado com φ = 20, determine a
mediana e o 9º decil da variável aleatória X.
3) Determine as abscissas indicadas no gráfico da
distribuição qui-quadrado abaixo, sendo φ = 10.
30
Distribuição t de Student
Distribui
Distribui
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ç
ç
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Contí
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Probabilidade
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Probabilidade
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de
Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
A variável aleatória contínua X tem distribuição t de
Student quando a função densidade de probabilidade
é dada por:
Com x real onde φ é o grau de liberdade da distribuição.
• Esperança Matemática: E(X) = 0
• Variância: V(X) = φ/(φ – 2) com φ > 2
Esta distribuição foi desenvolvida pelo químico britânico
W. S Gosset, que publicava em 1908 seus trabalhos
sob o pseudônimo de “Student”.
31
Distribuição t de Student
Distribui
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ç
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
Observações:
1ª) A distribuição é simétrica com relação a sua média;
2ª) Quanto maior o valor de φ mais se aproxima da
distribuição normal padronizada;
3ª) Esta distribuição é muito utilizado para inferências
estatísticas para amostra pequenas (n < 30).
32
Tabela da distribuição t de Student
Distribui
Distribui
Distribui
Distribuiç
ç
ç
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Distribuição t de Student
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Probabilidade
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Probabilidade
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Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
Exemplo:
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de
Student com 4 graus de liberdade. Determine o 1o quartil
da variável aleatória X.
34
Distribuição F (Fisher-Snedecor)
Distribui
Distribui
Distribui
Distribuiç
ç
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Probabilidade
nuas
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Probabilidade
nuas
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Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatória
independentes que possuem distribuições qui-quadrado.
A distribuição F com φ1 graus de liberdade no numerador e
φ2 graus de liberdade no denominador é definida por:
Esta distribuição foi desenvolvida pelo inglês R.A. Fisher
(1890-1962) e pelo americano G. E. Snedecor (1881-1974).
35
Distribuição F (Fisher-Snedecor)
Distribui
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Distribuiç
ç
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Distribuição F (Fisher-Snedecor)
Distribui
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ç
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Probabilidade
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Probabilidade
nuas
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Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
A tabela da distribuição F retorna a abscissa que tem
2,5% ou 5% dos dados na cauda à direita, com φ1 e φ2
graus de liberdade.
37
Distribuição F (Fisher-Snedecor)
Distribui
Distribui
Distribui
Distribuiç
ç
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Cont
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Contí
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Distribuição F (Fisher-Snedecor)
Distribui
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ç
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de
Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
nuas
de
Probabilidade
2) Determine o 5o centil e o 95o centil da variável
aleatória X que tem distribuição F com 8 graus de
liberdade no numerador e 6 graus de liberdade no
denominador.
Propriedade:
Exemplos:
1) Calcular
Resposta:

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