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- 1. Probabilidade e Estat Probabilidade e Estatí ística stica Prof. Dr. Narciso Gon Prof. Dr. Narciso Gonç çalves da Silva alves da Silva http://pagina http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva pessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ções Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í ínuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade
- 2. 2 Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Distribuição Uniforme Uma variável aleatória contínua X está uniformemente distribuída no intervalo (a, b) se a sua função densidade de probabilidade é dada por:
- 4. 4 Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Distribuição Uniforme Exemplo: A espessura de chapas fabricadas numa indústria está uniformemente distribuída entre 0,84 cm e 1,04 cm. a) De um total de 200 chapas inspecionadas, quantas excedem 1,00 cm? b) Qual deve ser a espessura de modo que 40% das chapas não excedam essa espessura? Respostas: a) P(X > 1,00 cm) = 20% n = 40 chapas b) x = 0,92 cm
- 5. 5 Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Distribuição Exponencial Considere um Experimento de Poisson com parâmetro . λ A variável aleatória contínua X está exponencialmente distribuída se a sua função densidade de probabilidade é dada por:
- 7. 7 Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Distribuição Exponencial Exemplo: Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca se a duração da lâmpada for inferior a 60 horas. A duração das lâmpadas é uma variável aleatória contínua X exponencialmente distribuída com função densidade de probabilidade dada por: Determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da garantia para cada 1000 lâmpadas fabricadas. Resposta: 12 lâmpadas
- 8. 8 Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua X está normalmente distribuída se a sua função densidade de probabilidade é dada por: Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Utiliza-se a notação: X ~ N(µ,σ2) Por exemplo: X ~ N(3, 4)
- 9. 9 Distribuição Normal Propriedades: 1ª) f(x) tem um ponto de inflexão em µ - σ e outro em µ + σ; 2ª) f(x) tende a zero quando x tende a +∞ ou -∞; 3ª) f(x) é simétrica com relação à média µ; Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade 4ª) f(x) tem um ponto de máximo em x = µ e f(x) = π σ 2 1
- 10. 10 Distribuição Normal Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Propriedades: 5ª) A área abaixo da função é igual a 1; 6ª) A distribuição normal é classificada como simétrica (A = 0) e mesocúrtica (C = 0,263); 7ª) 68,2% dos dados da variável aleatória estão localizados entre µ - σ e µ + σ, 95,4% entre µ - 2σ e µ + 2σ e 99,8% entre µ - 3σ e µ + 3σ.
- 12. 12 Distribuição Normal É impossível resolver esta integral analiticamente. O resultado desta integral é obtido utilizando métodos numéricos. Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Logo, o cálculo de probabilidade para variáveis aleatórias normalmente distribuída é obtido através de valores tabelados. Para evitar a multiplicação desnecessária de tabelas para cada par de valor (µ,σ2) utiliza-se uma transformação fazendo:
- 13. 13 Distribuição Normal Esta variável aleatória Z tem uma distribuição de probabilidade denominada distribuição normal padronizada ou normal reduzida. Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Onde Z é uma variável aleatória contínua que terá distribuição normal com µ = 0 e σ2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1), com função densidade de probabilidade definida por: Desta forma:
- 15. 15 Distribuição Normal A tabela Z fornece os valores da área abaixo da função f(z) para diversos pontos desde 0 até 3,99 com acréscimos de 0,01. Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Assim:
- 17. 17 Distribuição Normal Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Exemplos: a) P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,3413 c) P(-2,55 < Z ≤ 1,20) = 0,4946 + 0,3849 = 0,8795 b) P(Z > 1,93) = 0,5000 - 0,4732 = 0,0268
- 18. 18 Exercícios a) P(X ≤ 15,5) = Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade 2) Os salários dos funcionários de uma empresa estão normalmente distribuídos com média de R$ 8000,00 e desvio-padrão de R$ 500,00. Qual a porcentagem de funcionários que recebem mais de R$ 9280,00 nesta empresa? P(Z ≤ 1,75) = 0,50 + 0,4599 = 0,9599 b) P(10 < X ≤ 15) = 1) Sendo X ~ N(12,4), determine: c) P(X > 9,5) = P(-1,00 < Z ≤ 1,50) = 0,7745 P(Z > -1,25) = 0,8944 Resposta: P(X > 9280) = P(Z > 2,56) = 0,52%
- 19. 19 Exercícios 3) Os pacientes de um hospital são submetidos a um tratamento de saúde cujo tempo de cura está normalmente distribuído com média de 15 dias e desvio-padrão de 2 dias. a) Qual a proporção de pacientes que demora mais de 17 dias para se recuperar? b) Qual a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso apresentar tempo de cura inferior a 20 dias? c) Qual deve ser o tempo máximo necessário para a recuperação de 30% dos pacientes? Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade
- 20. 20 Exercícios 4) O diâmetro de um anel industrial é uma variável aleatória normalmente distribuída com média de 0,10 cm e desvio-padrão 0,02 cm. Se o diâmetro do anel fabricado diferir da média por mais de 0,03 cm ele é vendido por R$ 5,00, caso contrário é vendido por R$ 10,00. Qual é o preço médio de venda de cada anel? (Extraído de Notas de Aula da Profa Márcia O. Erbano) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade
- 21. 21 Distribuição Normal Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Uma aproximação da Distribuição Binomial com parâmetros n e p pode ser obtida pela Distribuição Normal fazendo µ = n.p e σ2 = n.p.(1 – p). Quando n tende para o infinito, a variável aleatória definida por está uniformemente distribuída com µ = 0 e σ2 = 1.
- 22. 22 Distribuição Normal Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Exemplos: 1) Uma moeda não viciada é lançada 100 vezes. Qual a probabilidade de sair cara entre 38 e 59 vezes? 2) Uma máquina produz peças de modo que 5% são defeituosas. Se uma amostra de 1000 peças é extraída aleatoriamente, qual a probabilidade de que não mais de 40 peças sejam defeituosas?
- 23. 23 Função Gama Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade A função gama é definida por: Se α é um número natural, então: Em particular: Integrando por partes, tem-se: Por exemplo:
- 24. 24 Distribuição Gama Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade A variável aleatória contínua X tem distribuição gama quando sua função densidade de probabilidade é dada por: Onde α é o parâmetro de forma (α > 0) e β é o parâmetro de escala (β > 0). Observação: Quando α = 1, tem-se a distribuição exponencial.
- 25. 25 Distribuição Gama Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Exemplos de gráficos para β =1 Esperança Matemática: E(X) = α/β Variância: V(X) = α/β²
- 26. 26 Distribuição Qui-quadrado (χ χ χ χ2) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade A variável aleatória contínua X tem distribuição qui- quadrado com φ graus de liberdade (φ ϵ N) quando sua função densidade de probabilidade é dada por: Fazendo α = φ/2 e β = 2 na fdp da distribuição gama tem-se a fdp da distribuição qui-quadrado. Observação: A distribuição qui-quadrado é assimétrica positiva.
- 27. 27 Distribuição Qui-quadrado (χ χ χ χ2) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Esperança Matemática: E(X) = φ Variância: V(X) = 2φ
- 28. 28 Tabela da Qui-quadrado (χ χ χ χ2) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade
- 29. 29 Distribuição Qui-quadrado (χ χ χ χ2) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Exemplos: 1) Sendo φ = 8 e α = 25%, determine a abscissa da qui- quadrado. 2) Sendo X uma variável aleatória contínua com distribuição qui-quadrado com φ = 20, determine a mediana e o 9º decil da variável aleatória X. 3) Determine as abscissas indicadas no gráfico da distribuição qui-quadrado abaixo, sendo φ = 10.
- 30. 30 Distribuição t de Student Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade A variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student quando a função densidade de probabilidade é dada por: Com x real onde φ é o grau de liberdade da distribuição. • Esperança Matemática: E(X) = 0 • Variância: V(X) = φ/(φ – 2) com φ > 2 Esta distribuição foi desenvolvida pelo químico britânico W. S Gosset, que publicava em 1908 seus trabalhos sob o pseudônimo de “Student”.
- 31. 31 Distribuição t de Student Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Observações: 1ª) A distribuição é simétrica com relação a sua média; 2ª) Quanto maior o valor de φ mais se aproxima da distribuição normal padronizada; 3ª) Esta distribuição é muito utilizado para inferências estatísticas para amostra pequenas (n < 30).
- 32. 32 Tabela da distribuição t de Student Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade
- 33. 33 Distribuição t de Student Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade Exemplo: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student com 4 graus de liberdade. Determine o 1o quartil da variável aleatória X.
- 34. 34 Distribuição F (Fisher-Snedecor) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatória independentes que possuem distribuições qui-quadrado. A distribuição F com φ1 graus de liberdade no numerador e φ2 graus de liberdade no denominador é definida por: Esta distribuição foi desenvolvida pelo inglês R.A. Fisher (1890-1962) e pelo americano G. E. Snedecor (1881-1974).
- 36. 36 Distribuição F (Fisher-Snedecor) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade A tabela da distribuição F retorna a abscissa que tem 2,5% ou 5% dos dados na cauda à direita, com φ1 e φ2 graus de liberdade.
- 38. 38 Distribuição F (Fisher-Snedecor) Distribui Distribui Distribui Distribuiç ç ç ç ões Cont ões Cont ões Cont ões Contí í í í nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade nuas de Probabilidade 2) Determine o 5o centil e o 95o centil da variável aleatória X que tem distribuição F com 8 graus de liberdade no numerador e 6 graus de liberdade no denominador. Propriedade: Exemplos: 1) Calcular Resposta: