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AFA – Resumo Teórico
Matemática
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RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008
1
MATEMÁTICA – FRENTE 1
CONJUNTOS
1 - Noções Básicas
Conjunto: é uma coleção de elementos.
a) vazio: não possui elementos
b) unitário: possui um único elemento
c) universo: conjunto que possui todos os elementos
Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Ax ∈⇒ .
Caso contrário, Ax ∉ .
Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a
um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, BA ⊂ .
Operações com conjuntos:
a) união: }BxouAx,x{BA ∈∈=∪
b) intersecção: }BxeAx,x{BA ∈∈=∩
c) diferença: }BxeAx,x{BA ∉∈=−
Complementar: se BA ⊂ então o complementar de A com relação à
B é o conjunto ABCB
A −= .
União de dois conjuntos: )BA(n)B(n)A(n)BA(n ∩−+=∪
Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de
A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A
possui n elementos, então P(A) possui 2n
elementos.
2 – Conjuntos Numéricos
Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...}
Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0}
Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações
e por dízimas periódicas.
Números irracionais: são todos os números que não podem ser
escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I.
Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais.
Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}.
TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES
Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f:A→B é
chamada função quando associa a cada elemento de A um único
elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é
o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos
os elementos que estão em correspondência com os elementos de A.
Classificações
a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio.
b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2).
c) bijetora: função injetora e sobrejetora
d) função par: f(x) = f(-x)
e) função ímpar: f(x) = -f(-x)
obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares.
Função composta: chama-se função composta, ou função de uma
função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por
uma outra função.
Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma
função f-1
:B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1
(y)=x.
Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se
x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a
expressão da função inversa de f.
Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então
x)x)(ff( 1
=−
.
FUNÇÕES E EQUAÇÒES
1- Função do 1o
grau
Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta.
Função crescente Função decrescente
Zero da função do 1o
grau: valores onde f(x) = 0.
a
b
x0bax
−
=⇒=+
2- Função do 2o
grau
Definição: f(x) = a.x2
+ b.x + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma
parábola.
Zeros da função do 2o
grau: ax2
+bx+c=0
a.2
b
x
c.a.4b2
Δ±−
=
−=Δ
Aqui, temos:
a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois
pontos distintos).
b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x)
c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não
passa pelo eixo x).
Vértice: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ−−
a4
;
a2
b
.
3- Função modular
Definição: f(x) = |x|
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0xx
0xx
xf
,
,
)(
Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo
)x(g)x(f = , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações
esse tipo de equações devemos estudar o sinal de f e aplicar a
definição de módulo:
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0)x(fquando),x(f
0)x(fquando),x(f
)x(f
⎩
⎨
⎧
<=−
≥=
⇒=
0)x(fquando),x(g)x(f
0)x(fquando),x(g)x(f
)x(g)x(f
4- Função exponencial
Definição: f(x) = ax
, onde a é constante positiva.
a) a > 1
f é crescente
x2>x1 ⇒ y2>y1
Imagem = IR+
b) 0<a<1
f é decrescente
x2>x1 ⇒ y2<y1
Imagem = IR+
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2
Equação exponencial: são equações que possuem termos com
expoentes. Observe que se a > 0 então é impossível existir solução
para a equação ax
= 0.
5- Função logaritmo
Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então baxblog x
a =⇔= .
Propriedades dos logaritmos
1) clogblogc.blog aaa += 2) blog.mblog a
m
a =
3) clogblog
c
b
log aaa −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4)
alog
blog
blog
c
c
a =
Definição: f(x) = loga x.
a) a>1:
f é crescente
Imagem = IR
Domínio = IR+
b) 0<a<1:
f é decrescente
Imagem = IR
Domínio = IR+
Condição de existência do logaritmo: a função log só existe quando
a base é positiva e diferente de 1 e quando x > 0.
Equação logarítmica: equação do tipo )x(g)x(floga = . Deve ser
resolvida a partir das propriedades de logaritmos.
Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os
zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja,
são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar
um modo de resolução específico para cada equação.
SEQÜÊNCIAS
1- Progressão aritmética
Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos
consecutivos é sempre constante.
Termo geral: r).1n(aa 1n −+=
Soma dos n primeiros termos: 1( ).
2
n
n
a a n
S
+
=
2- Progressão geométrica
Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos
consecutivos é sempre constante.
Termo geral: 1n
1n qaa −
=
Soma dos n primeiros termos: 1(1 )
1
n
n
a q
S
q
−
=
−
NÚMEROS COMPLEXOS
Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e
i é a unidade imaginária, com i2
= -1. Também são representados na
forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais.
Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o
número z é chamado imaginário puro.
Conjugado: i.baz −=
Módulo: 2 2
| |z a b= +
Forma trigonométrica: )sen.i.(coszz α+α=
Obs: o ângulo α é chamado argumento do número complexo, e é
medido a partir do eixo real no sentido anti-horário.
Forma exponencial: α
= i
e.zz
Operações com números complexos
Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i:
22
21
2
1
21
21
21
z.z
z.z
z
z
i)bcad()bdac(zz
i).db()ca(zz
i).db()ca(zz
=
++−=
−+−=−
+++=+
dica: use a propriedade distributiva na multiplicação
Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
)sen.i(coszz
)sen.i(coszz
β+β=
α+α=
22
11
)](sen.i).[cos(
z
z
z
z
)](sen.i).[cos(z.zz.z
β−α+β−α=
β+α+β+α=
2
1
2
1
2121
Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um
número inteiro então:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+θ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+θ
=
θ+θ=
n
k
sen.i
n
k
cos.zz
)]n(sen.i)n[cos(zz
nn
nn
22
Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a
equação rn
= z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes.
Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos,
para cada k, uma raiz diferente.
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de
grau n é toda expressão do tipo
n
n xaxaxaaxP ++++= ...)( 2
210 ,
onde os valores a0, a1, ..., an são constantes.
Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus
termos correspondentes são iguais.
Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo
quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os
coeficientes de P são nulos.
Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um
polinômio igualado a zero, ou seja:
0...2
210 =++++ n
n xaxaxaa .
Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as
raízes de um polinômio.
Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n
então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado em:
))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP −−−=
onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio.
Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com
coeficientes reais e o número complexo a + b.i é raiz de P(x) então
seu conjugado a – b.i também é raiz.
Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio
D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto)
que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x).
)(R(x)
D(x))(
xQ
xP
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão de
P(x) por (x-a):
..... 1
011
−
−
+ nnn
nn
aaaa
aaaaa
Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o
esquema acima;
Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente;
Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o
segundo coeficiente;
Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo
anterior, até o último coeficiente;
Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os
outros são os coeficientes do polinômio Q(x).
Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a).
Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com
coeficientes inteiros. Se P adimite uma raiz racional p/q, com p e q
primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
Relações de Girard
a) ax2
+bx+c=0 b) ax3
+bx2
+cx+d=0
a
c
P
a
b
S =
−
=
a
d
P
a
c
S
a
b
S
−
==
−
= 2
c) anxn
+an-1xn-1
+...+a1x +a0=0
n
n
n
pnp
p
n
n
n
n
a
a
P
a
a
S
a
a
S
a
a
S
0
2
2
1
)1(
)1(
−=
−==
−
=
−−−
Obs: aqui, Sp indica a soma dos produtos das raízes tomadas p a p.
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3
MATEMÁTICA – FRENTE 2
MATEMÁTICA BÁSICA
1- Potenciação
Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado
um número real a, temos
vezesn
n
a...aaa ×××= .
Propriedades
1) se 1a0a 0
=⇒≠
2)
n
n
a
1
a =−
3) nnn
b.a)b.a( =
4)
n
nn
b
a
b
a
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5) mnmn
aa.a +
=
6) mn
m
n
a
a
a −
=
7) m.nmn
a)a( =
2- Radiciação
Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se
n é um inteiro tal que n > 1, temos:
nn
abab =⇒=
Propriedades
1) nn
1
aa = (raiz escrita na forma de potência)
2)
n mp.n p.m
aa =
3) nnn
b.ab.a =
4) nmm n
a=a ⋅
Racionalização de denominadores: a racionalização de
denominadores consiste em transformar um denominador irracional,
indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua
fração.
1 1
1) .
n nn p n p
n n np p n p
a a
aa a a
− −
−
= =
( ) ( )
2 2
1 1 b
2) = = =
a - b a - b a -
a b a a b
a bb a b
+ + +
⋅
−+
( ) ( )
2 2
1 1 - - b -
3) = = =
a + b a + b a - -
a b a a b
a bb a b
⋅
−
3- Produtos Notáveis
2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
( )( )
( ) 2. .
( ) 2. .
( ) 3. . 3. .
( ) 3. . 3. .
( )( )
( )( )
a b a b a b
a b a a b b
a b a a b b
a b a a b a b b
a b a a b a b b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
− = + −
+ = + +
− = − +
+ = + + +
− = − + −
− = − + +
+ = + − +
4- Aritmética
Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser
decomposto como produto de seus fatores primos.
Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide
simultaneamente uma série de números dados.
Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo
simultaneamente de uma série de números dados.
Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a =
5- Regra de Três
Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são
diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se
uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção.
X
K
Y
=
Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são
inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra
diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra
aumenta na mesma proporção.
KY.X =
Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma
forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
Z
W
K
Y
X
==
Z
W.Y
X
Z
W
Y
X
=⇒=⇒
Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma
forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais.
D.CKB.A ==
B
C
D
A
D.CB.A =⇒=
Regra de três composta: regra de três composta é um processo que
relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente
proporcionais ou uma mistura dessas situações
Situação
Grandeza
1
Grandeza
2
...........
Grandeza
n
1 A1 B1 ........... X1
2 A2 B2 ........... X2
Aqui, temos dois casos:
1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n,
basta resolvermos a proporção:
.....2D.2C.2B.2A
.....1D.1C.1B.1A
2X
1X
=
2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza
n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo,
que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n:
.....2D.2C.1B.2A
.....1D.1C.2B.1A
2X
1X
=
6- Matemática financeira
Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o
capital aplicado e M é o montante final (capital + juros).
Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros.
jCt.i.cCM
t.i.Cj
+=+=
=
Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao
capital, proporcionando juros sobre juros.
CMj
)i1.(CM t
−=
+=
BINÔMIO DE NEWTON
Fatorial: 1.2)...2)(1(! −−= nnnn
Obs: 0! = 1 e 1! = 1
Número binomial:
)!pn(!p
!n
p
n
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Triângulo de Pascal:
14641
1331
121
11
1
Obs: a soma dos elementos da linha n é igual a n
2 .
Relação de Stifel: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1p
1n
1p
n
p
n
Binômios de Newton: são todas as potências da forma (a+b)n
, com n
natural.
iin
n
i
n
ba
i
n
ba −
=
∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=+
0
)(
Termo geral do binômio
ppn
p ba
p
n
T −
+ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=1
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4
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Permutações:
!nPn =
Permutações circulares:
)!1( −= nPn
Permutações com elementos repetidos:
!...!.
!,...,
ba
n
P ba
n =
Arranjos:
)!(
!
,
pn
n
A pn
−
=
Combinações:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
=
p
n
pnp
n
C pn
)!(!
!
,
PROBABILIDADE
Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um
determinado experimento. O total de elementos do espaço é dado por
n(E).
Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. O número de
elementos de um evento A é dado por n(A).
Definição de probabilidade: a probabilidade de um determinado
evento A acontecer é:
⎩
⎨
⎧
−
−
=
amostralespaçoE
eventoA
onde
)E(n
)A(n
)A(P
Probabilidade condicional: probabilidade de um evento A ocorrer,
dado que um outro evento B ocorreu antes. Aqui, como B já ocorreu,
ele se torna nosso novo espaço amostral. Assim:
)(
)(
)(
)(
)/(
Bp
BAp
Bn
BAn
BAp
∩
=
∩
=
União de eventos:
)BA(p)B(p)A(p)BA(p ∩−+=∪
Eventos independentes: dois eventos A e B são independentes
quando a ocorrência de A não interfere na ocorrência de B. Nesse
caso, temos )B(p).A(p)BA(p =∩ .
Eventos mutuamente excludentes: dois eventos A e B são
mutuamente excludentes quando a ocorrência de A faz com que o
evento B não aconteça, e vice-versa. Nesse caso, temos 0)BA(p =∩
e )B(P)A(p)BA(p +=∪ .
TRIGONOMETRIA
Trigonometria no triângulo retângulo
opostocateto
seno
hipotenusa
= ,
cos
cateto adjacente
seno
hipotenusa
=
opostocateto
tagente
cateto adjascente
=
Lei dos Senos
R2
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
===
∧∧∧
Lei dos Cossenos
a2
= b2
+ c2
– 2bc . cos
∧
A
Principais relações trigonométricas
2 2
cos 1sen α α+ =
( ) .cos cos . .sen sen senα β α β α β+ = +
( ) cos .cos . .cos sen senα β α β α β+ = −
( )
1 .
tg tg
tg
tg tg
α β
α β
α β
+
+ =
−
. . 2. . .cos.
2 2
p q p q
sen p sen q sen
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. . 2.cos .cos.
2 2
p q p q
cos p cos q
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
MATRIZES
Definição: uma matriz n x m é uma tabela numérica com n linhas e m
colunas. Se m = n, a matriz é chamada quadrada de ordem n.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nmn
m
aa
aa
A
1
111
Multiplicação por um número: seja x um número qualquer. Quando
fazemos x.A, multiplicamos todos os elementos de A por x:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nmn
m
nmn
m
axax
axax
Ax
aa
aa
A
..
..
.
1
111
1
111
Soma de matrizes: quando A=(aij) e B=(bij) são matrizes de mesma
ordem (n x m), então:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
=+
nmnmnn
mm
baba
baba
BA
11
111111
Multiplicação de matrizes: para que exista o produto de duas
matrizes A e B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número
de linhas de B. Se C = A.B, então:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++++
++++
=
nnnnnnnnn
nnnnnn
babababa
babababa
C
........
.........
1111111
1111111111
Obs: se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a
matriz produto C tem ordem m x q.
Matriz inversa: dada uma matriz quadrada A, dizemos que a possui
uma inversa quando existe B de mesma ordem tal que A.B = B.A = I.
Nesse caso, B = A-1
.
Matriz transposta (At
): matriz formada trocando-se as linhas pelas
colunas e vice-versa.
Matriz simétrica: uma matriz é chamada simétrica quando A = At
.
Matriz anti-simétrica: uma matriz é chamada anti-simétrica quando
A = - At
.
DETERMINANTES
Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a
um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o
determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M
quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij.
Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada
elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j
.Dij.
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem
n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna)
pelos respectivos cofatores.
Cálculo do determinante para ordens 1 e 2
( )
bcad
dc
ba
A
dc
ba
A
aaAaA
−==⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
==⇒=
det
det
Propriedades
1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.
2) det(A) = det(A
t
).
3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é
nulo.
4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele
muda de sinal.
5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais é
nulo.
6) det(A
-1
) = 1/det A.
7) det(A.B) = det A.det B
8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.A) = k
n
. det A
Existência da matriz inversa: Uma matriz A só possui inversa se tem
determinante não-nulo.
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RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008
5
SISTEMAS LINEARES
Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente
é 1:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz
as m equações acima.
Forma matricial
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando
b1=b2=...=bn=0.
Classificação de sistemas lineares
a) possível e determinado: só possui 1 solução;
b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções;
c) impossível: não possui soluções.
Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado.
Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto-
solução.
Propriedades:
1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro
sistema equivalente;
2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número
real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer
ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte
procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da
1º incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos
todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema
se torne escalonado.
MATEMÁTICA – FRENTE 3
GEOMETRIA PLANA
1- Triângulos
Teorema de Tales
r//s//t
EF
DE
BC
AB
=
Semelhança de Triângulos
⇔ΔΔ '''~ VBAABC
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
=
=
=
⇔
∧∧
∧∧
∧∧
'c
c
'b
b
'a
a
e
'CC
'BB
'AA
Razão entre linhas homólogas: admitindo que k é a razão de
semelhança, temos:
ΔABC~ΔA’B’C’
k
'c'b'a
cba
'm
m
'h
h
'c
c
'b
b
'a
a
=
++
++
=====
Teorema fundamental
ABC~ADEBC//DE ΔΔ⇒
Base média do triângulo
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
2
BC
MN
BC//MN
NCAN
e
BMAM
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
a2
= b2
+ c2
b2
= a . n
c2
= a . m
b . c = a . h
h2
= m . n
Área do Triângulo
2
h.a
S =
2
αsencb
S
••
=
( )( )( )cpbpappS −−−= ;
2
cba
p
++
=
R4
abc
S =
a,b,c – lados do triângulo
R - raio da circunferência circunscrita
rp
2
rcba
S .
).(
=
++
=
a,b,c – lados do triângulo
p – semiperímetro
r – raio da circunferência inscrita
2- Quadriláteros
Base média do trapézio
2
ba
MN
+
=
Área dos Paralelogramos: a área de qualquer paralelogramo é dada por:
S = (base) . (altura)
Paralelogramo Qualquer
S = a • h
Retângulo
SR = a • b
Losango
.
.
2
D d
S h= =
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RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008
6
Quadrado
2
S =
Trapézio
2
h).ba(
S
+
=
Área do Círculo e de Suas Partes
Obs: O comprimento da circunferência é dado por S = 2πr
Círculo
S = πr2
Coroa Circular
S = π.(R2
– r2
)
Setor Circular
2
o
r
360
S π•
α
=
2
r
S
•
=
Áreas de Figuras Semelhantes
Se, em duas figuras semelhantes, a razão entre as linhas homólogas é
igual a k, a razão entre as áreas é igual a k2
.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Ponto Médio e Distância de Dois Pontos
2
A B
M
x x
x
+
=
2
ba
m
yy
y
+
=
( ) ( )2
BA
2
BAAB YYXXd −+−=
Equação Da Reta - Coeficiente Angular
m = tg θ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ π
≠θ
2
BA
BA
XX
YY
m
−
−
=
Formas da Equação da Reta
Equação geral: ax+by+c=0
Equação reduzida: y = mx + q
m é o coeficiente angular
q é o coeficiente linear
1
1 0
1
A A
B B
x y
x y
x y
=
Distância de Ponto a Reta
( )
0 0
, 2 2p r
ax by c
d
a b
+ +
=
+
Retas Paralelas
r// s ⇒ mr = ms
Retas Perpendiculares
mr.ms= -1
Equação Da Circunferência
(x – xc)2
+ (y – yc)2
= r2
Obs: uma equação redutível à forma x2
+ y2
+ αx + βy + γ representa
uma circunferência de centro C = (xC; yC) e raio r, onde
γyxre
2
β
y,
2
α
x 2
C
2
CCC −+=−=−= , desde que 02
cy2
cx >γ−+
Área do Triângulo
2
SABC
Δ
= , onde
1
1
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
Δ =
GEOMETRIA ESPACIAL
1- Prismas
Cubo
3ad =
Área Total = 6a2
V = a3
Paralelepípedo reto retângulo
Área Total = 2(ab+bc+ac)
V = abc
2c2b2ad ++=
Prisma regular: o prisma regular é reto e sua base é um polígono
regular. O volume de qualquer prisma é dado pela fórmula:
V = (área da base).(altura)
2- Piramides
Volume: o volume de qualquer pirâmide é dado por
)altura).(basedaárea(
3
1
V =
Pirâmide regular: a base é um
polígono regular e a projeção
ortogonal do vértice sobre a base é o
centro da mesma.
Tetraedros notáveis
Tetraedro tri-retângulo
Tetraedro regular (todas as arestas
são congruentes)
3- Cilindro
Cilindro oblíquo (g – geratriz) Cilindro reto
Volume: o volume de qualquer cilindro é dado pela fórmula:
V = (área da base).(altura)
Obs: de um cilindro circular reto é possível calcular a área lateral e a área
total:
St = 2πrh St = 2πr(h + r)
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RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008
7
4- Cone
Cone oblíquo Cone reto
Volume: o volume de qualquer cone é dado por:
)altura).(basedaárea(
3
1
V =
Área lateral: num cone reto, a planificação da superfície lateral é um
setor circular cujo raio é a geratriz.
Área lateral = πrg
Área Total = πr(g + r)
g
r2π
=θ (θ em radianos)
5- Esfera
área = 4πr2
3
E r
3
4
V π=
6- Sólidos semelhantes
São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes)
proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão
entre dois elementos lineares homólogos. Assim:
2 31 1
2 2
A Vh
k k k
H A V
= = =
Onde:
h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido;
H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido.
7- Relação de Euler: V – A + F = 2

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Resumo teorico matematica afa

  • 1. AFA – Resumo Teórico Matemática
  • 2. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 1 MATEMÁTICA – FRENTE 1 CONJUNTOS 1 - Noções Básicas Conjunto: é uma coleção de elementos. a) vazio: não possui elementos b) unitário: possui um único elemento c) universo: conjunto que possui todos os elementos Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Ax ∈⇒ . Caso contrário, Ax ∉ . Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, BA ⊂ . Operações com conjuntos: a) união: }BxouAx,x{BA ∈∈=∪ b) intersecção: }BxeAx,x{BA ∈∈=∩ c) diferença: }BxeAx,x{BA ∉∈=− Complementar: se BA ⊂ então o complementar de A com relação à B é o conjunto ABCB A −= . União de dois conjuntos: )BA(n)B(n)A(n)BA(n ∩−+=∪ Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos. 2 – Conjuntos Numéricos Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...} Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0} Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações e por dízimas periódicas. Números irracionais: são todos os números que não podem ser escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I. Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais. Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}. TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f:A→B é chamada função quando associa a cada elemento de A um único elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos os elementos que estão em correspondência com os elementos de A. Classificações a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio. b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2). c) bijetora: função injetora e sobrejetora d) função par: f(x) = f(-x) e) função ímpar: f(x) = -f(-x) obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares. Função composta: chama-se função composta, ou função de uma função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por uma outra função. Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma função f-1 :B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1 (y)=x. Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a expressão da função inversa de f. Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então x)x)(ff( 1 =− . FUNÇÕES E EQUAÇÒES 1- Função do 1o grau Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta. Função crescente Função decrescente Zero da função do 1o grau: valores onde f(x) = 0. a b x0bax − =⇒=+ 2- Função do 2o grau Definição: f(x) = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola. Zeros da função do 2o grau: ax2 +bx+c=0 a.2 b x c.a.4b2 Δ±− = −=Δ Aqui, temos: a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois pontos distintos). b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x) c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não passa pelo eixo x). Vértice: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ−− a4 ; a2 b . 3- Função modular Definição: f(x) = |x| ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥ = 0xx 0xx xf , , )( Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo )x(g)x(f = , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações esse tipo de equações devemos estudar o sinal de f e aplicar a definição de módulo: ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥ = 0)x(fquando),x(f 0)x(fquando),x(f )x(f ⎩ ⎨ ⎧ <=− ≥= ⇒= 0)x(fquando),x(g)x(f 0)x(fquando),x(g)x(f )x(g)x(f 4- Função exponencial Definição: f(x) = ax , onde a é constante positiva. a) a > 1 f é crescente x2>x1 ⇒ y2>y1 Imagem = IR+ b) 0<a<1 f é decrescente x2>x1 ⇒ y2<y1 Imagem = IR+
  • 3. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 2 Equação exponencial: são equações que possuem termos com expoentes. Observe que se a > 0 então é impossível existir solução para a equação ax = 0. 5- Função logaritmo Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então baxblog x a =⇔= . Propriedades dos logaritmos 1) clogblogc.blog aaa += 2) blog.mblog a m a = 3) clogblog c b log aaa −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4) alog blog blog c c a = Definição: f(x) = loga x. a) a>1: f é crescente Imagem = IR Domínio = IR+ b) 0<a<1: f é decrescente Imagem = IR Domínio = IR+ Condição de existência do logaritmo: a função log só existe quando a base é positiva e diferente de 1 e quando x > 0. Equação logarítmica: equação do tipo )x(g)x(floga = . Deve ser resolvida a partir das propriedades de logaritmos. Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja, são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar um modo de resolução específico para cada equação. SEQÜÊNCIAS 1- Progressão aritmética Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. Termo geral: r).1n(aa 1n −+= Soma dos n primeiros termos: 1( ). 2 n n a a n S + = 2- Progressão geométrica Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos consecutivos é sempre constante. Termo geral: 1n 1n qaa − = Soma dos n primeiros termos: 1(1 ) 1 n n a q S q − = − NÚMEROS COMPLEXOS Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e i é a unidade imaginária, com i2 = -1. Também são representados na forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais. Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o número z é chamado imaginário puro. Conjugado: i.baz −= Módulo: 2 2 | |z a b= + Forma trigonométrica: )sen.i.(coszz α+α= Obs: o ângulo α é chamado argumento do número complexo, e é medido a partir do eixo real no sentido anti-horário. Forma exponencial: α = i e.zz Operações com números complexos Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i: 22 21 2 1 21 21 21 z.z z.z z z i)bcad()bdac(zz i).db()ca(zz i).db()ca(zz = ++−= −+−=− +++=+ dica: use a propriedade distributiva na multiplicação Multiplicação e divisão na forma trigonométrica )sen.i(coszz )sen.i(coszz β+β= α+α= 22 11 )](sen.i).[cos( z z z z )](sen.i).[cos(z.zz.z β−α+β−α= β+α+β+α= 2 1 2 1 2121 Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um número inteiro então: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π+θ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π+θ = θ+θ= n k sen.i n k cos.zz )]n(sen.i)n[cos(zz nn nn 22 Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes. Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos, para cada k, uma raiz diferente. POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de grau n é toda expressão do tipo n n xaxaxaaxP ++++= ...)( 2 210 , onde os valores a0, a1, ..., an são constantes. Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus termos correspondentes são iguais. Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os coeficientes de P são nulos. Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um polinômio igualado a zero, ou seja: 0...2 210 =++++ n n xaxaxaa . Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as raízes de um polinômio. Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado em: ))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP −−−= onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio. Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com coeficientes reais e o número complexo a + b.i é raiz de P(x) então seu conjugado a – b.i também é raiz. Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x). )(R(x) D(x))( xQ xP Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão de P(x) por (x-a): ..... 1 011 − − + nnn nn aaaa aaaaa Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o esquema acima; Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente; Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o segundo coeficiente; Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo anterior, até o último coeficiente; Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os outros são os coeficientes do polinômio Q(x). Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a). Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com coeficientes inteiros. Se P adimite uma raiz racional p/q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an. Relações de Girard a) ax2 +bx+c=0 b) ax3 +bx2 +cx+d=0 a c P a b S = − = a d P a c S a b S − == − = 2 c) anxn +an-1xn-1 +...+a1x +a0=0 n n n pnp p n n n n a a P a a S a a S a a S 0 2 2 1 )1( )1( −= −== − = −−− Obs: aqui, Sp indica a soma dos produtos das raízes tomadas p a p.
  • 4. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 3 MATEMÁTICA – FRENTE 2 MATEMÁTICA BÁSICA 1- Potenciação Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado um número real a, temos vezesn n a...aaa ×××= . Propriedades 1) se 1a0a 0 =⇒≠ 2) n n a 1 a =− 3) nnn b.a)b.a( = 4) n nn b a b a =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5) mnmn aa.a + = 6) mn m n a a a − = 7) m.nmn a)a( = 2- Radiciação Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se n é um inteiro tal que n > 1, temos: nn abab =⇒= Propriedades 1) nn 1 aa = (raiz escrita na forma de potência) 2) n mp.n p.m aa = 3) nnn b.ab.a = 4) nmm n a=a ⋅ Racionalização de denominadores: a racionalização de denominadores consiste em transformar um denominador irracional, indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua fração. 1 1 1) . n nn p n p n n np p n p a a aa a a − − − = = ( ) ( ) 2 2 1 1 b 2) = = = a - b a - b a - a b a a b a bb a b + + + ⋅ −+ ( ) ( ) 2 2 1 1 - - b - 3) = = = a + b a + b a - - a b a a b a bb a b ⋅ − 3- Produtos Notáveis 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 ( )( ) ( ) 2. . ( ) 2. . ( ) 3. . 3. . ( ) 3. . 3. . ( )( ) ( )( ) a b a b a b a b a a b b a b a a b b a b a a b a b b a b a a b a b b a b a b a ab b a b a b a ab b − = + − + = + + − = − + + = + + + − = − + − − = − + + + = + − + 4- Aritmética Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser decomposto como produto de seus fatores primos. Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide simultaneamente uma série de números dados. Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo simultaneamente de uma série de números dados. Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a = 5- Regra de Três Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção. X K Y = Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. KY.X = Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. Z W K Y X == Z W.Y X Z W Y X =⇒=⇒ Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais. D.CKB.A == B C D A D.CB.A =⇒= Regra de três composta: regra de três composta é um processo que relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações Situação Grandeza 1 Grandeza 2 ........... Grandeza n 1 A1 B1 ........... X1 2 A2 B2 ........... X2 Aqui, temos dois casos: 1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n, basta resolvermos a proporção: .....2D.2C.2B.2A .....1D.1C.1B.1A 2X 1X = 2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo, que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n: .....2D.2C.1B.2A .....1D.1C.2B.1A 2X 1X = 6- Matemática financeira Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o capital aplicado e M é o montante final (capital + juros). Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros. jCt.i.cCM t.i.Cj +=+= = Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao capital, proporcionando juros sobre juros. CMj )i1.(CM t −= += BINÔMIO DE NEWTON Fatorial: 1.2)...2)(1(! −−= nnnn Obs: 0! = 1 e 1! = 1 Número binomial: )!pn(!p !n p n − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Triângulo de Pascal: 14641 1331 121 11 1 Obs: a soma dos elementos da linha n é igual a n 2 . Relação de Stifel: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1p 1n 1p n p n Binômios de Newton: são todas as potências da forma (a+b)n , com n natural. iin n i n ba i n ba − = ∑ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+ 0 )( Termo geral do binômio ppn p ba p n T − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =1
  • 5. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 4 ANÁLISE COMBINATÓRIA Permutações: !nPn = Permutações circulares: )!1( −= nPn Permutações com elementos repetidos: !...!. !,..., ba n P ba n = Arranjos: )!( ! , pn n A pn − = Combinações: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = p n pnp n C pn )!(! ! , PROBABILIDADE Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento. O total de elementos do espaço é dado por n(E). Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. O número de elementos de um evento A é dado por n(A). Definição de probabilidade: a probabilidade de um determinado evento A acontecer é: ⎩ ⎨ ⎧ − − = amostralespaçoE eventoA onde )E(n )A(n )A(P Probabilidade condicional: probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um outro evento B ocorreu antes. Aqui, como B já ocorreu, ele se torna nosso novo espaço amostral. Assim: )( )( )( )( )/( Bp BAp Bn BAn BAp ∩ = ∩ = União de eventos: )BA(p)B(p)A(p)BA(p ∩−+=∪ Eventos independentes: dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de A não interfere na ocorrência de B. Nesse caso, temos )B(p).A(p)BA(p =∩ . Eventos mutuamente excludentes: dois eventos A e B são mutuamente excludentes quando a ocorrência de A faz com que o evento B não aconteça, e vice-versa. Nesse caso, temos 0)BA(p =∩ e )B(P)A(p)BA(p +=∪ . TRIGONOMETRIA Trigonometria no triângulo retângulo opostocateto seno hipotenusa = , cos cateto adjacente seno hipotenusa = opostocateto tagente cateto adjascente = Lei dos Senos R2 Csen c Bsen b Asen a === ∧∧∧ Lei dos Cossenos a2 = b2 + c2 – 2bc . cos ∧ A Principais relações trigonométricas 2 2 cos 1sen α α+ = ( ) .cos cos . .sen sen senα β α β α β+ = + ( ) cos .cos . .cos sen senα β α β α β+ = − ( ) 1 . tg tg tg tg tg α β α β α β + + = − . . 2. . .cos. 2 2 p q p q sen p sen q sen + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . . 2.cos .cos. 2 2 p q p q cos p cos q + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ MATRIZES Definição: uma matriz n x m é uma tabela numérica com n linhas e m colunas. Se m = n, a matriz é chamada quadrada de ordem n. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nmn m aa aa A 1 111 Multiplicação por um número: seja x um número qualquer. Quando fazemos x.A, multiplicamos todos os elementos de A por x: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nmn m nmn m axax axax Ax aa aa A .. .. . 1 111 1 111 Soma de matrizes: quando A=(aij) e B=(bij) são matrizes de mesma ordem (n x m), então: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ =+ nmnmnn mm baba baba BA 11 111111 Multiplicação de matrizes: para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B. Se C = A.B, então: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ ++++ = nnnnnnnnn nnnnnn babababa babababa C ........ ......... 1111111 1111111111 Obs: se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q. Matriz inversa: dada uma matriz quadrada A, dizemos que a possui uma inversa quando existe B de mesma ordem tal que A.B = B.A = I. Nesse caso, B = A-1 . Matriz transposta (At ): matriz formada trocando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. Matriz simétrica: uma matriz é chamada simétrica quando A = At . Matriz anti-simétrica: uma matriz é chamada anti-simétrica quando A = - At . DETERMINANTES Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij. Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j .Dij. Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Cálculo do determinante para ordens 1 e 2 ( ) bcad dc ba A dc ba A aaAaA −==⇒⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ==⇒= det det Propriedades 1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 2) det(A) = det(A t ). 3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. 4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. 5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais é nulo. 6) det(A -1 ) = 1/det A. 7) det(A.B) = det A.det B 8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.A) = k n . det A Existência da matriz inversa: Uma matriz A só possui inversa se tem determinante não-nulo.
  • 6. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 5 SISTEMAS LINEARES Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente é 1: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ... ... ... 2211 22222121 11212111 A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz as m equações acima. Forma matricial ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa 2 1 2 1 21 22221 11211 ... ... ... Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando b1=b2=...=bn=0. Classificação de sistemas lineares a) possível e determinado: só possui 1 solução; b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções; c) impossível: não possui soluções. Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado. Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto- solução. Propriedades: 1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente; 2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior. Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. MATEMÁTICA – FRENTE 3 GEOMETRIA PLANA 1- Triângulos Teorema de Tales r//s//t EF DE BC AB = Semelhança de Triângulos ⇔ΔΔ '''~ VBAABC ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == = = = ⇔ ∧∧ ∧∧ ∧∧ 'c c 'b b 'a a e 'CC 'BB 'AA Razão entre linhas homólogas: admitindo que k é a razão de semelhança, temos: ΔABC~ΔA’B’C’ k 'c'b'a cba 'm m 'h h 'c c 'b b 'a a = ++ ++ ===== Teorema fundamental ABC~ADEBC//DE ΔΔ⇒ Base média do triângulo ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = 2 BC MN BC//MN NCAN e BMAM Relações Métricas no Triângulo Retângulo a2 = b2 + c2 b2 = a . n c2 = a . m b . c = a . h h2 = m . n Área do Triângulo 2 h.a S = 2 αsencb S •• = ( )( )( )cpbpappS −−−= ; 2 cba p ++ = R4 abc S = a,b,c – lados do triângulo R - raio da circunferência circunscrita rp 2 rcba S . ).( = ++ = a,b,c – lados do triângulo p – semiperímetro r – raio da circunferência inscrita 2- Quadriláteros Base média do trapézio 2 ba MN + = Área dos Paralelogramos: a área de qualquer paralelogramo é dada por: S = (base) . (altura) Paralelogramo Qualquer S = a • h Retângulo SR = a • b Losango . . 2 D d S h= =
  • 7. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 6 Quadrado 2 S = Trapézio 2 h).ba( S + = Área do Círculo e de Suas Partes Obs: O comprimento da circunferência é dado por S = 2πr Círculo S = πr2 Coroa Circular S = π.(R2 – r2 ) Setor Circular 2 o r 360 S π• α = 2 r S • = Áreas de Figuras Semelhantes Se, em duas figuras semelhantes, a razão entre as linhas homólogas é igual a k, a razão entre as áreas é igual a k2 . GEOMETRIA ANALÍTICA Ponto Médio e Distância de Dois Pontos 2 A B M x x x + = 2 ba m yy y + = ( ) ( )2 BA 2 BAAB YYXXd −+−= Equação Da Reta - Coeficiente Angular m = tg θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π ≠θ 2 BA BA XX YY m − − = Formas da Equação da Reta Equação geral: ax+by+c=0 Equação reduzida: y = mx + q m é o coeficiente angular q é o coeficiente linear 1 1 0 1 A A B B x y x y x y = Distância de Ponto a Reta ( ) 0 0 , 2 2p r ax by c d a b + + = + Retas Paralelas r// s ⇒ mr = ms Retas Perpendiculares mr.ms= -1 Equação Da Circunferência (x – xc)2 + (y – yc)2 = r2 Obs: uma equação redutível à forma x2 + y2 + αx + βy + γ representa uma circunferência de centro C = (xC; yC) e raio r, onde γyxre 2 β y, 2 α x 2 C 2 CCC −+=−=−= , desde que 02 cy2 cx >γ−+ Área do Triângulo 2 SABC Δ = , onde 1 1 1 A A B B C C x y x y x y Δ = GEOMETRIA ESPACIAL 1- Prismas Cubo 3ad = Área Total = 6a2 V = a3 Paralelepípedo reto retângulo Área Total = 2(ab+bc+ac) V = abc 2c2b2ad ++= Prisma regular: o prisma regular é reto e sua base é um polígono regular. O volume de qualquer prisma é dado pela fórmula: V = (área da base).(altura) 2- Piramides Volume: o volume de qualquer pirâmide é dado por )altura).(basedaárea( 3 1 V = Pirâmide regular: a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre a base é o centro da mesma. Tetraedros notáveis Tetraedro tri-retângulo Tetraedro regular (todas as arestas são congruentes) 3- Cilindro Cilindro oblíquo (g – geratriz) Cilindro reto Volume: o volume de qualquer cilindro é dado pela fórmula: V = (área da base).(altura) Obs: de um cilindro circular reto é possível calcular a área lateral e a área total: St = 2πrh St = 2πr(h + r)
  • 8. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 7 4- Cone Cone oblíquo Cone reto Volume: o volume de qualquer cone é dado por: )altura).(basedaárea( 3 1 V = Área lateral: num cone reto, a planificação da superfície lateral é um setor circular cujo raio é a geratriz. Área lateral = πrg Área Total = πr(g + r) g r2π =θ (θ em radianos) 5- Esfera área = 4πr2 3 E r 3 4 V π= 6- Sólidos semelhantes São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes) proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão entre dois elementos lineares homólogos. Assim: 2 31 1 2 2 A Vh k k k H A V = = = Onde: h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido; H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido. 7- Relação de Euler: V – A + F = 2