Funções exponenciais e logarítmicas

Funções exponeciais e
logarítmicas
Matemática
Filipe Binja, Maria Luiza, Maria Eduarda N, João
Gabriel Lira, João Gabriel Pacheco, Gabriela Gentil
3MA

Potenciação
A potenciação é a base para o conhecimentos tanto
de funções exponenciais, quanto para logaritmos
A potenciação se conceitualiza pela seguinte regra:

Potenciação
Das quais observa-se:
 a1 = a 51 = 5
 a0 = 1 40 = 1
 am . an = am + n 22 . 23 = 22+3 = 25 = 32
 am : an = am – n 24 : 22 = 24-2 = 22 = 4
 (am)n = am.n (32)5 = 32.5 = 310 = 59 049
 (a . b)m = am . bm (2 . 3)2 = 22 . 32 = 4 . 9 = 36
 (a/b)m = am/bn (2/3)2 = 22/32 = 4/9
 a–n = 1/an, a ≠ 0 (2)-4 = (1/2)4 = 1/16
 (a/b)-n = (b/a)n (2/3)-2 = (3/2)2 = 32/22 = 9/4
 am/n = n√am 51/2 = √5
 (- x)3 = (- x) . (- x) .(- x) = - y (- 2)3 = (- 2) x (- 2) x (- 2) = - 8
 (- x)2 = (- x) . (- x) = + y (- 3)2 = (- 3) x (- 3) = + 9

Equações e inequações exponenciais
Como o nome sugere, o termo exponencial está ligado a expoente.
Então, a definição de função exponencial é uma função cujo domínio é
o conjunto dos números reais, e o contradomínio é o conjunto dos
números reais positivos não nulos, descrito por : ℝ → ℝ*+. A sua lei
de formação é descrita pela equação f(x) = ax, em que a é um número
real qualquer, positivo, não nulo e que recebe o nome de base.
Exemplo:

Propriedades da função exponencial
• 1ª propriedade: Em uma função exponencial qualquer,
independentemente do valor de sua base a, temos que f(0) = 1.
Afinal, sabemos que essa é uma propriedade de potência, ou
seja, todo número elevado a 0 é 1. Isso significa que o gráfico vai
interceptar o eixo vertical no ponto (0,1) sempre.
• 2ª propriedade: A função exponencial é injetora. Dados x1 e x2
tal que x1 ≠ x2, então as imagens também serão diferentes, ou
seja, f(x1) ≠ f(x2), o que significa que, para cada valor da imagem,
existe um único valor no domínio que corresponde a essa
imagem.
• Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um
único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y..

Propriedades da função exponencial
• 3ª propriedade: É possível saber o comportamento da função de
acordo com o valor da sua base. O gráfico será crescente se a
base for maior que 1 (a > 1) e decrescente se a base for menor
que 1 e menor que 0 (0 < a < 1).
• 4ª propriedade: O gráfico da função exponencial está sempre no
1º e 2º quadrantes, pois o contradomínio da função são os reais
positivos diferentes de zero.

Exercício de função exponencial
(Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere
que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um
aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A
expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do
tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t. De acordo com
a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa
com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,
a) 7.416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1909,62"

Funções exponenciais
Funções exponenciais
Uma função exponencial pode ser
crescente ou de-
crescente, dependendo da sua base a,
ou seja:
• Se 0 < a < 1, a função é
decrescente;
• Se a > 1, a função é crescente.
Veja um exemplo no gráfico a seguir:
Y=f(x)=(1/2)x
Y=f(x)=(1/4)x Y=f(x)=4x
Y=f(x)=2x

-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
Função crescente
A>1
F(x) = 2*
X Y

-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
Função decrescente
0<A<1
F(X) = (1/2)
X Y

Exercícios sobre funções exponenciais
Dada uma função de R → R com a lei de formação f(x) = ax, em que a é
um número positivo diferente de 1, julgue as afirmativas a seguir:
I → Essa função será crescente se a for positivo.
II → Se x = 0, então, f(x) = 1.
III → Essa é uma função exponencial.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é falsa.
B) Somente a afirmativa II é falsa.
C) Somente a afirmativa III é falsa.
D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
E) Todas as afirmativas são falsas.

1) Dada a função f(x) = 2x+3 + 10,
o valor de x para que f(x) = 42 é
de:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

2) Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante
anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que
medisse o crescimento dessa árvore no decorrer do tempo. Sua
conclusão foi que, ao plantar-se essa árvore, seu crescimento, no
decorrer dos anos, é dado por C(t) = 0,5 · 2t – 1. Analisando essa
função, quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16
metros?
A) 7 anos
B) 6 anos
C) 5 anos
D) 4 anos
E) 3 anos

O gráfico, a seguir, é a representação de uma função exponencial.
Analisando o gráfico, a lei de formação dessa função exponencial é:
A) f(x) = 5x
B) f(x) = 0,2x
C) f(x) = 2x
D) f(x) = 0,5x
E) f(x) = 0,5-x

4) (Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x,
se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:
a) ¼
b) 1
c) 8
d) 4
e) ½

5) Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere
uma função crescente.
g(x) = (3k + 16)x

Logarítimos
Logaritmo é a operação inversa da exponencial
se conceitualiza pela seguinte regra:

Logarítimos
Também chamado de logaritmo de Euler, o logaritmo natural se
caracteriza pela seguinte regra:
ln a=logea
sendo a > o
valendo e aproximadamente (não sei colocar o símbolo) 2,71
ln2=loge e2 =2
e o cologaritmo : é o oposto do logaritmo
co loga B= - loga B
co log25125= - log25125= X
25x=125
(52)x=53
2x=3
X=2/3

Assim, os logaritimos podem ser usados em funções, equações e inequações
logaritimas das quais é necessário saber suas propriedades:
deste modo, observa-se tais propriedades:
 log a 1= 0 log 2 1=0 20=1
 log a a= 1 log 2 2 = 1 2 1=2
 log a an= n log 2 23 = 3 23 = 23
 log 60 = log (2.3.10) = log 2 + log 3 +
log 10= 0,3 + 0,48 + 1 = 1,78
 log 0,5= log (5/10) = log 5-log10 = 0,7-1 = -0,3
 log 81 = log 34 = 4 . log 3 = 4 . 0,48 = 1,92
 log3 7 na base 10
 a log
a
b = b 5 log
5
2 = 2
 - log a b = 1/log a b - log 5 2 = 1/ log 5 2

Equações logarítimas
Tipo 1: Equação que envolve a igualdade entre dois logaritmos de mesma base.
A solução é dada fazendo x = y > 0
Exemplo:
Solução:
2x + 4 = 3x + 1
2x – 3x = 1 – 4
– x = – 3
x = 3
Portanto, S = { 3 }

Tipo 2. Equação que envolve a igualdade entre um logaritmo e um número.
A solução é dada por x = ac.
Exemplo:
Solução: Pela definição de logaritmo temos:
5x + 2 = 33
5x + 2 = 27
5x = 27 – 2
5x = 25
x = 5
Portanto S = {5}.

Tipo 3. Equação que é necessário
fazer uma mudança de incógnita.
Exemplo: Resolva a equação
Solução: Vamos fazer
a seguinte mudança de incógnita
Substituindo na equação inicial,
ficaremos com:

Tipo 4. Equações que utilizam as propriedades do logaritmo ou de mudança de
base.
Exemplo:
Solução: usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação
acima da seguinte forma:
Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades:

Vamos retornar à equação:
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que:
(2x +3)(x + 2) = x2
ou
2x2 + 4x + 3x + 6 = x2
2x2 – x2 + 7x + 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x = -1 ou x = - 6
Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser
positivos.
Com os valores encontrados para x, o logaritmando ficará negativo. Sendo assim,
a equação não tem solução ou S = ø."

Inequações logarítimas
As inequações logarítmicas são todas aquelas que
apresentam logaritmos. A incógnita, nesses casos, está
no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um
logaritmo possui o seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b

1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:
loga b < loga c
Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a >
1), podemos desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os
logaritmandos, isto é:
Se a > 1, então loga b < loga c ↔ b < c
Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao
resolver a inequação logarítmica, devemos inverter a desigualdade e
estabelecer uma inequação entre os logaritmandos, ou seja:
Se 0 > a > 1, então loga b < loga c ↔ b > c
Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x
log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3

2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:
loga b < x
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma
desigualdade entre um logaritmo e um número real, podemos aplicar a
propriedade básica do logaritmo, mantendo intacto o símbolo da
desigualdade:
loga b < x ↔ b < ax
ou
loga b > x ↔ b > ax
Exemplo 2: log2 (x + 3) ≥ 3
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > – 3

Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um
número real. Podemos resolver o logaritmo da forma
convencional, mantendo a desigualdade:
log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5

Função Logarítima
𝐹(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥
Condições de existência
• x e b > 0
• b ≠ 1

Gráficos de Função Logarítima
O gráfico da função logarítmica é uma curva, construída em
razão dos valores aplicados em x e os respectivos resultados
calculados para f (x).
As coordenadas são colocadas dentro do plano
cartesiano nos quadrantes I e II, pois essa função é
caracterizada por x > 0. Além disso, a depender da base, são
classificadas em crescente e decrescente.

Resolva os logaritmos:
a)
b)
c)

Exercícios sobre logarítimos
(UFRGS - 2017) Se log5 x = 2 e log10 y = 4,
então log20 y/x é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Substituindo esses valores na expressão
apresentada, temos:

Calcule:
a)
b)
c)
Uma potência que apresenta logaritmo
como expoente pode ser resolvida da
seguinte forma:
Ou seja, se tomarmos o valor do
logaritmo como sendo
então podemos dizer que

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