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1. MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
Acadêmico: R.A.:
Curso:
Disciplina:
Valor da atividade: verifique no ambiente
da disciplina
Prazo: verifique no ambiente da
disciplina
Instruções para Realização da Atividade
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos;
2. Utilize deste formulário para a realização do MAPA;
3. Esta é uma atividade INDIVIDUAL. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de
ambos sofrerá decréscimo de nota;
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie
e envie em forma de anexo;
5. Formatação exigida para esta atividade: documento Word, Fonte Arial ou Times New
Roman tamanho 12, Espaçamento entre linhas 1,5, texto justificado;
6. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referencie conforme as normas da ABNT;
7. Critérios de avaliação: Utilização do Template; Atendimento ao Tema; Constituição
dos argumentos e organização das Ideias; Correção Gramatical e atendimento às
normas ABNT;
8. Procure argumentar de forma clara e objetiva, de acordo com o conteúdo da disciplina.
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador.
Bons estudos!

2. Agora, imagine a seguinte situação: Como engenheiro de software, você foi
contratado para que pudesse fazer a análise de um sistema constituído de fibra óptica
e precisa coletar alguns dados. Um dos resultados obtidos foi a curva relativa à
atenuação-Comprimento de Onda e as Janelas de Transmissão de uma Fibra Óptica
que foi definida pela seguinte função:
𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
Para a avaliação desta atividade, responda aos itens a), b), c) e d):
a) Quais são as regiões onde essa curva será crescente ou decrescente? (Mostre
os cálculos).
Resposta:
Para determinar onde o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 é
crescente, precisamos encontrar os intervalos onde a derivada da função é
positiva, ou seja, 𝑓′(𝑥) > 0.
Vamos calcular a primeira derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
em relação a x:
𝑓′(𝑥) = 12𝑥3
− 12𝑥2
− 24𝑥
Agora, precisamos determinar os intervalos onde a derivada é maior que
zero, ou seja, 𝑓′(𝑥) > 0.
12𝑥3
− 12𝑥2
− 24𝑥 > 0
12𝑥(𝑥2
− 𝑥 − 2) > 0
Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos (valores de x onde a
derivada é igual a zero):
12𝑥(𝑥2
− 𝑥 − 2) = 0
12𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
Isso ocorre quando 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 = −1
Agora, precisamos determinar os intervalos em que 𝑓′(𝑥) é positivo, e o que
ocorre entre os zeros da derivada:

3. Primeiro caso: quando 𝑥 < −1, os três fatores (12x, (x – 2) e (x + 1)) são
negativos, e o produto 12𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) é negativo.
Segundo caso: entre 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 0, o primeiro fator (12x) é negativo, o
segundo fator (x – 2) é negativo e o terceiro fator (x + 1) é positivo, e o produto
12𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) é positivo.
Terceiro caso: entre 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2, o primeiro fator (12x) é positivo, o segundo
fator (x – 2) é negativo e o terceiro fator (x + 1) é positivo, e o produto
12𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) é negativo.
Quarto caso: quando 𝑥 > 2, o primeiro fator (12x) é positivo, o segundo fator (x
– 2) é positivo e o terceiro fator (x + 1) é positivo, e o resultado do produto
12𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) é positivo.
Portanto, o gráfico de 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 é crescente nos intervalos
[– 1, 0] e [2, ∞] e o gráfico de 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 é decrescente nos
intervalos [– ∞, – 1] e [0, 2].
b) Qual será o gráfico para a função em questão indicando os pontos máximos e
mínimos em coordenadas?
Resposta:
Os pontos de máximo da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 ocorrem nos
valores de x onde a primeira derivada da função se anula (pontos críticos) e
onde a segunda derivada é negativa, indicando que esses pontos são máximos
locais.
A primeira derivada da função é 𝑓′(𝑥) = 12𝑥3
− 12𝑥2
− 24𝑥.
No item anterior, encontramos os valores de x onde a derivada se anula
(pontos críticos) resolvendo 𝑓′(𝑥) = 0.
Isso nos leva a três valores críticos: 𝑥 = 0, 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 2.
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos para determinar
se são máximos locais.
𝑓"(𝑥) = 36𝑥2
− 24𝑥 − 24
Para x = 0, temos 𝑓"(𝑥) = −24, o que indica que é um ponto de máximo local.

4. Para x = – 1, temos 𝑓"(−1) = 36(−1) 2
− 24(−1) − 24, 𝑓"(𝑥) = 36, o que indica
que é um ponto de mínimo local.
Para x = 2, temos 𝑓"(2) = 36(2) 2
− 24(2) − 24, 𝑓” (2) = 168, o que indica que
é um ponto de mínimo local.
O ponto de máximo da função ocorre em x = 0. Agora, vamos calcular o valor
de f(x) quando x = 0.
𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
𝑓(0) = 3(0)4
− 4(0)3
− 12(0)2
+ 5
𝑓(0) = 5
Portanto, o ponto de máximo da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 possui
coordenadas (0, 5).
Os pontos de mínimo da função ocorrem quando x = – 1 e x = 2. Agora, vamos
calcular o valor de f(x) quando x = – 1 e o valor de f(x) quando x = 2:
𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
𝑓(−1) = 3(−1)4
− 4(−1)3
− 12(−1)2
+ 5
𝑓(−1) = 3 + 4 − 12 + 5
𝑓(−1) = 0
𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
𝑓(2) = 3(2)4
− 4(2)3
− 12(2)2
+ 5
𝑓(2) = 48 − 32 − 48 + 5
𝑓(2) = −27
Portanto, os pontos de mínimo da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
possuem coordenadas (– 1, 0) e (2, – 27).
Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5, as coordenadas (0,
5) representando o ponto de máximo e as coordenadas (– 1, 0) e (2, – 27)
representando os pontos de mínimo da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 logo
abaixo:

5. c) Qual é a reta tangente para os pontos em que x = 1 e x = 2, considerando a
função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 como trajetória para a curva? (Mostre os
cálculos).
Resposta:
Para encontrarmos a reta tangente para o ponto em que x = 1, considerando a
função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 como trajetória para a curva,
precisaremos calcular o valor de f(1).
Para x = 1, temos:
𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
𝑓(1) = 3(1)4
− 4(1)3
− 12(1)2
+ 5
𝑓(1) = 3 − 4 − 12 + 5
𝑓(1) = −8
Agora, iremos calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5.

6. 𝑓′(𝑥) = 12𝑥3
− 12𝑥2
− 24𝑥
Para encontrarmos a inclinação da reta tangente em x = 1, precisaremos
avaliar a derivada nesse ponto.
𝑓′(𝑥) = 12𝑥3
− 12𝑥2
− 24𝑥
𝑓′(1) = 12(1)3
− 12(1)2
− 24(1)
𝑓′(1) = −24
Esse valor é a inclinação da reta tangente em x = 1, ou seja, m = – 24.
Agora, vamos utilizar a equação da reta:
𝑚 = 𝑡𝑔Ɵ =
∆𝑦
∆𝑥
𝑚 =
𝑦 − 𝑦𝑜
𝑥 − 𝑥𝑜
𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑚(𝑥 − 𝑥𝑜)
𝑦 − (−8) = (−24)(𝑥 − 1)
𝑦 + 8 = −24𝑥 + 24
𝑦 = −24𝑥 + 16
Portanto, para o ponto x = 1, de coordenadas (1, – 8), a equação da reta
tangente, considerando a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 como trajetória
para a curva, é 𝑦 = −24𝑥 + 16.
Para encontrarmos a reta tangente para o ponto em que x = 2, considerando a
função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 como trajetória para a curva,
precisaremos calcular o valor de f(2).
Para x = 2, temos:
𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
𝑓(2) = 3(2)4
− 4(2)3
− 12(2)2
+ 5

7. 𝑓(2) = 48 − 32 − 48 + 5
𝑓(2) = −27
Agora, iremos calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5.
𝑓′(𝑥) = 12𝑥3
− 12𝑥2
− 24𝑥
Para encontrarmos a inclinação da reta tangente em x = 2, precisaremos
avaliar a derivada nesse ponto.
𝑓′(𝑥) = 12𝑥3
− 12𝑥2
− 24𝑥
𝑓′(2) = 12(2)3
− 12(2)2
− 24(2)
𝑓′(2) = 96 − 48 − 48
𝑓′(2) = 0
Esse valor é a inclinação da reta tangente em x = 2, ou seja, m = 0.
Agora, vamos utilizar a equação da reta:
𝑚 = 𝑡𝑔Ɵ =
∆𝑦
∆𝑥
𝑚 =
𝑦 − 𝑦𝑜
𝑥 − 𝑥𝑜
𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑚(𝑥 − 𝑥𝑜)
𝑦 − (−27) = 0(𝑥 − 2)
𝑦 + 27 = 0
𝑦 = −27
Portanto, para o ponto x = 2, de coordenadas (2, – 27), a equação da reta
tangente, considerando a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5 como trajetória
para a curva, é 𝑦 = −27.

8. O Cabo de fibra óptica é definido através da coroa circular formada pelos círculos de
raio 2 e de raio 1 cujas funções são:
𝑦2
+ 𝑥2
= 4 𝑒 𝑦2
+ 𝑥2
= 1
Seja a seção transversal da fibra:
d) Qual será a área da seção transversal circular delimitada pelas circunferências
de raio 2 e de raio 1? Faça o cálculo através de integral.
Resposta:
Para encontrar a área da seção transversal circular delimitada por duas
circunferências concêntricas de raios 2 e 1, podemos utilizar a integração. A
área da seção transversal pode ser encontrada calculando a diferença de
áreas entre as duas circunferências. Essa diferença de área é equivalente a
uma coroa circular (ou anel circular). Vamos calcular essa área usando uma
integral.
𝐴 = ∫ 2𝜋𝑟. 𝑑𝑟
𝑏
𝑎

9. Onde a e b são os raios interno e externo da coroa circular (ou anel circular),
respectivamente. Neste caso, a = 1 (raio interno) e b = 2 (raio externo). Então,
a área da seção transversal circular é:
𝐴 = ∫ 2𝜋𝑟. 𝑑𝑟
2
1
Agora, vamos calcular a integral:
𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑟. 𝑑𝑟
2
1
2
𝐴 = 2𝜋 [
𝑟2
2
]
1
𝐴 = 2𝜋 [
22
2
−
12
2
]
𝐴 = 2𝜋 [
4
2
−
1
2
]
𝐴 = 2𝜋 [
3
2
]
𝐴 = 3𝜋
Portanto, a área da seção transversal circular delimitada pelas circunferências
de raio 2 e de raio 1 é 3𝜋 unidades de área.