CN C01 Sistemas em Ponto Flutuante

Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
10 de junho de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

Erro Absoluto e Erro Relativo
Representação de Números
Sistema de numeração em ponto flutuante
Fontes de Erros
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de junho de 2021

Fontes de Erros
Os métodos numéricos são capazes de nos fornecer soluções aproximadas para
determinados problemas. Entretanto, erros são cometidos tanto na modelagem
quanto na resolução do problema.

Fontes de Erros
Na modelagem
Erros nos dados: medidas experimentais são sujeitas a incertezas.
Erros na simplificação da construção do modelo matemático: o modelo
matemático não traduz, exatamente, a realidade.

Fontes de Erros
Na modelagem
Erros nos dados: medidas experimentais são sujeitas a incertezas.
Erros na simplificação da construção do modelo matemático: o modelo
matemático não traduz, exatamente, a realidade.
Na resolução
Erros de truncamento: processos infinitos são interrompidos.
Erros de arredondamento: limitação na quantidade de dígitos dos números no
computador.

Definição de Erro Absoluto
Seja x um número real e x̄ sua aproximação. Chamamos de erro absoluto EA o
módulo da diferença entre x e x̄, ou seja,
EA = |x − x̄|.

Definição de Erro Absoluto
Seja x um número real e x̄ sua aproximação. Chamamos de erro absoluto EA o
módulo da diferença entre x e x̄, ou seja,
EA = |x − x̄|.
Definição de Erro Relativo
Seja x ̸= 0 um número real e x̄ sua aproximação. Chamamos de erro relativo ER a
razão entre o erro absoluto e o valor de x, ou seja,
ER =
|x − x̄|
x
.

Exemplo

Exemplo
Considere que num processo de cálculo, uma máquina apresente o resultado 8, 1 para a
divisão do número 16 pelo 2. Então
EA = |16/2 − 8, 1| = 0, 1
ER = 0, 1/8 = 0, 0125

Sistema de numeração de base b

Definição
Um sistema de numeração de base b > 1, b ∈ N, é o conjunto formado pelo número
zero e pelos naturais menores que b denominados algarismos ou dígitos do sistema de
numeração de base b, ou seja, o conjunto
{0, 1, 2, . . . , b − 1}.

Exemplo
(a) O sistema de numeração usual (sistema decimal ou b = 10) é o conjunto de
dígitos
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Exemplo
(a) O sistema de numeração usual (sistema decimal ou b = 10) é o conjunto de
dígitos
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(b) O sistema de numeração binária é o conjunto de dígitos
{0, 1}.

Representação no sistema de base decimal de um número real em uma
base qualquer

base qualquer
Considere um número
(amam−1 . . . a1a0, a−1a−2 . . .)b
representado no sistema de numeração de base b.

base qualquer
(amam−1 . . . a1a0, a−1a−2 . . .)b
Sua representação, na base 10, é dada por:

base qualquer
(amam−1 . . . a1a0, a−1a−2 . . .)b
am · bm
+ am−1 · bm−1
+ . . . + a1 · b1
+ a0 · b0
+ a−1 · b−1
+ a−2 · b−2
+ . . . ,

base qualquer
(amam−1 . . . a1a0, a−1a−2 . . .)b
am · bm
+ am−1 · bm−1
+ . . . + a1 · b1
+ a0 · b0
| {z }
Parte inteira
+ a−1 · b−1
+ a−2 · b−2
+ . . .
| {z }
Parte fracionária
,

base qualquer
(amam−1 . . . a1a0, a−1a−2 . . .)b
am · bm
+ am−1 · bm−1
+ . . . + a1 · b1
+ a0 · b0
| {z }
Parte inteira
+ a−1 · b−1
+ a−2 · b−2
+ . . .
| {z }
Parte fracionária
,
em que am ̸= 0 e 0 ≤ ai < b, para todo i.

base qualquer
Exemplo
(1101, 101)2 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 1 · 2−1 + 0 · 2−2 + 1 · 2−3
= 8 + 4 + 1 + 0, 5 + 0, 125 = 13, 625.

Sistema de Numeração em Ponto Flutuante

As máquinas operam em um sistema finito denominado de sistema em ponto
flutuante. Nela, um número é representado na forma
±0, d1d2d3 . . . dt
| {z }
mantissa
·be
,
em que, para cada i, tal que 1 ≤ i ≤ t (t número de dígitos na mantissa), temos
di ∈ N, com 0 ≤ di < b e d1 ̸= 0 e e é um expoente inteiro no intervalo ℓ < e < u.

As máquinas operam em um sistema finito denominado de sistema em ponto
flutuante. Nela, um número é representado na forma
±0, d1d2d3 . . . dt
| {z }
mantissa
·be
,
em que, para cada i, tal que 1 ≤ i ≤ t (t número de dígitos na mantissa), temos
di ∈ N, com 0 ≤ di < b e d1 ̸= 0 e e é um expoente inteiro no intervalo ℓ < e < u.
Notação: F(b, t, ℓ, u)

Exemplo
Considere uma máquina que opera no sistema de ponto flutuante F(2, 6, −6, 8), sendo
b = 2 (base),
t = 6 (quantidade de dígitos na mantissa),
ℓ = −6 o limitante inferior e
u = 8 o limitante superior do expoente.

Exemplo
b = 2 (base),
Assim, quando digitado nessa máquina, por exemplo, o número 24, 5, esse número é
convertido em binário 11000, 1 e transformado em ponto flutuante 0, 110001 · 25.

Exemplo
b = 2 (base),
O maior número representado em F é 0, 111111 · 28 e o menor, em módulo, é
0, 100000 · 2−6.

Método de conversão

Conversão de um número da base decimal para a base b
Aplicamos o método das divisões sucessivas na parte inteira do número.
Aplicamos o método das multiplicações sucessivas na parte fracionária do número.

Método das divisões sucessivas
1º Divide-se o número (inteiro) por b.
2º Divide-se por b o quociente da divisão anterior.
3º Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1.
4º A composição do número é feita com o último quociente obtido que é igual a 1,
e com os restos das divisões lidos em sentido inverso aquele em que foram obtidos.

Método das multiplicações sucessivas
1º Multiplica-se o número (fracionário) por b.
2º Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base b e a
parte fracionária é novamente multiplicada por b.
3º O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a
zero.

Exemplo: Converta o número 23, 625 da base decimal para a base binária.

Solução:
Parte inteira: 23.

Solução:
Parte inteira: 23.
23/2 = 11, resto 1

Solução:
Parte inteira: 23.
23/2 = 11, resto 1
11/2 = 5, resto 1

Solução:
Parte inteira: 23.
23/2 = 11, resto 1
11/2 = 5, resto 1
5/2 = 2, resto 1

Solução:
Parte inteira: 23.
23/2 = 11, resto 1
11/2 = 5, resto 1
5/2 = 2, resto 1
2/2 = 1, resto 0

Solução:
Parte fracionária: 0, 625

Solução:
0, 625 · 2 = 1, 250

Solução:
0, 625 · 2 = 1, 250
0, 25 · 2 = 0, 50

Solução:
0, 625 · 2 = 1, 250
0, 25 · 2 = 0, 50
0, 5 · 2 = 1, 0

Solução:
Juntando a parte inteira com a parte fracionário temos:

Solução:
Juntando a parte inteira com a parte fracionário temos:
(10111, 101)2 = (23, 625)10.

Referências
CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo
Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010.
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; SILVA, L. h. M.; Cálculo Numérico:
Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos. São
Paulo: Pearson Prentice hall, 2003.

CN C01 Sistemas em Ponto Flutuante

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a CN C01 Sistemas em Ponto Flutuante

Semelhante a CN C01 Sistemas em Ponto Flutuante (20)

Mais de Paulo Nascimento

Mais de Paulo Nascimento (9)

Último

Último (20)

CN C01 Sistemas em Ponto Flutuante