1. Matemática
Matemática I
Função Exponencial .............................................. 3
Logaritmo .............................................................. 7
Polinômios ........................................................... 11
Análise Combinatória .......................................... 15
Binômio de Newton ............................................. 19
Matriz .................................................................. 23
Determinante ....................................................... 27
Sistemas Lineares ............................................... 30
Progressão Aritmética e
Progressão Geométrica ...................................... 34
no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, com
A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda,
exposição à venda, aluguel, aquisição, ocultamento,
autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto
empréstimo, troca ou manutenção em depósito sem
Matemática II
Geometria Espacial ............................................. 38
multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos.
I ­ Prisma ......................................................... 38
II ­ Pirâmide ...................................................... 40
III ­ Cilindro ........................................................ 42
IV ­ Cone ........................................................... 43
V ­ Esfera ......................................................... 46
M2
JOSÉ AUGUSTO DE MELO

2. Anotações

3. Tecnologia ITAPECURSOS
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1­ DEFINIÇÃO
Seja a um número real tal que a > 0 e a ¹ 1.
*
Chamamos de função exponencial à função f : R ® R definida por f(x) = a
x
+
x
æ 1ö
Exemplos: a) f(x) = 3 x
b) f(x) = ç ÷
è 2 ø
2­ GRÁFICO
1º caso: a > 1 ; a função é crescente 2º caso: 0 < a < 1 ; a função é decrescente
PROPRIEDADES
P.1) Domínio = R
Imagem = {y Î R : y > 0}
x
P.2) A função exponencial, f(x) = a não tem raiz.
x
P.3) A interseção do gráfico de f(x) = a com o eixo 0y é o ponto (0,1)
P.4) A função exponencial é bijetora
x
a + b
1) (UFMG) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2 . A ordenada do ponto P da abscissa é:
2
a) c . d
b) c + d
c + d
c)
2
2
d) (cd)
e) cd
Solução:
a b
+
y = 2
p
2 ; y = 2 a +b ; y = 2 a × 2 ; y = c × d
p p
b
p
Resp: e
Matemática ­ M2 3

4. Tecnologia ITAPECURSOS
2) Uma colônia de bactérias tem, num certo instante (t ), 1500 bactérias. Observações subseqüentes revelaram
0
que essa população dobrava sempre, em relação à observação imediatamente anterior.
a) Qual a população de bactérias na 4ª observação após t ?
0
55
b) Em que observação a colônia alcançou 375.2 bactérias?
Solução:
n
Não é difícil você concluir que o número de bactérias é dado por f(n) = 1500 . 2 , onde n é a observação
realizada após t .
0
4
a) Na 4ª observação, a população de bactérias é f(4) = 1500 . 2 ; f(4) = 24000.
55 n 55
b) Queremos que f(n) = 375 . 2 ; 1500 . 2 = 375 . 2
55
n
375 × 2 55 n
2 n 53
2 = ; 2 = 2 ; 2 = 2 ; n = 53
1500 2
Resp: Na 53ª observação.
3­ EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, se
x y
a = a , então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no
expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais.
Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, da
x y
forma a = a . Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.
1
m n m+n ­n
a . a = a a =
a n
-n n
æ aö æ bö
m n
a : a = a m­n ç ÷ = ç ÷
è bø è aø
n
m n m.n n n
(a ) = a (a . b) = a . b
a = n a
m/n m
Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir.
Observação: As equações redutíveis à forma a = b com a ¹ b você aprenderá a resolver no capítulo
x y
sobre logaritmos.
1) Resolva a equação: x x + 1 – 2
2) Resolva a equação: 2 + 2 x + 2 + 2
x – 1 = ­8
x x + 3 – 8
16 . 4 x + 2 = 0 Solução
Solução: x x x 2 x ­ 1
2 + 2 . 2 – 2 . 2 + 2 . 2 = ­ 8 ;
x x + 3 ­ 8
16 . 4 x + 2 ; 16 . 4
x x + 3 = 8
x + 2
1 æ 1 ö
4 x 2 x + 3 = ( 2 )
( 2 ) . ( 2 ) 3 x + 2 ; 2 . 2
4x 2x + 6 = 2
3x + 6 x
2 . (1 + 2 – 4 + ) = ­ 8 ; 2 . ç - ÷ = ­ 8 ; 2 = 16
x x
2 è 2 ø
6x + 6 = 2
2 3x + 6 ® 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0
x 4
2 = 2 ; x = 4
Resp: x = 0
Resp: x = 4
4 Matemática ­ M2

5. Tecnologia ITAPECURSOS
2x + 1 + 5 . 3 = 2
3) Resolva a equação: 3 x x x – 1 = 8
4) Resolva a equação: 7 + 7 x
Solução: Solução:
2x x 2x x 2
3 . 3 + 5 . 3 – 2 = 0; Como 3 = (3 ) , se
x x ­ 1 x x
1 x
fizermos 7 + 7 7 = 8 ; 7 . ( 1 + ) = 8
7
x 2
3 = y obteremos: 3y + 5y – 2 = 0, cujas raízes
são x
8 7 x 7 æ 7 ö 7
x
7 . x
= 8 ; = ;ç ÷ = ; x = 1
x 8 è 8 ø 8
1 7 8
y = ou y = ­ 2
3 Resp: x = 1
1 x ­ 1
Para y = vem: 3 = 3 ; x = ­1
3
x
Para y = –2 vem: 3 = –2 (não admite solução)
Resp: x = –1
x –x
5) (MACK–SP) O número de soluções distintas da equação 2 – 2 = K, K real é:
a) 2, qualquer que seja K d) 1, somente se K ¹ 0
b) 2, somente se K > 0 e) 0, somente se K < 0
c) 1, qualquer que seja K
Solução:
2 1 2
x x
2 – x = K. Seja 2 = y . Então: y ­ y = K ; y – Ky – 1 = 0. Para essa equação
2
D = K + 4 > 0. Logo, ela tem duas raízes reais distintas. Além disso, o produto dessas raízes é –1 (relações
2
de Girard). Então, uma delas é positiva e uma é negativa. Como a raiz negativa não fornece solução para x,
a resposta correta é C.
Resp: c
4­ INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos:
*Se a > 1, a função é crescente, portanto:
a > a « x > y
x y
a < a « x < y
x y
*Se 0 < a < 1, a função é decrescente, e então:
a > a « x < y
x y
a < a « x > y
x y
Resumindo: ao resolver uma inequação exponencial, proceda como nas equações, ou seja, iguale as ba­
ses. Mas, ao comparar os expoentes, lembre–se:
*Se a > 1, compare os expoentes, mantendo o sentido da desigualdade.
*Se 0 < a < 1, ao comparar os expoentes, inverta o sentido da desigualdade.
Matemática ­ M2 5

6. Tecnologia ITAPECURSOS
1) Resolva a inequação:
2
x + 2 3
x
æ 1 ö æ 1 ö
ç ÷ ³ç ÷
è 2 ø è 2 ø
Solução:
Como a base é menor que 1, devemos ter:
2 2
x + 2 £ 3x ; x – 3x + 2 £ 0
raízes: 1 e 2
diagrama:
Solução:
1 £ x £ 2
x + 2 + 3
2) Resolva a inequação: 3 x + 1 – 3 > 33
x
Solução:
x 2 x x x
3 . 3 + 3 . 3 – 3 > 33 ; 3 . (9 + 3 – 1) > 33
x x
3 . 11 > 33 ; 3 > 3 ; x > 1
Resp: x > 1
2x – 1 < x
3) Resolva a inequação: x 3
Solução:
1ª hipótese: x > 1
Nesse caso: 2x – 1 < 3 ; x < 2
A interseção com a condição x > 1 nos dá S = {x Î R : 1 < x < 2}
1
2ª hipótese: 0 < x < 1
Teremos 2x –1 > 3 ; x > 2
Como esses valores de x não pertencem a 0 < x < 1, nesse intervalo não temos nenhuma solução.
Resp: S = {x Î R : 1 < x < 2}
2 a
4) (UF–VIÇOSA) Determine os valores de a para que a equação x + 2 . x + 1 = 0, admita raízes reais.
Solução:
Para a equação dada admitir raízes reais, D ³ 0 . Logo
2a 2a 2
2 – 4 > 0 ; 2 ³ 2 ; 2a ³ 2 ; a³1
6 Matemática ­ M2

7. Tecnologia ITAPECURSOS
LOGARITMO
1­ DEFINIÇÃO
Seja a > 0 , a ¹ 1 e b > 0 . Chama–se logaritmo de b na base a ao número x = log b tal que a = b
a
x
Em símbolos a ® base
log b = x « a = b
a
x
b ® logaritmando
x ® logaritmo
Exemplos:
3
1 –2
a) log 8 = 3, pois 2 = 8
2
b) log 4 = –2, pois ( ) = 4
1/2
2
2­ CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
ì
ï a > 0 e a ¹ 1
ï
Existe log b se e somente se
a
í
ï
ï
î
b > 0
3­ BASES MAIS USADAS
3.1­ LOGARITMO DECIMAL
Utiliza a base 10. Convenciona­se que, ao omitir a base, seu valor é 10. Assim:
log b = log b
10
3.2­ LOGARITMO NATURAL
Usa como base o número e (número de Euler). Anota–se por log b ou l n b
e
4­ PROPRIEDADES ELEMENTARES
Decorrem imediatamente da definição as propriedades a seguir:
a) log a = 1
a
b) log 1 = 0
a
m
c) log a = m
a
d) a log b = b
a
É claro que estamos admitindo a > 0, a ¹ 1 e b > 0.
5­ PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Para a > 0, a ¹ 1 e b > 0, c > 0, temos
P.1) log (b . c) = log b + log c
a a a
æ b ö
P.2) log ç ÷ = log b ­ log c
a a a
è c ø
P.3) log b = m log b , m Î R
a
m
a
Matemática ­ M2 7

8. Tecnologia ITAPECURSOS
1) Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule:
a) log 18 b) log 15
Solução:
2 2
a) log 18 = log (2.3 ) = log 2 + log3 = log 2 + 2 log 3
Portanto: log 18 = 0,30 + 2 . 0,47
log 18 = 1,24
10
b) log 15 = log (3.5) = log 3 + log 5 = log 3 + log ( )
2
Então: log 15 = log 3 + log 10 – log 2
log 15 = 0,47 + 1 – 0,30 ; log 15 = 1,17
2) (PUC–SP) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Determine o número real x que satisfaz à equação:
x ­ 1
4 = 1125
Solução:
x ­ 1 2x – 2 2 3
4 = 1125 ; 2 = 3 . 5 e daí:
2x – 2 2 3
log (2 ) = log (3 . 5 )
(2x – 2) . log 2 = 2 log 3 + 3 log 5
10
Mas log 5 = log ( ) = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70
2
Logo: (2x – 2) . 0,30 = 2 . 0,48 + 3 . 0,70 e daí:
2x – 2 = 10,2 ; x = 6,1
3) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log x.
Sabe–se que AO = BC. Então, pode­se afirmar que:
a) log b = c
a
b) a + b = c
c
c) a = b
d) ab = c
a b c
e) 10 + 10 = 10
Solução:
Observe que: OA = log a ; OB = log b e OC = log c
Mas BC = OC – OB ; logo BC = log c – log b. Como OA = BC, temos
c c
log a = log c – log b ; log a = log ; a = ; ab = c
b b
Resp: d
8 Matemática ­ M2

9. Tecnologia ITAPECURSOS
6 ­ MUDANÇA DE BASE
b
log
c
Sejam a > 0 , a ¹ 1, c > 0 , c ¹ 1 e b > 0. Então log b =
a a
log
c
log 3 log 2 7 log 3 7
Exemplos: a) log 3 = b) log 7 = = = ...
2 log 2 5 log 2 5 log3 5
1 1
Conseqüências: a) log b = log a b) log ap B = log a b
a
b p
7­ EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Assim denominamos as equações que envolvem logaritmos. Para resolvê­las, tenha sempre em mente as
condições de existência e procure reduzir a equação dada, usando as propriedades, à forma log f(x) =
a
log g(x) ou à forma log f(x) = b.
a a
b
No primeiro caso, lembre–se de que f(x) = g(x). E, no segundo caso, a definição dá que f(x) = a .
1) Resolva a equação log (x + 4) = 2.
(x – 2)
Solução:
Se você quiser, ache as condições de existência, depois resolva a equação e verifique quais raízes satisfa­
zem às condições de existência.
Aqui, no entanto, para economizar tempo, vamos resolver a equação e verificar por substituição direta
quais raízes servem.
log (x + 4) = 2 « (x – 2) = x + 4 o que dá x – 5x = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 5.
(x – 2)
2 2
Observe que o x = 0 faz a base valer –2, logo não serve. Já o 5 satisfaz às condições de existência e então:
S = {5}
2
2) Resolva: log (x – 1) = log (x + 1).
3 3
Solução:
2 2 2
De log (x – 1) = log (x + 1) vem x – 1 = x + 1 ; x – x – 2 = 0, cujas raízes são 2 e ­1.
3 3
Dessas, apenas 2 serve.
S = {2}
3) log 2
2 x – 3log x + 2 = 0
2
Solução:
Observe que log 2 x = (log x) . Seja então log x = y. A equação dada fica:
2 2
2
2
2
y – 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2.
Se y = 1, vem : log x = 1 ; x = 2
2
Se y = 2, vem : log x = 2 ; x = 4
2
Como ambas as raízes servem, S = {2, 4}.
Matemática ­ M2 9

10. Tecnologia ITAPECURSOS
1
4) Resolva a equação: log (3x –1) – log (x + 1) =
2 4 2
Solução:
Inicialmente, coloque todos os logaritmos numa mesma base.
log 2 ( x + 1 1
)
log (3x – 1) ­ =
2 log 2 4 2
log( x + 1 1
)
log (3x – 1) ­
2
= (tirando o m.m.c.)
2 2
é ( x - 1 2 ù
3 )
2 log (3x – 1) – log (x + 1) = 1 ; log ê x + 1 ú = 1
2 2 2
ê
ë ú
û
( x - 1 2
3 ) 1 1
= 2 ; 9x – 8x – 1 = 0 cujas raízes são 1 e ­ . Porém – não convém. Logo, S = {1}
2
x + 1 9 9
8­ INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
ìlog f x < log g x « f x < g x
a ( ) a ( ) ( ) ( ) ìlog f ( ) < log g x « f x > g x
a x a ( ) ( ) ( )
Se a > 1 í log f ( x < K « f ( x < a
) ) K Se 0 < a < 1 í log f ( ) < K « f ( ) > a
x x K
î a î a
Atenção: Não se esqueça de calcular o domínio da inequação.
1) Resolva a inequação: log (x – 1) > log (2x + 3).
1/2 1/2
Solução:
x - 1 > 0 ; x . ü
1
ï
a) Condição de existência 3 ý ® x > 1
2 + 3 ; x > - ï
x
2 þ
b) Resolução da inequação log (x – 1) > log (2x + 3) ® x – 1 < 2x + 3 ; x > ­ 4
1/2 1/2
c) Resposta final: é obtida fazendo–se a interseção entre os intervalos obtidos em a e b. Faça isso e você
terá: S = {x Î R : x > 1}.
2
2) Resolva a inequação: log x + 2log x – 3 > 0.
Solução:
a) Domínio: x > 0
2
b) Resolução: Faça log x = y. Então, y + 2y – 3 > 0, que resolvida dá y < –3 ou y > 1.
Se y < –3, então log x < –3 ; x < 0,001
Se y > 1, então log x > 1 ; x > 10
c) Resposta: a interseção nos mostra que
S = {x Î R : 0 < x < 0,001 ou x > 10}.
10 Matemática ­ M2

11. Tecnologia ITAPECURSOS
9 ­ A FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Como vimos, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite inversa. Por outro lado, se log y = x, temos
a
x
que y = a , ou seja, a inversa da exponencial é a função logarítmica que definiremos a seguir:
Seja a > 0, a ¹ 1 e x > 0 números reais. Chama­se função logarítmica à função f: R* ® R, definida por
+
f(x) = log x.
a
Como os gráficos de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x, o gráfico da função
logarítmica é:
1º caso: a > 1 2º caso: 0 < a < 1
POLINÔMIOS
1 ­ DEFINIÇÃO
Chamaremos de polinômio em R, na variável x, a toda expressão da forma:
n
P(x) = a . x + a n ­ 1 + ... + a . x + a , onde n é um número natural, e a ¹ 0.
n n ­ 1 . x 1 o n
Exemplos:
São polinômios: 3 2
a) P(x) = 5x ­ 4x + x ­ 1
2
1
b) P(x) = x ­
3
c) P(x) = ­5
1
Não são polinômios: a) + 3 b) x + 3x ­ 7
x
Dado o polinômio P(x) = a . x + a . x + ... + a . x + a com a ¹ 0, n é chamado de grau do polinômio.
n
n
n ­ 1
n ­ 1
1 o n
Assim: 2
a) P(x) = 3x ­ 5x + 1, tem grau 2. c) P(x) = ­ 3x + 1, tem grau 1.
3
b) P(x) = 2x ­ x + 4, tem grau 3. d) P(x) = 2, tem grau zero.
O polinômio P(x) = 0 é chamado de polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo. Para ele, não se
define o grau.
2 ­ VALOR NUMÉRICO
Se K é um número real, chama­se valor numérico do polinômio P(x) para x = K ao número obtido substituindo­
se x por K e efetuando as operações indicadas. Indicaremos o valor numérico por P(K). Caso P(K) = 0,
diremos que K é a raiz ou zero do polinômio.
Assim, se 2
P(x) = 3x ­ x + 1
2
P(2) = 3 . 2 ­ 2 + 1 = 11
2
P(0) = 3 . 0 ­ 0 + 1 = 1
Matemática ­ M2 11

12. Tecnologia ITAPECURSOS
3 ­ IGUALDADE DE POLINÔMIOS
n
Sejam os polinômios: P (x) = a . x + a n ­ 1 + ... + a . x + a
1 n n ­ 1 . x 1 o e
n + b
P (x) = b . x n ­ 1 + ... + b . x + b
2 n n ­ 1 . x 1 o
Dizemos que P (x) = P (x) se:
1 2 a = b ; a
n n n ­ 1 = b ; ..., a b e a = b
n ­ 1 1 = 1 o o
3 2 2
1) Determine a, b, c para que os polinômios P (x) = (a ­ 2)x + 3x + b ­ 1 e P (x) = (c + 5)x + 3 sejam
1 2
idênticos.
Solução:
Queremos que:
3 2 3 2
(a ­ 2)x + 3x + b ­ 1 = 0x + (c + 5)x +3
Logo: a ­ 2 = 0; a = 2
c + 5 = 3; c = ­2
b ­ 1 = 3; b = 4
2) Calcule a e b, de modo que:
2 - 6
x a b
2
= +
x + 2 - 3
x x - 1 x + 3
Solução:
1º modo: 2º modo:
2 - 6
x a b Na igualdade:
2
= +
x + 2 - 3
x x - 1 x + 3 2x ­ 6 = a(x + 3) + b (x ­ 1) faça:
x = ­3 Õ ­12 = a . 0 ­ 4.b;b =3
2x - 6 a x + 3 + b x - 1
( ) ( )
= e daí vem:
( - 1 x + 3
x )( ) ( - 1 x + 3
x )( ) x = 1 Õ ­4 = 4a + b.0; a = ­1
2x ­ 6 = a(x + 3) + b(x ­ 1)
2x ­ 6 = ax + 3a + bx ­ b Atenção: escolha para x os valores que anulam
os denom i nadores das f raç ões dadas
2x ­ 6 = (a + b)x +(3a + b) e então:
originalmente.
ì
ï a + b = 2
ï
í cuja solução é a = ­1 e b =3
ï
ï 3a ­ b = ­6
î
4 ­ DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Se A(x) e B(x) são dois polinômios, com B(x) ¹ 0, dividir A por B é encontrar dois outros polinômios Q(x) e R(x),
tal que:
I) A(x) = B(x) .Q(x) + R(x)
II) Grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) = 0
Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x).
Observe que o grau de Q(x) é dado pela diferença entre o grau de A(x) e B(x).
12 Matemática ­ M2

13. Tecnologia ITAPECURSOS
Para efetuar a divisão entre dois polinômios, temos dois métodos:
Método da chave Método de Descartes
3 2 2
Seja efetuar a divisão (2x ­ x + 3) : (x ­2x + 3) 3 2 2
Façamos a mesma divisão: (2x ­ x + 3) : (x ­2x + 3)
Solução: Solução:
• Inicialmente, ordene o polinômio dividendo em ordem • Inicialmente, determine o grau do quociente. Q(x) é
decrescente e complete­o. No caso do divisor, basta do 1º grau, concorda? Logo Q(x) = ax + b.
que ele esteja em ordem. • O grau do resto, sendo menor que o grau do divisor
será um polinômio cujo grau é no máximo 1.
3 2
2x ­ x +0x + 3 2
x ­2x + 3 Seja então R(x) = cx + d.
3 2
2x ­ x + 3 2
x ­2x + 3
• Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro
cx + d ax + b
termo do divisor para obter o primeiro termo do
quociente (2x).
Usando a identidade A = B . Q + R
• Multiplique o primeiro termo do quociente pelo divi­ 3 2 2
obtemos: 2x ­ x + 3 = (x ­2x + 3)(ax + b) + cx + d
sor e subtraia o resultado do dividendo, para obter
2
o resto parcial (3x ­6x + 3).
Efetuando e reduzindo os termos semelhantes,
3 2 2 teremos:
2x ­ x +0x + 3 x ­2x + 3
3 2
­2x + 4x ­6x 2x 3 2 3 2
2x ­ x + 3 = ax + (b ­ 2a)x +(3a ­ 2b + c)x + 3b + d
2
3x ­ 6x +3
Portanto: a = 2
• Se o grau do resto parcial for menor que o grau do b ­ 2a = ­1; b = 3
divisor, a divisão terminou. Caso contrário, repita as
operações acima, usando o resto parcial como divi­ 3a ­ 2b + c = 0; c = 0
dendo. 3b + d = 3; d = ­6
3 2
2x ­ x +0x + 3 2
x ­2x + 3
Então, finalmente: Q(x) = 2x + 3
3 2
­2x + 4x ­6x 2x + 3
R(x) = ­6
2
3x ­ 6x +3
2
­3x ­ 6x ­ 9
­6
5 ­ O DISPOSITIVO DE BRIOT­RUFFINI
Se, numa divisão, o divisor for do 1º grau, além dos métodos dados anteriormente, existe um outro, cuja
3
descrição será feita a seguir. Seja efetuar (2x ­ 3x + 1) : (x ­ 2)
• Desenhe o esquema a seguir
• À esquerda do primeiro traço vertical, colocamos a raiz do divisor (no nosso caso, 2).
À direita desse traço, colocamos os coeficientes do dividendo (já ordenado), completando com zero os termos
faltosos.
2 2 0 ­3 1
Matemática ­ M2 13

14. Tecnologia ITAPECURSOS
• Abaixamos o primeiro desses coeficientes e o multiplicamos pela raiz do divisor (2), somando o resultado
obtido (4) ao próximo coeficiente (0) e encontramos 4.
4
2 2 0 ­3 1
2 4
• Repita tudo isso, agora, para o 4. Continue até achar o último número (à direita do traço vertical tracejado).
4 8 10
2 2 0 ­3 1
2 4 5 11
1 24
4 3 1 24
4 3
Q(x) R(x)
Observe que o resto será nulo, ou um polinômio de grau zero. No nosso exemplo, R(x) = 11. Como Q(x) é de
grau 2, temos:
2
Q(x) = 2x + 4x + 5
Atenção: Se o divisor for do tipo ax ± b, proceda como anteriormente. Contudo, na hora de dar a resposta, ao
determinar Q(x), divida os coeficientes obtidos no dispositivo por a (apenas os coeficientes reservados a
Q(x)). O resto fica inalterado.
6 ­ TEOREMA DO RESTO OU DE D’ALEMBERT
O resto da divisão de um polinômio P(x) por x ­ a é P(a).
Demonstração:
Na divisão de P(x) por x ­ a, seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Observe que o grau de R é zero ou R(x) =
0.
P(x) x ­ a
R Q(x)
P(x) = (x ­ a) . Q(x) + R
Fazendo x = a, vem: P(a) = (a ­ a) . Q(a) + R e então P(a) = R
1 24
4 3
0
Como conseqüência dessa propriedade, um polinômio P(x) é divisível por x ­ a se e só se P(a) = 0.
De modo semelhante, prova­se que: Se o divisor for x + a, o resto é P(­a).
Se o divisor for ax ­ b, o resto é P(b/a).
Se o divisor for ax + b, o resto é P(­b/a).
7 ­ DOIS TEOREMAS IMPORTANTES
Daremos, sem demonstrar, dois teoremas que facilitam em muito nosso trabalho com polinômios.
Teorema 1: Teorema 2:
O polinômio P(x) é divisív el pelo produto Se P(x) é divisível por (x ­ a)(x ­ b), então P(x) é
(x ­ a)(x ­ b) com a ¹ b se e só se P(x) é divisível divisível por x ­ a, e o quociente dessa divisão é
separadamente por x ­ a e por x ­ b. divisível por x ­ b.
14 Matemática ­ M2

15. Tecnologia ITAPECURSOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1­ PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM
Consideremos o seguinte problema:
• As cidades A e B são interligadas por 3 linhas de ônibus e por 4 companhias aéreas. De quantos modos uma
pessoa pode ir de A a B, usando ônibus e voltando de avião?
Solução:
Observe que o evento, ir de A a B e retornar, pode ser decomposto em duas etapas:
1ª etapa: viagem de ida
2ª etapa: viagem de volta.
Como a viagem de ida tem que ser de ônibus, existem três maneiras dessa viagem ser feita. Já para a viagem
de volta, temos 4 possibilidades. Como para cada viagem de ida, existem 4 modos de a pessoa fazer a viagem
de volta, é fácil ver que a pessoa fará as viagens de ida e volta de 4.3 = 12 modos diferentes.
Esse problema ilustra o princípio fundamental de contagem ou Regra do Produto.
Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que a primeira etapa
se realiza de p modos e a segunda de q modos, então o evento ocorre de p.q maneiras.
Podemos estender essa regra a um evento formado por um número K de etapas.
1) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5 ?
Solução:
O evento, formar um número de três algarismos, pode ser decomposto em três etapas:
1ª etapa: escolha do algarismo das centenas.
2ª etapa: escolha do algarismo das dezenas.
3ª etapa: escolha do algarismo das unidades.
Para a 1ª etapa existem 5 possibilidades (apenas o zero não pode ser escolhido).
Para a 2ª etapa existem também 5 possibilidades, pois o número escolhido na 1ª etapa não pode ser
repetido, porém o zero já pode ser usado.
Para a 3ª etapa, existem 4 possibilidades (só não podemos escolher os dois algarismos que foram
escolhidos na 1ª e 2ª etapas.
Logo, pela regra do produto podemos formar 5.5.4 = 100 números.
2) Dispõe­se de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pintada de uma só cor e
duas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantos modos pode ser feita a pintura?
Solução:
O evento, pintar a bandeira, pode ser decomposto em 4 etapas. Para a 1ª etapa existem 6 possibilidades,
pois podemos escolher qualquer uma das 6 cores. Para a 2ª etapa existem 5 possibilidades, pois a cor
usada na faixa anterior não pode ser usada. O mesmo número de possibilidades teremos para a 3ª e 4ª
etapas.
Portanto, a pintura poderá ser feita de:
6.5.5.5 = 750 modos
Matemática ­ M2 15

16. Tecnologia ITAPECURSOS
3) Quantos números de 5 algarismos distintos formados pelos dígitos 1,3,4,5 e 6 são maiores que 50000?
Solução:
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
1ª etapa: 2 possibilidades: 5 ou 6 (só assim o número será maior que 50000)
2ª etapa: 4 possibilidades (lembre­se: os algarismos devem ser distintos)
3ª etapa: 3 possibilidades
4ª etapa: 2 possibilidades
5ª etapa: 1 possibilidade
Resposta: 2.4.3.2.1 = 48
2 ­ UMA NOVA ABORDAGEM
Existem alguns problemas de análise combinatória cuja resolução, usando­se a regra do produto, é muito
complicada. Para eles, daremos uma nova abordagem. Assim, se num determinado agrupamento cada
elemento aparece uma única vez, o agrupamento é simples. Caso contrário, ou seja, se um elemento puder
aparecer mais de uma vez, o agrupamento é dito com repetição. Desse modo, se queremos saber quantos
números de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal, devemos considerar cada número como
um agrupamento simples. Caso não aparecesse a palavra distintos no problema, então deveríamos levar
em conta todas as possibilidades e teríamos números com ou sem repetição.
3 ­ TIPOS DE AGRUPAMENTOS
Basicamente os agrupamentos que se formam com elementos de um conjunto podem ser classificados em
dois tipos.
­ Arranjos: agrupamentos que se distinguem um do outro pela natureza e pela ordem de seus elementos.
­ Combinações: agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos.
Observação:
Se em um agrupamento do tipo arranjo, usarmos todos os elementos do conjunto considerado, o agrupamento
passa a ser chamado de permutação.
Para fixarmos bem essas noções, vamos classificar os agrupamentos seguintes:
a) números formados por 4 algarismos no sistema decimal.
Solução:
Seja 2315 um tal número. Se mudarmos a ordem de pelo menos dois de seus algarismos, o número muda de
valor. Logo, cada número é um arranjo.
b) Triângulos formados com os cinco pontos tomados sobre uma circunferência.
Solução:
Um triângulo é obtido unindo­se três pontos quaisquer dos 5 que foram dados. Como o triângulo ABC e o
triângulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triângulo, a ordem dos elementos não muda o agrupamento e
temos uma combinação.
c) Filas que podemos formar com 4 pessoas
Solução:
Uma fila se diferencia de outra apenas pela ordem de seus elementos. Além disso, em cada fila todos os
elementos à nossa disposição são usados. Logo, cada fila é uma permutação.
16 Matemática ­ M2

17. Tecnologia ITAPECURSOS
4­ A NOÇÃO DE FATORIAL
No próximo item, aprenderemos como calcular o número de agrupamentos que podemos formar com os
elementos de um conjunto. Necessitaremos então definir a noção de fatorial.
Definição: Seja n um número natural. Então:
0! = 0
1! = 1
n! = n . (n ­ 1) . ... . 2.1, se n ³ 2,
onde o símbolo n! lê­se fatorial do número n.
Veja os exemplos: Observe que:
3! = 3.2.1 = 6 n! = n . (n ­ 1)! = n . (n ­ 1) . (n ­ 2)! = etc.
5! = 5.4.3.2.1 = 120 Assim teremos:
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 . 5 . 4! = etc.
5­ CÁLCULO COMBINATÓRIO ­ AGRUPAMENTOS SIMPLES
5.1 ­ Arranjos simples
Considere o seguinte problema: quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos
1,2,3,4,5?
Solução:
Que cada número é um arranjo é óbvio, pois a ordem dos algarismos no número altera o agrupamento. Queremos
então saber quantos arranjos tomados 3 a 3 podemos formar com 5 algarismos dados. Esse valor será
representado por: A 3
.Usando a regra do produto, temos que:
5
5 4 3
A 3 = 5 4 3 = 60
5 . .
Agora, observe: De um modo geral,
5 4 3 2 1 5
. . .( . ) ! 5
! p n
!
A 3 =
5 = = A =
n
2 1
. 2 ( - 3
! 5 )! ( - p
n )!
5.2 Permutação Simples
Como já foi dito, o número de permutações de n elementos, (Pn), é igual ao número de arranjos de n elementos
tomados n a n. Logo:
n n
! n
!
P = A
n n = = n ,ou seja P = n
! n !
( - n
n )! n !
5.3 Combinações Simples
p
Representando por C o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, teremos:
n
p n
!
C =
n
p ( - p
! n )!
Observe que: C p . p = A p
n P n
Matemática ­ M2 17

18. Tecnologia ITAPECURSOS
1.(MACK­SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que
90000 e que são divisíveis por 5 é:
a) 1596 d) 2788
b) 2352 e) 4032
c) 2686
Solução:
1ª hipótese 2ª hipótese
_ _ _ _ _ ; 3.2. A 3 = 2016
8
8
!
5 0 ;
_ _ _ _ _ = A 3 = = 336
8
5
! 6,7 ou 8 0 ou 5
Resposta: 336 + 2016 = 2352
2.(FUVEST­SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24 Solução:
b) 48 Existem duas possibilidades:
c) 96
U E
_ _ _ _ _ _
d) 120 2. P = 2 4 = 48
4 . !
e) 144 E U
_ _ _ _ _ _
3. (UNESP) Sobre uma reta marcam­se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam­se 5 pontos.
O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é:
a) 26 b) 90 c) 25 d) 45 e) 42
Solução:
3
Cada triângulo é uma combinação. Se não houvesse 3 pontos alinhados, os 8 pontos nos dariam C triângulos.
8
3
Os 3 pontos sobre a primeira reta deixam de determinar C triângulos e os 5 outros pontos deixam de
3
3 3 3 3
determinar C triângulos. Logo a resposta final será: C - C - C = 56 - 1 10 = 45
5 8 3 5 -
6­ CÁLCULO COMBINATÓRIO ­ AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO
6.1 ­ Arranjos com repetição
p
Se AR representa a quantidade de agrupamentos do tipo arranjos com repetição, que podemos formar
n
com os n elementos de um conjunto, tomados p a p, então: AR p = n
n
p
6.2 ­ Permutação com repetição
Uma permutação é dita com repetição se determinados elementos aparecem mais de uma vez. Assim, por
exemplo, qualquer anagrama da palavra CASA é uma permutação com repetição, pois a letra A aparece 2
n , 2 ,...,
1 n nk n !
vezes. Prova­se que: P
n =
n ! 2 !... k !
1 n n
n ® total de elementos em cada permutação.
n , 2 ,..., k ® quantidade de vezes em que os elementos que se repetem aparecem em cada agrupamento.
1 n n
6.3 ­ Combinação com repetição
p
Se CR representa o número de combinações com repetição de n elementos, tomados p a p, então:
n
p p
CRn = C +p -1
n
18 Matemática ­ M2

19. Tecnologia ITAPECURSOS
1. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, se o algarismo 5 é
sempre o algarismo da centena?
Solução:
Como o problema não diz que os algarismos do número formado são distintos, isso significa que as
2 2
repetições são admitidas. Portanto, o total procurado será: 5 - - -; AR = 10 = 100
10
2. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
Solução:
Letras que se repetem:
A: 3 vezes
R: 2 vezes
3 2
. 5
!
Logo, o número de anagramas será: p =
5 = 10
3 2
! !
3. Podendo escolher entre os sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma criança pode comprar
5 balas?
Solução:
Cada grupo de 5 balas pode ser considerado como uma combinação de elementos repetidos, escolhidos
5 5 5 7
!
entre os três sabores. Logo, a resposta será: CR = C + 5 -1 = C =
3 3 7 = 21
5 2
! !
BINÔMIO DE NEWTON
1 ­ NÚMERO BINOMIAL
Sejam n e p números com p £ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe p ao número
n
!
representado por ( ) definido por: ( ) = p ! ( n - p )!
n
p
n
p
Observe que ( )= C
n
p
p
n
2 ­ PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
2.1 ­ Propriedades Diretas
( ) = 1 ;
n
0 ( ) = n ;
n
1 ( ) = 1
n
n
Essas propriedades decorrem diretamente da definição de número binomial.
2.2 ­ Binomiais Complementares
Dois binomiais são ditos complementares se tiverem o mesmo numerador e se a soma dos denominadores
for igual ao numerador. Assim, são complementares os binomiais:
( ) e ( ) ;
5
3
5
2 ( )e ( )
8
5
8
3
Matemática ­ M2 19

20. Tecnologia ITAPECURSOS
Também são complementares:
( ) e ( );
n
p
n
n - p (p + n - p = n
)
( )e (
n 1
+
p 1
-
n 1
+
n - p 2
+ ) ; (p - 1 + n - p + 2 = n + 1
)
Aplicando a definição de número binomial a dois binomiais complementares, conclui­se que:
Dois números binomiais complementares são iguais.
Desse modo: Exemplo:
( )= ( )
5
3
5
2
( )= ( )
n
p
n
n - p
Resolva a equação:
æ 10 ö æ 10 ö
ç
ç 2 x - 1 = ç 3 ÷
è
÷ ç ÷
÷
ø è ø
Solução:
( )= ( )
10
4
10
6 ( )= (
n + 1
p -1
n +1
n - p + 2 ) 1ª hipótese:
2x ­ 1 = 3 ; x = 2
Como conseqüência dessa propriedade, temos que:
2ª hipótese:
( ) = ( ) « p = q ou p + q = n
n
p
n
q 2x ­ 1 + 3 = 10 ; x = 4
Resposta: x = 2 ou x = 4
2.3 ­ Relação de Stifel
Essa relação acontece entre dois binomiais consecutivos. Assim, são consecutivos:
( ) e ( );
5
3
5
4
( )e( )
15
8
15
9
æ n ö æ n ö æ n - 1
ö æ n - 1
ö
ç ÷
ç p ÷
è ø
e ç ÷
ç p + 1
è
÷
ø
; ç ÷
ç p + 1
è
÷
ø
e ç
ç p ÷
è
÷
ø
e assim por diante.
A relação de Stifel nos permite somar dois binomiais consecutivos. Ela pode ser dada de várias formas; uma
æ n ö æ n ö æ n + 1 ö
delas é: ç ÷ ç ÷
÷ ç ÷
ç p ÷ + ç p + 1 = ç p + 1
÷
è ø è ø è ø
æ 9 ö æ 9 ö æ 10 ö
Exemplo: a) ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 2 ÷ + ç 3 ÷ = ç 3 ÷
è ø è ø è ø
æ 10 ö æ 10 ö æ 10 ö æ 10 ö æ 11
ö
b) ç ÷+ç ÷ =ç ÷+ç ÷ =ç ÷
ç 4 ÷ ç 7 ÷ ç 6 ÷ ç 7 ÷ ç 7 ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
binomiais complementares
2.4 ­ Relação de Fermat
É também uma relação entre binomiais consecutivos. Permite­nos calcular o valor de um binomial em função
do binomial “antecedente”. Sua demostração é feita aplicando­se a definição de número binomial.
æ n ö n - p æ n ö
ç ÷ ç ÷
ç p + 1 = p + 1 . ç p ÷
÷
è ø è ø
Exemplos:
æ 9 ö æ 9 ö 9 - 4 æ 9 ö æ 13 ö æ 13 ö 13 - 7 æ 13 ö 3
a) ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 5 ÷ = ç 4 ÷ . 4 + 1 = ç 4 ÷ . 1
è ø è ø è ø
b) ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 8 ÷ = ç 7 ÷ . 7 + 1 = ç 7 ÷ . 4
è ø è ø è ø
20 Matemática ­ M2

21. Tecnologia ITAPECURSOS
3 ­ TRIÂNGULO DE PASCAL
Para tornar nosso trabalho mais ameno, vamos dispor os números binomiais na forma seguinte:
æ0 ö
ç ÷
ç 0 ÷
è ø
æ 1 ö + æ 1 ö
ç ÷ ç ÷÷
ç 0 ÷ ¾¾®ç 1
è ø è ø
¯
æ 2 ö + æ 2 ö æ 2 ö
ç ÷ ç ÷ç ÷
÷
ç 0 ÷ ¾¾®ç 1 ç 2 ÷
è ø è øè ø
¯
æ3ö æ 3 öæ 3 ö æ 3 ö
ç ÷
ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
ç ÷ç ÷ ç ÷
è 0 ø è 1 øè 2 ø è 3 ø
æ4 ö æ 4 ö æ 4 öæ 4 öæ 4 ö
ç ÷
ç 0 ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷
ç 1 ÷ ç 2 ÷ç 3 ÷ç 4 ÷
è ø è ø è øè øè ø
æ 5 ö æ 5 öæ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö
ç ÷
ç 0 ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 1 ÷ç 2 ÷ ç 3 ÷ ç 4 ÷ ç 5 ÷
è ø è øè ø è ø è ø è ø
..............................................
Observe que os números binomiais de mesmo Usando essas propriedades chegamos facilmente
numerador estão na mesma linha, e os números aos valores associados ao triângulo, obtendo:
binomiais de mesmo denominador estão na mesma
linha 0 ; 1
coluna. Além disso, os binomiais da primeira coluna
valem 1, pois têm o denominador igual a zero. O linha 1 ; 1 1
mesmo acontece com o último binomial de cada linha, linha 2 ; 1 2 1
que tem o numerador e denominador iguais. Além linha 3 ; 1 3 3 1
disso, a relação de Stifel nos permite calcular os demais
linha 4 ; 1 4 6 4 1
elementos do triângulo. Veja no triângulo anterior, onde
se mostra que: linha 5 ; 1 5 10 10 5 1
æ 1ö æ 1
ö æ 2 ö
......................................
ç ÷ + ç ÷=
ç 0 ÷ ç 1
÷ ç ÷
ç 1 ÷
è ø è ø è ø A partir daí, você pode, usando as mesmas
æ 2 ö æ 2 ö æ 3 ö propriedades, obter quantas linhas quiser.
ç ÷ + ç ÷=
ç 0 ÷
è ø
ç 1 ÷
è ø
ç ÷
ç 1 ÷
è ø
, e assim por diante.
4 ­ O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON
( x + a 1 = x + a
)
2 2
xa 2
Você sabe que: ( + a = x + 2 + a
x )
( + a 3 = x + 3 2 a + 3 2 + a
x ) 3
x xa 3
Agora, repare:
­ Os coeficientes obtidos ao desenvolver esses binômios coincidem com os números das linhas do Triângulo
(x + a 3
de Pascal. Assim, os coeficientes de , por exemplo, são achados na linha 3 do Triângulo de Pascal.
)
( x + a n
)
Prova­se que os coeficientes de estão na linha n do Triângulo de Pascal.
Além disso, os expoentes de x decrescem de n a 0, e os de a crescem de 0 a n. Essas observações nos
permitem então escrever que:
( x + a n = ( ) x . 0 + ( ) x -1 . + ( ) x - 2 . 2 + ... + ( ) x a
) n n
0 a n n
1 a n n a
2
n 0 n
n
Assim, temos que: ( x + a 4 = ( ) x . 0 + ( ) x . + ( ) x . 2 + ( ) xa 3 + ( ) x a 4
) 4 4
0 a 4 3
1 a 4 2 a
2
4
3
4 0
4
Usando a linha 4 do Triângulo de Pascal para obter os coeficientes binomiais, teremos:
4 4 3 2 2
(x + a) = x ­ 4x a + 6x a + 4xa + a 3 4
n
Para desenvolver (x ­ a) , use o mesmo procedimento, porém alterne os sinais + e –, começando sempre
com o sinal de +. Assim:
4 4 3 2 2 3 4
(x ­ a) = x ­ 4x a + 6x a ­ 4xa + a
Matemática ­ M2 21

22. Tecnologia ITAPECURSOS
5 ­ UM RESULTADO INTERESSANTE
Já vimos que:
- -
( + a n = ( ) n . a + ( ) n 1 . a + ( ) n 2 . a + . . . + ( ) 0 . a
x ) n
0 x
0 n
1 x
n
2 x
2 n
n x
n
( + 1 n = ( ) + ( ) + ( ) + . . . + ( ) ou
1 ) n
0
n
1
n
2
n
n
Fazendo x = a = 1, obtemos: n n n n n
( ) + ( ) + ( ) + . . . + ( ) = 2
0 1 2 n
n
Isso significa que a soma dos elementos da linha n no Triângulo de Pascal é 2 .
6 ­ O TERMO GERAL
É muito raro necessitarmos do desenvolvimento completo do Binômio. O que geralmente ocorre é precisarmos
7
determinar um termo do Binômio que apresente alguma característica como, por exemplo, o termo em x ,
ou o termo independente de x, e assim por diante. Para resolvermos um tal problema, não precisamos de
todo o desenvolvimento, mas sim do termo genérico do Binômio. Se você observar mais uma vez a fórmula
do Binômio de Newton, verá que cada termo é da forma:
( ) n -p . ap
n
p x
Além disso, se p = 0, temos o primeiro termo;
se p = 1, temos o segundo termo;
-
e assim sucessivamente. Logo: T +1 = ( ) n p . a
p
n
p x
p
n
representa o termo que ocupa a posição (p+1), e é a fórmula do termo geral do binômio (x + a) , segundo as
potências decrescentes de x. Nessa fórmula, observe que:
n: representa o expoente do binômio
x: representa o primeiro termo do binômio
a: representa o segundo termo do binômio
p: número que é igual à posição do termo, menos um. Assim, se queremos T , p = 4
5 .
n
Para o binômio (x ­ a) , temos T +1 = ( -1 p ( ) n - p . a p
p ) n x
p
1. Calcule o 10º termo no desenvolvimento de Solução:
2 2 12
( x + x) . T + 1 = ( 8 )( x - 1 ) - p . ( 2 x 2 ) . ( - 1 P
p p
8 P
)
Solução: T + 1 = ( 8 ). x - 8 + P . 2 P . x 2 P . ( - 1 P
p p )
Como queremos o 10º termo ( 10 ) , p = 9. Além
T T + 1 = ( - 1 P . 2 P . ( 8 ) - 8 + 3 p
p ) p x
2
disso, o primeiro termo é 2x , o segundo é 0
Termo independente é o termo em x . Logo,
x e n = 12. Logo, pela fórmula do termo geral
temos: 8
queremos que: ­ 8 + 3 p = 0; p = .
3
T = ( 9 )( x ) -9 . x
10
12
2 2 12 9
Como é natural, tal resposta não satisfaz, e então o
3 6 9 15
T = 220 . 2 . x . x ; T = 1760x
10 1 binômio dado não apresenta termo independente de x.
2. Calcule, se existir, o termo independente de x, Observação:
7
Se fosse pedido, por exemplo, o termo em x , o
1
x 2 8
no desenvolvimento de: ( - 2 ) . raciocínio seria semelhante, simplesmente
x
colocaríamos ­ 8 + 3p = 7, teríamos p, e então
bastaria substitui­lo na expressão do termo geral.
22 Matemática ­ M2

23. Tecnologia ITAPECURSOS
3. Calcule o termo médio, no desenvolvimento de ( x - 3 6 .
2 )
Solução:
No desenvolvimento de ( + a n , obtemos n + 1 termos. Logo, o binômio dado tem 7 termos, e então o
x )
termo médio é o 4º termo. Portanto, p = 3 e teremos:
T = ( 3 ) ( 2 x ) 3 . (3 ) . ( - 1 3
4
6 3
)
T = 2 0 . 8 . x 3 . 2 7 . ( - 1 ; T = - 4 3 2 0 x 3
4 ) 4
2 5
4. Calcule a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (2x ­ 3y) .
Solução:
Para obtermos apenas os coeficientes, no desenvolvimento de um binômio, basta fazermos as variáveis
que aparecem nele iguais a um. Então, fazendo x = y = 1 teremos:
2 5
S = (2 . 1 + 3 . 1) ; 5
S = 5 ; S = 3125
MATRIZ
1­ DEFININDO MATRIZ
Sejam m e n inteiros positivos. À tabela formada por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas
chamamos de matriz m x n (lê­se matriz m por n).
æ a 11 a 12 ... a ö 1n
ç ÷
M = ç a 21 a 22 ... a ÷ 2n ou M = (a ) m x n
ij
ç ............................ ÷
a
è m1 m2 a ... a ø
mn
Observação: a representa o elemento que está na linha i e coluna j.
ij
Exemplo:
æ 1 - 2
ö
ç ÷
A = ç 3 5 ÷ ; uma matriz 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas)
ç ÷
è 0 1 ø
Para ela, temos:
a = 1 ;
12
a = 3 ;
21
a = 0 ;
31
Essa matriz pode também ser representada dos modos a seguir:
é 1 - 2 ù 1 - 2
ê ú ou A = 3
A = ê3 5 ú 5
ê0
ë 1 ú
û 0 1
2­ PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES
a) Matriz Linha b) Matriz coluna
É aquela que tem uma única linha. É aquela que tem uma única coluna.
A = (­1 2 3), B = [ 1 1] æ - 1 ö
ç ÷ é5
ù
A = ç 0 ÷ B = ê ú
ç 1 ÷ ë3
û
è ø
Matemática ­ M2 23

24. Tecnologia ITAPECURSOS
c) Matriz Quadrada
Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de coluna.
Exemplo: æ 1 3 5 ö
ç ÷
A = ç 0 4 - 1 ÷
ç 2 - 1 0 ÷
è ø
Os elementos a de uma matriz quadrada com i = j formam a diagonal principal. A outra diagonal é a diagonal
ij
secundária. Assim, para a matriz anterior:
diagonal principal: 1, 4 , 0
diagonal secundária: 2, 4, 5
d) Matriz Diagonal e) Matriz Identidade
Matriz quadrada cujos elementos situados fora da É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal
diagonal principal são nulos. principal são iguais a 1. Uma matriz identidade de
ordem n é representada por I .
n
æ 1 0 0 ö
ç ÷ æ 1 0 0 ö
A = ç 0 - 2 0 ÷ ç ÷ æ 1 0 ö
ç 0 I = ç 0 1 0 ÷ I = ç
ç 0 1 ÷
÷
0 0 ÷
3 2
è ø ç 0 0 0 ÷ è ø
è ø
f) Matriz Triangular g) Matriz Nula
Matriz quadrada na qual todos os elementos Todos os seus elementos são nulos.
colocados em um mesmo lado da diagonal principal
são nulos. æ 0 0 0
ö
æ 2 0 0 ö O X = ç ÷
ç ÷ 2 3 ç ÷
A = ç - 3 1 0 ÷ è 0 0 0
ø
ç 0 4 - 1 ÷
è ø
3 ­ IGUALDADE DE MATRIZES
Definição
Duas matrizes A e B são iguais (A=B) se forem de mesma ordem e se seus elementos correspondentes
forem iguais.
Observação: Elementos correspondentes são elementos de mesmo índice.
Em símbolos: Se A = (a )m e B = (b )m xn
ij xn ij , então:
A = B « a = b , para i Î { 1, 2, ..., m } e j Î { 1, 2, ..., n }
ij ij
æ 1 - 1 3 ö æ 1 - 1 3 ö
Desse modo, temos que se A = ç
ç 0 2 1 ÷ , B = ç 0 2 1 ÷
÷ ç ÷
è ø è ø
æ 1 - 1 3
ö
e C = ç ¹
ç 0 2 5 , então: A = B, porém A C (pois a ¹ c )
÷
÷ 23 23
è ø
4 ­ MATRIZ TRANSPOSTA
t
Dada uma matriz A = (a )m x n, chama­se transposta de A, à matriz A = (b )
ij ij n x m tal que b = a
ij ji
Exemplos:
æ - 2 0 ö
æ - 2 1 5 ö t
ç ÷
a) Se A = ç
ç 0 3 4 ÷ então A = ç 1 3 ÷
÷
è ø ç 5 4 ÷
è ø
24 Matemática ­ M2