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1 – A função à esquerda de 0 é decrescente e à direita é crescente. A resposta certa é a C
porque a derivada à esquerda de 0 é negativa e à direita é positiva.


O gráfico C tem as características correctas da derivada da função. Assim, de valores
de x baixos para valores de x elevados tem-se sucessivamente:


Declive da função próximo de zero, e função decrescente – derivada próxima de zero,
mas negativa


Declive elevado, função decrescente – derivada negativa muito baixa


Agora à direita de zero:


Declive elevado, função crescente – derivada positiva muito alta


Declive baixo, função crescente – derivada positiva próxima de zero


2 – Não existe limite de sem x quando x tende para infinito. A função oscila para
qualquer gama alargada de valores de x. Solução D


                        1
3 - log8 x =
                        3


                     1
                      
 ( log 8 x )
8              =8     3




          1
           
x=8        3




x = ( 23 ) 3 = 2
                 1




Resposta B



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4–


Volume do tanque em função de h: V=7*5*h
Volume adicionado ao tanque ao fim de t horas = nº de horas * volume adicionado por
hora


2*t=7*5*h


2*t=7*5*h
h=2*t/(7*5)=2*t/35


Quando h atinge o valor máximo, h=4, t=7*5*4/2=70, o tanque transborda


A função que dá a altura do tanque em função do tempo é:


    2t
h = , t ∈ [ 0,70]
    35
h = 4, t > 70



Resposta ‘certa’ D


5 – A significa sair 1 ou 3 ou 5
B significa sair 4 ou 5 o 6


AUB significa sair 1 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6


O contrário de AUB é sair 2


Resposta certa A


6 – a probabilidade de A acontecer dado que A aconteceu é 1


Solução A


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                             θ + 2kπ
7 - ( z cisθ ) 6 = 6 z cis
             1


                                6


O modulo de todas as raízes é          6   z que neste caso é   2


                                                                    2π
A diferença entre o angulo de duas raízes consecutivas é
                                                                     6
Assim, o angulo do ponto D é:


3π 2π 26π 13π
   +   =    =
 4   6   24   12


Resposta certa é a D


Segunda Parte:


1.1


|z|<1 e arg(z)> π/2 e arg(z)<π
ου
|z|<1 e im(z)> 0 e Re(z)<0




1.2 -
1 + 3i
     π
4cis
     6


1 + 3i = 1 + 3 = 2




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                                                                                   1 + 3i 1
Modulo do numerador é 2 e o do denominador 4. Assim                                       = , menor que 1,
                                                                                        π  2
                                                                                   4cis
                                                                                        6


     1 + 3i
logo      π pertence a A
     4cis
          6




2.1-


f ( x) = e x ( x 2 + x )


f ' ( x) = e x ( x 2 + x ) + e x ( 2 x + 1) = e x ( x 2 + x + 2 x + 1) = e x ( x 2 + 3 x + 1)


Para x=0 f ' (0) = e 0 ( 0 2 + 3 × 0 + 1) = 1


Declive da recta tangente: 1


Assim a recta tem a forma y=x+b


Para x=0, y=f(0)=0 logo b=0


Recta y=x


2.2


Que tal ver qual é o gráfico da função na calculadora gráfica?? Depois já se sabe o que
tem que dar.


Resolução Analítica:


      •    Determinar 2ª derivada

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f ' ' ( x) = e x ( x 2 + 3x + 1) + e x ( 2 x + 3) = e x ( x 2 + 3 x + 2 x + 3 + 1) = e x ( x 2 + 5 x + 4 )
•    determinar zeros da segunda derivada

                                                               − 5 ± 25 − 16     −5± 9
e x ( x 2 + 5x + 4) = 0 ⇔ ( x 2 + 5 x + 4) = 0 ⇔ x =                         ⇔x=
                                                                     2             2


      −5± 9     −5±3
x=          ⇔x=      ⇔ x = −4 ∨ x = −1
        2        2



                            −∞                     -4                        -1                       +∞
          x 2 + 5x + 4                +             0           -             0           +
                ex                    +            +            +            +            +
              f’’(x)                  +             0           -             0           +
         concavidade                  ∪            PI           ∩            PI           ∪


Pontos de inflexão: x=-4 e x=-1
Concavidade voltada para cima em ] − ∞ ,-4[ e em ]-1, + ∞ [
Concavidade voltada para baixo no intervalo ]-4, -1[


3.1 -
                             π ( n − 81)
f ( n) = 12.2 + 2.64sen
                                 183


Para o dia 24 de Março, n = 31 +29+24=84


                               π ( 84 − 81)                           3π
f (84) = 12.2 + 2.64sen                     = f (84) = 12.2 + 2.64sen     = 12.3359
                                    183                               183


0.3359 horas = 0.3359*60=20.154 ≈ 20min


duração do dia: 12 h 20 min


se o sol nasceu às 6h 30 min põe-se às 18h 50 min


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3.2 – Traçando a função f e a linha f=14.7 descobre-se que há uma pequena zona do
gráfico que está acima de 14.7



                 16



                 12



                  8
                       0         100            200         300     400




Ampliando o gráfico verifica-se que a função passa acima de 14.7 para n entre 150 e
160 e passa abaixo de 14.7 entre 190 e 200.




                 14
                      150    160          170         180     190   200




Para determinar o valor de n exacto para o qual f passa acima de 14.7 calcula-se o valor
da função para n na região 150-160. Verifica-se que o primeiro dia em que f passa
acima de 14.7 é o dia 154.


                                    n           f(n)
                                    150         14,6455
                                    151         14,66221
                                    152         14,67819
                                    153         14,69345
                                    154         14,70797


Para determinar o valor de n exacto para o qual f volta a estar abaixo de 14.7 Calcula-se
o valor da função para n na região 189-192. Verifica-se que o primeiro dia em que f
passa abaixo de 14.7 é o dia 191.
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                                        n       f(n)
                                       189    14,7348
                                       190   14,72176
                                       191   14,70797
                                       192   14,69345


Do dia 154 (inclusive) ao dia 191 (inclusive) os dias têm mais de 14.7 horas.


Número de dias com mais de 14.7 horas = 191-154+1=38


4.1.1 – Na primeira face dispomos de 10 números para colocar, na segunda dispomos de
9, na terceira de 8 etc de modo que há 10*9*8*...*2*1 formas de colocar os números,
ou seja 10!=3628800


4.1.2-Dispõe-se de 10 números para colocar. A pirâmide de vértice Q só pode conter
impares {5,7,9,11} e tem duas faces livres. A pirâmide com vértice P tem 4 faces livres
que só podem ser ocupadas pelos números pares {2,4,6,8,10,12}. Não há restrições para
ocupar as restantes faces livres.
Para preencher a 1ª face livre da pirâmide com vértice em Q há 4 números disponíveis.
Quando se pretende preencher a segunda face já só há 3 hipóteses. Há 4*3 hipóteses
para preencher esta pirâmide. Ou 4A2
Para preencher a 1ª face livre da pirâmide de vértice P há 6 números possíveis (números
pares). Para a 2ª face 5 números. Para a 3ª face restam 4 números. Para a 4ª 3 números.
O número de maneiras possíveis de ocupar todas as faces é 6*5*4*3 ou 6A4
Após preencher as faces das duas pirâmides restam 4 números e 4 faces. A primeira
pode ser ocupada de 4 maneiras diferentes. As segunda de 3 maneiras a 3ª de 2 maneiras
e a última é ocupada pelo número restante. Assim, há 4*3*2*1 maneiras de ocupar as
faces restantes, ou 4A4
Ao todo há 4A2 * 6A4 * 4A4=4*2*6*5*4*3*4*3*2*1=103680 maneiras de preencher as
faces do poliedro.


4.2 –
As bases das pirâmides são paralelas ao plano y=0. Os três vértices escolhidos ao acaso
têm que pertencer ou a uma ou a outra das bases das pirâmides.


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O primeiro vértice escolhido ao acaso tem que estar na base de uma das pirâmides. A

                                         número de vértices favoraveis 8 4
probabilidade de isto acontecer é                                     = = .
                                              total de vértices        10 5
O segundo vértice a ser escolhido tem que estar na mesma base da pirâmide que o
vértice escolhido anteriormente. Resta escolher 9 vértices e restam 3 vértices na base da
pirâmide a que pertence o vértice já escolhido. Probabilidade de se escolher o vértice

         3 1
certo:    = .
         9 3
O terceiro vértice escolhido tem que ser um dos vértices que pertence à mesma face que

                                                                                            2 1
o escolhido anteriormente. . Probabilidade de se escolher o vértice certo:                   = .
                                                                                            8 4

                                                       4 1 1 1
Probabilidade de se escolherem os vértices certos:          =
                                                       5 3 4 15
5- Como a função f tem como assimptota horizontal o eixo Ox então:

lim f
x → +∞
         = 0 ou   lim f
                  x → −∞
                           =0


Como o domínio da função é R+ então não existe        lim f
                                                      x → −∞
                                                               = 0 e logo   lim f
                                                                            x → +∞
                                                                                     = 0.




Como a função é positiva        lim f    = 0+
                                x → +∞

                         1   1    1
                ⇒ lim f =       = + +∞
            +
lim f = 0
x → +∞            x → +∞   lim f 0
                                x → +∞




                                                      1
Como este limite não é um número real a função          não tem assimptota horizontal.
                                                      f




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  • 1. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 1 Copyleft - Este documento pode ser copiado e alterado à vontade desde que: 1 - o direito de cópia e alteração não seja alterado 2 - este aviso não seja alterado 3 - a secção de créditos seja mantida 4 - nenhum autor seja cortado da secção de créditos Cópias, correcções, alterações e adições são encorajadas. Lista de Créditos: Documento original produzido pelo site explicacoes.com (http://www.explicacoes.com) Qualquer duvida ou correcção deve ser enviada para explicacoes.com@portugalmail.pt Publicação deste exame na Web Como indica o Copyleft este exame pode ser publicado em qualquer página web sem a autorização do explicacoes.com desde que as condições referidas acima sejam respeitadas. Adicionalmente pedimos o favor de colocarem um link para a nossa página. Contribuições: Os apontamentos e exames do site explicacoes.com são distribuídos gratuitamente porque achamos que toda a gente deve ter direito a material de estudo de qualidade. Se quiseres contribuir para este esforço podes faze-lo partilhando os teus apontamentos, exames, relatórios ou trabalhos académicos com os teus colegas. Podes criar a tua página de internet com esses trabalhos e se o fizeres envia-nos o endereço que nós colocamos o endereço no explicacoes.com. Se preferires podes enviar-nos os ficheiros para publicação nas nossas páginas. Podes enviar ficheiros para o email seguinte: jmiranda@explicacoes.com. Precisamos de mais enunciados. Para que possamos continuar a publicar exames resolvidos com interesse para os nossos visitantes precisamos que nos enviem os enunciados. Os enunciados devem ser enviados para: João Miranda Este S Pedro Cruz do Outeiro 4710 Braga Sobre o explicacoes.com O site explicacoes.com distribui apontamentos e exames resolvidos, tem um serviço comercial de resolução de exames tem uma bolsa de explicadores. É o local ideal para encontrar um explicador de qualquer cadeira e de qualquer nível de ensino. adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 2. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 2 1 – A função à esquerda de 0 é decrescente e à direita é crescente. A resposta certa é a C porque a derivada à esquerda de 0 é negativa e à direita é positiva. O gráfico C tem as características correctas da derivada da função. Assim, de valores de x baixos para valores de x elevados tem-se sucessivamente: Declive da função próximo de zero, e função decrescente – derivada próxima de zero, mas negativa Declive elevado, função decrescente – derivada negativa muito baixa Agora à direita de zero: Declive elevado, função crescente – derivada positiva muito alta Declive baixo, função crescente – derivada positiva próxima de zero 2 – Não existe limite de sem x quando x tende para infinito. A função oscila para qualquer gama alargada de valores de x. Solução D 1 3 - log8 x = 3 1   ( log 8 x ) 8 =8  3 1   x=8  3 x = ( 23 ) 3 = 2 1 Resposta B adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 3. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 3 4– Volume do tanque em função de h: V=7*5*h Volume adicionado ao tanque ao fim de t horas = nº de horas * volume adicionado por hora 2*t=7*5*h 2*t=7*5*h h=2*t/(7*5)=2*t/35 Quando h atinge o valor máximo, h=4, t=7*5*4/2=70, o tanque transborda A função que dá a altura do tanque em função do tempo é:  2t h = , t ∈ [ 0,70]  35 h = 4, t > 70  Resposta ‘certa’ D 5 – A significa sair 1 ou 3 ou 5 B significa sair 4 ou 5 o 6 AUB significa sair 1 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 O contrário de AUB é sair 2 Resposta certa A 6 – a probabilidade de A acontecer dado que A aconteceu é 1 Solução A adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 4. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 4 θ + 2kπ 7 - ( z cisθ ) 6 = 6 z cis 1 6 O modulo de todas as raízes é 6 z que neste caso é 2 2π A diferença entre o angulo de duas raízes consecutivas é 6 Assim, o angulo do ponto D é: 3π 2π 26π 13π + = = 4 6 24 12 Resposta certa é a D Segunda Parte: 1.1 |z|<1 e arg(z)> π/2 e arg(z)<π ου |z|<1 e im(z)> 0 e Re(z)<0 1.2 - 1 + 3i π 4cis 6 1 + 3i = 1 + 3 = 2 adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 5. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 5 1 + 3i 1 Modulo do numerador é 2 e o do denominador 4. Assim = , menor que 1, π 2 4cis 6 1 + 3i logo π pertence a A 4cis 6 2.1- f ( x) = e x ( x 2 + x ) f ' ( x) = e x ( x 2 + x ) + e x ( 2 x + 1) = e x ( x 2 + x + 2 x + 1) = e x ( x 2 + 3 x + 1) Para x=0 f ' (0) = e 0 ( 0 2 + 3 × 0 + 1) = 1 Declive da recta tangente: 1 Assim a recta tem a forma y=x+b Para x=0, y=f(0)=0 logo b=0 Recta y=x 2.2 Que tal ver qual é o gráfico da função na calculadora gráfica?? Depois já se sabe o que tem que dar. Resolução Analítica: • Determinar 2ª derivada adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 6. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 6 f ' ' ( x) = e x ( x 2 + 3x + 1) + e x ( 2 x + 3) = e x ( x 2 + 3 x + 2 x + 3 + 1) = e x ( x 2 + 5 x + 4 ) • determinar zeros da segunda derivada − 5 ± 25 − 16 −5± 9 e x ( x 2 + 5x + 4) = 0 ⇔ ( x 2 + 5 x + 4) = 0 ⇔ x = ⇔x= 2 2 −5± 9 −5±3 x= ⇔x= ⇔ x = −4 ∨ x = −1 2 2 −∞ -4 -1 +∞ x 2 + 5x + 4 + 0 - 0 + ex + + + + + f’’(x) + 0 - 0 + concavidade ∪ PI ∩ PI ∪ Pontos de inflexão: x=-4 e x=-1 Concavidade voltada para cima em ] − ∞ ,-4[ e em ]-1, + ∞ [ Concavidade voltada para baixo no intervalo ]-4, -1[ 3.1 - π ( n − 81) f ( n) = 12.2 + 2.64sen 183 Para o dia 24 de Março, n = 31 +29+24=84 π ( 84 − 81) 3π f (84) = 12.2 + 2.64sen = f (84) = 12.2 + 2.64sen = 12.3359 183 183 0.3359 horas = 0.3359*60=20.154 ≈ 20min duração do dia: 12 h 20 min se o sol nasceu às 6h 30 min põe-se às 18h 50 min adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 7. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 7 3.2 – Traçando a função f e a linha f=14.7 descobre-se que há uma pequena zona do gráfico que está acima de 14.7 16 12 8 0 100 200 300 400 Ampliando o gráfico verifica-se que a função passa acima de 14.7 para n entre 150 e 160 e passa abaixo de 14.7 entre 190 e 200. 14 150 160 170 180 190 200 Para determinar o valor de n exacto para o qual f passa acima de 14.7 calcula-se o valor da função para n na região 150-160. Verifica-se que o primeiro dia em que f passa acima de 14.7 é o dia 154. n f(n) 150 14,6455 151 14,66221 152 14,67819 153 14,69345 154 14,70797 Para determinar o valor de n exacto para o qual f volta a estar abaixo de 14.7 Calcula-se o valor da função para n na região 189-192. Verifica-se que o primeiro dia em que f passa abaixo de 14.7 é o dia 191. adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 8. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 8 n f(n) 189 14,7348 190 14,72176 191 14,70797 192 14,69345 Do dia 154 (inclusive) ao dia 191 (inclusive) os dias têm mais de 14.7 horas. Número de dias com mais de 14.7 horas = 191-154+1=38 4.1.1 – Na primeira face dispomos de 10 números para colocar, na segunda dispomos de 9, na terceira de 8 etc de modo que há 10*9*8*...*2*1 formas de colocar os números, ou seja 10!=3628800 4.1.2-Dispõe-se de 10 números para colocar. A pirâmide de vértice Q só pode conter impares {5,7,9,11} e tem duas faces livres. A pirâmide com vértice P tem 4 faces livres que só podem ser ocupadas pelos números pares {2,4,6,8,10,12}. Não há restrições para ocupar as restantes faces livres. Para preencher a 1ª face livre da pirâmide com vértice em Q há 4 números disponíveis. Quando se pretende preencher a segunda face já só há 3 hipóteses. Há 4*3 hipóteses para preencher esta pirâmide. Ou 4A2 Para preencher a 1ª face livre da pirâmide de vértice P há 6 números possíveis (números pares). Para a 2ª face 5 números. Para a 3ª face restam 4 números. Para a 4ª 3 números. O número de maneiras possíveis de ocupar todas as faces é 6*5*4*3 ou 6A4 Após preencher as faces das duas pirâmides restam 4 números e 4 faces. A primeira pode ser ocupada de 4 maneiras diferentes. As segunda de 3 maneiras a 3ª de 2 maneiras e a última é ocupada pelo número restante. Assim, há 4*3*2*1 maneiras de ocupar as faces restantes, ou 4A4 Ao todo há 4A2 * 6A4 * 4A4=4*2*6*5*4*3*4*3*2*1=103680 maneiras de preencher as faces do poliedro. 4.2 – As bases das pirâmides são paralelas ao plano y=0. Os três vértices escolhidos ao acaso têm que pertencer ou a uma ou a outra das bases das pirâmides. adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 9. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 9 O primeiro vértice escolhido ao acaso tem que estar na base de uma das pirâmides. A número de vértices favoraveis 8 4 probabilidade de isto acontecer é = = . total de vértices 10 5 O segundo vértice a ser escolhido tem que estar na mesma base da pirâmide que o vértice escolhido anteriormente. Resta escolher 9 vértices e restam 3 vértices na base da pirâmide a que pertence o vértice já escolhido. Probabilidade de se escolher o vértice 3 1 certo: = . 9 3 O terceiro vértice escolhido tem que ser um dos vértices que pertence à mesma face que 2 1 o escolhido anteriormente. . Probabilidade de se escolher o vértice certo: = . 8 4 4 1 1 1 Probabilidade de se escolherem os vértices certos: = 5 3 4 15 5- Como a função f tem como assimptota horizontal o eixo Ox então: lim f x → +∞ = 0 ou lim f x → −∞ =0 Como o domínio da função é R+ então não existe lim f x → −∞ = 0 e logo lim f x → +∞ = 0. Como a função é positiva lim f = 0+ x → +∞ 1 1 1 ⇒ lim f = = + +∞ + lim f = 0 x → +∞ x → +∞ lim f 0 x → +∞ 1 Como este limite não é um número real a função não tem assimptota horizontal. f adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
  • 10. http://www.explicacoes.com - exames resolvidos e explicações 10 adicione o seu email no site http://www.explicacoes.com para receber informações sobre novos exames ou apontamentos
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