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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Álgebra
Semana 05
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
02 de Maio de 2020
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade:
(A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗).
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade:
(A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗).
Uma função f : A → B é chamada homomorfismo de anéis, ou homomorfismo
entre os anéis A e B, se:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade:
(A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗).
Uma função f : A → B é chamada homomorfismo de anéis, ou homomorfismo
entre os anéis A e B, se:
1. f(a + b) = f(a) ⊕ f(b),
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade:
(A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗).
Uma função f : A → B é chamada homomorfismo de anéis, ou homomorfismo
entre os anéis A e B, se:
1. f(a + b) = f(a) ⊕ f(b),
2. f(a · b) = f(a) ⊗ f(b).
∀ a, b ∈ A.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Atenção!
Quando não há risco de confusão, é usada as mesmas notações para as operações nos
anéis A e B, ou seja, escrevemos:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Atenção!
Quando não há risco de confusão, é usada as mesmas notações para as operações nos
anéis A e B, ou seja, escrevemos:
1. f(a + b) = f(a) + f(b),
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Atenção!
Quando não há risco de confusão, é usada as mesmas notações para as operações nos
anéis A e B, ou seja, escrevemos:
1. f(a + b) = f(a) + f(b),
2. f(a · b) = f(a) · f(b).
∀ a, b ∈ A.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição de homomorfismo unitário
No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros
do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B
é unitário se:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição de homomorfismo unitário
No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros
do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B
é unitário se:
f(1A) = 1B
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição de homomorfismo unitário
No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros
do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B
é unitário se:
f(1A) = 1B
É claro que aqui também podemos, para evitar sobrecarga na notação, suprimir os índices
e escrever:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição de homomorfismo unitário
No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros
do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B
é unitário se:
f(1A) = 1B
É claro que aqui também podemos, para evitar sobrecarga na notação, suprimir os índices
e escrever:
f(1) = 1.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então:
1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem
unitários, g ◦ f também o é.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então:
1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem
unitários, g ◦ f também o é.
2. Se f é uma função bijetora, então a sua inversa f−1 : B → A é um homomorfismo.
Claramente, se f for unitário, f−1 também o é.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então:
1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem
unitários, g ◦ f também o é.
2. Se f é uma função bijetora, então a sua inversa f−1 : B → A é um homomorfismo.
Claramente, se f for unitário, f−1 também o é.
Atenção!
Quando f : A → B é um homomorfismo bijetor, dizemos que f é um isomorfismo de
anéis, ou ainda, que A e B são isomorfos e denotamos A ≃ B.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então:
1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem
unitários, g ◦ f também o é.
2. Se f é uma função bijetora, então a sua inversa f−1 : B → A é um homomorfismo.
Claramente, se f for unitário, f−1 também o é.
Atenção!
Quando f : A → B é um homomorfismo bijetor, dizemos que f é um isomorfismo de
anéis, ou ainda, que A e B são isomorfos e denotamos A ≃ B.
Veremos, a seguir, apenas parte da demonstração do item 1. As demais demonstrações
podem ser consultadas no livro texto.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
(a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b);
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
(a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b);
(b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b).
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
(a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b);
(b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b).
Faremos isso apenas para a primeira igualdade em (a), sendo a em (b) inteiramente
análoga.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
(a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b);
(b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b).
g ◦ f(a + b) = g(f(a + b))
= g(f(a) + f(b))
= g(f(a)) + g(f(b))
= g ◦ f(a) + g ◦ f(b)
Observe que os passos contaram, apenas, com a hipótese de que as funções f e g são
homomorfismos de anéis!
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
(a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b);
(b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b).
g ◦ f(a + b) = g(f(a + b))
= g(f(a) + f(b))
= g(f(a)) + g(f(b))
= g ◦ f(a) + g ◦ f(b)
Além disso, se f e g forem unitários, então:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
(a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b);
(b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b).
g ◦ f(a + b) = g(f(a + b))
= g(f(a) + f(b))
= g(f(a)) + g(f(b))
= g ◦ f(a) + g ◦ f(b)
Além disso, se f e g forem unitários, então:
g ◦ f(1) = g(f(1)) = g(1) = 1,
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração do item 1.
Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos:
(a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b);
(b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b).
g ◦ f(a + b) = g(f(a + b))
= g(f(a) + f(b))
= g(f(a)) + g(f(b))
= g ◦ f(a) + g ◦ f(b)
Além disso, se f e g forem unitários, então:
g ◦ f(1) = g(f(1)) = g(1) = 1,
o que mostra que g ◦ f também é unitário.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Núcleo e Imagem
Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, podemos considerar os seguintes conjuntos
associados a f:
• o núcleo de f:
ker(f) = {a ∈ A; f(a) = 0},
onde 0 ∈ B é o elemento neutro e;
• a imagem de f,
Im(f) = {f(a); a ∈ A}.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos:
• f(0) = 0;
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos:
• f(0) = 0;
• f(−a) = −f(a);
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos:
• f(0) = 0;
• f(−a) = −f(a);
• ker(f) é um ideal de A;
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos:
• f(0) = 0;
• f(−a) = −f(a);
• ker(f) é um ideal de A;
• Im(f) é um subanel de B.
A demonstração deste Teorema fica como exercício.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exercícios
Prove as seguintes afirmações:
(a) Dado um número inteiro n, n > 1, seja Zn = {¯0, ¯1, . . . , n − 1} o anel das classes de
restos módulo n. A função f : Z → Zn, dada por f(k) = ¯k é um homomorfismo de
anéis.
(b) A função f : R → R2, dada por f(x) = (x, 0), é um homomorfismo injetor.
(c) Seja Q[x] o anel dos polinômios na variável x, com coeficientes em Q e considere a
função f : Q[x] → R dada por f(p(x)) = p(
√
2). A função f é um homomorfismo de
anéis.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teoremas
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teoremas
Teorema
Um homomorfismo f de anéis é injetor se, e somente se, ker(f) = {0}.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teoremas
Teorema
Um homomorfismo f de anéis é injetor se, e somente se, ker(f) = {0}.
Teorema
Se K é um corpo e f : K → B é um homomorfismo de anéis, então temos duas
possibilidades:
1. f é identicamente nulo, isto é, f(x) = 0, para todo x ∈ K, ou;
2. f é injetivo.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teoremas
Teorema
Um homomorfismo f de anéis é injetor se, e somente se, ker(f) = {0}.
Teorema
Se K é um corpo e f : K → B é um homomorfismo de anéis, então temos duas
possibilidades:
1. f é identicamente nulo, isto é, f(x) = 0, para todo x ∈ K, ou;
2. f é injetivo.
A demonstração destes Teoremas ficam como exercício.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
Seja A um anel e I um ideal de A. Dados a, b ∈ A, dizemos que a e b são congruentes
módulo I e indicamos a ≡ b se a − b ∈ I.
Atenção!
A relação ≡ definida acima é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva (relação de
equivalência).
Prove esta afirmação como exercício.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Seja A = Z e I = 5Z (o ideal formado pelos múltiplos de 5). Dois inteiros a ≡ b se, e
somente se, a − b ∈ 5Z, isto é, 5|(a − b).
Dado a ∈ Z, temos a = 5k + r, onde r ∈ {0, 1, 2, 3, 4} é o resto da divisão de a por 5.
Como só há cinco possibilidades para o resto r dessa divisão e a − r = 5k ∈ Z, temos
que a ∈ ¯r, e Z = ¯0 ∪ ¯1 ∪ ¯2 ∪ ¯3 ∪ ¯4.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto
quociente e é denotado por A/I.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto
quociente e é denotado por A/I.
Explicitamente:
A/I = {¯a; a ∈ A} = {a + I; a ∈ A}.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto
quociente e é denotado por A/I.
Explicitamente:
A/I = {¯a; a ∈ A} = {a + I; a ∈ A}.
Para que o conjunto quociente A/I possua a estrutura de anel, definamos as operações:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Definição
O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto
quociente e é denotado por A/I.
Explicitamente:
A/I = {¯a; a ∈ A} = {a + I; a ∈ A}.
Para que o conjunto quociente A/I possua a estrutura de anel, definamos as operações:
• SOMA: ¯a + ¯b = a + b;
• PRODUTO: ¯a · ¯b = a · b.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Operações bem definidas
Considere a1, a2, b1eb2 elementos de um anel A e seja I um ideal de A tal que a1 −a2 ∈ I
e b1, b2 ∈ I.
a1 − a2 ∈ I ⇒ a1 = a2
b1 − b2 ∈ I ⇒ b1 = b2
Observe que
(a1 + b1) − (a2 + b2) = (a1 − a2) + (b1 − b2) ∈ I ⇒ a1 + b1 = a2 + b2
a1b1 − a2b2 = a1b1 − a1b2 + a1b2 = a1(b1 − b2) + b2(a1 − a2) ∈ I ⇒ a1b1 = a2b2
Como exercício, verificar os demais axiomas da condição de anel para os anéis quocientes.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Vamos agora mostrar um resultado importante que relaciona certos propriedades dos
ideais com propriedades dos anéis quocientes a eles associados.
Seja A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A.
1. I é um ideal primo se, e somente se, A/I é um domínio de integridade.
2. I é um ideal maximal se, e somente se, A/I é um corpo.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema
Vamos agora mostrar um resultado importante que relaciona anéis quocientes e homo-
morfismos.
Teorema Fundamental dos Homomorfismos de Anéis
Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos que o anel quociente A/ ker(f) é
isomorfo ao subanel Im(f) ⊂ B.
A prova desse teorema consiste em exibir um homomorfismo bijetor entre A/ ker(f) e
Im(f).
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração
Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a).
Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que:
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração
Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a).
Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que:
1. F está bem definida, ou seja, se ¯a = ¯b, então F(¯a) = F(¯b). De fato,
¯a = ¯b ⇒ a−b ∈ ker(f) ⇒ f(a−b) = 0 ⇒ f(a)−f(b) = 0 ⇒ f(a) = f(b) ⇒ F(¯a) = F(¯b).
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração
Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a).
Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que:
1. F está bem definida, ou seja, se ¯a = ¯b, então F(¯a) = F(¯b). De fato,
¯a = ¯b ⇒ a−b ∈ ker(f) ⇒ f(a−b) = 0 ⇒ f(a)−f(b) = 0 ⇒ f(a) = f(b) ⇒ F(¯a) = F(¯b).
2. F é um homomorfismo. De fato, se a, b ∈ A/ ker(f), então:
F(¯a + ¯b) = F(a + b) = f(a + b) = f(a) + f(b) = F(¯a) + F(¯b).
F(¯a · ¯b) = F(a · b) = f(a · b) = f(a) · f(b) = F(¯a) · F(¯b).
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração
Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a).
Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que:
3. F é injetora. De fato,
¯a ∈ ker(F) ⇒ F(¯a) = f(a) = 0 ⇒ a ∈ ker(f) ⇒ ¯a = ¯0.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração
Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a).
Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que:
3. F é injetora. De fato,
¯a ∈ ker(F) ⇒ F(¯a) = f(a) = 0 ⇒ a ∈ ker(f) ⇒ ¯a = ¯0.
4. F é sobrejetora. De fato,
y ∈ Im(f) ⇒ ∃a ∈ A; f(a) = y ⇒ F(¯a = f(a) = 0 ⇒ ∃¯a ∈ A/ ker(f); F(¯a) = y
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Demonstração
Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a).
Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que:
3. F é injetora. De fato,
¯a ∈ ker(F) ⇒ F(¯a) = f(a) = 0 ⇒ a ∈ ker(f) ⇒ ¯a = ¯0.
4. F é sobrejetora. De fato,
y ∈ Im(f) ⇒ ∃a ∈ A; f(a) = y ⇒ F(¯a = f(a) = 0 ⇒ ∃¯a ∈ A/ ker(f); F(¯a) = y
Logo, F é um isomorfismo.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Licenciatura em Matemática EaD
Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Mostre que x2
− 2 é um ideal maximal de Q[
√
2].
Solução: Vimos que para f : Q[x] → R, dado por f(p(x)) = p(
√
2), temos que:
1. ker(f) = (x2 − 2) = {(x2 − 2)q(x); q(x) ∈ Q[x]}, o ideal formado pelos múltiplos de
(x2 − 2).
2. Im(f) = {p(
√
2); p(x) ∈ Q[x]}.
Considerando que (
√
2)n ∈ Q, se n é par e que (
√
2)n = r
√
2, se n é ímpar, temos que
p(
√
2) = a + b
√
2 e, dessa forma,
2’. Im(f) = {a + b
√
2; a, b ∈ Q} = Q[
√
2].
O Teorema Fundamental dos Homomorfismos de Anéis nos diz que:
3. Q[x]/ ker(f) ≃ Im(f),
ou ainda
3’. Q[x]/(x2 − 2) ≃ Q[
√
2].
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Licenciatura em Matemática EaD
Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Mostre que x2
− 2 é um ideal maximal de Q[
√
2].
Q[
√
2] é um corpo. De fato, se 0 = a + b
√
2 ∈ Q[
√
2], a = 0 ou b = 0. Logo,
1
a + b
√
2
=
1
a + b
√
2
·
a − b
√
2
a − b
√
2
=
a − b
√
2
a2 − 2b2
=
a
a2 − 2b2
−
b
a2 − 2b2
√
2
Observamos que a2 −2b2 = 0 uma vez que a, b ∈ Q com a = 0 ou b = 0 e, dessa forma,
a
a2 − 2b2
,
b
a2 − 2b2
∈ Q.
Assim, temos que todo elemento não-nulo de Q[
√
2] tem um inverso em Q[
√
2], ou seja,
Q[
√
2] é um corpo e, como consequência, (x2 − 2) é um ideal maximal de Q[x].
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema da correspondência
Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e N = ker(f). Então:
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema da correspondência
Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e N = ker(f). Então:
(a) A cada Ideal I ⊃ N corresponde um ideal em B. Essa correspondência é dada por
I → f(I).
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Teorema da correspondência
Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e N = ker(f). Então:
(a) A cada Ideal I ⊃ N corresponde um ideal em B. Essa correspondência é dada por
I → f(I).
(b) Dados dois ideais I1 e I2 de A, ambos contendo N, temos I1 ⊂ I2 se, e somente
se, f(I1) ⊂ f(I2).
Este teorema deve ser provado como exercício.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Determine todos os ideais de Z6.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Determine todos os ideais de Z6.
Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra
indica classe de equivalência módulo 6.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Determine todos os ideais de Z6.
Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra
indica classe de equivalência módulo 6.
Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Determine todos os ideais de Z6.
Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra
indica classe de equivalência módulo 6.
Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z.
Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Determine todos os ideais de Z6.
Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra
indica classe de equivalência módulo 6.
Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z.
Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z.
Como os ideais de Z são todos principais, isto é, são todos do tipo mZ, m ∈ N.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Determine todos os ideais de Z6.
Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra
indica classe de equivalência módulo 6.
Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z.
Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z.
Como os ideais de Z são todos principais, isto é, são todos do tipo mZ, m ∈ N.
Se 6Z ⊂ Z6, então m|6.
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Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis
Exemplo
Determine todos os ideais de Z6.
Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra
indica classe de equivalência módulo 6.
Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z.
Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z.
Como os ideais de Z são todos principais, isto é, são todos do tipo mZ, m ∈ N.
Se 6Z ⊂ Z6, então m|6.
Os divisores positivos de 6 são 1, 2, 3 e 6. Assim, os únicos ideais de Z6 são f(mZ), m ∈
{1, 2, 3, 6}.
Como f( ¯mZ) = mZ (provar como exercício), temos que os ideais de Z6 são:
¯1Z6 = Z6, ¯2Z6, ¯3Z6, ¯6Z6 = {0}.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
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  • 1. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Álgebra Semana 05 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB 02 de Maio de 2020 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 2. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade: (A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗). Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 3. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade: (A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗). Uma função f : A → B é chamada homomorfismo de anéis, ou homomorfismo entre os anéis A e B, se: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 4. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade: (A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗). Uma função f : A → B é chamada homomorfismo de anéis, ou homomorfismo entre os anéis A e B, se: 1. f(a + b) = f(a) ⊕ f(b), Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 5. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Consideremos dois anéis, não necessariamente comutativos nem com unidade: (A, +, ·) e (B, ⊕, ⊗). Uma função f : A → B é chamada homomorfismo de anéis, ou homomorfismo entre os anéis A e B, se: 1. f(a + b) = f(a) ⊕ f(b), 2. f(a · b) = f(a) ⊗ f(b). ∀ a, b ∈ A. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 6. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Atenção! Quando não há risco de confusão, é usada as mesmas notações para as operações nos anéis A e B, ou seja, escrevemos: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 7. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Atenção! Quando não há risco de confusão, é usada as mesmas notações para as operações nos anéis A e B, ou seja, escrevemos: 1. f(a + b) = f(a) + f(b), Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 8. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Atenção! Quando não há risco de confusão, é usada as mesmas notações para as operações nos anéis A e B, ou seja, escrevemos: 1. f(a + b) = f(a) + f(b), 2. f(a · b) = f(a) · f(b). ∀ a, b ∈ A. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 9. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição de homomorfismo unitário No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B é unitário se: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 10. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição de homomorfismo unitário No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B é unitário se: f(1A) = 1B Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 11. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição de homomorfismo unitário No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B é unitário se: f(1A) = 1B É claro que aqui também podemos, para evitar sobrecarga na notação, suprimir os índices e escrever: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 12. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição de homomorfismo unitário No caso em que A e B são anéis com unidade, se 1A e 1B denotam os elementos neutros do produto em A e B, respectivamente, então dizemos que o homomorfismo f : A → B é unitário se: f(1A) = 1B É claro que aqui também podemos, para evitar sobrecarga na notação, suprimir os índices e escrever: f(1) = 1. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 13. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 14. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então: 1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem unitários, g ◦ f também o é. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 15. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então: 1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem unitários, g ◦ f também o é. 2. Se f é uma função bijetora, então a sua inversa f−1 : B → A é um homomorfismo. Claramente, se f for unitário, f−1 também o é. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 16. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então: 1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem unitários, g ◦ f também o é. 2. Se f é uma função bijetora, então a sua inversa f−1 : B → A é um homomorfismo. Claramente, se f for unitário, f−1 também o é. Atenção! Quando f : A → B é um homomorfismo bijetor, dizemos que f é um isomorfismo de anéis, ou ainda, que A e B são isomorfos e denotamos A ≃ B. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 17. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dados A, B e C anéis, f : A → B, g : B → C homomorfismos de anéis, então: 1. A função composta g ◦ f é um homomorfismo de anéis. Claramente, se f e g forem unitários, g ◦ f também o é. 2. Se f é uma função bijetora, então a sua inversa f−1 : B → A é um homomorfismo. Claramente, se f for unitário, f−1 também o é. Atenção! Quando f : A → B é um homomorfismo bijetor, dizemos que f é um isomorfismo de anéis, ou ainda, que A e B são isomorfos e denotamos A ≃ B. Veremos, a seguir, apenas parte da demonstração do item 1. As demais demonstrações podem ser consultadas no livro texto. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 18. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 19. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: (a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b); Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 20. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: (a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b); (b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b). Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 21. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: (a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b); (b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b). Faremos isso apenas para a primeira igualdade em (a), sendo a em (b) inteiramente análoga. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 22. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: (a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b); (b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b). g ◦ f(a + b) = g(f(a + b)) = g(f(a) + f(b)) = g(f(a)) + g(f(b)) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b) Observe que os passos contaram, apenas, com a hipótese de que as funções f e g são homomorfismos de anéis! Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 23. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: (a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b); (b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b). g ◦ f(a + b) = g(f(a + b)) = g(f(a) + f(b)) = g(f(a)) + g(f(b)) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b) Além disso, se f e g forem unitários, então: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 24. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: (a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b); (b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b). g ◦ f(a + b) = g(f(a + b)) = g(f(a) + f(b)) = g(f(a)) + g(f(b)) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b) Além disso, se f e g forem unitários, então: g ◦ f(1) = g(f(1)) = g(1) = 1, Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 25. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração do item 1. Devemos mostrar que, dados a, b ∈ A, temos: (a) g ◦ f(a + b) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b); (b) g ◦ f(a · b) = g ◦ f(a) · g ◦ f(b). g ◦ f(a + b) = g(f(a + b)) = g(f(a) + f(b)) = g(f(a)) + g(f(b)) = g ◦ f(a) + g ◦ f(b) Além disso, se f e g forem unitários, então: g ◦ f(1) = g(f(1)) = g(1) = 1, o que mostra que g ◦ f também é unitário. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 26. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Núcleo e Imagem Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, podemos considerar os seguintes conjuntos associados a f: • o núcleo de f: ker(f) = {a ∈ A; f(a) = 0}, onde 0 ∈ B é o elemento neutro e; • a imagem de f, Im(f) = {f(a); a ∈ A}. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 27. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 28. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos: • f(0) = 0; Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 29. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos: • f(0) = 0; • f(−a) = −f(a); Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 30. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos: • f(0) = 0; • f(−a) = −f(a); • ker(f) é um ideal de A; Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 31. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos: • f(0) = 0; • f(−a) = −f(a); • ker(f) é um ideal de A; • Im(f) é um subanel de B. A demonstração deste Teorema fica como exercício. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 32. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exercícios Prove as seguintes afirmações: (a) Dado um número inteiro n, n > 1, seja Zn = {¯0, ¯1, . . . , n − 1} o anel das classes de restos módulo n. A função f : Z → Zn, dada por f(k) = ¯k é um homomorfismo de anéis. (b) A função f : R → R2, dada por f(x) = (x, 0), é um homomorfismo injetor. (c) Seja Q[x] o anel dos polinômios na variável x, com coeficientes em Q e considere a função f : Q[x] → R dada por f(p(x)) = p( √ 2). A função f é um homomorfismo de anéis. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 33. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teoremas Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 34. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teoremas Teorema Um homomorfismo f de anéis é injetor se, e somente se, ker(f) = {0}. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 35. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teoremas Teorema Um homomorfismo f de anéis é injetor se, e somente se, ker(f) = {0}. Teorema Se K é um corpo e f : K → B é um homomorfismo de anéis, então temos duas possibilidades: 1. f é identicamente nulo, isto é, f(x) = 0, para todo x ∈ K, ou; 2. f é injetivo. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 36. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teoremas Teorema Um homomorfismo f de anéis é injetor se, e somente se, ker(f) = {0}. Teorema Se K é um corpo e f : K → B é um homomorfismo de anéis, então temos duas possibilidades: 1. f é identicamente nulo, isto é, f(x) = 0, para todo x ∈ K, ou; 2. f é injetivo. A demonstração destes Teoremas ficam como exercício. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 37. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição Seja A um anel e I um ideal de A. Dados a, b ∈ A, dizemos que a e b são congruentes módulo I e indicamos a ≡ b se a − b ∈ I. Atenção! A relação ≡ definida acima é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva (relação de equivalência). Prove esta afirmação como exercício. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 38. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Seja A = Z e I = 5Z (o ideal formado pelos múltiplos de 5). Dois inteiros a ≡ b se, e somente se, a − b ∈ 5Z, isto é, 5|(a − b). Dado a ∈ Z, temos a = 5k + r, onde r ∈ {0, 1, 2, 3, 4} é o resto da divisão de a por 5. Como só há cinco possibilidades para o resto r dessa divisão e a − r = 5k ∈ Z, temos que a ∈ ¯r, e Z = ¯0 ∪ ¯1 ∪ ¯2 ∪ ¯3 ∪ ¯4. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 39. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto quociente e é denotado por A/I. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 40. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto quociente e é denotado por A/I. Explicitamente: A/I = {¯a; a ∈ A} = {a + I; a ∈ A}. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 41. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto quociente e é denotado por A/I. Explicitamente: A/I = {¯a; a ∈ A} = {a + I; a ∈ A}. Para que o conjunto quociente A/I possua a estrutura de anel, definamos as operações: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 42. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Definição O conjunto formado pelas classes de equivalência relativas a I é chamado conjunto quociente e é denotado por A/I. Explicitamente: A/I = {¯a; a ∈ A} = {a + I; a ∈ A}. Para que o conjunto quociente A/I possua a estrutura de anel, definamos as operações: • SOMA: ¯a + ¯b = a + b; • PRODUTO: ¯a · ¯b = a · b. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 43. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Operações bem definidas Considere a1, a2, b1eb2 elementos de um anel A e seja I um ideal de A tal que a1 −a2 ∈ I e b1, b2 ∈ I. a1 − a2 ∈ I ⇒ a1 = a2 b1 − b2 ∈ I ⇒ b1 = b2 Observe que (a1 + b1) − (a2 + b2) = (a1 − a2) + (b1 − b2) ∈ I ⇒ a1 + b1 = a2 + b2 a1b1 − a2b2 = a1b1 − a1b2 + a1b2 = a1(b1 − b2) + b2(a1 − a2) ∈ I ⇒ a1b1 = a2b2 Como exercício, verificar os demais axiomas da condição de anel para os anéis quocientes. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 44. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Vamos agora mostrar um resultado importante que relaciona certos propriedades dos ideais com propriedades dos anéis quocientes a eles associados. Seja A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A. 1. I é um ideal primo se, e somente se, A/I é um domínio de integridade. 2. I é um ideal maximal se, e somente se, A/I é um corpo. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 45. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema Vamos agora mostrar um resultado importante que relaciona anéis quocientes e homo- morfismos. Teorema Fundamental dos Homomorfismos de Anéis Dado um homomorfismo de anéis f : A → B, temos que o anel quociente A/ ker(f) é isomorfo ao subanel Im(f) ⊂ B. A prova desse teorema consiste em exibir um homomorfismo bijetor entre A/ ker(f) e Im(f). Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 46. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a). Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 47. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a). Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que: 1. F está bem definida, ou seja, se ¯a = ¯b, então F(¯a) = F(¯b). De fato, ¯a = ¯b ⇒ a−b ∈ ker(f) ⇒ f(a−b) = 0 ⇒ f(a)−f(b) = 0 ⇒ f(a) = f(b) ⇒ F(¯a) = F(¯b). Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 48. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a). Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que: 1. F está bem definida, ou seja, se ¯a = ¯b, então F(¯a) = F(¯b). De fato, ¯a = ¯b ⇒ a−b ∈ ker(f) ⇒ f(a−b) = 0 ⇒ f(a)−f(b) = 0 ⇒ f(a) = f(b) ⇒ F(¯a) = F(¯b). 2. F é um homomorfismo. De fato, se a, b ∈ A/ ker(f), então: F(¯a + ¯b) = F(a + b) = f(a + b) = f(a) + f(b) = F(¯a) + F(¯b). F(¯a · ¯b) = F(a · b) = f(a · b) = f(a) · f(b) = F(¯a) · F(¯b). Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 49. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a). Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que: 3. F é injetora. De fato, ¯a ∈ ker(F) ⇒ F(¯a) = f(a) = 0 ⇒ a ∈ ker(f) ⇒ ¯a = ¯0. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 50. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a). Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que: 3. F é injetora. De fato, ¯a ∈ ker(F) ⇒ F(¯a) = f(a) = 0 ⇒ a ∈ ker(f) ⇒ ¯a = ¯0. 4. F é sobrejetora. De fato, y ∈ Im(f) ⇒ ∃a ∈ A; f(a) = y ⇒ F(¯a = f(a) = 0 ⇒ ∃¯a ∈ A/ ker(f); F(¯a) = y Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 51. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Demonstração Considere a aplicação F : A/ ker(f) → Im(f) tal que F(¯a) = f(a). Devemos mostrar que F é um isomorfismo, ou seja, devemos mostrar que: 3. F é injetora. De fato, ¯a ∈ ker(F) ⇒ F(¯a) = f(a) = 0 ⇒ a ∈ ker(f) ⇒ ¯a = ¯0. 4. F é sobrejetora. De fato, y ∈ Im(f) ⇒ ∃a ∈ A; f(a) = y ⇒ F(¯a = f(a) = 0 ⇒ ∃¯a ∈ A/ ker(f); F(¯a) = y Logo, F é um isomorfismo. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 52. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Mostre que x2 − 2 é um ideal maximal de Q[ √ 2]. Solução: Vimos que para f : Q[x] → R, dado por f(p(x)) = p( √ 2), temos que: 1. ker(f) = (x2 − 2) = {(x2 − 2)q(x); q(x) ∈ Q[x]}, o ideal formado pelos múltiplos de (x2 − 2). 2. Im(f) = {p( √ 2); p(x) ∈ Q[x]}. Considerando que ( √ 2)n ∈ Q, se n é par e que ( √ 2)n = r √ 2, se n é ímpar, temos que p( √ 2) = a + b √ 2 e, dessa forma, 2’. Im(f) = {a + b √ 2; a, b ∈ Q} = Q[ √ 2]. O Teorema Fundamental dos Homomorfismos de Anéis nos diz que: 3. Q[x]/ ker(f) ≃ Im(f), ou ainda 3’. Q[x]/(x2 − 2) ≃ Q[ √ 2]. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 53. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Mostre que x2 − 2 é um ideal maximal de Q[ √ 2]. Q[ √ 2] é um corpo. De fato, se 0 = a + b √ 2 ∈ Q[ √ 2], a = 0 ou b = 0. Logo, 1 a + b √ 2 = 1 a + b √ 2 · a − b √ 2 a − b √ 2 = a − b √ 2 a2 − 2b2 = a a2 − 2b2 − b a2 − 2b2 √ 2 Observamos que a2 −2b2 = 0 uma vez que a, b ∈ Q com a = 0 ou b = 0 e, dessa forma, a a2 − 2b2 , b a2 − 2b2 ∈ Q. Assim, temos que todo elemento não-nulo de Q[ √ 2] tem um inverso em Q[ √ 2], ou seja, Q[ √ 2] é um corpo e, como consequência, (x2 − 2) é um ideal maximal de Q[x]. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 54. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema da correspondência Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e N = ker(f). Então: Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 55. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema da correspondência Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e N = ker(f). Então: (a) A cada Ideal I ⊃ N corresponde um ideal em B. Essa correspondência é dada por I → f(I). Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 56. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Teorema da correspondência Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e N = ker(f). Então: (a) A cada Ideal I ⊃ N corresponde um ideal em B. Essa correspondência é dada por I → f(I). (b) Dados dois ideais I1 e I2 de A, ambos contendo N, temos I1 ⊂ I2 se, e somente se, f(I1) ⊂ f(I2). Este teorema deve ser provado como exercício. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 57. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Determine todos os ideais de Z6. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 58. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Determine todos os ideais de Z6. Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra indica classe de equivalência módulo 6. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 59. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Determine todos os ideais de Z6. Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra indica classe de equivalência módulo 6. Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 60. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Determine todos os ideais de Z6. Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra indica classe de equivalência módulo 6. Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z. Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 61. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Determine todos os ideais de Z6. Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra indica classe de equivalência módulo 6. Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z. Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z. Como os ideais de Z são todos principais, isto é, são todos do tipo mZ, m ∈ N. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 62. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Determine todos os ideais de Z6. Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra indica classe de equivalência módulo 6. Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z. Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z. Como os ideais de Z são todos principais, isto é, são todos do tipo mZ, m ∈ N. Se 6Z ⊂ Z6, então m|6. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD
  • 63. Homomorfismo de anéis Anéis quocientes O teorema fundamental dos homomorfismos de anéis Exemplo Determine todos os ideais de Z6. Solução: Considere o homomorfismo f : Z → Z6, dado por f(n) = ¯n, onde a barra indica classe de equivalência módulo 6. Esse homomorfismo é sobrejetor e ker(f) = 6Z. Pelo Teorema, os ideais de Z6 são f(I), onde I é um ideal de Z que contêm ker(f) = 6Z. Como os ideais de Z são todos principais, isto é, são todos do tipo mZ, m ∈ N. Se 6Z ⊂ Z6, então m|6. Os divisores positivos de 6 são 1, 2, 3 e 6. Assim, os únicos ideais de Z6 são f(mZ), m ∈ {1, 2, 3, 6}. Como f( ¯mZ) = mZ (provar como exercício), temos que os ideais de Z6 são: ¯1Z6 = Z6, ¯2Z6, ¯3Z6, ¯6Z6 = {0}. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB Licenciatura em Matemática EaD